¿Qué son las ecuaciones lineales?

 

Las ecuaciones lineales o de primer grado son del tipo ax+b=0 , con a \not = 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adopten esa expresión.

 

Pasos para resolver una ecuación lineal

 

En general para resolver una ecuación lineal o de primer grado debemos seguir los siguientes pasos:

 

1 Quitamos paréntesis

Esto es, si hay expresiones del estilo

3(x-8) + 6(2-x) - (x-2)=x

Entonces desarrollamos tomando en cuenta la propiedad distributiva, esto es a(b+c)=ab+ac y también la ley de los signos será importante.

3(x-8) + 6(2-x) - (x-2)=x \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} 3x-24+12-6x-x+2=x

 

2 Quitamos denominadores

En el caso que existan términos fraccionarios en la expresión, debemos identificar los diferentes denominadores que haya, calcular el mínimo común multiplo (m.c.m) de estos y multiplicar la ecuación por el m.c.m.. O en vez del m.c.m, también puedes calcular el producto de todos los denominadores aunque se recomienda más el primero, pues es un número más pequeño o más simplificado. Por ejemplo:

\displaystyle \frac{x-10}{2} + \frac{x+8}{4} = 0 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} \text{mcm}(2,4) = 4

multiplicamos la primera fracción por  \displaystyle \frac{2}{2}

\displaystyle  \frac{2(x-10)}{4}  + \frac{(x+8)}{4} = 0  \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm}  2(x-10)  + (x+8) = 0 \cdot 4

Aquí de nuevo podríamos necesitar quitar paréntesis para simplificar

\displaystyle  2x-20  + x+8 = 0  \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm}  3x+12 = 0

 

3 Agrupamos los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro

Ya que hayamos hecho el paso 1 y paso 2, tendremos la suma y resta de términos con x y términos independientes de ambos lados de la ecuación, lo que sigue es juntar las x de un lado y los términos independientes del otro, para esto recuerda que si de un lado de la ecuación se está sumando un 2x, por ejemplo, lo puedo pasar del otro lado con la operación inversa, es decir, quedaría -2x del otro lado

 8x-64 = 0 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm}  8x=64

 10x+12 = 7x+33 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} 10x-7x=33-12

 

4 Reducimos los términos semejantes

Ya que tengo términos con x juntos, los sumo o resto dependiendo. De igual manera con los términos independientes, por ejemplo:

  10x-7x=33-12 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} 3x=21

  9x-3x+2x+x=5+27+54-12+7 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} 9x=81

 

5 Despejamos la incógnita

Si hay un coeficiente acompañando a la variable x, como la está multiplicando lo pasaré del otro lado con la operación inversa, esto es, dividiendo. A esto le llamo despejar

 \displaystyle 9x=81 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} x=\frac{81}{9} \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} x=9

 

Ejercicios de ecuaciones lineales

12x=6.

 

2x=6

Despejamos la incógnita:

\displaystyle x=\frac{6}{2}

x=3

22x-3=6+x

2x-3=6+x

Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:

2x-x=6+3

x=9

32(2x-3)=6+x

 

2(2x-3)=6+x

Quitamos paréntesis:

4x-6=6+x

Agrupamos términos y sumamos:

4x-x=6+6

3x=12

Despejamos la incógnita:

\displaystyle x=\frac{12}{3}

 x=4

4\displaystyle \frac{x-1}{6}-\frac{x-3}{2}=-1

 

\displaystyle \frac{x-1}{6}-\frac{x-3}{2}=-1

Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo.

\text{m.c.m}(6,2)=6

x-1-3(x-3)=-6

Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

x-1-3x+9=-6

x-3x=-6-9+1

-2x=-14

Despejamos la incógnita:

2x=14

\displaystyle x=\frac{14}{2}

x=7

5 \displaystyle \frac{3}{2}(2x+4)=x+20

 

\displaystyle \frac{3}{2}(2x+4)=x+20

Quitamos paréntesis y simplificamos

\displaystyle \frac{6x}{2}+\frac{12}{2}=x+20

Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes

\displaystyle 3x+6=x+20
3x - x=20 - 6
2x=14
x=7

6\displaystyle 2-\left[-2\cdot(x+1)-\frac{x-3}{2}\right]=\frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x

 

