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Sistemas compatibles determinados e indeterminados

 

Decir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

 

1En un sistema compatible indeterminado se puede eliminar una ecuación y obtener un sistema equivalente.

Si

 

Para el sistema

 

\left \{ \begin{array}{lcr} x -9y + 5z & = & 33 \\ x + 3y - z & = & -9 \\ x - y + z & = & 5 \end{array} \right.

 

Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas {f_{2}, f_{3}} por {f_{2} - f_{1}, f_{3} - f_{1}} respectivamente y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & -9 & 5 & 33 \\ 1 & 3 & -1 & -9 \\ 1 & -1 & 1 & 5 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & -9 & 5 & 33 \\ 0 & 12 & -6 & -42 \\ 0 & 8 & -4 & -28 \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos la fila {f_{3}} por {12 f_{3} - 8 f_{2}} y obtenemos

 

{\left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & -9 & 5 & 33 \\ 0 & 12 & -6 & -42 \\ 0 & 8 & -4 & -28 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & -9 & 5 & 33 \\ 0 & 12 & -6 & -42 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right ) }

 

El sistema equivalente es

 

\left \{ \begin{array}{lcr} x -9y + 5z & = & 33 \\ 12y - 6z & = & -42 \end{array} \right.

 

La solución del sistema compatible indeterminado es

 

z = \lambda, \ \ y = -\cfrac{7}{2} + \cfrac{1}{2} \lambda, \ \ x = \cfrac{3}{2} - \cfrac{1}{2} \lambda

 

 

2Un sistema compatible indeterminado es equivalente a un sistema homogéneo.

No

 

Los sistemas homogéneos, por lo general, sólo admiten la solución trivial:

 

x = 0; \ y = 0; \ z = 0,

 

mientras que los sistemas compatibles indeterminados admiten infinitas soluciones.

 

3Todo sistema compatible indeterminado tiene dos ecuaciones iguales.

No

 

El sistema compatible indeterminado

 

\left \{ \begin{array}{lcr} x -9y + 5z & = & 33 \\ 12y - 6z & = & -42 \end{array} \right.

 

no tiene dos ecuaciones iguales. La solución del sistema compatible indeterminado es

 

z = \lambda, \ \ y = -\cfrac{7}{2} + \cfrac{1}{2} \lambda, \ \ x = \cfrac{3}{2} - \cfrac{1}{2} \lambda

 

4De un sistema compatible determinado podemos extraer otro compatible indeterminado (no equivalente) eliminando ecuaciones.

Si

 

Para el sistema

 

\left \{ \begin{array}{lcr} x + y + z & = & 1 \\ 2x + 3y - 4z & = & 9 \\ x - y + z & = & -1 \end{array} \right.

 

Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas {f_{2}, f_{3}} por {f_{2} - 2f_{1}, f_{3} - f_{1}} respectivamente y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -4 & 9 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -6 & 7 \\ 0 & -2 & 0 & -2 \end{array}\right ) }

 

La solución del sistema compatible determinado es

 

z = -1, \ \ y = 1, \ \ x = 1

 

Si eliminamos la segunda ecuación del sistema compatible determinado original, obtenemos el sistema compatible indeterminado

 

\left \{ \begin{array}{lcr} x + y + z & = & 1 \\ x - y + z & = & -1 \end{array} \right.

 

cuya solución es

 

z = \lambda, \ \ y = 1 - \lambda, \ \ x = 0

Clasificación de sistemas

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5Discutir el siguiente sistema y resolverlo en caso de que proceda:

\left \{ \begin{array}{rcr} 2x + y & = & 1 \\ -x + 2y & = & 7 \\ 3x + y & = & 0 \end{array} \right.

1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas {f_{2}, f_{3}} por {f_{2} - 2f_{1}, f_{3} - f_{1}} respectivamente y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 7 \\ 3 & 1 & 0 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 1 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right ) }

 

2Reemplazamos la fila {f_{2}} por {f_{2} + 5 f_{3}} y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 1 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right ) }

 

La solución del sistema compatible determinado es

 

x = -1, \ \ y = 3

6Discutir el siguiente sistema y resolverlo en caso de que proceda:

\left \{ \begin{array}{rcr} 2x - y + 3z & = & 1 \\ 3x + 2y - z & = & 5 \end{array} \right.

