Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de sustitución. En caso de que alguna solución sea una fracción escríbela de la forma \; a/b.

 

1

 

\begin{cases} 5x - y &= 6\\ x + 3y &= 10 \end{cases}

x = ;y =

Despejamos x de la segunda ecuación

 

x = 10 - 3y

 

Sustituímos el valor de x en la primera ecuación:

 

    \begin{align*} 5(10 - 3y) - y &= 6\\ 50 - 15 y - y &= 6\\ 50 - 16y &= 6\\ -16y &= -44\\ y &= \frac{11}{4} \end{align*}

 

Sustituímos el valor de y en la segunda ecuación para calcular x:

 

    \begin{align*} x &= 10 - 3y\\ x &= 10 - 3\left( \frac{11}{4} \right)\\ x &= 10 - \frac{33}{4}\\ x &= \frac{7}{4} \end{align*}

2

 

\begin{cases} 3(x-2) + 4y &= -6\\ 4y + 8 &= 20 \end{cases}

 

x = ;y =

Quitamos paréntesis:

 

\begin{cases} 3x + 4y &= 0\\ 4y + 8 &= 20 \end{cases}

 

Despejampos \; y \; de la segunda ecuación:

 

 

    \begin{align*} 4y &= 20 - 8\\ 4y &= 12\\ y &= 3 \end{align*}

 

Sustituímos el valor de y en la primera ecuación y despejamos x:

 

    \begin{align*} 3x + 4(3) &= 0\\ 3x + 12 &= 0\\ 3x &= -12\\ x &= -4 \end{align*}

 

3

 

\begin{cases} 4x - 3y &= 5\\ x + y &= 2 \end{cases}

x = ;y =

Despejamos x de la segunda ecuación

 

x = 2 - y

 

Sustituímos el valor de x en la primera ecuación:

 

    \begin{align*} 4(2 - y) - 3y &= 5\\ 8 - 4 y - 3y &= 5\\ 8 - 7y &= 5\\ -7y &= -3\\ y &= \frac{3}{7} \end{align*}

 

Sustituímos el valor de y en la segunda ecuación para calcular x:

 

    \begin{align*} x &= 2 - y\\ x &= 2 - \left( \frac{3}{7} \right)\\ x &= \frac{11}{7} \end{align*}

4

 

\begin{cases} 5(x-3) + 2(y-2) &= 3\\ 3x + y &= 0 \end{cases}

x = ;y =

Despejamos y de la segunda ecuación

 

y =-3x

 

Sustituímos el valor de y en la primera ecuación:

 

    \begin{align*} 5(x - 3) + 2(-3x-2) &= 3\\ 5x - 15 - 6x - 4 &= 3\\ -19 - x &= 3\\ x &= -22 \end{align*}

 

Sustituímos el valor de x en la segunda ecuación para calcular y:

 

    \begin{align*} y &= -3x\\ y &= - 3\left(- 22 \right)\\ y &= 66 \end{align*}

5

 

\begin{cases} 7x + 2y &= 7\\ 3x + 3y &= 3 \end{cases}

x = ;y =

Despejamos x de la segunda ecuación

 

x =1-y

 

Sustituímos el valor de x en la primera ecuación:

 

    \begin{align*} 7(1 - y) + 2y &= 7\\ 7 - 7y - 2y &= 7\\ 7 - 9y &= 7\\ -9y &= 0\\ y &= 0 \end{align*}

 

Sustituímos el valor de y en la segunda ecuación para calcular x:

 

    \begin{align*} x &= 1-y\\ x &= 1-\left( 0 \right)\\ x &= 1. \end{align*}

6

 

\begin{cases} x+y+z &= 1\\ 2x+3y-4z &= 9\\ x-y+z &= -1 \end{cases}

x = ;y = ;z =

Despejamos x de la tercera ecuación

 

x =-1+y-z

 

Sustituímos el valor de x en la segunda ecuación:

 

    \begin{align*} 2(-1 + y -z) + 3y -4z&= 9\\ -2 + 2y - 2z + 3y -4z &= 9\\ 5y - 6z &= 11\\ 5y &= 11+6z \end{align*}

 

Multiplicamos la primera ecuación por 5, sustituimos el valor 5y y despejamos el valor 5x:

 

    \begin{align*} 5x+5y+5z &= 5\\ 5x &= 5-5y-5z\\ 5x &= 5-5(11+6z)-5z\\ 5x &= 5-5(11+6z)-5z\\ 5x &= 6+z \end{align*}

 

Remplazamos el valor de 5y y 5x en la primera ecuación multiplicada por 5 y obtenemos el valor de z:

