1 Decir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

A En un sistema compatible indeterminado se puede eliminar una ecuación y obtener un sistema equivalente.

B Un sistema compatible indeterminado es equivalente a un sistema homogéneo.

C Todo sistema compatible indeterminado tiene dos ecuaciones iguales.

D De un sistema compatible podemos extraer otro incompatible (no equivalente) eliminando ecuaciones.

 

A En un sistema compatible indeterminado se puede eliminar una ecuación y obtener un sistema equivalente.

 

Verdadero.

 

\left. \begin{array}{rcl} x - 9y + 5z & = & 33  \\  x + 3y - z & = & -9 \\  x - y + z & = & 5  \end{array}  \right \}

 

Escribimos en forma matricial

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & -9 & 5 & 33 \\ 1 & 3 & -1 & -9 \\ 1 & -1& -1 & 5 \\ \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos las filas {f_{2}} por f_2 - f_1 y {f_{3}} por f_3 - f_1 y obtenemos la matriz equivalente

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & -9 & 5 & 33 \\ 1 & 3 & -1 & -9 \\ 1 & -1& -1 & 5 \\ \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & -9 & 5 & 33 \\ 0 & 12 & -6 & -42 \\ 0 & 8 & -4 & -28 \\ \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos la fila {f_{3}} por {12f_3 - 8f_2} y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & -9 & 5 & 33 \\ 0 & 12 & -6 & -42 \\ 0 & 8 & -4 & -28 \\ \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & -9 & 5 & 33 \\ 0 & 12 & -6 & -42 \\ 0 & 0 & 0 & -0 \\ \end{array}\right ) }

 

Así se puede eliminar la tercera ecuación ya que es combinación lineal de las otras dos ecuaciones.

 

B Un sistema compatible indeterminado es equivalente a un sistema homogéneo.

 

Falso.

 

Los sistemas homogéneos, por lo general, sólo admiten la solución trivial: x = 0; y = 0; z = 0. Mientras que los sistemas compatibles determinados admiten infinitas soluciones.

 

C Todo sistema compatible indeterminado tiene dos ecuaciones iguales.

 

Falso.

 

En un sistema compatible todas sus ecuaciones son distintas

 

D De un sistema compatible podemos extraer otro incompatible (no equivalente) eliminando ecuaciones.

 

Verdadero.

 

\left. \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 1 \\ 2x + 3y - 4z & = & 9 \\ x - y + z & = & -1 \end{array} \right \}

 

Escribimos en forma matricial

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -4 & 9 \\ 1 & -1& 1 & -1 \\ \end{array}\right ) }

 

Reemplazamos las filas {f_{2}} por f_2 - 2f_1 y {f_{3}} por f_3 - f_1 y obtenemos la matriz equivalente

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -4 & 9 \\ 1 & -1& 1 & -1 \\ \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -6 & 7 \\ 0 & -2 & 0 & -2 \\ \end{array}\right ) }

 

Así se tiene un sistema compatible determinado con solución x = 1; y = 1; z = -1

 

Eliminando la segunda ecuación del sistema original y haciendo z = \lambda, se obtiene el sistema incompatible indeterminado

 

\left. \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 1 \\ x - y + z & = & -1 \end{array} \right \}

 

con solución z = \lambda; x = 0; y = 1 - \lambda

 

2Clasificar y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

 

\left. \begin{array}{rcl} x - 2y - 2z + t & = & 4 \\ x + y + z - t & = & 5 \\ x - y - z + t & = & 6 \\ 6x -3y - 3z + 2t & = & 32 \end{array} \right \}

 

 

Clasificar y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

 

\left. \begin{array}{rcl} x - 2y - 2z + t & = & 4 \\ x + y + z - t & = & 5 \\ x - y - z + t & = & 6 \\ 6x -3y - 3z + 2t & = & 32 \end{array} \right \}

 

1Escribimos en forma matricial

 

