Marta

3 noviembre 2020

Temas

 

 

Resolución por sustitución y método gráfico

 

1 Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de sustitución y el método gráfico.

 

\displaystyle \begin{cases}2x + 3y & = -1\\3x + 4y & = 0\end{cases}

 

1 Empezamos resolviendo el sistema por sustitución:

 

El método de sustitución involucra despejar una de las dos variables de alguna ecuación y sustituirla en la otra. Despejaremos x de la segunda ecuación:

 

\displaystyle 3x = -4y \quad \Longrightarrow \quad x = -\frac{4}{3}y

 

Notemos que escogimos la segunda ecuación ya que está igualada a 0; esto hace el procedimiento ligeramente más sencillo. Ahora sustituimos el valor de x en la primera ecuación

 

\displaystyle -1 = 2\left( -\frac{4}{3}y \right) + 3y = -\frac{8}{3}y + 3y = \frac{1}{3}y

 

Por lo tanto, y = -3. Luego, sustituimos el valor de y en la expresión que tenemos para x:

 

\displaystyle x = -\frac{4}{3}y = -\frac{4}{3}(-3) = 4

 

Por tanto, la solución es x = 4, y = -3.

 

2 Ahora resolvemos el sistema con el método gráfico:

 

El método gráfico involucra solo graficar las dos rectas. La intersección será la solución del sistema:

 

imagen

 

De la gráfica anterior podemos observar que la solución es x = 4 y y = -3. No obstante, recordemos que debemos ser muy precisos al momento de graficar.

 

2 Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de sustitución:

 

\displaystyle \begin{cases}\frac{x + 3y}{2} & = 5\\3x - y & = 5y\end{cases}

 

Una ventaja del método de sustitución es que no es necesario simplificar el sistema de ecuaciones para empezar a resolver. Por tanto, podemos empezar a resolver inmediatamente.

 

Primero, despejamos x de la segunda ecuación:

 

\displaystyle 3x = 5y + y = 6y \quad \Longrightarrow \quad x = 2y

 

Luego, sustituimos el valor de x en la primera ecuación:

 

\displaystyle 5 = \frac{2y + 3y}{2} = \frac{5y}{2} \quad \Longrightarrow \quad 10 = 5y

 

De aquí, se sigue que y = 2. Ahora, sustituimos el valor de y en la expresión que teníamos para x:

 

\displaystyle x = 2y = 2(2) = 4

 

Por tanto, la solución al sistema es x = 4 y y = 2.

 

Resolución por igualación

 

Recordemos que el método de igualación sólo se puede utilizar para resolver un sistema de 2 ecuaciones con 2 variables. Solamente este método y el método gráfico están limitados para sistemas de 2 \times 2.

 

3 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de igualación:

 

\displaystyle \begin{cases}\frac{x + 3y}{2} & = 5\\4 - \frac{2x - y}{2} & = 1\end{cases}

 

Para resolver el sistema por igualación debemos despejar una variable de ambas ecuaciones. Despejamos x de ambas ecuaciones:

 

\displaystyle \frac{x + 3y}{2} = 5 \quad \Longrightarrow \quad x + 3y = 10

 

de donde obtenemos x = 10 - 3y. Para la segunda ecuación tenemos

 

\displaystyle 4 - \frac{2x - y}{2} = 1 \quad \Longrightarrow \quad 2x - y = (4 - 1)\cdot 2 = 6

 

por tanto 2x = 6 + y y x = (6 + y)/2. Ahora, igualamos ambas ecuaciones

 

\displaystyle 10 - 3y = \frac{6 + y}{2}

 

De esa ecuación despejamos y:

 

\displaystyle 6 + y = 2(10 - 3y) = 20 - 6y \quad \Longrightarrow \quad 7y = 14

 

por lo que y = 2. Luego, sustituimos el valor de y en la primera ecuación

 

\displaystyle \frac{x + 3(2)}{2} = 5 \quad \Longrightarrow x + 6 = 10

 

por lo que x = 4. Por tanto, la solución es x = 4 y y = 2.

 

4 Utilizando el método de igualación, resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

 

\displaystyle \begin{cases}3x + 2y & = 7\\4x - 3y & = -2\end{cases}

 

Al igual que en el caso anterior, para resolver por igualación debemos despejar alguna variable de ambas ecuaciones. En este caso despejaremos y. En la primera ecuación obtenemos:

 

\displaystyle 3x + 2y = 7 \quad \Longrightarrow \quad y = \frac{7 - 3x}{2}

 

Mientras que para la segunda ecuación obtenemos:

 

\displaystyle 4x - 3y = -2 \quad \Longrightarrow \quad y = \frac{4x + 2}{3}

 

Igualando las ecuaciones, tenemos

 

\displaystyle \frac{7 - 3x}{2} = \frac{4x + 2}{3} \quad \Longrightarrow \quad 3(7 - 3x) = 2(4x + 2)

 

por lo que

 

\displaystyle 21 - 9x = 8x + 4 \quad \Longrightarrow \quad 17x = 17

 

de manera que x = 1. Luego, sustituyendo x en la primera ecuación, tenemos

 

\displaystyle 3(1) + 2y = 7 \quad \Longrightarrow \quad 2y = 7 - 3 = 4

 

por lo que y = 2. Así, la solución es x = 1 y y = 2.

 

Resolución por reducción

 

Recordemos que el método de reducción debemos eliminar las x de todas las ecuaciones, excepto la primera. Luego debemos eliminar las y de todas las ecuaciones, excepto la primera y la segunda ecuación.

 

Este método es igual a la eliminación gaussiana, con la única diferencia de que no utilizamos la matriz asociada al sistema.

