Sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incógnitas

Para resolver los sistemas de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incógnitas se utilizan los siguientes métodos de resolución:

Método de sustitución

Paso 1. Se despeja una incógnita de una de las ecuaciones del sistema.

Paso 2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación del sistema, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.

Paso 3. Se resuelve la ecuación.

Paso 4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

Paso 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema de ecuaciones.

 

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Vamos

Ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones por sustitución

 

1 {\left\{\begin{matrix} 3x - 4y = -6 \\ 2x + 4y = 16 \end{matrix}\right.}

 

Paso 1. Despejamos una de las incógnitas de una de las dos ecuaciones del sistema. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

{2x = 16 - 4y}
{x = 8 - 2y}

Paso 2. Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

{3(8-2y) - 4y = -6}

Paso 3. Resolvemos la ecuación obtenida:

{24 - 6y -4y = -6}
{-10y = -30}
{y = 3}

Paso 4. Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

{x = 8 - 2(3) = 8 - 6}
{x = 2}

Paso 5. Solución:
{x = 2, y = 3}

 

Método de igualación

 

Paso 1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones del sistema.

Paso 2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

Paso 3. Se resuelve la ecuación.

Paso 4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

Paso 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema de ecuaciones.

 

Ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones por igualación

 

1 {\left\{\begin{matrix} 3x - 4y = -6 \\ 2x + 4y = 16 \end{matrix}\right.}

 

Paso 1. Despejamos, por ejemplo, la incógnita {x} de la primera y segunda ecuación:

{3x = -6 + 4y \quad \quad x = \dfrac{-6+4y}{3}}
{2x = 16 - 4y \quad \quad x = \dfrac{16 - 4y}{2}}

Paso 2. Igualamos ambas expresiones:

{\dfrac{-6+4y}{3} = \dfrac{16 - 4y}{2}}

Paso 3. Resolvemos la ecuación:

{2(-6 + 4y) = 3(16 - 4y)}
{-12+8y = 48 - 12y}
{8y + 12y = 48 + 12}
{20y = 60}
{y = 3}

Paso 4. Sustituimos el valor de {y}, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la {x}:

{x = \dfrac{-6+4y}{3} = \dfrac{-6+4(3)}{3} = \dfrac{-6+12}{3} = \dfrac{6}{3}}
{x = 2}

Paso 5. Solución:
{x = 2, y = 3}

 

Método de reducción

Paso 1. Se modificaran las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

Paso 2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante.

Paso 4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

Paso 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema de ecuaciones.

 

Ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones por reducción

 

1 {\left\{\begin{matrix} 3x - 4y = -6 \\ 2x + 4y = 16 \end{matrix}\right.}

 

Paso 1. Lo más fácil es eliminar la y, de este modo no tendríamos que modificar las ecuaciones; pero vamos a optar por eliminar la x, para que veamos mejor el proceso.

{\left\{\begin{matrix} 3x - 4y = -6 & \xrightarrow{\times 2} & 6x - 8y = -12\\ 2x + 4y = 16 & \xrightarrow{\times (-3)} & -6x - 12y = -48 \end{matrix}\right.}

Paso 2 y 3. Restamos y resolvemos la ecuación:

{\left\{\begin{matrix} 6x - 8y = -12\\ -6x - 12y = -48\\ \hline \end{matrix}\right.}
{\hspace{2} 4y = 36}
{y = 3}

Paso 4. Sustituimos el valor de {y} en la segunda ecuación inicial:

{2x + 4(3) = 16}
{2x + 12 = 16}
{2x = 4}
{x = 2}

Paso 5. Solución:
{x = 2, y = 3}

 

Ejercicios de sistemas de ecuaciones

 

1 {\left\{\begin{matrix} 2x + 3y = -1 \\ 3x + 4y = 0 \end{matrix}\right.}

 

Por Sustitución.

{\left\{\begin{matrix} 2x + 3y = -1 \\ 3x + 4y = 0 \end{matrix}\right.}

Paso 1.

{3x = -4y \quad \quad x = \dfrac{-4y}{3}}

Paso 2 y 3.

{2(\frac{-4y}{3}) + 3y = -1}
{\frac{-8y}{3} + 3y = -1}
{-8y + 9y = -3}
{y = -3}

Paso 4.