{\left (\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & 5 \\ 1 & -1& -1 & 1 & 6 \\ 6 & -3 & -3 & 2 & 32 \end{array}\right ) }

 

2Reemplazamos las filas {f_{2}} por f_2 - 2f_1, la fila {f_{3}} por f_3 - f_1, la fila {f_{4}} por f_4 - 6f_3  y obtenemos la matriz equivalente

 

{\left (\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & 5 \\ 1 & -1& -1 & 1 & 6 \\ 6 & -3 & -3 & 2 & 32 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 1& 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & -4 & -4 \end{array}\right ) }

 

3Reemplazamos las filas {f_{3}} por 3f_3 - f_2, la fila {f_{4}} por f_4 - f_2 y obtenemos la matriz equivalente

 

{\left (\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 1& 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & -4 & -4 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 5 \end{array}\right ) }

 

4Reemplazamos las filas {f_{4}} por f_4 + f_3 y obtenemos la matriz equivalente

{\left (\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 5 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right ) }

 

5El sistema obtenido es compatible indeterminado. Tomando z = \lambda se tiene la solución

 

z = \lambda; \ t = \cfrac{5}{2}; \ x = \cfrac{11}{2}; \ y = 2 - \lambda

 

3Clasificar y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

 

\left. \begin{array}{rcl} x - y - z + t & = & 4 \\ x + y + z - t & = & 1 \\ x - y + z + t & = & 2 \\ x -y - z + 2t & = & 3 \end{array} \right \}

 

 

Clasificar y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

 

\left. \begin{array}{rcl} x - y - z + t & = & 4 \\ x + y + z - t & = & 1 \\ x - y + z + t & = & 2 \\ x -y - z + 2t & = & 3 \end{array} \right \}

 

1Escribimos en forma matricial

 

{\left (\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & -1 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1& 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -1 & 2 & 3 \end{array}\right ) }

 

2Reemplazamos las filas {f_{2}} por f_2 - f_1, la fila {f_{3}} por f_3 - f_1, la fila {f_{4}} por f_4 - f_1 y obtenemos la matriz equivalente

 

{\left (\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & -1 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1& 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -1 & 2 & 3 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & -1 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 2 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right ) }

 

3El sistema obtenido es compatible determinado y la solución es

 

t = -1; \ z = -1; \ y = -\cfrac{3}{2}; \ x = \cfrac{5}{2}

 

4Resolver el siguiente sistema de ecuaciones de ecuaciones lineales:

 

\left. \begin{array}{rcl} x + y & = & 1 \\ x + z & = & -1 \\ x + y + z & = & 0 \end{array} \right \}

 

¿Es posible transformarlo en uno compatible indeterminado cambiando solamente la tercera ecuación?

 

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones de ecuaciones lineales:

 

\left. \begin{array}{rcl} x + y & = & 1 \\ x + z & = & -1 \\ x + y + z & = & 0 \end{array} \right \}

 

1Escribimos en forma matricial

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{array}\right ) }

 

2Reemplazamos las filas {f_{2}} por f_2 - f_1, {f_{3}} por f_3 - f_1 y obtenemos la matriz equivalente

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ \end{array}\right ) }

 

Así se tiene un sistema compatible determinado con solución z = -1; \ y = 1; \ x = 0

 

3¿Es posible transformarlo en uno compatible indeterminado cambiando solamente la tercera ecuación?

 

Sí, podemos transformarlo en un sistema compatible indeterminado, con sólo hacer que la tercera ecuación sea la suma de la primera y segunda.

 

\left. \begin{array}{rcl} x + y & = & 1 \\ x + z & = & -1 \\ 2x + y + z & = & 0 \end{array} \right \}

 


¿Y si pruebas nuestras clases particulares de algebra lineal?

