Name: Ejercicios de sistemas de ecuaciones
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Marta

3 noviembre 2020

Temas

Resolución por sustitución y método gráfico
Resolución por igualación
Resolución por reducción
Resolución utilizando cualquier método

Resolución por sustitución y método gráfico

1 Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de sustitución y el método gráfico.

$\displaystyle \begin{cases}2x + 3y & = -1\\3x + 4y & = 0\end{cases}$

1 Empezamos resolviendo el sistema por sustitución:

El método de sustitución involucra despejar una de las dos variables de alguna ecuación y sustituirla en la otra. Despejaremos $x$ de la segunda ecuación:

$\displaystyle 3x = -4y \quad \Longrightarrow \quad x = -\frac{4}{3}y$

Notemos que escogimos la segunda ecuación ya que está igualada a 0; esto hace el procedimiento ligeramente más sencillo. Ahora sustituimos el valor de $x$ en la primera ecuación

$\displaystyle -1 = 2\left( -\frac{4}{3}y \right) + 3y = -\frac{8}{3}y + 3y = \frac{1}{3}y$

Por lo tanto, $y = -3$ . Luego, sustituimos el valor de $y$ en la expresión que tenemos para $x$ :

$\displaystyle x = -\frac{4}{3}y = -\frac{4}{3}(-3) = 4$

Por tanto, la solución es $x = 4, y = -3$ .

2 Ahora resolvemos el sistema con el método gráfico:

El método gráfico involucra solo graficar las dos rectas. La intersección será la solución del sistema:

imagen

De la gráfica anterior podemos observar que la solución es $x = 4$ y $y = -3$ . No obstante, recordemos que debemos ser muy precisos al momento de graficar.

2 Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de sustitución:

$\displaystyle \begin{cases}\frac{x + 3y}{2} & = 5\\3x - y & = 5y\end{cases}$

Una ventaja del método de sustitución es que no es necesario simplificar el sistema de ecuaciones para empezar a resolver. Por tanto, podemos empezar a resolver inmediatamente.

Primero, despejamos $x$ de la segunda ecuación:

$\displaystyle 3x = 5y + y = 6y \quad \Longrightarrow \quad x = 2y$

Luego, sustituimos el valor de $x$ en la primera ecuación:

$\displaystyle 5 = \frac{2y + 3y}{2} = \frac{5y}{2} \quad \Longrightarrow \quad 10 = 5y$

De aquí, se sigue que $y = 2$ . Ahora, sustituimos el valor de $y$ en la expresión que teníamos para $x$ :

$\displaystyle x = 2y = 2(2) = 4$

Por tanto, la solución al sistema es $x = 4$ y $y = 2$ .

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Resolución por igualación

Recordemos que el método de igualación sólo se puede utilizar para resolver un sistema de 2 ecuaciones con 2 variables. Solamente este método y el método gráfico están limitados para sistemas de $2 \times 2$ .

3 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de igualación:

$\displaystyle \begin{cases}\frac{x + 3y}{2} & = 5\\4 - \frac{2x - y}{2} & = 1\end{cases}$

Para resolver el sistema por igualación debemos despejar una variable de ambas ecuaciones. Despejamos $x$ de ambas ecuaciones:

$\displaystyle \frac{x + 3y}{2} = 5 \quad \Longrightarrow \quad x + 3y = 10$

de donde obtenemos $x = 10 - 3y$ . Para la segunda ecuación tenemos

$\displaystyle 4 - \frac{2x - y}{2} = 1 \quad \Longrightarrow \quad 2x - y = (4 - 1)\cdot 2 = 6$

por tanto $2x = 6 + y$ y $x = (6 + y)/2$ . Ahora, igualamos ambas ecuaciones

$\displaystyle 10 - 3y = \frac{6 + y}{2}$

De esa ecuación despejamos $y$ :

$\displaystyle 6 + y = 2(10 - 3y) = 20 - 6y \quad \Longrightarrow \quad 7y = 14$

por lo que $y = 2$ . Luego, sustituimos el valor de $y$ en la primera ecuación

$\displaystyle \frac{x + 3(2)}{2} = 5 \quad \Longrightarrow x + 6 = 10$

por lo que $x = 4$ . Por tanto, la solución es $x = 4$ y $y = 2$ .

