Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de reducción. En caso de que alguna solución sea una fracción escribela de la forma a/b.

1  \left\lbrace\begin{array}{l} 7x - 5y = 104\\ 5x + 2y = 52 \end{array}\right.

x =; y =

Vamos a eliminar la incógnita y entonces

 \left\lbrace\begin{array}{l} 7x - 5y = 104 \quad \xrightarrow{\times 2} \\ 5x + 2y = 52 \quad \xrightarrow{\times 5} \end{array}\right \quad \left\lbrace\begin{array}{c} 14 - 10y = 208\\ 25x + 10y = 260 \end{array}\right

Procedemos sumando las ecuaciones

\begin{array}{lllll} 14x &-& 10y &=& 208 \\ 25x& + &10y& = &260\\ \cline{1-5} 39x &&& = & 468 \end{array}

de donde obtenemos que la primera incógnita es

     \[ 39x = 468 \quad \Rightarrow \quad x = 12. \]

Y finalmente calculamos incógnita faltante

    \begin{align*} 5(12) + 2y &= 52 \\ 60 + 2y & = 52 \\ 2y &= -8 \\ y &= -4 \end{align*}

2  \left\lbrace\begin{array}{l} \frac{2y + 1}{4} + \frac{x-5}{2} = 12\\ 4(x - 3) + y = 30 \end{array}\right.

x =; y =

Comenzamos quitando los denominadores de la primera ecuación:

 \left\lbrace\begin{array}{l} \frac{2y + 1}{4} + \frac{x-5}{2} = 12 \quad \xrightarrow{\times 4}\\ 4(x - 3) + y = 30 \end{array}\right \quad \left\lbrace\begin{array}{c} 2y + 1 + 2(x-5) = 48\\ 25x + 10y = 260 \end{array}\right

Distribuyendo:

 \left\lbrace\begin{array}{c} 2x + 2y = 57\\ 4x + y = 42 \end{array}\right.

Suprimimos la incógnita y:

 \left\lbrace\begin{array}{l} 2x + 2y = 57\\ 4x + y = 42 \quad \xrightarrow{\times (-2)} \end{array}\right \quad \left\lbrace\begin{array}{c} 2x + 2y = 57\\ -8x - 2y = -84 \end{array}\right

Sumando las ecuaciones

\begin{array}{lllll} 2x &+& 2y &=& 57 \\ -8x& - &2y& = &-84\\ \cline{1-5} -6x &&& = & -27 \end{array}

Por lo tanto las incógnitas son  x = 9/2 y

    \begin{align*} 2(9/2) + 2y &= 57\\ 9 + 2y &= 57\\ 2y &= 48\\ y &= 24 \end{align*}

3  \left\lbrace\begin{array}{c} x + y = 7\\ 5x - 2y = - 7 \end{array}\right.

x =; y =

Vamos suprimimos la incógnita x:

 \left\lbrace\begin{array}{l} x + y = 7 \quad \quad \xrightarrow{\times (-5)}\\ 5x - 2y = - 7 \end{array}\right \quad \left\lbrace\begin{array}{c} -5x -5y = -35 \\ 5x - 2y = - 7 \end{array}\right

Sumando las ecuaciones

\begin{array}{lllll} -5x&-&5y& = & - 35 \\ 5x&-&2y& = & -7 \\ \cline{1-5} &-&7y& = & -42 \end{array}

Por lo tanto las incógnitas son  y = 6 y

    \begin{align*} x + 6 &= 7\\ x &= 1 \end{align*}

4  \left\lbrace\begin{array}{c} x + 5y = 5\\ 3x - 5y = 3 \end{array}\right.

x =; y =

Vamos suprimimos la incógnita y:

\begin{array}{lllll} x &+& 5y &=& 5 \\ 3x& - &5y& = &3\\ \cline{1-5} 4x &&& = & 8 \end{array}

Por lo tanto las incógnitas son  x = 2 y

    \begin{align*} 2 + 5y &= 5\\ 5y &= 3\\ y &= 3/5 \end{align*}

5  \left\lbrace\begin{array}{c} 3x = 2y - 2\\ 6x = -4y -20 \end{array}\right.