\displaystyle 2-\left[-2\cdot(x+1)-\frac{x-3}{2}\right]=\frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x
Quitamos corchete
\displaystyle 2-\left(-2x-2-\frac{x-3}{2}\right)=\frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x
Quitamos paréntesis
\displaystyle 2+2x+2+\frac{x-3}{2}=\frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x
Quitamos denominadores
24+24x+24+6\cdot(x-3) = 8x-(5x-3)+36x
Quitamos paréntesis
24+24x+24+6x-18=8x-5x+3+36
Agrupamos términos
24x+6x-8x+5x-36x=3-24-24+18
Sumamos
-9x=-27
Dividimos los dos miembros por -9
\displaystyle x=\frac{-27}{-9}
x=3

74(x-10)=-6(2-x)-6x

 

4(x-10)=-6(2-x)-6x

Quitamos los paréntesis
4x-40=-12+6x-6x
Agrupamos los términos con la variable x de un lado de la ecuación y los independientes del otro
4x-6x+6x=-12+40
Sumamos los términos semejantes para simplificar
4x=28
Dividimos entre 4 la ecuación
\displaystyle x=\frac{28}{4}
x=7

82(x+1)-3(x-2)=x+6

 

2(x+1)-3(x-2)=x+6

Quitamos los paréntesis
2x+2-3x+6=x+6
Agrupamos los términos con la variable x de un lado de la ecuación y los independientes del otro
2x-3-x=6-2-6
Sumamos los términos semejantes para simplificar
\displaystyle -2x=-2
Dividimos entre -2
\displaystyle  x=\frac{-2}{-2}
\displaystyle x=1

9\displaystyle \frac{x-1}{4}-\frac{x-5}{36}=\frac{x+5}{9}

 

\displaystyle \frac{x-1}{4}-\frac{x-5}{36}=\frac{x+5}{9} 

Buscamos el m.c.m de los denominadores
\text{m.c.m}(4,36,9)=36
Multiplicamos la ecuación por 36
\displaystyle \frac{36(x-1)}{4}-\frac{36(x-5)}{36}=\frac{36(x+5)}{9}
Simplificamos
\displaystyle 9(x-1)-(x-5)=4(x+5)
Quitamos los paréntesis
9x-9-x+5=4x+20
Agrupamos los términos con la variable x de un lado de la ecuación y los independientes del otro
9x-x-4x=20+9-5
Sumamos los términos semejantes para simplificar
 

\displaystyle 4x=24
Dividimos entre 4
\displaystyle x=\frac{24}{4}
\displaystyle x=6

10\displaystyle 6\left(\frac{x+1}{8}-\frac{2x-3}{16}\left)=3\left(\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}\left)-\frac{3}{8}(3x-2)

\displaystyle 6\left(\frac{x+1}{8}-\frac{2x-3}{16}\left)=3\left(\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}\left)-\frac{3}{8}(3x-2)
Quitamos los paréntesis
\displaystyle \frac{6(x+1)}{8}-\frac{6(2x-3)}{16}=\frac{9}{4}x-\frac{3}{4}-\frac{9}{8}x+\frac{6}{8}
\displaystyle \frac{6x+6}{8}-\frac{12x-18}{16}=\frac{9}{4}x-\frac{3}{4}-\frac{9}{8}x+\frac{6}{8}
Buscamos el m.c.m de los denominadores
\text{m.c.m}(8,16,4)=16
Multiplicamos la ecuación por 16
\displaystyle \frac{16(6x+6)}{8}-\frac{16(12x-18)}{16}=\frac{16\times 9}{4}x-\frac{16 \times 3}{4}-\frac{16\times 9}{8}x+\frac{16\times 6}{8}
2(6x+6)-(12x-18)=36x-12-18x+12
Quitamos paréntesis
12x+12-12x+18=36x-12-18x+12
agrupamos los términos semejantes y sumamos
12+18=36x-18x
\displaystyle 30 =18x
Dividimos entre 6 toda la ecuación y despejamos x
\displaystyle  3x=5
\displaystyle   x=\frac{5}{3}

11\displaystyle \frac{4}{x-3}=\frac{5}{x-2}

 

