Resolución por sustitución y método gráfico

 

1 Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de sustitución y el método gráfico.

 

\displaystyle \begin{cases}2x + 3y & = -1\\3x + 4y & = 0\end{cases}

 

1 Empezamos resolviendo el sistema por sustitución:

 

El método de sustitución involucra despejar una de las dos variables de alguna ecuación y sustituirla en la otra. Despejaremos x de la segunda ecuación:

 

\displaystyle 3x = -4y \quad \Longrightarrow \quad x = -\frac{4}{3}y

 

Notemos que escogimos la segunda ecuación ya que está igualada a 0; esto hace el procedimiento ligeramente más sencillo. Ahora sustituimos el valor de x en la primera ecuación

 

\displaystyle -1 = 2\left( -\frac{4}{3}y \right) + 3y = -\frac{8}{3}y + 3y = \frac{1}{3}y

 

Por lo tanto, y = -3. Luego, sustituimos el valor de y en la expresión que tenemos para x:

 

\displaystyle x = -\frac{4}{3}y = -\frac{4}{3}(-3) = 4

 

Por tanto, la solución es x = 4, y = -3.

 

2 Ahora resolvemos el sistema con el método gráfico:

 

El método gráfico involucra solo graficar las dos rectas. La intersección será la solución del sistema:

 

imagen

 

De la gráfica anterior podemos observar que la solución es x = 4 y y = -3. No obstante, recordemos que debemos ser muy precisos al momento de graficar.

 

2 Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de sustitución:

 

\displaystyle \begin{cases}\frac{x + 3y}{2} & = 5\\3x - y & = 5y\end{cases}

 

Una ventaja del método de sustitución es que no es necesario simplificar el sistema de ecuaciones para empezar a resolver. Por tanto, podemos empezar a resolver inmediatamente.

 

Primero, despejamos x de la segunda ecuación:

 

\displaystyle 3x = 5y + y = 6y \quad \Longrightarrow \quad x = 2y

 

Luego, sustituimos el valor de x en la primera ecuación:

 

\displaystyle 5 = \frac{2y + 3y}{2} = \frac{5y}{2} \quad \Longrightarrow \quad 10 = 5y

 

De aquí, se sigue que y = 2. Ahora, sustituimos el valor de y en la expresión que teníamos para x:

 

\displaystyle x = 2y = 2(2) = 4

 

Por tanto, la solución al sistema es x = 4 y y = 2.

 

Resolución por igualación

 

Recordemos que el método de igualación sólo se puede utilizar para resolver un sistema de 2 ecuaciones con 2 variables. Solamente este método y el método gráfico están limitados para sistemas de 2 \times 2.

 

3 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de igualación:

 

\displaystyle \begin{cases}\frac{x + 3y}{2} & = 5\\4 - \frac{2x - y}{2} & = 1\end{cases}

 

Para resolver el sistema por igualación debemos despejar una variable de ambas ecuaciones. Despejamos x de ambas ecuaciones:

 

\displaystyle \frac{x + 3y}{2} = 5 \quad \Longrightarrow \quad x + 3y = 10

 

de donde obtenemos x = 10 - 3y. Para la segunda ecuación tenemos

 

\displaystyle 4 - \frac{2x - y}{2} = 1 \quad \Longrightarrow \quad 2x - y = (4 - 1)\cdot 2 = 6

 

por tanto 2x = 6 + y y x = (6 + y)/2. Ahora, igualamos ambas ecuaciones

 

\displaystyle 10 - 3y = \frac{6 + y}{2}

 

De esa ecuación despejamos y:

 

\displaystyle 6 + y = 2(10 - 3y) = 20 - 6y \quad \Longrightarrow \quad 7y = 14

 

por lo que y = 2. Luego, sustituimos el valor de y en la primera ecuación

 

\displaystyle \frac{x + 3(2)}{2} = 5 \quad \Longrightarrow x + 6 = 10

 

por lo que x = 4. Por tanto, la solución es x = 4 y y = 2.

 

4 Utilizando el método de igualación, resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

 

\displaystyle \begin{cases}3x + 2y & = 7\\4x - 3y & = -2\end{cases}

 

Al igual que en el caso anterior, para resolver por igualación debemos despejar alguna variable de ambas ecuaciones. En este caso despejaremos y. En la primera ecuación obtenemos:

 

\displaystyle 3x + 2y = 7 \quad \Longrightarrow \quad y = \frac{7 - 3x}{2}

 

Mientras que para la segunda ecuación obtenemos:

 

\displaystyle 4x - 3y = -2 \quad \Longrightarrow \quad y = \frac{4x + 2}{3}

 

Igualando las ecuaciones, tenemos

 

\displaystyle \frac{7 - 3x}{2} = \frac{4x + 2}{3} \quad \Longrightarrow \quad 3(7 - 3x) = 2(4x + 2)

 

por lo que

 

\displaystyle 21 - 9x = 8x + 4 \quad \Longrightarrow \quad 17x = 17

 

de manera que x = 1. Luego, sustituyendo x en la primera ecuación, tenemos

 

\displaystyle 3(1) + 2y = 7 \quad \Longrightarrow \quad 2y = 7 - 3 = 4

 

por lo que y = 2. Así, la solución es x = 1 y y = 2.

 

Resolución por reducción

 

Recordemos que el método de reducción debemos eliminar las x de todas las ecuaciones, excepto la primera. Luego debemos eliminar las y de todas las ecuaciones, excepto la primera y la segunda ecuación.

 

Este método es igual a la eliminación gaussiana, con la única diferencia de que no utilizamos la matriz asociada al sistema.