1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos la fila {f_{2}} por {f_{2} + 2f_{1}} y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & -1 & 5 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 1 \\ 7 & 0 & 5 & 7 \end{array}\right ) }

 

2Hacemos z = \lambda, sustituimos este valor en las dos ecuaciones

 

\begin{array}{l} 2x - y + 3\lambda = 1 \\ 7x + 5 \lambda = 7 \end{array}

 

3La solución del sistema compatible indeterminado es

 

z = \lambda, \ \ x = 1 - \cfrac{5}{7} \lambda, \ \ y = 1 + \cfrac{11}{7} \lambda

7Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

\left \{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 1 \\ 2x + 3y - 4z & = & 9 \\ x - y + z & = & -1 \end{array} \right.

1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas {f_{2}, f_3} por {f_{2} - 2f_{1}, f_3 - f_1 } respectivamente y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -4 & 9 \\ 1 & -1& 1 & -1 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -6 & 7 \\ 0 & -2 & 0 & -2 \end{array}\right ) }

 

2De la matriz anterior se obtiene

 

\left \{ \begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ y - 6z = 7 \\ -2y = -2 \end{array} \right.

 

3De la tercera ecuación se obtiene

 

\begin{array}{rcl} -2y & = & -2 \\ y & = & 1 \end{array}

 

4Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} y - 6z & = & 7 \\ 1 - 6z & = & 7 \\ -6z & = & 6 \\ z & = & -1 \end{array}

 

5Sustituimos los valores de y, z en la primera ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 1 \\ x + 1 - 1 & = & 1 \\ x & = & 1 \end{array}

 

6La solución del sistema compatible determinado es

 

x = 1, \ \ y = 1, \ \ z = -1

8Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

\left \{ \begin{array}{rcl} 3x + 2y + z & = & 1 \\ 5x + 3y + 4z & = & 2 \\ x + y - z & = & 1 \end{array} \right.

1Escribimos en forma matricial. Intercambiamos las filas {f_1, f_{2}, f_3} por {f_{3}, f_{1}, f_2 } respectivamente y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 1 \\ 5 & 3 & 4 & 2 \\ 1 & 1& -1 & 1 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 1 \\ 5 & 3 & 4 & 2 \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos las filas {f_{2}, f_3} por {f_{2} - 3 f_1, f_{3} - 5 f_1 } respectivamente y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 1 \\ 5 & 3 & 4 & 2 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & -2 & 9 & -3 \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos la fila {f_3} por { f_{3} - 2 f_2 } y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & -2 & 9 & -3 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right ) }

 

2De la matriz anterior se obtiene

 

\left \{ \begin{array}{l} x + y - z = 1 \\ -y + 4z = -2 \\ z = 1 \end{array} \right.

 

3Sustituimos el valor de z en la segunda ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} -y + 4z & = & -2 \\ -y + 4 & = & -2 \\ -y & = & -6 \\ y & = & 6 \end{array}

 

4Sustituimos los valores de y, z en la primera ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} x + y - z & = & 1 \\ x + 6 - 1 & = & 1 \\ x & = & -4 \end{array}

 

5La solución del sistema compatible determinado es

 

x = -4, \ \ y = 6, \ \ z = 1

9Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

\left \{ \begin{array}{rcl} x - 9y + 5z & = & 33 \\ x + 3y - z & = & -9 \\ x - y + z & = & 5 \end{array} \right.

1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas {f_{2}, f_3} por {f_{2} - f_1, f_{3} - f_1 } respectivamente y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & -9 & 5 & 33 \\ 1 & 3 & -1 & -9 \\ 1 & -1 & 1 & 5 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & -9 & 5 & 33 \\ 0 & 12 & -6 & -42 \\ 0 & 8 & -4 & -28 \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos la fila {f_3} por { 12 f_{3} - 8 f_2 } y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & -9 & 5 & 33 \\ 0 & 12 & -6 & -42 \\ 0 & 8 & -4 & -28 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & -9 & 5 & 33 \\ 0 & 12 & -6 & -42 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right ) }

 

2De la matriz anterior se obtiene

 

\left \{ \begin{array}{l} x - 9y + 5z = 33 \\ 12y - 6z = -42 \end{array} \right.