5Resolver el siguiente sistema de ecuaciones de ecuaciones lineales:

 

\left. \begin{array}{rcl} x + y & = & 2 \\  y + z  & = & 3 \\ x - y - z & = & 5  \end{array} \right \}

 

¿Es posible transformarlo en uno compatible indeterminado cambiando solamente la tercera ecuación?

 

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones de ecuaciones lineales:

 

\left. \begin{array}{rcl} x + y & = & 2 \\ y + z & = & 3 \\ x - y - z & = & 5 \end{array} \right \}

 

1Escribimos en forma matricial

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1& -1 & 5 \\ \end{array}\right ) }

 

2Reemplazamos las filas {f_{3}} por f_3 - f_2  y obtenemos la matriz equivalente

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1& -1 & 5 \\ \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -2& -1 & 3 \\ \end{array}\right ) }

 

3Reemplazamos las filas {f_{3}} por f_3 - f_2 y obtenemos la matriz equivalente

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -2& -1 & 3 \\ \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0& 1 & 9 \\ \end{array}\right ) }

 

Así se tiene un sistema compatible determinado con solución z = 9; \ y = -6; \ x = 8

 

4¿Es posible transformarlo en uno compatible indeterminado cambiando solamente la tercera ecuación?

 

Sí, podemos transformarlo en un sistema compatible indeterminado, con sólo hacer que la tercera ecuación sea la suma de la primera y segunda.

 

\left. \begin{array}{rcl} x + y & = & 2 \\ y + z & = & 3 \\ x + 2y + z & = & 5 \end{array} \right \}

 

6 Estudiar si existe algún valor de k, para el cual el sistema es compatible. Si es así, resolver del sistema para ese valor de k.

 

\left. \begin{array}{rcl} x - y& = & 1 \\ x + ky & = & 2 \end{array} \right \}

 

 

Estudiar si existe algún valor de k, para el cual el sistema es compatible. Si es así, resolver del sistema para ese valor de k.

 

\left. \begin{array}{rcl} x - y& = & 1 \\ x + ky & = & 2 \end{array} \right \}

 

1Escribimos en forma matricial

 

{\left (\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 1 \\ 1 & k & 2 \end{array}\right ) }

 

2Reemplazamos la fila {f_{2}} por f_2 - f_1 y obtenemos la matriz equivalente

 

{\left (\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 1 \\ 1 & k & 2 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 1 \\ 0 & k + 1 & 1 \end{array}\right ) }

 

De la matriz observamos que si k = -1, el sistema es incompatible. Si k \neq -1 el sistema es compatible determinado

 

7 Estudiar si existe algún valor de m, para el cual el sistema es compatible. Si es así, resolver del sistema para ese valor de m.

 

\left. \begin{array}{rcl} x - y + z & = & 7 \\  2x + my - 4z & = & m \\ x + y - z & = & 1 \\ -x + y - z & = & 3 \end{array} \right \}

 

 

Estudiar si existe algún valor de m, para el cual el sistema es compatible. Si es así, resolver del sistema para ese valor de m.

 

\left. \begin{array}{rcl} x - y + z & = & 7 \\ 2x + my - 4z & = & m \\ x + y - z & = & 1 \\ -x + y - z & = & 3 \end{array} \right \}

 

1Escribimos en forma matricial

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 7 \\ 2 & m & -4 & m \\ 1 & 1& -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 & 3 \end{array}\right ) }

 

2Reemplazamos las filas {f_{4}} por f_4 + f_1 y obtenemos la matriz equivalente

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 7 \\ 2 & m & -4 & m \\ 1 & 1& -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 & 3 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 7 \\ 2 & m & -4 & m \\ 1 & 1& -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{array}\right ) }

 

Como 0 \neq 10, el sistema es incompatible para cualquier valor de m

 

8Se tienen tres lingotes compuestos del siguiente modo:

 

  • El primero de 20 \ g de oro, 30 \ g de plata y 40 \ g de cobre.
  • El segundo de 30 \ g de oro, 40 \ g de plata y 50 \ g de cobre.
  • El tercero de 40 \ g de oro, 50 \ g de plata y 90 \ g de cobre.

