Sistema de 3 ecuaciones con 2 variables

 

\left.\begin{matrix} 2x+y=1\\ -x+2y=7\\ 3x+y=0 \end{matrix}\right\}

 

 

\left.\begin{matrix} 2x+y=1\\ -x+2y=7\\ 3x+y=0 \end{matrix}\right\}

 

Operaciones elementales de filas para método de Gauss- Jordan.

 

 

x=-1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=3

 

 

Sistema de 2 ecuaciones con 3 variables

 

\left.\begin{matrix} 2x-y+3z=1\\ 3x+2y-z=5\end{matrix}\right\}

 

 

\left.\begin{matrix} 2x-y+3z=1\\ 3x+2y-z=5\end{matrix}\right\}

 

Operaciones elementales de filas para método de Gauss- Jordan. 2

 

 

Realizamos una parametrización de la solución utilizando z=\lambda. De este modo, la segunda ecuación queda:

 

\displaystyle 7x + 5\lambda = 7 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{7-5\lambda }{7}=1-\frac{5}{7} \lambda

 

Es decir, x = 1 - \frac{5}{7}\lambda.

 

Por otro lado, la primera ecuación queda 2x - y + 3\lambda = 1, que al despejar y nos da:

 

\displaystyle y = -1 + 2x + 3\lambda = -1 + 2\left ( 1 - \frac{5}{7} \lambda \right ) + 3 \lambda =  1 + \frac{11}{7}\lambda

 

Esto es, y=1+ \frac{11}{7} \lambda.

 

 

Sistema de 3 ecuaciones con 3 variables con coeficientes similares

 

\left.\begin{matrix} x+y+z=1\\ 2x+3y-4z=9\\ x-y+z=-1\end{matrix}\right\}

 

 

\left.\begin{matrix} x+y+z=1\\ 2x+3y-4z=9\\ x-y+z=-1\end{matrix}\right\}

 

Operaciones elementales de filas para método de Gauss- Jordan. 3

 

Texto: Sistema compatible determinado.

 

y=1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ z=-1\ \ \ \ \ \ \ \ \ x=1

 

 

Sistema de 3 ecuaciones con 3 variables

 

\left.\begin{matrix} 3x+2y+z=1\\ 5x+3y+4z=2\\ x+y-z=1\end{matrix}\right\}

 

 

\left.\begin{matrix} 3x+2y+z=1\\ 5x+3y+4z=2\\ x+y-z=1\end{matrix}\right\}

 

Operaciones elementales de filas para método de Gauss- Jordan. 4

 

Operaciones elementales de filas para método de Gauss- Jordan. 5

 

Sistema equivalente

 

Variables x y y en función de z

 

Texto: Sistema compatible determinado.

 

x=-4 \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=6\ \ \ \ \ \ \ \ \ z=1

 

 

Verifica si el siguiente sistema es determinado o indeterminado

 

\left.\begin{matrix} x-9y+5z=33\\ x+3y-z=-9\\ x-y+z=5\end{matrix}\right\}

 

 

\left.\begin{matrix} x-9y+5z=33\\ x+3y-z=-9\\ x-y+z=5\end{matrix}\right\}

 

Operaciones elementales de filas para método de Gauss- Jordan. 6

 

Operaciones elementales de filas para método de Gauss- Jordan. 7

 

Texto: Sistema compatible indeterminado.

 

\displaystyle z=\lambda  \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=-\frac{7}{2}+\frac{1}{2}\lambda \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\lambda

 

 

Sistema de 4 ecuaciones con 4 variables

 

\left.\begin{matrix} x-y+z+t=4\\ 2x+y-3z+t=4\\ x-2y+2z-t=3 \\ x-3y+3z-3t=2\end{matrix}\right\}

 

 

\left.\begin{matrix} x-y+z+t=4\\ 2x+y-3z+t=4\\ x-2y+2z-t=3 \\ x-3y+3z-3t=2\end{matrix}\right\}

 

Operaciones elementales de filas para método de Gauss- Jordan. 8

 

Operaciones elementales de filas para método de Gauss- Jordan. 9

 

Texto: Sistema compatible subdeterminado.

