¿Qué es la regla de Cramer?
En álgebra lineal, la regla de Cramer es una fórmula explícita para la solución de un sistema de ecuaciones lineales con tantas ecuaciones como incógnitas.
La regla de Cramer es válida siempre que el sistema tenga una solución única.
Debe Su nombre a Gabriel Cramer (1704-1752), quien publicó la regla para un número arbitrario de incógnitas en 1750.
La regla de Cramer se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales que cumplan las siguientes condiciones:
1 El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
2 El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.
Tales sistemas son sistemas compatibles determinados y se denominan sistemas de Cramer.
Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes,
Recordemos que el cálculo de este determinante está dado por
En los caso de 
y 
, puede obtenerse mediante cálculos sencillos
y
Fórmula para resolver sistemas de Cramer
Todo sistema de Cramer tiene una sola solución (es decir, es un sistema compatible determinado) que viene dada por las siguientes expresiones:
donde 
son los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna, en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.
Ejemplos de ejercicios resueltos por regla de Cramer
1
Notemos que el número de ecuaciones de este sistema es igual al número de incógnitas y además
Dado que 
, tenemos que el sistema es un sistema de Cramer y tiene como soluciones a
2
Este sistema tiene igual numero de ecuaciones que de incógnitas pero el determinante de su matriz de coeficientes es cero, pues
Entonces tenemos un sistema compatible indeterminado.
Como el sistema no es un sistema de Cramer, debemos transformarlo,
Dado que la ecuación 
es una combinación lineal de las ecuaciones 
y 
, podemos entonces trabajar con el sistema:
Estamos ante un sistema con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y con determinante de la matriz de coeficientes distinto de cero,
Es decir, estamos ante un sistema de Cramer.
Las soluciones de este sistema de Cramer, que vendrán dadas en función de λ, serán las mismas que las del sistema original.
Entonces calculamos primero los determinantes.
Y finalmente sustituimos en las fórmulas ya conocidas,
Resumir con IA:
¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!
Cargando...
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
no entiendo esto debe d e explicarlo mucho mejor no entiendo el método de gramer esta enredado debe mejorar para que sea entendible
Hola lamentamos el que no puedas entender, tratamos de adaptarnos a la mayoría de personas posible, pero hay casos como el tuyo en que no lo logramos, pero nos ponemos en disposición para cualquier duda, si hay un ejercicio en particular que no entiendas por este medio podemos ayudarte a explicarlo mejor, en el caso de la regla de Cramer menciona un ejemplo que no entendiste y te lo explicamos.
es posible que en el ejercicio de discutir un sistema con parámetros, usando la forma de roche este mal copiada o haya un error en la matriz de los coeficientes, en la columna 2 fila 3 hay un 1 y creo que debería haber un 2?
Hola revise los ejercicios y no encontré el error que mencionas, podrías decirme que numero de ejercicio es para poder rectificarlo, nos seria de mucha ayuda.
Resultado de este ejercicios de sistemas de Gauss con matrices:x+y+z=3
2x+4y+z=4
3x-y+z=1
Me podrían ayudar a resolverlo
Si tengo tres rectas donde dos se superponen (hasta acá el sistema es compatible indeterminado), pero una tercer recta las cruza, es sistema se convierte es compatible determinado por haber un punto de intersección entre las tres rectas o continúa siendo compatible indeterminado por las infinitas soluciones de dos de las tres rectas?
Hola como la tercera recta intercepta a las otras dos que están superpuestas, lo hace en un solo punto, entonces solo hay una sola solución que corresponde a las tres rectas, pues para que hubiera una infinidad de puntos de respuesta las tres rectas tendrían que ser superpuestas.