 

    \begin{align*} 5x+5y+5z &= 5\\ 6+z +11+6z+5z &= 5\\ 12z+17 &= 5\\ 12z &=-12\\ z &= -1 \end{align*}

Sustituimos el valor de z en 5y y 5x para obtener los valores de y y x:

 

    \begin{align*} 5y &= 11+6z\\ 5y &= 11+6(-1)\\ y &= 1 \end{align*}

    \begin{align*} 5x &= 6+z\\ 5x &= 6-1\\ x &= -1 \end{align*}

Resuelve los siguientes problemas:

 

7Tenemos \;5.50€ en \; 15\;\; monedas de \; 50\; y \; 10\; céntimos. ¿Cuántas monedas de cada clase tenemos?

Monedas de \; 50\; céntimos Monedas de \; 10\; céntimos 

En primer lugar pasamos los euros a céntimos:

 

5.50€ = 550\; céntimos.

 

Elegimos las incógnitas:

 

    • x: número de monedas de 50\; céntimos.

 

  • y: número de monedas de 10\; céntimos.

 

Obtenemos las ecuaciones relacionando los datos.

 

    • Tenemos \; 15\; monedas, entonces \; x + y = 15

 

  • El valor total es \; 550\; céntimos, entonces \; 50x + 10y = 550

 

\begin{cases} x + y &= 15\\ 50x + 10y &= 550 \end{cases}

 

Antes de resolver el sistema obtenemos otro equivalente a él con el que será más fácil operar:

 

\begin{cases} x + y &= 15\\ 5x + y &= 55 \end{cases}

 

Resolvemos el sistema:

 

Despejemos \; x \; de la primer ecuación:

 

    \begin{align*} x + y &=15\\ x &= 15 - y \end{align*}

 

Sustituyamos en la segunda ecuación y resolvamos para \; y

 

    \begin{align*} 5(15 - y) + y &=55\\ 75 - 5y + y &= 55\\ 75 - 4y &= 55\\ -4y &= - 20\\ y &= 5 \end{align*}

 

Calculamos el valor de \; x \; a partir del valor de \; y \; al sustituir \; y \; en la primer ecuación:

 

    \begin{align*} x + 5 &=15\\ x &= 10 \end{align*}

 

Tenemos \; 10 \; monedas de 50 céntimos y \; 5 \; monedas de 10 céntimos.

 

Si no te has acordado de pasar a un sistema equivalente más sencillo recuerda que tus soluciones serán las mismas, sólo que los cálculos pueden ser un poco más complicados. Lo hacemos por una vez:

 

Resolvemos el sistema

 

Despejemos \; x \; de la primer ecuación:

 

    \begin{align*} x + y &=15\\ x &= 15 - y \end{align*}

 

Sustituyamos en la segunda ecuación y resolvamos para \; y

 

    \begin{align*} 50(15 - y) + 10y &=550\\ 750 - 50y + 10y &= 550\\ 750 - 40y &= 550\\ -40y &= - 200\\ y &= 5 \end{align*}

 

Calculamos el valor de \; x \; a partir del valor de \; y \; al sustituir \; y \; en la primer ecuación:

 

    \begin{align*} x + 5 &=15\\ x &= 10 \end{align*}

 

Tenemos \; 10 \; monedas de 50 céntimos y \; 5 \; monedas de 10 céntimos.

8Jaime va a hacer una fiesta en su casa. Va al supermercado y compra \; 3 \; paquetes de patatas fritas y \; 2 \; botellas de refresco de limón por \; 8€. Más tarde vuelve a comprar \; 2 \; paquetes de patatas y \; 1 \; botella por \; 5€. ¿Cuál es el precio de ambos productos?

Patatas fritas  €Botella de refresco  €

Definimos las incógnitas:

    • x: precio cada bolsa de patatas fritas.

 

  • y: precio de cada botella de refresco de limón.

 

Obtenemos las ecuaciones relacionando los datos.

 

    • En la primera compra obtenemos \; 3 \; bolsas de patatas y \; 2 \; botellas por \;8€, por lo tanto tenemos \; 3x + 2y = 8.

