Ejercicios propuestos

 

1 Analizar el sistema de ecuaciones y concluir si existe algún valor de  m para el cual el sistema sea compatible. De encontrar dicho valor, sustituirlo en el sistema y resolverlo.

 

 \left\{ \begin{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+my+z =1 \\ mx+y+(m-1)z=m\\ \ \ \ \ \ \ \ x+y+z=m+1 \end{matrix}\right.

 

 

 \left\{ \begin{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+my+z =1 \\ mx+y+(m-1)z=m\\ \ \ \ \ \ \ \ x+y+z=m+1 \end{matrix}\right.

1 Identificación de los coeficientes de cada término y elaboración de la matriz aumentada

 

Recordar que todos los coeficientes escritos en cada columna deben de corresponder a la misma incógnita. Los números escritos en la última columna deben ser los términos independientes separados por una recta.

 

 \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & m &1 &1\\ m & 1 & m-1 &m\\ 1 & 1 & 1 & m+1 \end{array} \right )

 

2 Simplificar la matriz hasta obtener una matriz escalonada sumando y restando las filas o intercambiando de posición las columnas

 

Denotando a las filas y columnas con las etiquetas  \textup{F}_1, \textup{F}_2, \textup{F}_3 y \textup{C}_1, \textup{C}_2, \textup{C}_3, respectivamente, se proceden a sumar y restar las filas hasta obtener una matriz escalonada y hallar el valor de m.

 

 \begin{array}{c} \xrightarrow[\textup{F}_3-\textup{F}_1]{\textup{F}_2-m\textup{F}_1} \end{array} \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & m &1 &1\\ 0 & 1-m^2 & -1 &0\\ 0 & 1-m & 0 & m \end{array} \right ) \begin{array}{c} \xrightarrow[\textup{C}_3\to \textup{C}_2]{\textup{C}_2 \to \textup{C}_3} \end{array} \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1& m &1\\ 0 & -1& 1-m^2 &0\\ 0 & 0 &1-m & m \end{array} \right )

 

Escribiendo la última fila como la ecuación que representa,  (1-m)y=m \Rightarrow y=\dfrac{m}{1-m} . Así, se concluye que para  m=1 el sistema es incompatible porque vuelve cero al denominador de la fracción y, por tanto, el sistema es compatible determinado para  m\neq 1 .

 

 \left\{ \begin{matrix} \ \ \ \ \ \ x+z+my=1 \\ -z+(1-m^2 )y=0\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1-m)y=1 \end{matrix}\right.

 

El sistema queda definido por el valor que  m tome:

 y=\dfrac{m}{1-m},\quad z=m(1-m^2), \quad x=\dfrac{m^3-m^2-2m+1}{1-m}.

2Analizar el sistema de ecuaciones y concluir si existe algún valor de  m para el cual el sistema sea compatible. De encontrar dicho valor, sustituirlo en el sistema y resolverlo.

 

 \left\{ \begin{matrix} \ \ \ \ x-y+z=7\\ 2x+my-4z=m\\ \ \ \ \ x+y-z=1\\ \ -x+y-z=3 \end{matrix}\right.

 

 

 \left\{ \begin{matrix} \ \ \ \ x-y+z=7\\ 2x+my-4z=m\\ \ \ \ \ x+y-z=1\\ \ -x+y-z=3 \end{matrix}\right.

1 Identificación de los coeficientes de cada término y elaboración de la matriz aumentada

 

Puesto que el sistema de ecuaciones es de tres incógnitas, es un sistema incompatible. Una manera de verificarlo es sumando la primera ecuación con la segunda:

 \begin{matrix} \ \ x-y+z=7 \\ -x+y-z=3 \\ \hline \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0=10 \end{matrix}

 

Por tanto, siempre se obtendrá un sistema incompatible, sin importar el valor de  m .

3Analizar el sistema de ecuaciones según el valor de  a.

 \left\{ \begin{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+y+2t=3\\ \ \ \ \ \ 3x-y+z-t=1\\ 5x-3y+2z-4t=a\\ \ \ \ \ 2x+y+z+t=2 \end{matrix}\right.

 

 \left\{ \begin{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+y+2t=3\\ \ \ \ \ \ 3x-y+z-t=1\\ 5x-3y+2z-4t=a\\ \ \ \ \ 2x+y+z+t=2 \end{matrix}\right.

