21 diciembre 2020
Temas
Sistemas compatibles determinados e indeterminados
Decir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
1En un sistema compatible indeterminado se puede eliminar una ecuación y obtener un sistema equivalente.
Si
Para el sistema
Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas por
respectivamente y obtenemos
Reemplazamos la fila por
y obtenemos
El sistema equivalente es
La solución del sistema compatible indeterminado es
2Un sistema compatible indeterminado es equivalente a un sistema homogéneo.
No
Los sistemas homogéneos, por lo general, sólo admiten la solución trivial:
,
mientras que los sistemas compatibles indeterminados admiten infinitas soluciones.
3Todo sistema compatible indeterminado tiene dos ecuaciones iguales.
No
El sistema compatible indeterminado
no tiene dos ecuaciones iguales. La solución del sistema compatible indeterminado es
4De un sistema compatible determinado podemos extraer otro compatible indeterminado (no equivalente) eliminando ecuaciones.
Si
Para el sistema
Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas por
respectivamente y obtenemos
La solución del sistema compatible determinado es
Si eliminamos la segunda ecuación del sistema compatible determinado original, obtenemos el sistema compatible indeterminado
cuya solución es
Clasificación de sistemas
5Discutir el siguiente sistema y resolverlo en caso de que proceda:
1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas por
respectivamente y obtenemos
2Reemplazamos la fila por
y obtenemos
La solución del sistema compatible determinado es
6Discutir el siguiente sistema y resolverlo en caso de que proceda:
1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos la fila por
y obtenemos
2Hacemos , sustituimos este valor en las dos ecuaciones
3La solución del sistema compatible indeterminado es
7Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas por
respectivamente y obtenemos
2De la matriz anterior se obtiene
3De la tercera ecuación se obtiene
4Sustituimos el valor de en la segunda ecuación y se obtiene
5Sustituimos los valores de en la primera ecuación y se obtiene
6La solución del sistema compatible determinado es
8Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
1Escribimos en forma matricial. Intercambiamos las filas por
respectivamente y obtenemos
Reemplazamos las filas por
respectivamente y obtenemos
Reemplazamos la fila por
y obtenemos
2De la matriz anterior se obtiene
3Sustituimos el valor de en la segunda ecuación y se obtiene
4Sustituimos los valores de en la primera ecuación y se obtiene
5La solución del sistema compatible determinado es
9Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas por
respectivamente y obtenemos
Reemplazamos la fila por
y obtenemos
2De la matriz anterior se obtiene
3Hacemos y sustituimos en la segunda ecuación para obtener
4Sustituimos los valores de en la primera ecuación y se obtiene
5La solución del sistema compatible indeterminado es
¿Necesitas clases de apoyo matematicas?
10Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas por
respectivamente y obtenemos
Reemplazamos las filas por
y obtenemos
2De la matriz anterior se obtiene
3Hacemos y sustituimos en la tercera ecuación para obtener
4Sustituimos los valores de en la segunda ecuación y se obtiene
5Sustituimos los valores de en la primera ecuación y se obtiene
6La solución del sistema compatible indeterminado es
11Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas por
respectivamente y obtenemos
Reemplazamos las filas por
y obtenemos
2En la matriz anterior la última fila es un múltiplo de la penúltima, por lo que se obtiene
3De la tercera ecuación se obtiene . Hacemos
y sustituimos en la segunda ecuación para obtener
4Sustituimos los valores de en la primera ecuación y se obtiene
5La solución del sistema compatible indeterminado es
12Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
1Escribimos en forma matricial e intercambiamos las filas uno y dos
Reemplazamos las filas por
y obtenemos
Reemplazamos la fila por
y obtenemos
2Se obtiene el sistema equivalente
3Hacemos y sustituimos en la tercera ecuación para obtener
4Sustituimos los valores de en la segunda ecuación y se obtiene
5Sustituimos los valores de en la primera ecuación y se obtiene
13Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas por
respectivamente y obtenemos
Reemplazamos las filas por
y obtenemos
Reemplazamos la fila por
y obtenemos
2De la matriz anterior se tiene que el sistema es incompatible.
Determinación de parámetros
14Estudiar si existe algún valor de , para el cual el sistema es compatible. Si es así, resolver del sistema para ese valor de
.
