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¿Qué es la regla de Cramer?

 

En álgebra lineal, la regla de Cramer es una fórmula explícita para la solución de un sistema de ecuaciones lineales con tantas ecuaciones como incógnitas.

 

La regla de Cramer es válida siempre que el sistema tenga una solución única.

 

Debe Su nombre a Gabriel Cramer (1704-1752), quien publicó la regla para un número arbitrario de incógnitas en 1750.

La regla de Cramer se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales que cumplan las siguientes condiciones:

 

 1  El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

 2  El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

 

Tales sistemas son sistemas compatibles determinados y se denominan sistemas de Cramer.

 

    $$ \begin{array}{ccccccccccc} a_{11}x_{1}&+&a_{12}x_{2}&+&a_{13}x_{3}&+&\dots&+&a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\ a_{21}x_{1}&+&a_{22}x_{2}&+&a_{23}x_{3}&+&\dots&+&a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\ a_{31}x_{1}&+&a_{32}x_{2}&+&a_{33}x_{3}&+&\dots&+&a_{3n}x_{n}&=&b_{3}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&\dots&&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}x_{1}&+&a_{n2}x_{2}&+&a_{n3}x_{3}&+&\dots&+&a_{nn}x_{n}&=&b_{n}$$ \end{array}

 

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes,

 

    $$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\dots&a_{2n}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\dots&a_{3n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\dots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\dots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}.$$

 

Recordemos que el cálculo de este determinante está dado por

 

    $$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\dots&a_{2n}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\dots&a_{3n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\dots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\dots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22}&a_{23}&\dots&a_{2n}\\ a_{32}&a_{33}&\dots&a_{3n}\\ \vdots&\vdots&\dots&\vdots\\ a_{n2}&a_{n3}&\dots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}- $$

 

    $$ a_{12}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{23}&\dots&a_{2n}\\ a_{31}&a_{33}&\dots&a_{3n}\\ \vdots&\vdots&\dots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n3}&\dots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}+\dots+(-1)^{n+1}a_{nn}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{23}&\dots&a_{2(n-1)}\\ a_{31}&a_{33}&\dots&a_{3(n-1)}\\ \vdots&\vdots&\dots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n3}&\dots&a_{n(n-1)}\\ \end{vmatrix} $$

 

En los caso de n=2 y n=3, puede obtenerse mediante cálculos sencillos

 

    $$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12},$$

y

    $$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33}\ \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{23}\\ a_{31}&a_{33}\\ \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32}\\ \end{vmatrix} $$

 

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Vamos

Fórmula para resolver sistemas de Cramer

 

Todo sistema de Cramer tiene una sola solución (es decir, es un sistema compatible determinado) que viene dada por las siguientes expresiones:

 

    $$x_{1}=\frac{\Delta_{1}}{\Delta},\quad x_{2}=\frac{\Delta_{2}}{\Delta},\quad x_{3}=\frac{\Delta_{3}}{\Delta},\dots, x_{n}=\frac{\Delta_{n}}{\Delta},$$

 

donde \Delta_{1},\Delta_{2},\Delta_{3},\dots,\Delta_{n} son los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna, en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.

 

    $$x_{1}=\frac{\begin{vmatrix} b_{1}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1n}\\ b_{2}&a_{22}&a_{23}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\dots&\vdots\\ b_{m}&a_{m2}&a_{m3}&\dots&a_{mn}\\ \end{vmatrix}}{\Delta}$$

 

    $$x_{2}=\frac{\begin{vmatrix} a_{11}&b_{1}&a_{13}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&b_{2}&a_{23}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\dots&\vdots\\ a_{m1}&b_{2}&a_{m3}&\dots&a_{mn}\\ \end{vmatrix}}{\Delta}$$

 

    $$x_{3}=\frac{\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&b_{1}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&b_{2}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\dots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&b_{m}&\dots&a_{mn}\\ \end{vmatrix}}{\Delta}$$

    $$\dots\dots\dots$$

    $$x_{n}=\frac{\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&b_{1}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\dots&b_{2}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\dots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\dots&b_{m}\\ \end{vmatrix}}{\Delta}$$

 

Ejemplos de ejercicios resueltos por regla de Cramer

 

1\left\{\begin{matrix} x&+ & y & + & z & = & 1\\ x& - & 2y & + & 3z &= &2 \\ x& & & + & z & = & 5 \end{matrix}\right.

