1 El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de 500 € (sin impuestos). El valor del vino es 60 € menos que el de los refrescos y de la cerveza conjuntamente. Teniendo en cuenta que los refrescos deben pagar un IVA del 6%, por la cerveza del 12% y por El vino del 30%, lo que hace que la factura total con impuestos sea de 592.4 €, calcular la cantidad invertida en cada tipo de bebida.

 

Comenzamos definiendo las variables a utilizar:

{x} = Importe en € de los refrescos.

{y} = Importe en € de la cerveza.

{z} = Importe en € del vino.

Entonces, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

{\left\{\begin{matrix} x & + & y & + & z & = & 500\\ x & + & y & - & z & = & 60 \\ \frac{6x}{100} & + & \frac{12y}{100} & + & \frac{30z}{100} & = & 92.4 \end{matrix}\right.}

Simplificando la 3er ecuación del sistema anterior tenemos:

{\left\{\begin{matrix} x & + & y & + & z & = & 500\\ x & + & y & - & z & = & 60 \\ 6x & + & 12y & + & 30z & = & 9240 \end{matrix}\right.}

Para resolver este sistema de 3x3 podemos ocupar el método de Kramer, es decir,

{\Delta = \left| \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f\\ g & h & i \end{matrix}\right| = a\cdot(e\cdot i - f\cdot h) - b\cdot(d\cdot i - f\cdot g) + c\cdot(d\cdot h - e\cdot g)}

Aplicando este método a nuestro sistema de ecuaciones tenemos:

{\Delta = \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\\ 6 & 12 & 30 \end{matrix}\right| = 1(30+12) -1(30+6) +1(12-6)}
{= 42 -36 +6 = 12}

{\Delta_x = \left| \begin{matrix} 500 & 1 & 1 \\ 60 & 1 & -1\\ 9240 & 12 & 30 \end{matrix}\right| = 500(30+12) - 1(1800 + 9240) + 1(720 -9240)}
{21000 - 11040 - 8520 = 1440}

{\Delta_y = \left| \begin{matrix} 1 & 500 & 1 \\ 1 & 60 & -1\\ 6 & 9240 & 30 \end{matrix}\right| = 1(1800+9240) -500(30 + 6) + 1(9240 -360)}
{= 11040 - 18 000 + 8880 = 1920}

{\Delta_z = \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 500 \\ 1 & 1 & 60\\ 6 & 12 & 9240 \end{matrix}\right| = 1(9240 - 720) -1(9240 - 360) + 500(12-6)}
{= 8520 - 8880 + 3000 = 2640}

Finalmente, para encontrar los valores de cada incógnita:

{x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{1440}{12} = 120}

{y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{1920}{12} = 160}

{z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{2640}{12} = 220}

Por lo tanto, las soluciones son:

x = 120 €

y = 160 €

z = 220 €


2 Una empresa tiene tres minas con menas de composiciones:

Níquel (%) Cobre (%) Hierro (%)
Mina A 1 2 3
Mina B 2 5 7
Mina C 1 3 1

¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro?

Comenzamos definiendo las variables a utilizar:

{x} = nº de toneladas de la mina A.

{y} = nº de toneladas de la mina B.

{z} = nº de toneladas de la mina C.

Entonces, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

{\left\{\begin{matrix} \frac{x}{100} & + & \frac{y}{100} & + & \frac{z}{100} & = & 7\\ \frac{2x}{100} & + & \frac{5y}{100} & & \frac{3z}{100} & = & 18 \\ \frac{3x}{100} & + & \frac{7y}{100} & + & \frac{z}{100} & = & 16 \end{matrix}\right.}

Simplificando el sistema anterior tenemos:

{\left\{\begin{matrix} x & + & 2y & + & z & = & 700\\ 2x & + & 5y & + & 3z & = & 1800 \\ 3x & + & 7y & + & z & = & 1600 \end{matrix}\right.}

Para resolver este sistema de 3x3 podemos ocupar el método de Kramer, es decir,

{\Delta = \left| \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f\\ g & h & i \end{matrix}\right| = a\cdot(e\cdot i - f\cdot h) - b\cdot(d\cdot i - f\cdot g) + c\cdot(d\cdot h - e\cdot g)}

Aplicando este método a nuestro sistema de ecuaciones tenemos:

{\Delta = \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 3\\ 3 & 7 & 1 \end{matrix}\right| = 1(5-21) -2(2-9) + 1(14-15)}

{= -16 + 14 -1 = -3}

{\Delta_x = \left| \begin{matrix} 700 & 2 & 1 \\ 1800 & 5 & 3\\ 1600 & 7 & 1 \end{matrix}\right| = 700(5-21) - 2(1800- 4800) + 1(12600-8000)}