4 Utilizando el método de igualación, resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

$\displaystyle \begin{cases}3x + 2y & = 7\\4x - 3y & = -2\end{cases}$

Al igual que en el caso anterior, para resolver por igualación debemos despejar alguna variable de ambas ecuaciones. En este caso despejaremos $y$ . En la primera ecuación obtenemos:

$\displaystyle 3x + 2y = 7 \quad \Longrightarrow \quad y = \frac{7 - 3x}{2}$

Mientras que para la segunda ecuación obtenemos:

$\displaystyle 4x - 3y = -2 \quad \Longrightarrow \quad y = \frac{4x + 2}{3}$

Igualando las ecuaciones, tenemos

$\displaystyle \frac{7 - 3x}{2} = \frac{4x + 2}{3} \quad \Longrightarrow \quad 3(7 - 3x) = 2(4x + 2)$

por lo que

$\displaystyle 21 - 9x = 8x + 4 \quad \Longrightarrow \quad 17x = 17$

de manera que $x = 1$ . Luego, sustituyendo $x$ en la primera ecuación, tenemos

$\displaystyle 3(1) + 2y = 7 \quad \Longrightarrow \quad 2y = 7 - 3 = 4$

por lo que $y = 2$ . Así, la solución es $x = 1$ y $y = 2$ .

Resolución por reducción

Recordemos que el método de reducción debemos eliminar las $x$ de todas las ecuaciones, excepto la primera. Luego debemos eliminar las $y$ de todas las ecuaciones, excepto la primera y la segunda ecuación.

Este método es igual a la eliminación gaussiana, con la única diferencia de que no utilizamos la matriz asociada al sistema.

5 Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de reducción:

$\displaystyle \begin{cases}2x + 3y & = -1\\3x + 4y & = 0\end{cases}$

Necesitamos eliminar las $x$ de la segunda ecuación. Para ello, multiplicamos la primera ecuación por $3/2$ y luego restamos el resultado a la segunda ecuación:

$\displaystyle \frac{3}{2}(2x + 3y = -1) \quad \Longrightarrow \quad 3x + \frac{9}{2}y = -\frac{3}{2}$

Ahora, a la segunda ecuación le resultamos la ecuación anterior:

$\displaystyle \begin{array}{r}\begin{cases}\quad \; 3x + 4y & = 0\\-(3x + \frac{9}{2} y & = -\frac{3}{2})\end{cases}\\\hline-\frac{1}{2}y = \frac{3}{2}\end{array}$

De aquí se sigue que $y = -3$ . Luego, sustituimos el valor de $y$ en la primera ecuación:

$\displaystyle -1 = 2x + 3(-3) = 2x - 9 \quad \Longrightarrow \quad 2x = 8$

Por lo tanto $x = 4$ .

Observemos que el sistema es el mismo del primer ejercicio y llegamos a la misma solución pese a que utilizamos un método diferente.

6 Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de reducción:

$\displaystyle \begin{cases}\frac{x + y}{2} & = x - 1\\\frac{x - y}{2} & = y + 1\end{cases}$

Antes de aplicar el método de reducción, debemos escribir el sistema de forma que los términos independientes estén del lado derecho. Para ello, multiplicamos ambas ecuaciones por 2:

$\displaystyle \begin{cases}x + y & = 2(x-1) = 2x - 2\\x - y & = 2(y + 1) = 2y + 2\end{cases}$

Luego, pasamos las variables al lado izquierdo de las ecuaciones:

$\displaystyle \begin{cases}-x + y & = -2\\x - 3y & = 2\end{cases}$

Ahora, a la segunda ecuación le sumamos la primera:

$\displaystyle \begin{array}{r}\begin{cases}\quad \; -x + y & = -2\\+(x - 3 y & = 2)\end{cases}\\\hline-2y = 0\end{array}$

De aquí se sigue que $y = 0$ . Luego, sustituimos el valor de $y$ en la primera ecuación:

$\displaystyle -x + 0 = -2 \quad \Longrightarrow \quad x = 2$

Por tanto, la solución es $x = 2$ y $y = 0$ .

