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Sistemas compatibles determinados e indeterminados
Decir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
En un sistema compatible indeterminado se puede eliminar una ecuación y obtener un sistema equivalente.
Si
Para el sistema
Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas 
por 
respectivamente y obtenemos
Reemplazamos la fila 
por 
y obtenemos
El sistema equivalente es
La solución del sistema compatible indeterminado es
Un sistema compatible indeterminado es equivalente a un sistema homogéneo.
No
Los sistemas homogéneos, por lo general, sólo admiten la solución trivial:
,
mientras que los sistemas compatibles indeterminados admiten infinitas soluciones.
Un sistema homogéneo es un sistema incompatible.
No
Los sistemas homogéneos, por lo general, sólo admiten la solución trivial:
,
mientras que los sistemas incompatibles no admiten soluciones.
Todo sistema compatible indeterminado tiene dos ecuaciones iguales.
No
El sistema compatible indeterminado
no tiene dos ecuaciones iguales. La solución del sistema compatible indeterminado es
De un sistema compatible determinado podemos extraer otro compatible indeterminado (no equivalente) eliminando ecuaciones.
Si
Para el sistema
Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas por 
respectivamente y obtenemos
La solución del sistema compatible determinado es
Si eliminamos la segunda ecuación del sistema compatible determinado original, obtenemos el sistema compatible indeterminado
cuya solución es
Clasificación de sistemas
Discutir el siguiente sistema y resolverlo en caso de que proceda:
1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos la fila 
por 
y obtenemos
2Hacemos 
, de donde se obtiene 
. Sustituimos este valor en la primera ecuación
3La solución del sistema compatible determinado es
Otra forma de obtener la solución consiste en observar que se trata de un sistema homogéneo con mismo número de ecuaciones que de incógnitas, por lo que su solución es 
1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas por respectivamente y obtenemos
2Reemplazamos la fila por 
y obtenemos
La solución del sistema compatible determinado es
1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos la fila por 
y obtenemos
2Hacemos 
, sustituimos este valor en las dos ecuaciones
3La solución del sistema compatible indeterminado es
1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas 
por 
respectivamente y obtenemos
2De la matriz anterior se obtiene
3De la tercera ecuación se obtiene
4Sustituimos el valor de 
en la segunda ecuación y se obtiene
5Sustituimos los valores de 
en la primera ecuación y se obtiene
6La solución del sistema compatible determinado es
1Escribimos en forma matricial. Intercambiamos las filas 
por 
respectivamente y obtenemos
Reemplazamos las filas por 
respectivamente y obtenemos
Reemplazamos la fila 
por 
y obtenemos
2De la matriz anterior se obtiene
3Sustituimos el valor de 
en la segunda ecuación y se obtiene
4Sustituimos los valores de en la primera ecuación y se obtiene
5La solución del sistema compatible determinado es
1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas por 
respectivamente y obtenemos
Reemplazamos la fila por 
y obtenemos
2De la matriz anterior se obtiene
3Hacemos y sustituimos en la segunda ecuación para obtener
4Sustituimos los valores de en la primera ecuación y se obtiene
5La solución del sistema compatible indeterminado es
1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas 
por 
respectivamente y obtenemos
Reemplazamos las filas 
por 
y obtenemos
2De la matriz anterior se obtiene
3Hacemos 
y sustituimos en la tercera ecuación para obtener
4Sustituimos los valores de 
en la segunda ecuación y se obtiene
5Sustituimos los valores de 
en la primera ecuación y se obtiene
6La solución del sistema compatible indeterminado es
1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas por 
respectivamente y obtenemos
Reemplazamos las filas 
por 
y obtenemos
2En la matriz anterior la última fila es un múltiplo de la penúltima, por lo que se obtiene
3De la tercera ecuación se obtiene 
. Hacemos y sustituimos en la segunda ecuación para obtener
4Sustituimos los valores de en la primera ecuación y se obtiene
5La solución del sistema compatible indeterminado es
1Escribimos en forma matricial e intercambiamos las filas uno y dos
Reemplazamos las filas 
por 
y obtenemos
Reemplazamos la fila por y obtenemos
2Se obtiene el sistema equivalente
3Hacemos 
y sustituimos en la tercera ecuación para obtener
4Sustituimos los valores de 
en la segunda ecuación y se obtiene
5Sustituimos los valores de en la primera ecuación y se obtiene
1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas por 
respectivamente y obtenemos
Reemplazamos las filas por 
y obtenemos
Reemplazamos la fila 
por 
y obtenemos
2De la matriz anterior se tiene que el sistema es incompatible.
Determinación de parámetros
Estudiar si existe algún valor de 
, para el cual el sistema es compatible. Si es así, resolver del sistema para ese valor de .
1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas por 
respectivamente y obtenemos
2De la tercera fila se observa que si 
, se tiene que el sistema es incompatible ya que 
3Si 
, se tiene que el sistema es compatible determinado y es quivalente a
De la tercera ecuación se obtiene
Sustituimos el valor de en la segunda ecuación y se obtiene
Sustituimos los valores de en la primera ecuación y se obtiene
Estudiar si existe algún valor de , para el cual el sistema es compatible. Si es así, resolver del sistema para ese valor de
1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos la fila por 
2De la cuarta fila se observa que el sistema es incompatible para cualquier valor de ya que 
Discutir el sistema según los valores del parámetro 
1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas 
por 
respectivamente y obtenemos
2Reemplazamos las filas 
por 
respectivamente y obtenemos
3De la tercera fila se observa que si 
, se tiene que el sistema es compatible indeterminado ya que 
4Si 
, se tiene que el sistema es incompatible.