\displaystyle \frac{4}{x-3}=\frac{5}{x-2}
Multiplicamos toda la ecuación por el producto de los denominadores, es decir por (x-3)(x-2)

\displaystyle \frac{4(x-3)(x-2)}{x-3}=\frac{5(x-3)(x-2)}{x-2}
Simplificamos

4(x-2)=5(x-3)
Quitamos paréntesis
4x-8=5x-15
Agrupamos los términos semejantes y los sumamos
-8+15=5x-4x
x=7

12\displaystyle 2-\left[-2\cdot(x+1)-\frac{x-3}{2}\right]=\frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x 

\displaystyle 2-\left[-2\cdot(x+1)-\frac{x-3}{2}\right]=\frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x

Quitamos los paréntesis
\displaystyle 2-\left(-2x-2-\frac{x-3}{2}\right)=\frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x
\displaystyle 2+2x+2+\frac{x-3}{2}=\frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x
Encontramos el m.c.m de los denominadores
\text{m.c.m}(2,3,12)=12
Multiplicamos la ecuación por 12
\displaystyle 24+24x+24+\frac{12(x-3)}{2}=\frac{24x}{3}-\frac{12(5x-3)}{12}+36x
\displaystyle 24+24x+24+6(x-3)=8x-(5x-3)+36x
Quitamos los paréntesis
\displaystyle 24+24x+24+6x-18=8x-5x+3+36x
Agrupamos los términos semejantes y los sumamos
\displaystyle 24x+6x- 8x+5x-36x=3-24-24+18
\displaystyle -9x=-27
Despejamos
\displaystyle x=\frac{-27}{-9}
\displaystyle  x=3

13\displaystyle \frac{3x+1}{7}-\frac{2-4x}{3}=\frac{-5x-4}{14}+\frac{7x}{6}

\displaystyle \frac{3x+1}{7}-\frac{2-4x}{3}=\frac{-5x-4}{14}+\frac{7x}{6}

Encontramos el m.c.m. de los denominadores
\text{m.c.m}(7,3,14,6)=42
Multiplicamos por 42
\displaystyle \frac{42(3x+1)}{7}-\frac{42(2-4x)}{3}=\frac{42(-5x-4)}{14}+\frac{42(7x)}{6}
Simplifico calculando cuánto es 42 entre el respectivo denominador, para obtener el coeficiente, por ejemplo

\frac{42}{7}=6
\displaystyle 6(3x+1)-14(2-4x) = 3(-5x-4)+49x
Quito paréntesis
18x+6-28+56x=-15x-12+49x
Agrupamos los términos semejantes y los sumamos
18x+56x+15x-49x=-12-6+28
\displaystyle 40x=10
Dividimos entre 10 y despejamos
\displaystyle  4x=1
\displaystyle  x=\frac{1}{4}

14\displaystyle \frac{5}{x-7}=\frac{3}{x-2}

 

\displaystyle \frac{5}{x-7}=\frac{3}{x-2}

Multiplicamos toda la ecuación por el producto de los denominadores, es decir por (x-7)(x-2)

\displaystyle \frac{5(x-7)(x-2)}{x-7}=\frac{3(x-7)(x-2)}{x-2}
Simplifico
5(x-2)=3(x-7)
Quito paréntesis
5x-10=3x-21
Agrupamos los términos semejantes y los sumamos
5x-3x=-21+10
\displaystyle 2x=-11
Despejo
\displaystyle x=-\frac{11}{2}

15\displaystyle \frac{2}{3}\left[x-\left(1-\frac{x-2}{3}\right)\right]+1=x

 

\displaystyle \frac{2}{3}\left[x-\left(1-\frac{x-2}{3}\right)\right]+1=x

Quitamos paréntesis

\displaystyle \frac{2}{3}\left(x-1+\frac{x-2}{3}\right)+1=x
\displaystyle \frac{2}{3}x-\frac{2}{3}+\frac{2x-4}{9}+1=x
Calculamos el m.c.m de los denominadores
\text{m.c.m}(3,9)=9
Multiplicamos la ecuación por 9
\displaystyle \frac{18}{3}x-\frac{18}{3}+\frac{18x-36}{9}+9=9x
Simplificamos
6x-6+2x-4+9=9x
Agrupamos los términos semejantes y multiplicamos por -1
-x=1
x=-1

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