 

Notemos que el número de ecuaciones de este sistema es igual al número de incógnitas y además

 

    $$ \Delta=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1& -2 & 3\\ 1& 0 & 1 \end{vmatrix}=1(-2-0)-1(1-3)+1(0-(-2))=2\neq 0,$$

    $$\Delta_{1}=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2& -2 & 3\\ 5& 0 & 1 \end{vmatrix}=1(-2-0)-1(2-15)+1(0-(-10))=21,$$

    $$ \Delta_{2}=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1& 2 & 3\\ 1& 5 & 1 \end{vmatrix}=1(2-15)-1(1-3)+1(5-2))=-8,$$

    $$ \Delta_{3}=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1& -2 & 2\\ 1& 0 & 5 \end{vmatrix}=1(-10-0)-1(5-2)+1(0-(-2))=-11. $$

 

Dado que \Delta\neq 0, tenemos que el sistema es un sistema de Cramer y tiene como soluciones a

    $$ x=\cfrac{\Delta_{1}}{\Delta}=\frac{21}{2},\quad y=\cfrac{\Delta_{2}}{\Delta}=\cfrac{-8}{2}=4,\quad z=\cfrac{\Delta_{3}}{\Delta}=\frac{-11}{2}.$$

 

 

2\left\{\begin{matrix} x&+ & 2y & - & z & = & 1\\ 2x& + & y & - & 2z &= &2 \\ x& -& y& - & z & = & 1 \end{matrix}\right.

 

Este sistema tiene igual numero de ecuaciones que de incógnitas pero el determinante de su matriz de coeficientes es cero, pues

 

    $$\Delta=\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1\\ 2& 1 & -2\\ 1& -1 & -1 \end{vmatrix}=1(-1-2)-2(-2+2)-1(-2-1)=0.$$

 

Entonces tenemos un sistema compatible indeterminado.

 

Como el sistema no es un sistema de Cramer, debemos transformarlo,

 

    $$\left\{\begin{matrix} x&+ & 2y & =&1+\lambda \\ 2x& + & y & =&2+2\lambda\\ x& -& y& =&1+\lambda. \end{matrix}\right.$$

 

Dado que la ecuación x-y =1+\lambda es una combinación lineal de las ecuaciones x+ 2y =1+\lambda    y    2x+ y =2+2\lambda, podemos entonces trabajar con el sistema:

 

    $$\begin{array}{cccccc} \left\{\begin{matrix} x&+ & 2y & =&1+\lambda \\ 2x& + & y & =&2+2\lambda. \end{matrix}\right.&&&&&\lambda\in\mathbb{R} \end{array}$$

 

Estamos ante un sistema con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y con determinante de la matriz de coeficientes distinto de cero,

 

    $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2& 1 \\ \end{vmatrix}=1-4=-3\neq 0.$$

 

Es decir, estamos ante un sistema de Cramer.

 

Las soluciones de este sistema de Cramer, que vendrán dadas en función de λ, serán las mismas que las del sistema original.

 

Entonces calculamos primero los determinantes.

 

    $$\begin{array}{ccc} \Delta=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2& 1 \\ \end{vmatrix}=-3,&\Delta_{1}=\begin{vmatrix} 1+\lambda & 2 \\ 2+2\lambda& 1 \\ \end{vmatrix}=-3(\lambda+1),&\Delta_{2}=\begin{vmatrix} 1&1+\lambda \\ 2&2+2\lambda\\ \end{vmatrix}=0. \end{array}$$

 

Y finalmente sustituimos en las fórmulas ya conocidas,

 

    $$x=\cfrac{\Delta_{1}}{\Delta}=\cfrac{-3(\lambda+1)}{-3}=(\lambda+1),\quad y=\cfrac{\Delta_{2}}{\Delta}=\cfrac{0}{-3}=0,\quad\lambda\in\mathbb{R}.$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