{x = \frac{-4(-3)}{3} = \frac{12}{3}}
{x = 4}

Paso 5.

{x = 4, y = -3}

Por igualación.

{\left\{\begin{matrix} 2x + 3y = -1 \\ 3x + 4y = 0 \end{matrix}\right.}

Paso 1.

{3x = -4y \quad \quad x = \dfrac{-4y}{3}}
{2x = -1 -3y \quad \quad x = \dfrac{-1-3y}{2}}

Paso 2 y 3.

{\dfrac{-4y}{3} = \dfrac{-1-3y}{2}}
{3(-1 - 3y) = 2(-4y)}
{-3-9y = -8y}
{y = -3}

Paso 4.

{x = \frac{-4(-3)}{3} = \frac{12}{3}}
{x = 4}

Paso 5.

{x = 4, y = -3}

Por reducción.

{\left\{\begin{matrix} 2x + 3y = -1 \\ 3x + 4y = 0 \end{matrix}\right.}

Paso 1.

{\left\{\begin{matrix} 2x + 3y = -1 & \xrightarrow{\times 3} & 6x + 9y = -3\\ 3x + 4y = 0 & \xrightarrow{\times (-2)} & -6x - 8y = 0 \end{matrix}\right.}

Paso 2 y 3.

{\left\{\begin{matrix} 6x + 9y = -3\\ -6x - 8y = 0\\ \hline \end{matrix}\right.}
{y = -3}

Paso 4.

{x = \frac{-4(-3)}{3} = \frac{12}{3}}
{x = 4}

Paso 5.
{x = 4, y = -3}

Gráficamente

Graficamos ambas ecuaciones y obtenemos:

Método gráfico de un sistema de ecuaciones de 2x2

1 {\left\{\begin{matrix} 3x + 2y = 7 \\ 4x - 3y = -2 \end{matrix}\right.}

 

Por Sustitución.

{\left\{\begin{matrix} 3x + 2y = 7 \\ 4x - 3y = -2 \end{matrix}\right.}

Paso 1.

{3x = 7 - 2y \quad \quad x = \dfrac{7 - 2y}{3}}

Paso 2 y 3.

{4( \frac{7 - 2y}{3}) - 3y = -2}
{\frac{28 - 8y}{3} - 3y = -2}
{28 -8y - 9y = -6}
{-17y = -34}
{y = 2}

Paso 4.

{x = \frac{7 - 2(2)}{3} = \frac{7 - 4}{3} = \frac{3}{3}}
{x = 1}

Paso 5.
{x = 1, y = 2}

Por igualación.

{\left\{\begin{matrix} 3x + 2y = 7 \\ 4x - 3y = -2 \end{matrix}\right.}

Paso 1.

{3x = 7 - 2y \quad \quad x = \dfrac{7 - 2y}{3}}
{4x = -2 + 3y \quad \quad x = \dfrac{-2 + 3y}{4}}

Paso 2 y 3.

{\dfrac{7 - 2y}{3} = \dfrac{-2 + 3y}{4}}
{4(7 - 2y) = 3(-2 + 3y}
{28-8y = -6 + 9y}
{-17y = -34}
{y = 2}

Paso 4.

{x = \frac{7 - 2(2)}{3} = \frac{7 - 4}{3} = \frac{3}{3}}
{x = 1}

Paso 5.

{x = 1, y = 2}

Por reducción.

{\left\{\begin{matrix} 3x + 2y = 7 \\ 4x - 3y = -2 \end{matrix}\right.}

Paso 1.

{\left\{\begin{matrix} 3x + 2y = 7 & \xrightarrow{\times 3} & 9x + 6y = 21\\ 4x - 3y = -2 & \xrightarrow{\times 2} & 8x - 6y = -4 \end{matrix}\right.}

Paso 2 y 3.

{\left\{\begin{matrix} 9x + 6y = 21\\ 8x - 6y = -4\\ \hline \end{matrix}\right.}
{17x = 17}
{x = 1}

Paso 4.

{3(1) + 2y = 7}
{2y = 7 - 3}
{y = 2}

Paso 5.

{x = 1, y = 2}

Gráficamente

Graficamos ambas ecuaciones y obtenemos:

Método gráfico de un sistema de ecuaciones de 2x2

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