 

Tenemos que el sistema es subdeterminado ya que la última fila se canceló. Parametrizaremos la solución utilizando t = \lambda. La segunda ecuación se vuelve:

 

-2z - 7\lambda = -7 \quad \Rightarrow \quad z = \frac{7}{2} - \frac{7}{2}\lambda

 

De aquí procedemos a expresar y en términos de \lambda utilizando la tercera ecuación, la cual queda:

 

-y + z - 2\lambda = -1 \quad \Rightarrow \quad y = 1 + z - 2\lambda = 1 + \left( \frac{7}{2} - \frac{7}{2}\lambda \right) - 2\lambda

 

\Rightarrow \quad y = \frac{9}{2} - \frac{11}{2}\lambda

 

Por último, utilizamos la primera ecuación para expresar x en términos de \lambda:

 

x - y + z + \lambda = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 4 + y - z - \lambda

 

Es decir,

 

x = 4 + \left(\frac{9}{2} - \frac{11}{2}\lambda \right) - \left(\frac{7}{2} - \frac{7}{2}\lambda \right) - \lambda \quad \Rightarrow \quad x = 5 - 3 \lambda

 

Verificar la indeterminación del sistema de 4 ecuaciones

 

\left.\begin{matrix} x-2y-2z+t=4\\ x+y+z-t=5\\ x-y-z+t=6 \\ 6x-3y-3z+2t=32\end{matrix}\right\}

 

 

\left.\begin{matrix} x-2y-2z+t=4\\ x+y+z-t=5\\ x-y-z+t=6 \\ 6x-3y-3z+2t=32\end{matrix}\right\}

 

Operaciones elementales de filas para método de Gauss- Jordan. 10

 

Operaciones elementales de filas para método de Gauss- Jordan. 11

 

Operaciones elementales de filas para método de Gauss- Jordan. 12

 

Matriz escalonada pero no reducida por filas

 

Texto: Sistema compatible indeterminado.

 

\displaystyle z= \lambda  \ \ \ \ \ \ \ \ \ t=\frac{5}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=2-\lambda  \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\frac{11}{2}

 

 

Resuelve el sistema de 3 ecuaciones y 5 variables

 

\left.\begin{matrix} 2x-5y+4z+u-v=-3\\ x-2y+z-u+v=5\\ x-4y+6z+2u+v=10 \\ \end{matrix}\right\}

 

 

\left.\begin{matrix} 2x-5y+4z+u-v=-3\\ x-2y+z-u+v=5\\ x-4y+6z+2u+v=10 \\ \end{matrix}\right\}

 

Operaciones elementales de filas para método de Gauss- Jordan. 13

 

Operaciones elementales de filas para método de Gauss- Jordan. 14

 

Operaciones elementales de filas para método de Gauss- Jordan. 15

 

Matriz reducida y escalonada por filas

 

\left.\begin{matrix} x-2y+z-u+v=5\\ -y+2z+3u-3v=-13\\ z-3u+6v=31 \\ \end{matrix}\right\}

 

Texto: Sistema compatible indeterminado.

 

 u= \lambda  \ \ \ \ \ \ \ \ \ v=\mu

 

 y=13+2(75+3\lambda -6\mu)+3\lambda-3\mu=75+9\lambda-15\mu

 

 x=5+2(75+9\lambda-15\mu)-(31+3\lambda-6\mu)+\lambda-\mu=124+16\lambda-25\mu

 

 

Resuelve el sistema de 4 ecuaciones con 3 variables

 

\left.\begin{matrix} x+y-z=1\\ 3x+2y+z=1\\ 5x+3y+4z=2 \\ -2x-y+5z=6 \end{matrix}\right\}

 

 

\left.\begin{matrix} x+y-z=1\\ 3x+2y+z=1\\ 5x+3y+4z=2 \\ -2x-y+5z=6 \end{matrix}\right\}

 

Matriz que representa el sistema de ecuaciones

 

Operaciones elementales de filas para método de Gauss- Jordan. 16

 

Operaciones elementales de filas para método de Gauss- Jordan. 17

 

Operaciones elementales de filas para método de Gauss- Jordan. 18

 

Texto: Sistema incompatible.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