Resolución utilizando cualquier método

7 Resuelve el siguiente sistema utilizando cualquier método:

$\displaystyle \begin{cases}\frac{x}{2} + \frac{y}{3} & = 4\\\frac{x}{3} + y & = 1\end{cases}$

El sistema lo podemos resolver por sustitución. Primero despejamos $y$ de la segunda ecuación

$\displaystyle y = 1 - \frac{x}{3}$

Luego, sustituimos el valor de $y$ en la primera ecuación:

$\displaystyle 4 = \frac{x}{2} + \frac{1}{3}\left( 1 - \frac{x}{3} \right) = \frac{x}{2} + \frac{1}{3} - \frac{x}{9}$

Por lo tanto, la primera ecuación se convierte (al pasar las constantes del lado derecho y las variables del lado izquierdo) en

$\displaystyle \frac{7x}{18} = \frac{11}{3}$

que, al despejar $x$ , obtenemos

$\displaystyle x = \frac{11 \cdot 18}{3 \cdot 7} = \frac{66}{7}$

Luego, sustituyendo el valor de $x$ en la expresión que tenemos para $y$ , obtenemos

$\displaystyle y = 1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{66}{7} = 1 - \frac{22}{7} = - \frac{15}{7}$

Por tanto, la solución es $x = 66/7$ y $y = -15/7$

8 Halla las soluciones del siguiente sistema:

$\displaystyle \begin{cases}\frac{x + 1}{3} + \frac{y - 1}{2} & = 0\\\frac{x + 2y}{3} - \frac{x + y + 2}{4} & = 0\end{cases}$

Para resolver este sistema, primero debemos eliminar las fracciones (quitar los denominadores). Para ello, multiplicamos las ecuaciones por el mínimo común multiplo de los denominadores. Para la primera ecuación tenemos:

$\displaystyle \left( \frac{x + 1}{3} + \frac{y - 1}{2} = 0 \right) \cdot 6 \quad \Longrightarrow \quad 2x + 2 + 3y - 3 = 0$

por lo que $2x + 3y = 1$ . Mientras que para la segunda ecuación tenemos:

$\displaystyle \left( \frac{x + 2y}{3} - \frac{x + y + 2}{4} = 0 \right) \cdot 12 \quad \Longrightarrow \quad 4x + 8y - 3x - 3y - 6 = 0$

de donde obtenemos $x + 5y = 6$ . Así, el sistema de ecuaciones se convierte en:

$\displaystyle \begin{cases}2x + 3y & = 1\\x + 5y & = 6\end{cases}$

Ahora resolvemos el sistema de la manera que deseemos. Aquí lo haremos por sustitución. Así, primero despejamos $x$ de la segunda ecuación:

$\displaystyle x = 6 - 5y$

Luego, sustituimos el valor de $x$ en la primera ecuación:

$\displaystyle 1 = 2(6 - 5y) + 3y = 12 - 10y + 3y = 12 - 7y$

de modo que $7y = 11$ o $y = 11/7$ . Luego, sustituimos el valor de $y$ en la expresión que teníamos para $x$ :

$\displaystyle x = 6 - 5 \cdot \frac{11}{7} = 6 - \frac{55}{7} = -\frac{13}{7}$

Por tanto, la solución es $x = -13/7$ y $y = 11/7$ .

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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karaka

Mayo

Busco una maestra par mí.

Superprof

Mayo

Hola, no dudes en consultar los profes que tenemos en Supeprof. ¡Un saludo!
https://www.superprof.es/clases/matematicas/espana/

Francisco

Mayo

Me encanto y resolví algunos muy bien

Superprof

Mayo

¡Excelente! ¡Te deseamos éxito en tus exámenes!

Francisco

Mayo

Tengo que repasarlo de nuevo,pero esta muy bien explicado

Superprof

Junio

¡Gracias Francisco!