 

5 Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de reducción:

 

\displaystyle \begin{cases}2x + 3y & = -1\\3x + 4y & = 0\end{cases}

 

Necesitamos eliminar las x de la segunda ecuación. Para ello, multiplicamos la primera ecuación por 3/2 y luego restamos el resultado a la segunda ecuación:

 

\displaystyle \frac{3}{2}(2x + 3y = -1) \quad \Longrightarrow \quad 3x + \frac{9}{2}y = -\frac{3}{2}

 

Ahora, a la segunda ecuación le resultamos la ecuación anterior:

 

\displaystyle \begin{array}{r}\begin{cases}\quad \; 3x + 4y & = 0\\-(3x + \frac{9}{2} y & = -\frac{3}{2})\end{cases}\\\hline-\frac{1}{2}y = \frac{3}{2}\end{array}

 

De aquí se sigue que y = -3. Luego, sustituimos el valor de y en la primera ecuación:

 

\displaystyle -1 = 2x + 3(-3) = 2x - 9 \quad \Longrightarrow \quad 2x = 8

 

Por lo tanto x = 4.

 

Observemos que el sistema es el mismo del primer ejercicio y llegamos a la misma solución pese a que utilizamos un método diferente.

 

6 Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de reducción:

 

\displaystyle \begin{cases}\frac{x + y}{2} & = x - 1\\\frac{x - y}{2} & = y + 1\end{cases}

 

Antes de aplicar el método de reducción, debemos escribir el sistema de forma que los términos independientes estén del lado derecho. Para ello, multiplicamos ambas ecuaciones por 2:

 

\displaystyle \begin{cases}x + y & = 2(x-1) = 2x - 2\\x - y & = 2(y + 1) = 2y + 2\end{cases}

 

Luego, pasamos las variables al lado izquierdo de las ecuaciones:

 

\displaystyle \begin{cases}-x + y & = -2\\x - 3y & = 2\end{cases}

 

Ahora, a la segunda ecuación le sumamos la primera:

 

\displaystyle \begin{array}{r}\begin{cases}\quad \; -x + y & = -2\\+(x - 3 y & = 2)\end{cases}\\\hline-2y = 0\end{array}

 

De aquí se sigue que y = 0. Luego, sustituimos el valor de y en la primera ecuación:

 

\displaystyle -x + 0 = -2 \quad \Longrightarrow \quad x = 2

 

Por tanto, la solución es x = 2 y y = 0.

 

Resolución utilizando cualquier método

 

7 Resuelve el siguiente sistema utilizando cualquier método:

 

\displaystyle \begin{cases}\frac{x}{2} + \frac{y}{3} & = 4\\\frac{x}{3} + y & = 1\end{cases}

 

El sistema lo podemos resolver por sustitución. Primero despejamos y de la segunda ecuación

 

\displaystyle y = 1 - \frac{x}{3}

 

Luego, sustituimos el valor de y en la primera ecuación:

 

\displaystyle 4 = \frac{x}{2} + \frac{1}{3}\left( 1 - \frac{x}{3} \right) = \frac{x}{2} + \frac{1}{3} - \frac{x}{9}

 

Por lo tanto, la primera ecuación se convierte (al pasar las constantes del lado derecho y las variables del lado izquierdo) en

 

\displaystyle \frac{7x}{18} = \frac{11}{3}

 

que, al despejar x, obtenemos

 

\displaystyle x = \frac{11 \cdot 18}{3 \cdot 7} = \frac{66}{7}

 

Luego, sustituyendo el valor de x en la expresión que tenemos para y, obtenemos

 

\displaystyle y = 1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{66}{7} = 1 - \frac{22}{7} = - \frac{15}{7}

 

Por tanto, la solución es x = 66/7 y y = -15/7

 

8 Halla las soluciones del siguiente sistema:

 

\displaystyle \begin{cases}\frac{x + 1}{3} + \frac{y - 1}{2} & = 0\\\frac{x + 2y}{3} - \frac{x + y + 2}{4} & = 0\end{cases}

 

Para resolver este sistema, primero debemos eliminar las fracciones (quitar los denominadores). Para ello, multiplicamos las ecuaciones por el mínimo común multiplo de los denominadores. Para la primera ecuación tenemos:

 

\displaystyle \left( \frac{x + 1}{3} + \frac{y - 1}{2} = 0 \right) \cdot 6 \quad \Longrightarrow \quad 2x + 2 + 3y - 3 = 0

 

por lo que 2x + 3y = 1. Mientras que para la segunda ecuación tenemos:

 

\displaystyle \left( \frac{x + 2y}{3} - \frac{x + y + 2}{4} = 0 \right) \cdot 12 \quad \Longrightarrow \quad 4x + 8y - 3x - 3y - 6 = 0

 

de donde obtenemos x + 5y = 6. Así, el sistema de ecuaciones se convierte en:

 

\displaystyle \begin{cases}2x + 3y & = 1\\x + 5y & = 6\end{cases}

 

Ahora resolvemos el sistema de la manera que deseemos. Aquí lo haremos por sustitución. Así, primero despejamos x de la segunda ecuación:

 

\displaystyle x = 6 - 5y

 

Luego, sustituimos el valor de x en la primera ecuación:

 

\displaystyle 1 = 2(6 - 5y) + 3y = 12 - 10y + 3y = 12 - 7y

 

de modo que 7y = 11 o y = 11/7. Luego, sustituimos el valor de y en la expresión que teníamos para x:

 

\displaystyle x = 6 - 5 \cdot \frac{11}{7} = 6 - \frac{55}{7} = -\frac{13}{7}

 

Por tanto, la solución es x = -13/7 y y = 11/7.

 

¿Necesitas un/a profe de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,09/5 - 97 voto(s)
Cargando…

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