Se pide qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para formar un nuevo lingote de 34 \ g de oro, 46 \ g de plata y 67 \ g de cobre.

 

Se tienen tres lingotes compuestos del siguiente modo:

 

  • El primero de 20 \ g de oro, 30 \ g de plata y 40 \ g de cobre.
  • El segundo de 30 \ g de oro, 40 \ g de plata y 50 \ g de cobre.
  • El tercero de 40 \ g de oro, 50 \ g de plata y 90 \ g de cobre.

Se pide qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para formar un nuevo lingote de 34 \ g de oro, 46 \ g de plata y 67 \ g de cobre.

 

1Designamos las variables

 

x es el peso del 1er lingote.

y es el peso del 2º lingote.

z es el peso del 3er lingote.

 

2Escribimos la ecuación para el oro

 

En el 1er lingote, la ley del oro es: \cfrac{20}{90} = \cfrac{2}{9}

 

En el 2º lingote, la ley del oro es: \cfrac{30}{120} = \cfrac{1}{4}

 

En el 3 er lingote, la ley del oro es: \cfrac{40}{180} = \cfrac{2}{9}

 

La ecuación para el oro es:

 

\cfrac{2x}{9} + \cfrac{y}{4} + \cfrac{2z}{9} = 34

 

3Escribimos la ecuación para la plata

 

En el 1er lingote, la ley de la plata es: \cfrac{30}{90} = \cfrac{1}{3}

 

En el 2º lingote, la ley de la plata es: \cfrac{40}{120} = \cfrac{1}{3}

 

En el 3 er lingote, la ley de la plata es: \cfrac{50}{180} = \cfrac{5}{18}

 

La ecuación para el plata es:

 

\cfrac{x}{3} + \cfrac{y}{3} + \cfrac{5z}{18} = 46

 

4Escribimos la ecuación para el cobre

 

En el 1er lingote, la ley del cobre es: \cfrac{40}{90} = \cfrac{4}{9}

 

En el 2ºlingote, la ley del cobre es: \cfrac{50}{120} = \cfrac{5}{12}

 

En el 3 er lingote, la ley del cobre es: \cfrac{90}{180} = \cfrac{1}{2}

 

La ecuación para el cobre es:

 

\cfrac{4x}{9} + \cfrac{5y}{12} + \cfrac{z}{2} = 67

 

5Se obtiene el sistema

 

\left. \begin{array}{rcl} 8x + 9y + 8z & = & 1224 \\ 6x + 6y + 5z & = & 828 \\ 16x + 15y + 18z & = & 2412  \end{array} \right \}

 

6Escribimos en forma matricial

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 8 & 9 & 8 & 1224 \\ 6 & 6 & 5 & 828 \\ 16 & 15 & 18 & 2412 \end{array}\right ) }

 

7Reemplazamos las filas {f_{2}} por 4f_2 - 3f_1, {f_{3}} por f_3 - 2f_1 y obtenemos la matriz equivalente

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 8 & 9 & 8 & 1224 \\ 6 & 6 & 5 & 828 \\ 16 & 15 & 18 & 2412 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 8 & 9 & 8 & 1224 \\ 0 & -3 & -4 & -360 \\ 0 & -3 & 2 & -36 \end{array}\right ) }

 

8Reemplazamos la fila {f_{3}} por f_3 - f_2 y obtenemos la matriz equivalente

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 8 & 9 & 8 & 1224 \\ 0 & -3 & -4 & -360 \\ 0 & -3 & 2 & -36 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 8 & 9 & 8 & 1224 \\ 0 & -3 & -4 & -360 \\ 0 & 0 & 6 & 324 \end{array}\right ) }

 

Así se tiene un sistema compatible determinado con solución z = 54; \ y = 48; \ x = 45

 

9Si para los lingotes del ejercicio anterior:

 

  • El primero de 20 \ g de oro, 30 \ g de plata y 40 \ g de cobre.
  • El segundo de 30 \ g de oro, 40 \ g de plata y 50 \ g de cobre.
  • El tercero de 40 \ g de oro, 50 \ g de plata y 90 \ g de cobre.