x =; y =

Suprimimos la incógnita y:

 \left\lbrace\begin{array}{l} 3x = 2y - 2 \quad \xrightarrow{\times 2}\\ 6x = -4y -20 \end{array}\right \quad \left\lbrace\begin{array}{c} 6x = 4y - 4 \\ 6x = -4y -20 \end{array}\right

Sumamos las ecuaciones

\begin{array}{lllll} 6x &=& 4y &-& 4 \\ 6x& = &-4y& - &20\\ \cline{1-5} 12x &= &&- &24 \end{array}

Por lo tanto las incógnitas son  x = -2 y

    \begin{align*} 6(-2) &= 4y - 4\\ -12 + 4 &= 4y \\ -2 &= y. \end{align*}

6  \left\lbrace\begin{array}{c} 2x + 5y = 5\\ -3x + 7y = 36 \end{array}\right.

x =; y =

Suprimimos la incógnita x:

 \left\lbrace\begin{array}{c} 2x + 5y = 5 \quad \xrightarrow{\times 3}\\ -3x + 7y = 36 \quad \xrightarrow{\times 2} \end{array}\right \quad \left\lbrace\begin{array}{c} 6x + 15y = 15\\ -6x + 14y = 72 \end{array}\right

Sumamos las ecuaciones

\begin{array}{lllll} 6x &+&15y &=& 15\\ -6x&+ &14y& = &72\\ \cline{1-5} &&29y&=&87 \end{array}

Por lo tanto las incógnitas son  y = 87/29 = 3 y

    \begin{align*} 2x + 5(3) &= 5 \\ 2x &= -10 \\ x &= -5 \end{align*}

7  \left\lbrace\begin{array}{c} 3x-4y = 32\\ 5x + y = 38 \end{array}\right.

x =; y =

Vamos a eliminar la incógnita y:

 \left\lbrace\begin{array}{l} 3x-4y = 32 \\ 5x + y = 38 \quad \xrightarrow{\times 4} \end{array}\right \quad \left\lbrace\begin{array}{c} 3x-4y = 32\\ 20x + 4y = 152 \end{array}\right

Sumamos las ecuaciones

\begin{array}{lllll} 3x &-&4y &=& 32\\ 20x&+ &4y& = &152\\ \cline{1-5} 23x &&&=&184 \end{array}

Por lo tanto las incógnitas son  x = 184/23 = 8 y

    \begin{align*} 5(8) + y &= 38 \\ y &= 38-40 \\ y &= -2 \end{align*}

Resuelve los siguientes problemas:

8En un instituto hay 60 profesores repartidos en dos pabellones, A y B. El 30% del A y el 10% del B son hombres, lo que hace un total de 10 profesores. ¿Cuántos profesores hay en cada pabellón?

Pabellón A profesores;

 

Pabellón B profesores.

Primeramente elegimos las incógnitas. Sea

 x: \textrm{número de profesores del pabellón A}.

 y: \textrm{ número de profesores del pabellón B}.

Obtenemos las ecuaciones relacionando los datos que nos da el enunciado:

En total hay 60 profesores por lo que
 x + y = 60

Por otro lado, el 30% de los profesores de A más el 10% de los profesores de B son hombres, sumando 10 en total. Entonces,
 0.30x + 0.10y = 10

Por lo tanto las ecuaciones nos quedan

 \left\lbrace\begin{array}{c} x + y = 60\\ 0.30x + 0.10y = 10 \end{array}\right.

Resolvemos

 \left\lbrace\begin{array}{l} x + y = 60 \\ 0.30x + 0.10y = 10 \quad \xrightarrow{\times 10} \end{array}\right \quad \left\lbrace\begin{array}{c} x + y = 60 \\ -3x - y = -100 \end{array}\right

Sumamos las ecuaciones

\begin{array}{lllll} x &+&y &=& 60\\ -3x&- &y& = &-100\\ \cline{1-5} -2x &&&=&-40 \end{array}

De aquí, se obtiene que  x = 20 y sustituyendo encontramos que  y= 40.