1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas por
respectivamente y obtenemos
2De la tercera fila se observa que si , se tiene que el sistema es incompatible ya que
3Si , se tiene que el sistema es compatible determinado y es quivalente a
De la tercera ecuación se obtiene
Sustituimos el valor de en la segunda ecuación y se obtiene
Sustituimos los valores de en la primera ecuación y se obtiene
15Estudiar si existe algún valor de , para el cual el sistema es compatible. Si es así, resolver del sistema para ese valor de
1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos la fila por
2De la cuarta fila se observa que el sistema es incompatible para cualquier valor de ya que
16Discutir el sistema según los valores del parámetro
1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas por
respectivamente y obtenemos
2Reemplazamos las filas por
respectivamente y obtenemos
3De la tercera fila se observa que si , se tiene que el sistema es compatible indeterminado ya que
4Si , se tiene que el sistema es incompatible.
17Discutir el sistema según los valores de los parámetro y
1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos las filas por
respectivamente y obtenemos
2Reemplazamos la fila por
y obtenemos
3De la tercera fila se observa que:
si y
, entonces el sistema es incompatible;
si y
, entonces el sistema es compatible indeterminado;
si , entonces el sistema es compatible determinado para cualquier valor de
.
18Determinar para qué valores de , el siguiente sistema tiene infinitas soluciones
1Escribimos en forma matricial. Reemplazamos la fila por
y obtenemos
2Reemplazamos la fila por
y obtenemos
3De la tercera fila se observa que si , entonces el sistema es compatible indeterminado, por lo que tiene infinitas soluciones.
Problemas de aplicación de sistemas de ecuaciones
19El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de € (sin impuestos). El valor del vino es
€ menos que el de los refrescos y de la cerveza conjuntamente. Teniendo en cuenta que los refrescos deben pagar un IVA del
, por la cerveza del
y por El vino del
, lo que hace que la factura total con impuestos sea de
€, calcular la cantidad invertida en cada tipo de bebida..
1Representamos por los importes en € de refresco, cerveza y vino. Escribimos las condiciones mediante ecuaciones
El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de € (sin impuestos)
El valor del vino es € menos que el de los refrescos y de la cerveza conjuntamente
Teniendo en cuenta que los refrescos deben pagar un IVA del , por la cerveza del
y por El vino del
, lo que hace que la factura total con impuestos sea de
€
Multiplicando ambos lados de la ecuación por , se obtiene
2Se obtiene el sistema de ecuaciones
3Escribimos en forma matricial las tres ecuaciones. Reemplazamos las filas por
respectivamente y obtenemos
3El sistema es compatible determinado y es quivalente a
De la segunda ecuación se obtiene
Sustituimos el valor de en la tercera ecuación y se obtiene
Sustituimos los valores de en la primera ecuación y se obtiene
4La solución es €,
€,
€.
20Una empresa tiene tres minas con menas de composiciones:
Níquel (%) | Cobre (%) | Hierro (%) | |
---|---|---|---|
Mina A | 1 | 2 | 3 |
Mina B | 2 | 5 | 7 |
Mina C | 1 | 3 | 1 |
¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro?
1Representamos por el número de toneladas de las minas A, B y C. Escribimos las condiciones mediante ecuaciones lo cual da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:
2Escribimos en forma matricial las tres ecuaciones. Reemplazamos las filas por
respectivamente y obtenemos
Reemplazamos la fila por
y obtenemos
3El sistema es compatible determinado y es quivalente a
De la tercera ecuación se obtiene
Sustituimos el valor de en la segunda ecuación y se obtiene
Sustituimos los valores de en la primera ecuación y se obtiene
21La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos), la edad del padre era triple que la suma de las edades, en aquel tiempo, de sus hijos. Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de edades de las tres personas será 150 años. ¿Qué edad tenía el padre en el momento de nacer sus hijos?
1Representamos por las edades actuales del padre, el hijo myor y el hijo menor. Escribimos las condiciones mediante ecuaciones
La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos
Hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos), la edad del padre era triple que la suma de las edades, en aquel tiempo, de sus hijos
Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de edades de las tres personas será 150 años
2Se obtiene el sistema de ecuaciones
3Escribimos en forma matricial las tres ecuaciones. Reemplazamos las filas por
respectivamente y obtenemos
Reemplazamos la fila por
respectivamente y obtenemos
3El sistema es compatible determinado y es quivalente a
De la tercera ecuación se obtiene
Sustituimos el valor de en la segunda ecuación y se obtiene
Sustituimos los valores de en la primera ecuación y se obtiene
4Al nacer los hijos el padre tenía 35 y 40 años.
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
1
Considera en R2 el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:
x+4y+1=0,
x – 2x – 4y – 7 = 0,
donde x,y ER denotan las incógnitas
¿Para qué valores de «a» el sistema es incompatible?
(1 + 2a) x + 5y = 7
4y + (2 + a) x = 8