 

  • En la segunda obtenemos \; 2 \; de patatas y \; 1 \; botella por \; 5€, por lo tanto obtenemos \; 2x + y = 5

 

\begin{cases} 3x + 2y &= 8\\ 2x + y &= 5 \end{cases}

 

Resolvemos el sistema

 

Despejemos \; y \; de la segunda ecuación:

 

y = 5 - 2x

 

Sustituyamos en la primera ecuación y resolvamos para \; x

 

    \begin{align*} 3x + 2(5 - 2x) &= 8\\ 3x + 10 - 4x &= 8\\ -x &= -2\\ x &= 2\\ \end{align*}

 

Calculamos el valor de \; y \; a partir del valor de \; x \; al sustituir \; x \; en la segunda ecuación:

 

    \begin{align*} 2(2) + y &= 5\\ 4 + y &= 5\\ y &= 1 \end{align*}

 

El precio de cada bolsa de patatas es de \;2€ y el de cada botella de refresco es de \; 1€.

9Dos números suman 83 y el doble de uno de ellos es 64. ¿Qué números son de menor a mayor?

Primer número  Segundo número 

Definimos las incógnitas:

    • x: primer número.

 

  • y: segundo número.

 

Obtenemos las ecuaciones relacionando los datos.

 

    • La suma de los dos números es \; 83 \;, por lo tanto tenemos \; x + y = 83.

 

  • El doble de uno de ellos es \; 64 \;, por lo tanto obtenemos \; 2x = 64

 

\begin{cases} x + y &= 83\\ 2x &= 64 \end{cases}

 

Resolvemos el sistema

 

Despejemos \; x \; de la segunda ecuación:

 

x =\cfrac{64}{2}=32

 

Sustituyamos en la primera ecuación y resolvamos para \; y

 

    \begin{align*} 32 + y &= 83\\ y &= 83-32\\ y &= 51\\ \end{align*}

 

Por lo tanto los números son \; 32 \; y \; 51 \;.

10Hallar la medida de los lados de un rectángulo cuyo perímetro es 48 y cuyo lado mayor mide el triple que su lado menor.

Lado mayor  Lado menor 

Definimos las incógnitas:

    • x: lado mayor.

 

  • y: lado menor.

 

Obtenemos las ecuaciones relacionando los datos.

 

    • El perímetro mide \; 48 \;, por lo tanto tenemos \; 2x + 2y = 48.

 

  • El lado mayor mide tres veces el menor, por lo tanto obtenemos \; x=3y

 

\begin{cases} 2x + 2y &= 48\\ x &= 3y \end{cases}

 

Resolvemos el sistema

 

Remplazamos la segunda ecuación en la primera:

 

    \begin{align*} 2(3y) + 2y &= 48\\ 6y + 2y &= 48\\ 8y &= 48\\ y &= 6\\ \end{align*}

 

Calculamos el valor de \; x \; a partir del valor de \; y \; al sustituir \; y \; en la segunda ecuación:

 

    \begin{align*} x &= 3y\\ x&= 3(6)\\ x&= 18 \end{align*}

 

El lado mayor es \;18 y el lado menor es \; 6.

11En un examen, las preguntas correctas suman un punto y las incorrectas restan medio punto. En total hay \; 100 \; preguntas y hay que contestar todas las preguntas. Un alumno obtuvo \; 7 \; sobre \; 10 \;. Calcular el número de preguntas que contestó de manera correcta e incorrectamente.

Respuestas correctas  Respuestas incorrectas 

Definimos las incógnitas:

    • x: respuestas correctas.

 

  • y: respuestas incorrectas.

 

Obtenemos las ecuaciones relacionando los datos.

 

    • La suma total de respuestas correctas e incorrectas es \; 100 \;, por lo tanto tenemos \;x + y = 100.

 

  • La nota final es sobre \; 10 \; pero tenemos \; 100 \; preguntas así que debemos ajustar el valor obtenido en la prueba multiplicando por \; 10. Dado que las respuestas correctas aportan \; 1 punto y las incorrectas \; \frac{1}{2} punto, obtenemos \; x + \cfrac{1}{2}y = 70

 

\begin{cases} x + y &= 100\\ x + \cfrac{1}{2}y &= 70 \end{cases}

 

Resolvemos el sistema

 

Despejemos \; y \; de la segunda ecuación:

 

y = 140 - 2x

 

Sustituyamos en la primera ecuación y resolvamos para \; x

 

    \begin{align*} x + 140 - 2x &= 100\\ -x &= -40\\ x &= 40 \end{align*}

 

Calculamos el valor de \; y \; a partir del valor de \; x \; al sustituir \; x \; en la segunda ecuación:

 

    \begin{align*} 40 + \cfrac{1}{2}y &= 70\\ \cfrac{1}{2}y &= 30\\ y &= 60 \end{align*}

 

El número de respuestas correctas fue \;40 y el número de respuestas incorrectas fue \; 60.

Si tienes dudas puedes consultar la teoría




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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