La reducción o método de Gauss es una técnica de álgebra lineal utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales y encontrar la forma escalonada o reducida por filas de una matriz, simplificando los cálculos.
En esta serie de ejercicios, exploraremos diversos problemas que involucran la reducción de Gauss, brindándote la oportunidad de desarrollar tus habilidades en este importante concepto matemático. ¡Comencemos a practicar!
Sistema de 3 ecuaciones con 2 variables
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible determinado
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible determinado
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible determinado
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible determinado
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible determinado
Sistema de 2 ecuaciones con 3 variables
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible indeterminado
Realizamos una parametrización de la solución utilizando 
. De este modo, la segunda ecuación queda:
Es decir, 
.
Por otro lado, la primera ecuación queda 
, que al despejar 
nos da:
Esto es, 
.
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible indeterminado
Realizamos una parametrización de la solución utilizando 
. De este modo, la segunda ecuación queda:
Es decir, 
.
Por otro lado, la primera ecuación queda 
, que al despejar 
nos da:
Esto es, 
.
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible indeterminado
Realizamos una parametrización de la solución utilizando 
. De este modo, la segunda ecuación queda:
Es decir, 
.
Por otro lado, la primera ecuación queda 
, que al despejar nos da:
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible indeterminado
Realizamos una parametrización de la solución utilizando . De este modo, la segunda ecuación queda:
Es decir, 
.
Por otro lado, la primera ecuación queda 
, que al despejar nos da:
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible indeterminado
Realizamos una parametrización de la solución utilizando . De este modo, la segunda ecuación queda:
Es decir, .
Por otro lado, la primera ecuación queda 
, que al despejar nos da:
Sistema de 3 ecuaciones con 3 variables con coeficientes similares
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible determinado
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible determinado
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible determinado
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible determinado
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible determinado
Sistema de 3 ecuaciones con 3 variables
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible determinado
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible determinado
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible determinado
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible determinado
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible determinado
Verifica si el siguiente sistema es determinado o indeterminado
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible indeterminado
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible determinado
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible determinado
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible determinado
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible indeterminado
Sistema de 4 ecuaciones con 4 variables
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible indeterminado
Tenemos que el sistema es subdeterminado ya que la última fila se canceló. Parametrizaremos la solución utilizando 
. La segunda ecuación se vuelve:
De aquí procedemos a expresar en términos de 
utilizando la tercera ecuación, la cual queda:
Por último, utilizamos la primera ecuación para expresar 
en términos de :
Es decir,
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible determinado
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible determinado
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible determinado
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible indeterminado
Tenemos que el sistema es subdeterminado ya que la última fila se canceló. Parametrizaremos la solución utilizando . La tercera ecuación se vuelve:
De aquí procedemos a expresar en términos de utilizando la segunda ecuación, la cual queda:
Por último, utilizamos la primera ecuación para expresar en términos de :
Es decir,
Verificar la indeterminación del sistema de 4 ecuaciones
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible indeterminado
Tenemos que el sistema es subdeterminado ya que la última fila se canceló. Parametrizaremos la solución utilizando 
. La segunda ecuación se vuelve:
De aquí procedemos a expresar en términos de utilizando la tercera ecuación, la cual queda:
Por último, utilizamos la primera ecuación para expresar en términos de :
Así
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible indeterminado
Tenemos que el sistema es subdeterminado ya que la tercera fila se canceló. Parametrizaremos la solución utilizando . La segunda ecuación se vuelve:
De aquí procedemos a expresar en términos de utilizando la tercera ecuación, la cual queda:
Por último, utilizamos la primera ecuación para expresar en términos de :
Así
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es incompatible
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible indeterminado
Tenemos que el sistema es subdeterminado ya que la cuarta fila se canceló. Parametrizaremos la solución utilizando . La tercera ecuación se vuelve:
De aquí procedemos a expresar en términos de utilizando la segunda ecuación, la cual queda:
Por último, utilizamos la primera ecuación para expresar en términos de :
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible determinado
Resuelve el sistema de 3 ecuaciones y 5 variables
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible indeterminado
Parametrizaremos la solución utilizando 
. La tercera ecuación se vuelve:
De aquí procedemos a expresar en términos de 
utilizando la segunda ecuación, la cual queda:
Por último, utilizamos la primera ecuación para expresar en términos de :
Así
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible indeterminado
Parametrizaremos la solución utilizando . La tercera ecuación se vuelve:
De aquí procedemos a expresar en términos de utilizando la segunda ecuación, la cual queda:
Por último, utilizamos la primera ecuación para expresar en términos de :
Así
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible indeterminado
Parametrizaremos la solución utilizando . De la tercera ecuación se obtiene:
De aquí procedemos a expresar en términos de utilizando la segunda ecuación, la cual queda:
Por último, utilizamos la primera ecuación para expresar en términos de :
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible indeterminado
Parametrizaremos la solución utilizando . De la tercera ecuación se obtiene:
De aquí procedemos a expresar en términos de utilizando la segunda ecuación, la cual queda:
Por último, utilizamos la primera ecuación para expresar en términos de :
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible indeterminado
Parametrizaremos la solución utilizando . De la tercera ecuación se obtiene:
De aquí procedemos a expresar en términos de utilizando la segunda ecuación, la cual queda:
Por último, utilizamos la primera ecuación para expresar en términos de :
Resuelve el sistema de 4 ecuaciones con 3 variables
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es incompatible
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es compatible determinado
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es incompatible
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es incompatible
Escribimos en forma matricial
Aplicamos el método de Gauss
El sistema es incompatible
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
no entiendo esto debe d e explicarlo mucho mejor no entiendo el método de gramer esta enredado debe mejorar para que sea entendible
Hola lamentamos el que no puedas entender, tratamos de adaptarnos a la mayoría de personas posible, pero hay casos como el tuyo en que no lo logramos, pero nos ponemos en disposición para cualquier duda, si hay un ejercicio en particular que no entiendas por este medio podemos ayudarte a explicarlo mejor, en el caso de la regla de Cramer menciona un ejemplo que no entendiste y te lo explicamos.
es posible que en el ejercicio de discutir un sistema con parámetros, usando la forma de roche este mal copiada o haya un error en la matriz de los coeficientes, en la columna 2 fila 3 hay un 1 y creo que debería haber un 2?
Hola revise los ejercicios y no encontré el error que mencionas, podrías decirme que numero de ejercicio es para poder rectificarlo, nos seria de mucha ayuda.
Resultado de este ejercicios de sistemas de Gauss con matrices:x+y+z=3
2x+4y+z=4
3x-y+z=1
Me podrían ayudar a resolverlo
Si tengo tres rectas donde dos se superponen (hasta acá el sistema es compatible indeterminado), pero una tercer recta las cruza, es sistema se convierte es compatible determinado por haber un punto de intersección entre las tres rectas o continúa siendo compatible indeterminado por las infinitas soluciones de dos de las tres rectas?
Hola como la tercera recta intercepta a las otras dos que están superpuestas, lo hace en un solo punto, entonces solo hay una sola solución que corresponde a las tres rectas, pues para que hubiera una infinidad de puntos de respuesta las tres rectas tendrían que ser superpuestas.