Es decir, hay 20 profesores en el pabellón A y 40 en el pabellón B.

9Calcula un número tal que la suma de sus cifras es 11 y sabiendo que dicho número menos 27 da el mismo número en orden inverso.

Elegimos las incógnitas. Sea

x: \textrm{cifra de las decenas}.

y: \textrm{cifra de las unidades}.

Obtenemos las ecuaciones relacionando los datos. Primeramente tenemos que la suma de las dos cifras es 11, por tanto
 x + y = 11

El número menos 27 da el número buscado con las cifras invertidas, entonces
 10x + y - 27 = 10y + x
o equivalentemente
 9x - 9y = 27

Resolvemos

 \left\lbrace\begin{array}{l} x + y = 11\\ 9x - 9y = 27 \quad \xrightarrow{\times \frac{1}{9}} \end{array}\right \quad \left\lbrace\begin{array}{c} x + y = 11 \\ x- y = 3 \end{array}\right

Sumamos las ecuaciones

\begin{array}{lllll} x &+&y &=& 11\\ x&- &y& = &3\\ \cline{1-5} 2x &&&=&14 \end{array}

De aquí, se obtiene que  x = 7 y sustituyendo encontramos que  y= 4.

Por tanto, la cifra de las decenas es 7 y la cifra de las unidades es 4, es decir, el número buscado es 74

10Carlos y Damián compiten en una carrera. Se sabe que el promedio de sus velocidades máximas es de 520 km/hr y además la velocidad máxima de Damián es 80 km/hr mayor que la velocidad máxima de Carlos. ¿Cuales son sus velocidades maximas?

Velocidad máxima de Carlos km/hr;

 

Velocidad máxima de Damián km/hr.

Elegimos las incógnitas. Sea

x: \textrm{velocidad máxima de Carlos}.

y: \textrm{velocidad máxima de Damián}.

Obtenemos las ecuaciones relacionando los datos. Primeramente tenemos que el promedio de las dos velocidades es 260 km/hr, por tanto
 \frac{x + y}{2} = 260
o equivalentemente
 x + y = 520

y ademas la velocidad máxima de Damián es 80 km/hr mayor que la velocidad máxima de Carlos, entonces
 y = 80 + x
equivalentemente
 -x + y = 80

Resolvemos

 \left\lbrace\begin{array}{l} x + y = 520 \\ -x + y = 80 \end{array}\right.

Sumamos las ecuaciones

\begin{array}{lllll} x &+&y &=& 520\\ -x&+ &y& = &80\\ \cline{1-5} &&2y&=&600 \end{array}

De aquí, se obtiene que  y=300 y sustituyendo encontramos que  x= 220.

11Alberto y su padre se llevan 25 años de edad. Calcular la edad de Alberto sabiendo que dentro de 15 años la edad de su padre será el doble que la suya.

Edad Alberto años;

 

Edad de su papá edad.

Elegimos las incógnitas. Sea

x: \textrm{Edad de Alberto}.

y: \textrm{Edad de su papá}.

Obtenemos las ecuaciones relacionando los datos. Tenemos que Alberto y su padre se llevan 25 años, por tanto
 x + 25= y \quad \Rightarrow \quad x - y = -25

dentro de 15 años la edad de Alberto será  x+ 15 y la de su padre será y + 15, ademas la edad del padre sera el doble que la suya, entonces
 2(x+15) = y + 15 \quad \Rightarrow \quad 2x - y = -15

Resolvemos

 \left\lbrace\begin{array}{l} x - y = -25 \\ 2x - y = -15 \quad \xrightarrow{\times (-1)} \end{array}\right \quad \left\lbrace\begin{array}{c} x - y = -25 \\ -2x + y = 15 \end{array}\right

Sumamos las ecuaciones

\begin{array}{lllll} x &-&y &=& -25\\ -2x&+ &y& = &15\\ \cline{1-5} -x &&&=&-10 \end{array}

De aquí, se obtiene que  x=10 y sustituyendo encontramos que  y= 35.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