{= -11200 + 6000 + 4600 = -600}

{\Delta_y = \left| \begin{matrix} 1 & 700 & 1 \\ 2 & 1800 & 3\\ 3 & 1600 & 1 \end{matrix}\right| = 1(1800-4800) - 700(2 - 9) + 1(3200 - 5400)}

{= -3000 + 4900 - 2200 = -300}

{\Delta_z = \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 700 \\ 2 & 5 & 1800\\ 3 & 7 & 1600 \end{matrix}\right| = 1(8000 - 12600) - 2(3200 - 5400) + 700(14-15)}

{= -4600 + 4400 - 700 = -900}

Finalmente, para encontrar los valores de cada incógnita:

{x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-600}{-3} = 200}

{y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-300}{-3} = 100}

{z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{-900}{-3} = 300}

Por lo tanto, las soluciones son:

x = 200 t

y = 100 t

z = 300 t


3 La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos), la edad del padre era triple que la suma de las edades, en aquel tiempo, de sus hijos. Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de edades de las tres personas será 150 años. ¿Qué edad tenía el padre en el momento de nacer sus hijos?

Comenzamos definiendo las variables a utilizar:

{x} = Edad actual del padre.

{y} = Edad actual del hijo mayor.

{z} = Edad actual del hijo menor.

 

Relación actual: {x = 2(y + z)}

Hace y − z años: {x − (y − z) = 3[y − (y − z) + z − (y − z)]}

Dentro de y + z: {x + (y + z) + y + (y + z) + z + (y + z) = 150}

Entonces, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
{\left\{\begin{matrix} x & - & 2y & - & 2z & = & 0\\ x & + & 2y & - & 8z & = & 0 \\ x & + & 4y & + & 4z & = & 150 \end{matrix}\right.}
Para resolver este sistema de 3x3 podemos ocupar el método de Kramer, es decir,

{\Delta = \left| \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f\\ g & h & i \end{matrix}\right| = a\cdot(e\cdot i - f\cdot h) - b\cdot(d\cdot i - f\cdot g) + c\cdot(d\cdot h - e\cdot g)}

Aplicando este método a nuestro sistema de ecuaciones tenemos:

{\Delta = \left| \begin{matrix} 1 & -2 & -2 \\ 1 & 2 & -8\\ 1 & 4 & 4 \end{matrix}\right| = 1(8+32) +2(4+8) - 2(4-2)}
{= 40 + 24 -4 = 60}

{\Delta_x = \left| \begin{matrix} 0 & -2 & -2 \\ 0 & 2 & -8\\ 150 & 4 & 4 \end{matrix}\right| = 0(8+32) + 2(0 + 1200) - 2(0 - 300)}
{= 2400 + 600 = 3000}

{\Delta_y = \left| \begin{matrix} 1 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & -8\\ 1 & 150 & 4 \end{matrix}\right| = 1(0 + 1200) - 0(4 + 8) - 2(150)}
{= 1200 - 300 = 900}

{\Delta_z = \left| \begin{matrix} 1 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 4 & 150 \end{matrix}\right| = 1(300) + 2(150) + 0(4-2)}
{= 300 + 300 = 600}
Finalmente, para encontrar los valores de cada incógnita:
{x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{3000}{60} = 50}
{y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{900}{60} = 15}
{z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{600}{60} = 10}
Por lo tanto,

Al nacer los hijos, el padre tenía {35} y {40} años, respectivamente.


4 Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y mijo.

Cada volumen de trigo se vende por 4 €, el de la cebada por 2 € y el de mijo por 0.5 €.

Si se vende 100 volúmenes en total y si obtiene por la venta 100 €, ¿cuántos volúmenes de cada especie se venden?

Comenzamos definiendo las variables a utilizar:

{x} = Volumen de trigo.

{y} = Volumen de cebada.

{z} = Volumen de mijo.

Entonces, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

{\left\{\begin{matrix} x & + & y & + & z & = & 100\\ 4x & + & 2y & + & 0.5z & = & 100 \end{matrix}\right.}

Multiplicando la segunda ecuación por 2 y reescribiendo el sistema, tenemos

{\left\{\begin{matrix} y & + & z & = & 100 & - & x\\ 4y & + & z & = & 200 & - & 8x \end{matrix}\right.}

Para resolver este sistema de 2x2 podemos ocupar el método de Kramer, es decir,

{\Delta = \left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right| = a\cdot d - b \cdot c}

Aplicando este método a nuestro sistema de ecuaciones tenemos:

{\Delta = \left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{matrix}\right| = 1-4 = -3}

{\Delta_y = \left| \begin{matrix} 100 - x & 1\\ 200 - 8x & 1 \end{matrix}\right| = 100 - x -200 + 8x}

{= 7x - 100}

{\Delta_z = \left| \begin{matrix} 1 & 100-x\\ 4 & 200-8x \end{matrix}\right| = 200 - 8x -400 + 4x}