Discutir el sistema según los valores de los parámetro y 
1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas 
por 
respectivamente y obtenemos
2Reemplazamos la fila por 
y obtenemos
3De la tercera fila se observa que:
si 
y 
, entonces el sistema es incompatible;
si y 
, entonces el sistema es compatible indeterminado;
si 
, entonces el sistema es compatible determinado para cualquier valor de .
Determinar para qué valores de 
, el siguiente sistema tiene infinitas soluciones
1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos la fila por 
y obtenemos
2Reemplazamos la fila por 
y obtenemos
3De la tercera fila se observa que si 
, entonces el sistema es compatible indeterminado, por lo que tiene infinitas soluciones.
Problemas de aplicación de sistemas de ecuaciones
La suma de dos números es 11 y su diferencia es 7, ¿cuáles son estos números?
1Representamos por 
los dos números buscados. Escribimos las condiciones mediante ecuaciones
La suma de sos números es 11
La diferencia de dos números es 7
2Se obtiene el sistema de ecuaciones
3Escribimos en forma matricial las dos ecuaciones. Reemplazamos la fila por 
respectivamente y obtenemos
4El sistema es compatible determinado y es quivalente a
De la segunda ecuación se obtiene
Sustituimos el valor de 
en la primera ecuación y se obtiene
5La solución es , 
.
Por la compra de dos libretas y tres lapiceros se pagaron 14 € y por la compra de una libreta y cuatro lapiceros se pagaron 12 €. ¿Cuál es el costo de cada artículo?
1Representamos por el costo de cada libreta y lapicero. Escribimos las condiciones mediante ecuaciones
Por la compra de dos libretas y tres lapiceros se pagaron 14 €
Por la compra de una libreta y cuatro lapiceros se pagaron 12 €
2Se obtiene el sistema de ecuaciones
3Escribimos en forma matricial las dos ecuaciones. Reemplazamos la fila por 
respectivamente y obtenemos
4El sistema es compatible determinado y es quivalente a
De la segunda ecuación se obtiene
Sustituimos el valor de en la primera ecuación y se obtiene
5La solución es 
€, €.
El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de 
€ (sin impuestos). El valor del vino es 
€ menos que el de los refrescos y de la cerveza conjuntamente. Teniendo en cuenta que los refrescos deben pagar un IVA del 
, por la cerveza del 
y por El vino del 
, lo que hace que la factura total con impuestos sea de 
€, calcular la cantidad invertida en cada tipo de bebida.
1Representamos por 
los importes en € de refresco, cerveza y vino. Escribimos las condiciones mediante ecuaciones
El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de € (sin impuestos)
El valor del vino es € menos que el de los refrescos y de la cerveza conjuntamente
Teniendo en cuenta que los refrescos deben pagar un IVA del , por la cerveza del y por El vino del , lo que hace que la factura total con impuestos sea de €
Multiplicando ambos lados de la ecuación por 
, se obtiene
2Se obtiene el sistema de ecuaciones
3Escribimos en forma matricial las tres ecuaciones. Reemplazamos las filas por 
respectivamente y obtenemos
3El sistema es compatible determinado y es quivalente a
De la segunda ecuación se obtiene
Sustituimos el valor de en la tercera ecuación y se obtiene
Sustituimos los valores de en la primera ecuación y se obtiene
4La solución es 
€, 
€, €.
Una empresa tiene tres minas con minas de composiciones:
| Níquel (%) | Cobre (%) | Hierro (%) | |
|---|---|---|---|
| Mina A | 1 | 2 | 3 |
| Mina B | 2 | 5 | 7 |
| Mina C | 1 | 3 | 1 |
¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro?
1Representamos por el número de toneladas de las minas A, B y C. Escribimos las condiciones mediante ecuaciones lo cual da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:
2Escribimos en forma matricial las tres ecuaciones. Reemplazamos las filas 
por 
respectivamente y obtenemos
Reemplazamos la fila por 
y obtenemos
3El sistema es compatible determinado y es quivalente a
De la tercera ecuación se obtiene
Sustituimos el valor de en la segunda ecuación y se obtiene
Sustituimos los valores de en la primera ecuación y se obtiene
La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos), la edad del padre era triple que la suma de las edades, en aquel tiempo, de sus hijos. Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de edades de las tres personas será 150 años. ¿Qué edad tenía el padre en el momento de nacer sus hijos?
1Representamos por las edades actuales del padre, el hijo myor y el hijo menor. Escribimos las condiciones mediante ecuaciones
La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos
Hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos), la edad del padre era triple que la suma de las edades, en aquel tiempo, de sus hijos
Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de edades de las tres personas será 150 años
2Se obtiene el sistema de ecuaciones
3Escribimos en forma matricial las tres ecuaciones. Reemplazamos las filas por respectivamente y obtenemos
Reemplazamos la fila por 
respectivamente y obtenemos
3El sistema es compatible determinado y es quivalente a
De la tercera ecuación se obtiene
Sustituimos el valor de en la segunda ecuación y se obtiene
Sustituimos los valores de en la primera ecuación y se obtiene
4Al nacer los hijos el padre tenía 35 y 40 años.
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«Superprof. Ejercicios del método de Gauss II. [En línea] Disponible en: [URL del artículo].»
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Como puedo solucionar
Y: -3x+2
La novena esta mal, es x= 2 y= 0 , mega confirmado, grave error, en su pagina dice que la respuesta es x= 4 y= -3 lo cual no es verdad, por cualquier metodo que se haga, porfavor corregir gracias por los ejercicios de practica
Una disculpa por el error cometido, ya se corrigió.
como puedo resolver el siguiente sistema de ecuaciones
3x+4y+5z=35
2x+5y+3z=27
2x+ y+ z=13
Cómo puedo resolver la siguiente ecuación con el método Gauss – Jordan
5x-10y = 5x+20
[7x-3y=2 3x+4y=-15
I+y=5
I-y=1