 

3Hacemos z = \lambda y sustituimos en la segunda ecuación para obtener

 

\begin{array}{rcl} 12y - 6z & = & -42 \\ 12y - 6 \lambda & = & -42 \\ y & = & -\cfrac{7}{2} + \cfrac{\lambda}{2} \end{array}

 

4Sustituimos los valores de y, z en la primera ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} x - 9y + 5z & = & 33 \\ x - 9 \left ( -\cfrac{7}{2} + \cfrac{\lambda}{2} \right ) + 5 \lambda & = & 33 \\ x & = & \cfrac{3}{2} - \cfrac{\lambda}{2} \end{array}

 

5La solución del sistema compatible indeterminado es

 

x = \cfrac{3}{2} - \cfrac{\lambda}{2}, \ \ y = -\cfrac{7}{2} + \cfrac{\lambda}{2}, \ \ z = \lambda


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10Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

\left \{ \begin{array}{rcl} x - y + z + t & = & 4 \\ 2x + y - 3z + t & = & 4 \\ x - 2y + 2z - t & = & 3 \\ x -3y + 3z - 3t & = & 2 \end{array} \right.

1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas {f_{2}, f_3, f_4} por {f_{2} - 2f_1, f_{3} - f_1, f_4 - f_1 } respectivamente y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & -3 & 1 & 4 \\ 1 & -2 & 2 & -1 & 3 \\ 1 & -3 & 3 & -3 & 2 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & -5 & -1 & -4 \\ 0 & -1 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & -4 & -2 \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos las filas {f_2, f_4} por { f_{2} + 3 f_3, f_4 - 2 f_3 } y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & -5 & -1 & -4 \\ 0 & -1 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & -4 & -2 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & -2 & -7 & -7 \\ 0 & -1 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right ) }

 

2De la matriz anterior se obtiene

 

\left \{ \begin{array}{l} x - y + z + t = 4 \\ -y + z - 2t = -1 \\ -2z - 7t = -7 \end{array} \right.

 

3Hacemos t = \lambda y sustituimos en la tercera ecuación para obtener

 

\begin{array}{rcl} -2z - 7t & = & -7 \\ -2z - 7 \lambda & = & -7 \\ z & = & \cfrac{7}{2} - \cfrac{7 \lambda}{2} \end{array}

 

4Sustituimos los valores de z, t en la segunda ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} -y + z - 2t & = & -1 \\ -y + \left ( \cfrac{7}{2} - \cfrac{7 \lambda}{2} \right ) - 2 \lambda & = & -1 \\ y & = & \cfrac{9}{2} - \cfrac{11 \lambda}{2} \end{array}

 

5Sustituimos los valores de y, z, t en la primera ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} x - y + z + t & = & 4 \\ x - \left ( \cfrac{9}{2} - \cfrac{11 \lambda}{2} \right ) + \left ( \cfrac{7}{2} - \cfrac{7 \lambda}{2} \right ) + \lambda & = & 4 \\ x & = & 5 - 3 \lambda \end{array}

 

6La solución del sistema compatible indeterminado es

 

x = 5 - 3 \lambda, \ \ y = \cfrac{9}{2} - \cfrac{11 \lambda}{2}, \ \ z = \cfrac{7}{2} - \cfrac{7 \lambda}{2}, \ \ t = \lambda

11Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

\left \{ \begin{array}{rcl} x - 2y - 2z + t & = & 4 \\ x + y + z - t & = & 5 \\ x - y - z + t & = & 6 \\ 6x -3y - 3z + 2t & = & 32 \end{array} \right.

1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas {f_{2}, f_3, f_4} por {f_{2} - f_1, f_{3} - f_1, f_4 - 6 f_3 } respectivamente y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & 5 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & 6 \\ 6 & -3 & -3 & 2 & 32 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & -4 & -4 \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos las filas {f_3, f_4} por { 3f_{3} - f_2, f_4 - f_2 } y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & -4 & -4 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & -5 \end{array}\right ) }

 

2En la matriz anterior la última fila es un múltiplo de la penúltima, por lo que se obtiene

 

\left \{ \begin{array}{l} x - 2y - 2z + t = 4 \\ 3y + 3z - 2t = 1 \\ 2t = 5 \end{array} \right.