1 Identificación de los coeficientes de cada término y elaboración de la matriz aumentada

 

 \left ( \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 0& 2 &3\\ 3 & -1 & 1& -1 &1\\ 5 & -3 & 2 & -4 &a\\ 2 & 1 & 1 & 1& 2 \end{array} \right )

 

2 Simplificar la matriz hasta obtener una matriz escalonada sumando y restando las filas o intercambiando de posición las columnas

 

 \begin{array}{c} \xrightarrow[\textup{F}_3-5\textup{F}_1]{\textup{F}_2-3\textup{F}_1}\\ \xrightarrow[\textup{F}_4-2\textup{F}_1]{} \end{array} \left ( \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 0& 2 &3\\ 0 & -4 & 1& -7 &-8\\ 0 & -8 & 2 & -14 &a-15\\ 0 & -1 & 1 & -3& -4 \end{array} \right ) \begin{array}{c} \xrightarrow[\textup{F}_4- \textup{F}_2]{\textup{F}_3 -2\textup{F}_2} \end{array} \left ( \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 0& 2 &3\\ 0 & -4 & 1& -7 &-8\\ 0 & 0 & 0 & 0 &a+1\\ 0 & 3 & 0 & 4& 4 \end{array} \right )

 

Escribiendo la tercera fila como la ecuación que representa,  0=a+1, se concluye que para  a=-1 el sistema es compatible indeterminado. Los valores de las incógnitas dependen del valor que se asigne a  z:

 

 \left\{ \begin{matrix} \ x+y+2t=3\\ -4y-7t=-8-z\\ \ \ \ \ \ 3y+4t=4 \end{matrix}\right.

 

En cambio, si  a\neq -1 el sistema es incompatible.

4Analizar la compatibilidad del sistema según los valores de los parámetros a y b.

 \left\{ \begin{matrix} \ \ \ x+y+z=a\\ \ \ \ \ \ \ \ \ x-y=0\\ 3x+y+bz=0 \end{matrix}\right.

 

 \left\{ \begin{matrix} \ \ \ x+y+z=a\\ \ \ \ \ \ \ \ \ x-y=0\\ 3x+y+bz=0 \end{matrix}\right.  

1 Identificación de los coeficientes de cada término y elaboración de la matriz aumentada

 

 \left ( \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 0& 2 &3\\ 3 & -1 & 1& -1 &1\\ 5 & -3 & 2 & -4 &a\\ 2 & 1 & 1 & 1& 2 \end{array} \right )

 

2 Simplificar la matriz hasta obtener una matriz escalonada sumando y restando las filas o intercambiando de posición las columnas

 

 \begin{array}{c} \xrightarrow[\textup{F}_3+\textup{F}_2]{\textup{F}_1+\textup{F}_2} \end{array} \left ( \begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 1 &a\\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 4& 0 & b & 0 \end{array} \right ) \begin{array}{c} \xrightarrow[]{\textup{F}_3- 2\textup{F}_1} \end{array} \left ( \begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 1 &a\\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0& 0 & b-2 & -2a \end{array} \right )

 

Si  b\neq 2, el sistema es compatible determinado sin importar el valor de  a pues el coeficiente de  z en la tercera ecuación sería distinto de cero. Entonces, las soluciones quedarían en término de  a y  b:

 

 z=-\dfrac{2a}{b-2},\quad x=\dfrac{ab}{2(b-2)}, \quad y=\dfrac{ab}{2(b-2)} .

 

Si  b= 2 y  a\neq 0, el sistema sería incompatible debido a que se tendría la igualdad  0=-2a.

 

En cambio, si se tuviera que  b= 2 y  a=0, el sistema sería compatible indeterminado, teniéndose que:

 

 \left\{ \begin{matrix} 2x+z=0\\ \ x-y=0 \end{matrix}\right. \quad \Longrightarrow \quad x=-\lambda,\quad y=-\lambda,\quad z=2\lambda.

5 Determinar para qué valores de  k el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones.

 \left\{ \begin{matrix} x+y+z=0\\ x-y+z=0\\ \ \ \ \ kx+z=0 \end{matrix}\right.

 

 \left\{ \begin{matrix} x+y+z=0\\ x-y+z=0\\ \ \ \ \ kx+z=0 \end{matrix}\right.  

1 Identificación de los coeficientes de cada término y elaboración de la matriz aumentada

 

 \left ( \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 0& 2 &3\\ 3 & -1 & 1& -1 &1\\ 5 & -3 & 2 & -4 &a\\ 2 & 1 & 1 & 1& 2 \end{array} \right )

 

2 Simplificar la matriz hasta obtener una matriz escalonada sumando y restando las filas o intercambiando de posición las columnas

 

 \begin{array}{c} \xrightarrow[\frac{1}{2}\textup{F}_1]{\textup{F}_1-\textup{F}_2}\\ \end{array} \left ( \begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 0 &0\\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ k& 0 & 1 & 0 \end{array} \right ) \begin{array}{c} \xrightarrow[\textup{F}_3-\textup{F}_2]{\textup{F}_1+\textup{F}_2} \end{array} \left ( \begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 0 &0\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ k-1& 0 & 0 & 0 \end{array} \right )

 

Para que el sistema sea compatible indeterminado, la matriz debe tener una fila de ceros, por tanto, para  k= 1 el sistema tiene un número infinito de soluciones:

 

 \left\{ \begin{matrix} \ \ \ \ \ y=0\\ x+z=0 \end{matrix}\right. \quad \Longrightarrow \quad z=\lambda,\quad x=-\lambda,\quad y=0.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