Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común.

 

\left \{ \begin{array}{lcr} a_1 x + b_1 y & = & c_1 \\ a_2 x + b_2 y  & = & c_{2}  \end{array} \right.

 

La solución de un sistema es un par de números x_1, y_1, tales que reemplazando x por x_1 e y por y_1, se satisfacen a la vez ambas ecuaciones.

 

Sistemas equivalentes

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución.

 

Criterios de equivalencia

 

1 Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

 

2 Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

 

3 Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

 

4 Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.

 

5 Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

 

Resolución de sistemas de ecuaciones

Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones, en este artículo mostraremos tres de los más utilizados.

 

Método de sustitución

 

1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

 

2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.

 

3 Se resuelve la ecuación.

 

4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

 

5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

 

Método de igualación

 

1 Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

 

2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

 

3 Se resuelve la ecuación.

 

4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

 

5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

 

Método de reducción

 

1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

 

2 La restamos o sumamos de forma que desaparece una de las incógnitas.

 

3 Se resuelve la ecuación resultante.

 

4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

 

5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

 

Tipos de sistemas

 

Sistema compatible determinado

 

Tiene una sola solución.

 

Gráficamente la solución es el punto de corte de las dos rectas.

 

Ejemplo: Hallar las soluciones del sistema

\left \{\begin{array}{l}3x + 5y = 1 \\ 2x - y = 5 \end{array} \right.

 

Aplicamos el método de reducción, para lo cual multiplicamos por cinco ambos lados de la segunda ecuación y se obtiene el sistema equivalente

 

\left \{\begin{array}{l}3x + 5y = 1 \\ 10x - 5y = 25 \end{array} \right.

 

Sumamos ambas ecuaciones y resolvemos la ecuación resultante

 

\begin{tabular}{rcl}3x + 5y & = & 1 \\ 10x - 5y & = & 25 \\ \hline 13x & = & 26 \\ x & = & 2 \end{tabular}

 

Sustituimos el valor anterior en la segunda ecuación

 

\begin{array}{rcl}2x - y & = & 5 \\\\ 2(2) - y & = & 5 \\\\ y & = & -1 \end{array}

 

La solución es (2, -1) por lo que el sistema es compatible determinado

 

sistema compatible determinado

 

Sistema compatible indeterminado

 

El sistema tiene infinitas soluciones.

 

Gráficamente obtenemos dos rectas coincidentes. Cualquier punto de la recta es solución.

 

Ejemplo: Hallar las soluciones del sistema

\left \{\begin{array}{l}6x - 3y = 15 \\ 2x - y = 5 \end{array} \right.

 

Aplicamos el método de reducción, para lo cual multiplicamos por tres ambos lados de la segunda ecuación y se obtiene el sistema equivalente

 

\left \{\begin{array}{l}6x - 3y = 15 \\ 6x - 3y = 15 \end{array} \right.

 

Las rectas son iguales, por lo que se tienen infinitas soluciones. Así, se trata de un sistema compatible indeterminado

 

sistema compatible indeterminado

 

Sistema incompatible

 

No tiene solución

 

Gráficamente obtenemos dos rectas paralelas.

 

Ejemplo: Hallar las soluciones del sistema

\left \{\begin{array}{l}6x - 3y = 15 \\ 2x - y = 1 \end{array} \right.

 

Aplicamos el método de reducción, para lo cual multiplicamos por tres ambos lados de la segunda ecuación y se obtiene el sistema equivalente

 

\left \{\begin{array}{l}6x - 3y = 15 \\ 6x - 3y = 3 \end{array} \right.

 

Las rectas no son iguales, pero tienen la misma pendiente m = 2 por lo que son paralelas y no existe solución. Así, se trata de un sistema incompatible

 

sistema incompatible

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Marta

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