 

3De la tercera ecuación se obtiene t = \cfrac{5}{2}. Hacemos z = \lambda y sustituimos en la segunda ecuación para obtener

 

\begin{array}{rcl} 3y + 3z - 2t & = & 1 \\ 3y + 3 \lambda - 2 \cfrac{5}{2} & = & 1 \\ y & = & 2 - \lambda \end{array}

 

4Sustituimos los valores de y, z, t en la primera ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} x - 2y - 2z + t & = & 4 \\ x - 2 \left ( 2 - \lambda \right ) - 2 \lambda + \cfrac{5}{2} & = & 4 \\ x & = & \cfrac{11}{2} \end{array}

 

5La solución del sistema compatible indeterminado es

 

x = \cfrac{11}{2}, \ \ y = 2 - \lambda, \ \ z = \lambda, \ \ t = \cfrac{5}{2}

12Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

\left \{ \begin{array}{rcl} 2x - 5y + 4z + u - v & = & -3 \\ x - 2y + z - u + v & = & 5 \\ x - 4y + 6z + 2u + v & = & 10 \end{array} \right.

1Escribimos en forma matricial e intercambiamos las filas uno y dos

 

{\left (\begin{array}{ccccc|c} 2 & -5 & 4 & 1 & -1 & -3 \\ 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & 5 \\ 1 & -4 & 6 & 2 & 1 & 10 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & 5 \\ 2 & -5 & 4 & 1 & -1 & -3 \\ 1 & -4 & 6 & 2 & 1 & 10 \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos las filas {f_2, f_3} por { f_{2} - 2 f_1, f_3 - f_1 } y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & 5 \\ 2 & -5 & 4 & 1 & -1 & -3 \\ 1 & -4 & 6 & 2 & 1 & 10 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 2 & 3 & -3 & -13 \\ 0 & -2 & 5 & 3 & 0 & 5 \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos la fila {f_3} por { f_{3} - 2 f_2 } y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 2 & 3 & -3 & -13 \\ 0 & -2 & 5 & 3 & 0 & 5 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 2 & 3 & -3 & -13 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 6 & 31 \end{array}\right ) }

 

2Se obtiene el sistema equivalente

 

\left \{ \begin{array}{l} x - 2y + z - u + v = 5 \\ -y + 2z + 3u - 3v = -13 \\ z - 3u + 6v = 31 \end{array} \right.

 

3Hacemos u = \lambda, v = \mu y sustituimos en la tercera ecuación para obtener

 

\begin{array}{rcl} z - 3u + 6v & = & 31 \\ z & = & 3 \lambda - 6 \mu + 31 \end{array}

 

4Sustituimos los valores de z, u, v en la segunda ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} -y + 2z + 3u - 3v & = & -13 \\ -y + 2 \left ( 3 \lambda - 6 \mu + 31 \right ) + 3 \lambda -3 \mu & = & -13 \\ y & = & 75 + 9 \lambda - 15 \mu \end{array}

 

5Sustituimos los valores de z, u, v en la primera ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} x - 2y + z - u + v & = & 5 \\ x - 2 \left ( 75 + 9 \lambda - 15 \mu \right ) + (3 \lambda - 6 \mu + 31) - \lambda + \mu & = & 5 \\ x & = & 124 + 16 \lambda - 25 \mu \end{array}

13Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

\left \{ \begin{array}{rcl} x + y - z & = & 1 \\ 3x + 2y + z & = & 1 \\ 5x + 3y + 4z & = & 2 \\ -2x -y + 5z & = & 6 \end{array} \right.

1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas {f_{2}, f_3, f_4} por {f_{2} - 3f_1, f_{3} - 5 f_1, f_4 + 2 f_1 } respectivamente y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 1 \\ 5 & 3 & 4 & 2 \\ -2 & -1 & 5 & 6 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & -2 & 9 & -3 \\ 0 & 1 & 3 & 8 \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos las filas {f_3, f_4} por { f_{3} - 2 f_2, f_4 + f_2 } y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & -2 & 9 & -3 \\ 0 & 1 & 3 & 8 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 7 & 6 \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos la fila {f_4} por {f_4 - 7 f_3 } y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 7 & 6 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right ) }

 

2De la matriz anterior se tiene que el sistema es incompatible.