Eucaris

Octubre

Por favor ayuda para resolver la siguiente ecuación por sustitución x+y=60 16x+20y=1100

Superprof

Octubre

Hola Eucaris, ¿has intentado la resolución por tu propia cuenta? ¿cuál es tu duda?

Paola Jimbicti

Febrero

Ayúdenme con los ejercicios de sistemas de ecuaciones {2x+4y=10
{x+3y=7

Juan

Enero

La y=35 y la x=25

ayuda

Febrero

me pueden ayudar con varios ejercicios xd

alba

Marzo

x: 25
y: 35
Eucaris, espero poderte haber ayudado jaja

Toa

Noviembre

Considera el sistema de ecuaciones li-
neales definido por
2x + y + 2z = 1,
(x, y, z) ER tal que 3x – y – 2z = -6,
–3x + y + 10Z = 6.
Aplica tres variantes del método de sus-
titución para hallar la solución del sistema
propuesto, y comprueba que en cada
variante se obtiene la solución (-1,3,0).
-ayudenme es para mañana!

cljosem1@gmail.com

Junio

Magnifica exposición, gracias.

Superprof

Junio

¡Gracias!

Satm

Junio

Busco una maestra con paciencia y entusiasmo.

Superprof

Julio

Hola, te aconsejamos usar nuestra plataforma para empezar tu búsqueda. Seguro encuentras tu profe ideal. 😉

Eddy Crack

Julio

ayudame a aprender sistemas de ecuaciones

Superprof

Julio

Hola Eddy, te aconsejamos usar el buscador arriba a la derecha para encontrar nuestras páginas sobre el tema. Veras que lo detallamos todo muy bien. Sin embargo, si no logras entender el contenido, nos puedes escribir y aclararemos tus dudas. 🙂 ¡Un saludo!

diana

Septiembre

bien explicado, pero una pregunta si me salen al principio con un menos como hago y despues despejar x

Superprof

Septiembre

Hola Diana, puedes multiplicar la ecuación entera por (-1) 🙂

JHANA

Septiembre

En una bolsa hay 16 monedas con un valor de S/ 135. Las monedas son de S/2 y S/5 soles. ¿Cuántas
monedas hay de cada valor?

Superprof

Septiembre

Hola Jhana, hay un error en los datos del problema. Si hay 16 monedas, y que todas las monedas tienen el mayor valor, de S/5 soles, tenemos 5 · 16 = 80 soles. Es imposible llegar a 135. ¡Un saludo!

Agustina

Septiembre

Me ayudarían a resolver estos ejercicios ? Porfavor

A) {3×=9-y
4=y+5×

B) {×+y=-3
y-5=-2×

Superprof

Octubre

Hola Augustina,

¿has intentado la resolución por tu propia cuenta? Te aconsejamos echar un vistazo al artículo explicativo y a los ejemplos resueltos en los comentarios – simplemente hace falta aplicar los mismos pasos a tus datos y el cálculo es muy fácil. Escríbenos los pasos que has conseguido y corregiremos el ejercicio para que puedas averiguar la solución. ¡Un saludo!

Rocio

Octubre

Me ayudarían a entenderle al proceso de estas ecuaciones de fracciones?

Tengo este problema
2¼(x)= 51²
Solo si pueden mandarme un link o video donde pueda comprender el proceso graciias

Jose Gabriel Rosales Castañeda

Noviembre

Hola Rocio.

Tenemos:

$\sqrt[4]{2}x=51^2$

Ahora elevamos ambos lados de la ecuación a la cuatro para deshacernos de la raíz cuarta y tenemos:

$2x^4=51^8 \Rightarrow 2x^4=45767944570401$

Ahora dividimos entre 2 y obtenemos:

$x^4=\frac{45767944570401}{2}$

Por lo que solo falta sacar raíz cuarta para obtener:

$x=\sqrt[4]{\frac{45767944570401}{2}}$

Saludos.