{= -200 -4x}

Tenemos que dos de las variables son dependientes de la variable x

{y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta}= \dfrac{7x -100}{-3} = \dfrac{100 - 7x}{3}}

{z = \dfrac{\Delta_z}{\Delta} = \dfrac{-200-4x}{-3} = \dfrac{200+4x}{3}}

Considerando que las tres variables son números naturales, y que su suma es 100, obtenemos las siguientes soluciones:

S1 S2 S3 S4 S5
x 1 4 7 10 13
y 31 24 17 10 3
z 68 72 76 80 84


5 Se tienen tres lingotes compuestos del siguiente modo:

  • El primero de 20 g de oro, 30 g de plata y 40 g de cobre.
  • El segundo de 30 g de oro, 40 g de plata y 50 g de cobre.
  • El tercero de 40 g de oro, 50 g de plata y 90 g de cobre.

Se pide qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para formar un nuevo lingote de 34 g de oro, 46 g de plata y 67 g de cobre.

{x} = Peso del 1er lingote.

{y} = Peso del 2º lingote.

{z} = Peso del 3er lingote.

 

En el 1er lingote, la ley del oro es:
{\quad \frac{20}{90} = \frac{2}{9}}

En el 2º lingote, la ley del oro es:
{\frac{30}{120} = \frac{1}{4}}

En el 3 er lingote, la ley del oro es:
{\frac{40}{180} = \frac{2}{9}}

 

La ecuación para el oro es:

{\dfrac{2x}{9} + \dfrac{y}{4} + \dfrac{2z}{9} = 34}

En el 1er lingote, la ley de la plata es:
{\frac{30}{90} = \frac{1}{3}}

En el 2º lingote, la ley de la plata es:
{\frac{40}{120} = \frac{1}{3}}

En el 3 er lingote, la ley de la plata es:
{\frac{50}{180} = \frac{5}{18}}

 

La ecuación para el plata es:

{\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{5z}{18} = 46}

En el 1er lingote, la ley del cobre es:
{\frac{40}{90} = \frac{4}{9}}

En el 2ºlingote, la ley del cobre es:
{\frac{50}{120} = \frac{5}{12}}

En el 3 er lingote, la ley del cobre es:
{\frac{90}{180} = \frac{1}{2}}

 

La ecuación para el cobre es:

{\dfrac{4x}{9} + \dfrac{5y}{12} + \dfrac{z}{2} = 67}

Reescribiendo las ecuaciones tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

{\left\{\begin{matrix} 8x & + & 9y & + & 8z & = & 1224\\ 6x & + & 6y & + & 5z & = & 828 \\ 16x & + & 15y & + & 18z & = & 2412 \end{matrix}\right.}

Para resolver este sistema de 3x3 podemos ocupar el método de Kramer, es decir,

{\Delta = \left| \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f\\ g & h & i \end{matrix}\right| = a\cdot(e\cdot i - f\cdot h) - b\cdot(d\cdot i - f\cdot g) + c\cdot(d\cdot h - e\cdot g)}

Aplicando este método a nuestro sistema de ecuaciones tenemos:

{\Delta = \left| \begin{matrix} 8 & 9 & 8 \\ 6 & 6 & 5\\ 16 & 15 & 18 \end{matrix}\right| = 8(108 - 75) - 9(108 - 80) +8(90 - 96)}

{= 8(33) -9(28) + 8(-6) = 264 - 252 - 48 = -36}

{\Delta_x = \left| \begin{matrix} 1224 & 9 & 8 \\ 828 & 6 & 5\\ 2412 & 15 & 18 \end{matrix}\right| = 1224(108 - 75) - 9(14904 - 12060) + 8(12420 - 14472)}

{= 1224(33) -9(2844) + 8(-2052)}

{= 40392 - 25596 - 16416 = -1620}

{\Delta_y = \left| \begin{matrix} 8 & 1224 & 8 \\ 6 & 828 & 5\\ 16 & 2412 & 18 \end{matrix}\right| = 8(14904 - 12060) - 1224(108 - 80) + 8(14472 - 13248)}

{= 8(2844) - 1224(28) + 8(1224)}

{= 22752 - 34272 + 9792 = -1728}

{\Delta_z = \left| \begin{matrix} 8 & 9 & 1224 \\ 6 & 6 & 828\\ 16 & 15 & 2412 \end{matrix}\right| = 8(14472 - 12420) -9(14472 - 13248) + 1224(90 - 96)}

{= 8(2052) - 9(1224) + 1224(-6) = 16416 - 11016 - 7344 = -1944}

Finalmente, para encontrar los valores de cada incógnita:

{x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-1620}{-36} = 45}

{y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-1728}{-36} = 48}

{z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{-1944}{-36} = 54}

Entonces la solución a nuestro sistema de ecuaciones es:

x = 45      y = 48      z = 54

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