 

Determinación de parámetros

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14Estudiar si existe algún valor de m, para el cual el sistema es compatible. Si es así, resolver del sistema para ese valor de m.

\left \{ \begin{array}{rcl} x + m y + z & = & 1 \\ m x + y + (m - 1) z & = & m \\ x + y + z & = & m + 1 \end{array} \right.

1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas {f_{2}, f_{3}} por {f_{2} - m f_{1}, f_{3} - f_{1}} respectivamente y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & m & 1 & 1 \\ m & 1 & m-1 & m \\ 1 & 1 & 1 & m + 1 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & m & 1 & 1 \\ 0 & 1 - m^2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 - m & 0 & m \end{array}\right ) }

 

2De la tercera fila se observa que si m = 1, se tiene que el sistema es incompatible ya que 0 \neq 1

 

3Si m \neq 1, se tiene que el sistema es compatible determinado y es quivalente a

 

\left \{ \begin{array}{rcl} x + my + z & = & 1 \\ (1 - m^2) y - z & = & 0 \\ (1 - m) y & = & m \end{array} \right.

 

De la tercera ecuación se obtiene

 

y = \cfrac{m}{1 - m}

 

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl}(1 - m^2) y - z & = & 0 \\ (1 - m^2) \cfrac{m}{1 - m} - z & = & 0 \\ z & = & (1 + m) m \end{array}

 

Sustituimos los valores de y, z en la primera ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} x + my + z & = & 1 \\ x + m\cfrac{m}{1 - m} + (1 + m)m & = & 1 \\ x & = & \cfrac{m^3 - m^2 - 2m + 1}{1 - m} \end{array}

15Estudiar si existe algún valor de m, para el cual el sistema es compatible. Si es así, resolver del sistema para ese valor de m

\left \{ \begin{array}{rcl} x - y + z & = & 7 \\ 2x + m y - 4z & = & m \\ x + y - z & = & 1 \\ -x + y - z & = & 3 \end{array} \right.

1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos la fila {f_4} por {f_4 + f_{1}}

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 7 \\ 2 & m & -4 & m \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 & 3 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 7 \\ 2 & m & -4 & m \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{array}\right ) }

 

2De la cuarta fila se observa que el sistema es incompatible para cualquier valor de m ya que 0 \neq 10

16Discutir el sistema según los valores del parámetro a

\left \{ \begin{array}{rcl} x + y + 2t & = & 3 \\ 3x - y + z - t & = & 1 \\ 5x - 3y + 2z - 4t & = & a \\ 2x + y + z + t & = & 2 \end{array} \right.

1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas {f_{2}, f_{3}, f_4} por {f_{2} - 3 f_{1}, f_{3} - 5 f_{1}, f_4 - 2 f_1} respectivamente y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 0 & 2 & 3 \\ 3 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ 5 & -3 & 2 & -4 & a \\ 2 & 1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & -4 & 1 & -7 & -8 \\ 0 & -8 & 2 & -14 & a - 15 \\ 0 & -1 & 1 & -3 & -4 \end{array}\right ) }

 

2Reemplazamos las filas {f_{3}, f_4} por {f_{3} - 2 f_{2}, f_4 - f_2} respectivamente y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & -4 & 1 & -7 & -8 \\ 0 & -8 & 2 & -14 & a - 15 \\ 0 & -1 & 1 & -3 & -4 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & -4 & 1 & -7 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a + 1 \\ 0 & 3 & 0 & 4 & 4 \end{array}\right ) }

 

3De la tercera fila se observa que si a = -1, se tiene que el sistema es compatible indeterminado ya que 0 = 0

 

4Si a \neq -1, se tiene que el sistema es incompatible.

17Discutir el sistema según los valores de los parámetro a y b

\left \{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & a \\ x - y & = & 0 \\ 3x + y + b z & = & 0 \end{array} \right.