Diana Cabrera

Diciembre

Alguie me ayuda x+y+5/x-y+3=1/2

X+y=1

esdadd

Febrero

x: -2/3
y:5/3

anonimo

Octubre

3x-2y=7
5x+3y=37

Macarena Ibarra

Noviembre

Juan, mientras esperaba que lo atendieran en una bicicletería, observó que en el total de bicicletas triciclos había 50 manubrios y 127 ruedas, cuántos triciclos hay?

Martha Cantares

Noviembre

Sistema de ecuaciones

paola

Noviembre

Hola me podrían ayudar con estos ejercicios porfavor
1) X+y. =4
2. 3 este por igualación
X +Y=1
3

2) x+3y=5
4- 2x-y=1 por sustitución

3) x+3y=5
2. Por igualación
3x-y=5y

Me podrían ayudar

karen pavon

Marzo

me pueden ayudar estos ejercicios (5×+y=8

paola

Noviembre

Hola me podrían ayudar con estos ejercicios porfavor
1) X+y. =4
2. 3
X +Y=1
3
Este por igualación
2) x+3y=5
4- 2x-y=1 por sustitución

3) x+3y=5
2. Por igualación
3x-y=5y

Me podrían ayudar

jimena

Diciembre

si no estoy mal creo que usted esta mal en el signo de la 3?

Superprof

Diciembre

Hola Jimena, gracias por el comentario. Hemos comprobado la solución del ejercicio 3 y te podemos confirmar que no hay ningún error. ¡Un saludo!

Sofia

Diciembre

Hola quisiera una ayuda con mis ejercicios de ALGEBRA , tema: sistema de ecuaciones

ELIZABETH BONILLA

Enero

Buenas será que me pueden ayudar a resolver una ecuación. ps yo la organicé a sí con los datos que me dieron. Es un ejercicio de divisas en el cuadro solo están los resultado de los cruces de diversas monedas con el franco suizo. Por lo tanto seguí la secuencia o bueno como se debe realizar para que dé el resultado que ya tengo. Este se realiza mediante una multiplicación entre el valor de una moneda con otra pero puesto que solo esta el resultado tengo las incógnitas del valor de cada moneda. en el cruce solo se hace de dos monedas. Por ello planteé la siguiente ecuación. X*Y=0.9330 intenté resolverlo y me da lo siguiente: X=0.9330/Y=0.933 0.933*Y=0.9330 Y=0.9330-0.933=0 obviamente no me puede dar 0 como valor de Y. Entonces creo que estoy haciendo algo mal pero no sé que es. Agradecería su colaboración.

Superprof

Enero

Hola Elizabeth, escríbenos los datos exactos del problema. Sin tener los datos por completo, nos es difícil poder contestar de manera clara. ¡Un saludo!

Ernesto Fabian

Enero

Que numero tiene que ser la » K » para que se cumpla el sistema de ecuaciones, algo me dijeron de llevar la matriz a » 0 » pero no se como.

2X + 6Y = 58
8X – KY = 8

daniela

Febrero

Hola, que buena explicación neta gracias

sol moreno

Febrero

Me encanto la pagina, se explica muy bien y me pude ejercitar para el examen!

brithay mejia

Febrero

(2x-3y=12
4xy=4)

María Limón

Febrero

Muchas gracias, esta todo muy bien explicado

luis

Febrero

hola

Brynn

Febrero

Solo he tenido uno bien…

Fran

Marzo

En el último ejercicio el primer paso no debería ser 2x – 2 +3y – 3?

Superprof

Marzo

Hola Fran, ¿porque piensas que debería ser 2x – 2? La fracción inicial es (x + 1)/3. Si multiplicamos e numerador por 6, obtenemos (6x + 6)/3 = 2x + 2. Esperamos haber podido despejar tus dudas. ¡Un saludo!

Luisa Fernanda

Marzo

Alguien que me ayude con unas ecuaciones por el método de tanteo porfavor!!!

Eduardo Zamorano

Marzo

Gracias

Superprof

Marzo

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Resolución por sustitución y método gráfico

Resolución por igualación

Resolución por reducción

Resolución utilizando cualquier método

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