 

5 Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de reducción:

 

\displaystyle \begin{cases}2x + 3y & = -1\\3x + 4y & = 0\end{cases}

 

Necesitamos eliminar las x de la segunda ecuación. Para ello, multiplicamos la primera ecuación por 3/2 y luego restamos el resultado a la segunda ecuación:

 

\displaystyle \frac{3}{2}(2x + 3y = -1) \quad \Longrightarrow \quad 3x + \frac{9}{2}y = -\frac{3}{2}

 

Ahora, a la segunda ecuación le resultamos la ecuación anterior:

 

\displaystyle \begin{array}{r}\begin{cases}\quad \; 3x + 4y & = 0\\-(3x + \frac{9}{2} y & = -\frac{3}{2})\end{cases}\\\hline-\frac{1}{2}y = \frac{3}{2}\end{array}

 

De aquí se sigue que y = -3. Luego, sustituimos el valor de y en la primera ecuación:

 

\displaystyle -1 = 2x + 3(-3) = 2x - 9 \quad \Longrightarrow \quad 2x = 8

 

Por lo tanto x = 4.

 

Observemos que el sistema es el mismo del primer ejercicio y llegamos a la misma solución pese a que utilizamos un método diferente.

 

6 Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de reducción:

 

\displaystyle \begin{cases}\frac{x + y}{2} & = x - 1\\\frac{x - y}{2} & = y + 1\end{cases}

 

Antes de aplicar el método de reducción, debemos escribir el sistema de forma que los términos independientes estén del lado derecho. Para ello, multiplicamos ambas ecuaciones por 2:

 

\displaystyle \begin{cases}x + y & = 2(x-1) = 2x - 2\\x - y & = 2(y + 1) = 2y + 2\end{cases}

 

Luego, pasamos las variables al lado izquierdo de las ecuaciones:

 

\displaystyle \begin{cases}-x + y & = -2\\x - 3y & = 2\end{cases}

 

Ahora, a la segunda ecuación le sumamos la primera:

 

\displaystyle \begin{array}{r}\begin{cases}\quad \; -x + y & = -2\\+(x - 3 y & = 2)\end{cases}\\\hline-2y = 0\end{array}

 

De aquí se sigue que y = 0. Luego, sustituimos el valor de y en la primera ecuación:

 

\displaystyle -x + 0 = -2 \quad \Longrightarrow \quad x = 2

 

Por tanto, la solución es x = 2 y y = 0.

 

Resolución utilizando cualquier método

 

7 Resuelve el siguiente sistema utilizando cualquier método:

 

\displaystyle \begin{cases}\frac{x}{2} + \frac{y}{3} & = 4\\\frac{x}{3} + y & = 1\end{cases}

 

El sistema lo podemos resolver por sustitución. Primero despejamos y de la segunda ecuación

 

\displaystyle y = 1 - \frac{x}{3}

 

Luego, sustituimos el valor de y en la primera ecuación:

 

\displaystyle 4 = \frac{x}{2} + \frac{1}{3}\left( 1 - \frac{x}{3} \right) = \frac{x}{2} + \frac{1}{3} - \frac{x}{9}

 

Por lo tanto, la primera ecuación se convierte (al pasar las constantes del lado derecho y las variables del lado izquierdo) en

 

\displaystyle \frac{7x}{18} = \frac{11}{3}

 

que, al despejar x, obtenemos

 

\displaystyle x = \frac{11 \cdot 18}{3 \cdot 7} = \frac{66}{7}

 

Luego, sustituyendo el valor de x en la expresión que tenemos para y, obtenemos

 

\displaystyle y = 1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{66}{7} = 1 - \frac{22}{7} = - \frac{15}{7}

 

Por tanto, la solución es x = 66/7 y y = -15/7

 

8 Halla las soluciones del siguiente sistema:

 

\displaystyle \begin{cases}\frac{x + 1}{3} + \frac{y - 1}{2} & = 0\\\frac{x + 2y}{3} - \frac{x + y + 2}{4} & = 0\end{cases}

 

Para resolver este sistema, primero debemos eliminar las fracciones (quitar los denominadores). Para ello, multiplicamos las ecuaciones por el mínimo común multiplo de los denominadores. Para la primera ecuación tenemos:

 

\displaystyle \left( \frac{x + 1}{3} + \frac{y - 1}{2} = 0 \right) \cdot 6 \quad \Longrightarrow \quad 2x + 2 + 3y - 3 = 0

 

por lo que 2x + 3y = 1. Mientras que para la segunda ecuación tenemos:

 

\displaystyle \left( \frac{x + 2y}{3} - \frac{x + y + 2}{4} = 0 \right) \cdot 12 \quad \Longrightarrow \quad 4x + 8y - 3x - 3y - 6 = 0

 

de donde obtenemos x + 5y = 6. Así, el sistema de ecuaciones se convierte en:

 

\displaystyle \begin{cases}2x + 3y & = 1\\x + 5y & = 6\end{cases}

 

Ahora resolvemos el sistema de la manera que deseemos. Aquí lo haremos por sustitución. Así, primero despejamos x de la segunda ecuación:

 

\displaystyle x = 6 - 5y

 

Luego, sustituimos el valor de x en la primera ecuación:

 

\displaystyle 1 = 2(6 - 5y) + 3y = 12 - 10y + 3y = 12 - 7y

 

de modo que 7y = 11 o y = 11/7. Luego, sustituimos el valor de y en la expresión que teníamos para x:

 

\displaystyle x = 6 - 5 \cdot \frac{11}{7} = 6 - \frac{55}{7} = -\frac{13}{7}

 

Por tanto, la solución es x = -13/7 y y = 11/7.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