1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas {f_{1}, f_{3}} por {f_{1} + f_{2}, f_{3} + f_{2}} respectivamente y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & a \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & b & 0 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 1 & a \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & b & 0 \end{array}\right ) }

 

2Reemplazamos la fila {f_{3}} por {f_{3} - 2 f_{1}} y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 1 & a \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & b & 0 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 1 & a \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b - 2 & -2a \end{array}\right ) }

 

3De la tercera fila se observa que:

 

si b = 2 y a \neq 0, entonces el sistema es incompatible;

 

si b = 2 y a = 0, entonces el sistema es compatible indeterminado;

 

si b \neq 2, entonces el sistema es compatible determinado para cualquier valor de a.

18Determinar para qué valores de k, el siguiente sistema tiene infinitas soluciones

\left \{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 0 \\ x - y + z & = & 0 \\ kx + z & = & 0 \end{array} \right.

1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos la fila {f_{2}} por {\cfrac{1}{2}(f_{2} + f_{1})} y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ k & 0 & 1 & 0 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ k & 0 & 1 & 0 \end{array}\right ) }

 

2Reemplazamos la fila {f_{3}} por {f_{3} - f_{1}} y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ k & 0 & 1 & 0 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ k - 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right ) }

 

3De la tercera fila se observa que si k = 1, entonces el sistema es compatible indeterminado, por lo que tiene infinitas soluciones.

 

Problemas de aplicación de sistemas de ecuaciones

 

19El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de 500 € (sin impuestos). El valor del vino es 60 € menos que el de los refrescos y de la cerveza conjuntamente. Teniendo en cuenta que los refrescos deben pagar un IVA del 6 \%, por la cerveza del 12 \% y por El vino del 30 \%, lo que hace que la factura total con impuestos sea de 592.4 €, calcular la cantidad invertida en cada tipo de bebida..

1Representamos por x, y, z los importes en € de refresco, cerveza y vino. Escribimos las condiciones mediante ecuaciones

 

El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de 500 € (sin impuestos)

 

x + y + z = 500

 

El valor del vino es 60 € menos que el de los refrescos y de la cerveza conjuntamente

 

x + y - z = 60

 

Teniendo en cuenta que los refrescos deben pagar un IVA del 6 \%, por la cerveza del 12 \% y por El vino del 30 \%, lo que hace que la factura total con impuestos sea de 592.4 €

 

\cfrac{6x}{100} + \cfrac{12y}{100} + \cfrac{30z}{100} = 92.4

 

Multiplicando ambos lados de la ecuación por 100, se obtiene

 

6x + 12y + 30z = 9240

 

2Se obtiene el sistema de ecuaciones

 

\left \{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 540 \\ x + y - z & = & 60 \\ 6x + 12y + 30z & = & 9240 \end{array} \right.

 

3Escribimos en forma matricial las tres ecuaciones. Reemplazamos las filas {f_{2}, f_{3}} por {f_{1} - f_{2}, f_{3} - 6 f_{1}} respectivamente y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 500 \\ 1 & 1 & -1 & 60 \\ 6 & 12 & 30 & 9240 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 500 \\ 0 & 0 & 2 & 440 \\ 0 & 6 & 24 & 6240 \end{array}\right ) }

 

3El sistema es compatible determinado y es quivalente a

 

\left \{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 500 \\ 2z & = & 440 \\ 6y + 24z & = & 6240 \end{array} \right.

 

De la segunda ecuación se obtiene

 

z = 220

 

Sustituimos el valor de z en la tercera ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl}6y + 24z & = & 6240 \\ 6y + 24(220) & = & 6240 \\ y & = & 160 \end{array}

 

Sustituimos los valores de y, z en la primera ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 500 \\ x + 160 + 220 & = & 500 \\ x & = & 120 \end{array}

 

4La solución es x = 120 €, y = 160 €,z = 220 €.

20Una empresa tiene tres minas con menas de composiciones:

Níquel (%) Cobre (%) Hierro (%)
Mina A 1 2 3
Mina B 2 5 7
Mina C 1 3 1

¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro?

1Representamos por x, y, z el número de toneladas de las minas A, B y C. Escribimos las condiciones mediante ecuaciones lo cual da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:

 

\left \{ \begin{array}{rcl} \cfrac{x}{100} + \cfrac{2y}{100} +\cfrac{z}{100} & = & 7 \\ \cfrac{2x}{100} + \cfrac{5y}{100} + \cfrac{3z}{100} & = & 18 \\ \cfrac{3x}{100} + \cfrac{7y}{100} + \cfrac{z}{100} & = & 16 \end{array} \right.

