Ecuación y sus elementos

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones, denominadas miembros, separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos y datos desconocidos llamados incógnitas. Y esta igualdad se cumple para algunos valores de las letras.

Ejemplo
 x + 1 = 2  \quad \Rightarrow \quad  x = 1

Los términos de una ecuación son los sumados que forman los miembros de una ecuación.

Elementos de ecuacion

La incógnita de una ecuación es el valor desconocido que se pretende determinar. La incógnita se suele expresar con la letra x.

Soluciones

Las soluciones de una ecuación son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.

Por ejemplo, en la siguiente ecuación

     \[ 2x-3 = 3x + 2        \]

la solución es

    \[ x = -5 \]

pues, al sustituir el valor de "x" por -5, se cumple la igualdad

    \begin{align*} 2(-5)-3 &= 3(-5) + 2 \\ -10 -3 &= -15 + 2 \\ -13 &= -13 \end{align*}

Grado

El grado de una ecuación es el mayor exponente al que se encuentran elevadas las incógnitas.

 

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Vamos

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.

Por ejemplo las siguientes dos ecuaciones son equivalentes

     \[ 2x - 3 = 3x + 2 \quad \textrm{con solución} \quad   x = -5 \]

     \[ x + 3 = -2  \quad \textrm{con solución} \quad x = -5 \]

Criterios de equivalencia de ecuaciones

1 Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.

Ejemplo:

Consideremos la ecuación

    \[x + 3 = -2 \]

Despues le restamos 3 a ambos miembros

    \[x + 3 - 3 = -2 - 3\]

resultando la nueva ecuación

    \[ x = -5 \]

equivalente a la primera.

2 Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.

Ejemplo:

Consideremos la ecuación:

     \[5x + 10 = 15\]

Dividimos ambos miembros entre 5

     \[ \frac{5x + 10}{5} = \frac{15}{5}\]

obteniendo

    \[ x + 2 = 3 \]

Si a esta nueva ecuacion equivalente a la primera, le restamos 2 obtendremos que

    \begin{align*} x +2 - 2 &= 3- 2 \\ x &= 1 \end{align*}

Ecuaciones polinómicas

Ecuaciones polinómicas enteras

Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0 , donde P(x) es un polinomio.

Ecuaciones de primer grado o lineales

Son del tipo ax + b = 0 , con a \neq 0 , ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.

Por ejemplo la siguiente ecuación

     \[ (x + 1)^2 = x^2 - 2 \]

Operando obtenemos que

    \begin{align*} x^2 + 2x + 1 &= x^2 - 2 \\ 2x + 1 &= -2\\ 2x + 3 &= 0 \end{align*}

es decir, es una ecuación de primer grado.

Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

Son ecuaciones del tipo ax^2 + bx + c = 0, con a \neq 0.

Tambien estan las ecuaciones de segundo grado incompletas, estas son del tipo

1  ax^2 = 0
2 ax^2 + b = 0
3 ax^2 + bx = 0

Ecuaciones de tercer grado

Son ecuaciones del tipo ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, con a \neq 0.

Ecuaciones de cuarto grado

Son ecuaciones del tipo ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0, con a \neq 0.

Ecuaciones bicuadradas

Son ecuaciones de cuarto grado que no tiene términos de grado impar. Es decir,

     \[ ax^4 + bx^2 + c = 0 \quad \textrm{con} \quad a \neq 0 .\]

Ecuaciones de grado n

En general, las ecuaciones de grado n son de la forma:

     \[ a_1 x^n + a_2 x^{n-1} + a_3 x^{n-2} + \dots + a_0 = 0 \]

Ecuaciones polinómicas racionales

Las ecuaciones polinómicas son de la forma \frac{P(x)}{Q(x)} = 0, donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Por ejemplo:

     \[ \frac{1}{x^2 - x} - \frac{1}{x-1} = 0 \]

Ecuaciones polinómicas irracionales

Las ecuaciones irracionales son aquellas que tienen al menos un polinomio bajo el signo radical.

Pueden ser de la forma

1 \sqrt[n]{P(x)} = 0

2 \frac{\sqrt[n]{P(x)}}{Q(x)} = 0

3 \frac{P(x)}{\sqrt[n]{Q(x)}} = 0

Ecuaciones no polinómicas

Ecuaciones exponenciales

Son ecuaciones en la que la incógnita aparece en el exponente.

Por ejemplo
1 2^{2 x-1}=4

2 \sqrt[2 x-1]{3^{x-3}}=\sqrt{27}

3 2^{x+1}+2^{x}+2^{x-1}=28

Ecuaciones logarítmicas

Son ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.

Por ejemplo
1 \log 2+\log \left(11-x^{2}\right)=2 \log (5-x)

2 4 \log \left(\frac{x}{5}\right)+\log \left(\frac{625}{4}\right)=2 \log x

3 \log x=\frac{2-\log x}{\log x}

Ecuaciones trigonométricas

Son las ecuaciones en las que la incógnita está afectada por una función trigonométrica. Como éstas son periódicas, habrá por lo general infinitas soluciones.

Por ejemplo:
1 \cos 2 x=1+4 \textrm{sen} x

2 \cos ^{2} x-3 \textrm{sen} ^{2} x=0

3 2 \tan x-3 \operatorname{cotg} x-1=0

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