 

2Escribimos en forma matricial las tres ecuaciones. Reemplazamos las filas {f_1, f_{2}, f_{3}} por {100 f_{1}, 100 ( f_{2} - 2 f_1), 100 (f_{3} - 3 f_{1})} respectivamente y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} \cfrac{1}{100} & \cfrac{2}{100} & \cfrac{1}{100} & 7 \\ \cfrac{2}{100} & \cfrac{5}{100} & \cfrac{3}{100} & 18 \\ \cfrac{3}{100} & \cfrac{7}{100} & \cfrac{1}{100} & 16 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 700 \\ 0 & 1 & 1 & 400 \\ 0 & 1 & -2 & -5 \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos la fila {f_{3}} por {f_{3} - f_2} y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 700 \\ 0 & 1 & 1 & 400 \\ 0 & 1 & -2 & -500 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 700 \\ 0 & 1 & 1 & 400 \\ 0 & 0 & -3 & -900 \end{array}\right ) }

 

3El sistema es compatible determinado y es quivalente a

 

\left \{ \begin{array}{rcl} x + 2y + z & = & 700 \\ y + z & = & 400 \\ -3z & = & -900 \end{array} \right.

 

De la tercera ecuación se obtiene

 

z = 300

 

Sustituimos el valor de z en la segunda ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl}y + z & = & 400 \\ y + 300 & = & 400 \\ y & = & 100 \end{array}

 

Sustituimos los valores de y, z en la primera ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} x + 2y + z & = & 700 \\ x + 2(100) + 300 & = & 700 \\ x & = & 200 \end{array}

21La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos), la edad del padre era triple que la suma de las edades, en aquel tiempo, de sus hijos. Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de edades de las tres personas será 150 años. ¿Qué edad tenía el padre en el momento de nacer sus hijos?

1Representamos por x, y, z las edades actuales del padre, el hijo myor y el hijo menor. Escribimos las condiciones mediante ecuaciones

 

La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos

 

\begin{array}{rcl} x & = & 2(y + z) \\ x - 2y -2z & = & 0 \end{array}

 

Hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos), la edad del padre era triple que la suma de las edades, en aquel tiempo, de sus hijos

 

\begin{array}{rcl} x - (y - z) & = & 3[y - (y - z) + z - ( y - z)] \\ x + 2y - 8z & = & 0 \end{array}

 

Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de edades de las tres personas será 150 años

 

\begin{array}{rcl} x + (y + z) + y + (y + z) + z + ( y + z) & = & 150 \\ x + 4y + 4z & = & 150 \end{array}

 

2Se obtiene el sistema de ecuaciones

 

\left \{ \begin{array}{rcl} x - 2y - 2z & = & 0 \\ x + 2y - 8z & = & 0 \\ x + 4y + 4z & = & 150 \end{array} \right.

 

3Escribimos en forma matricial las tres ecuaciones. Reemplazamos las filas {f_{2}, f_{3}} por {f_{2} - f_{1}, f_{3} - f_{1}} respectivamente y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & -8 & 0 \\ 1 & 4 & 4 & 150 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 4 & -6 & 0 \\ 0 & 6 & 6 & 150 \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos la fila {f_{3}} por {2 f_{3} - 3 f_{2}} respectivamente y obtenemos

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 4 & -6 & 0 \\ 0 & 6 & 6 & 150 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 4 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & 30 & 300 \end{array}\right ) }

 

3El sistema es compatible determinado y es quivalente a

 

\left \{ \begin{array}{rcl} x - 2y - 2z & = & 0 \\ 4y - 6z & = & 0 \\ 30z & = & 300 \end{array} \right.

 

De la tercera ecuación se obtiene

 

z = 10

 

Sustituimos el valor de z en la segunda ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl}4y - 6z & = & 0 \\ 4y - 6(10) & = & 0 \\ y & = & 15 \end{array}

 

Sustituimos los valores de y, z en la primera ecuación y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} x - 2y - 2z & = & 0 \\ x - 2(15) - 2(10) & = & 0 \\ x & = & 50 \end{array}

 

4Al nacer los hijos el padre tenía 35 y 40 años.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