Se desea formar un lingote de 30 \ g de oro, 20 \ g de plata y 30 \ g de cobre. ¿Qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes?

 

Si para los lingotes del ejercicio anterior:

 

  • El primero de 20 \ g de oro, 30 \ g de plata y 40 \ g de cobre.
  • El segundo de 30 \ g de oro, 40 \ g de plata y 50 \ g de cobre.
  • El tercero de 40 \ g de oro, 50 \ g de plata y 90 \ g de cobre.

Se desea formar un lingote de 30 \ g de oro, 20 \ g de plata y 30 \ g de cobre. ¿Qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes?

 

1Designamos las variables

 

x es el peso del 1er lingote.

y es el peso del 2º lingote.

z es el peso del 3er lingote.

 

2Escribimos la ecuación para el oro

 

En el 1er lingote, la ley del oro es: \cfrac{20}{90} = \cfrac{2}{9}

 

En el 2º lingote, la ley del oro es: \cfrac{30}{120} = \cfrac{1}{4}

 

En el 3 er lingote, la ley del oro es: \cfrac{40}{180} = \cfrac{2}{9}

 

La ecuación para el oro es:

 

\cfrac{2x}{9} + \cfrac{y}{4} + \cfrac{2z}{9} = 30

 

3Escribimos la ecuación para la plata

 

En el 1er lingote, la ley de la plata es: \cfrac{30}{90} = \cfrac{1}{3}

 

En el 2º lingote, la ley de la plata es: \cfrac{40}{120} = \cfrac{1}{3}

 

En el 3 er lingote, la ley de la plata es: \cfrac{50}{180} = \cfrac{5}{18}

 

La ecuación para el plata es:

 

\cfrac{x}{3} + \cfrac{y}{3} + \cfrac{5z}{18} = 20

 

4Escribimos la ecuación para el cobre

 

En el 1er lingote, la ley del cobre es: \cfrac{40}{90} = \cfrac{4}{9}

 

En el 2ºlingote, la ley del cobre es: \cfrac{50}{120} = \cfrac{5}{12}

 

En el 3 er lingote, la ley del cobre es: \cfrac{90}{180} = \cfrac{1}{2}

 

La ecuación para el cobre es:

 

\cfrac{4x}{9} + \cfrac{5y}{12} + \cfrac{z}{2} = 30

 

5Se obtiene el sistema

 

\left. \begin{array}{rcl} 8x + 9y + 8z & = & 1080 \\ 6x + 6y + 5z & = & 360 \\ 16x + 15y + 18z & = & 1080 \end{array} \right \}

 

6Escribimos en forma matricial

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 8 & 9 & 8 & 1080 \\ 6 & 6 & 5 & 360 \\ 16 & 15 & 18 & 1080 \end{array}\right ) }

 

7Reemplazamos las filas {f_{2}} por 4f_2 - 3f_1, {f_{3}} por f_3 - 2f_1 y obtenemos la matriz equivalente

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 8 & 9 & 8 & 1080 \\ 6 & 6 & 5 & 360 \\ 16 & 15 & 18 & 1080 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 8 & 9 & 8 & 1080 \\ 0 & -3 & -4 & -1800 \\ 0 & -3 & 2 & -1080 \end{array}\right ) }

 

8Reemplazamos la fila {f_{3}} por f_3 - f_2 y obtenemos la matriz equivalente

 

{\left (\begin{array}{ccc|c} 8 & 9 & 8 & 1080 \\ 0 & -3 & -4 & -1800 \\ 0 & -3 & 2 & -1080 \end{array}\right ) = \left ( \begin{array}{ccc|c} 8 & 9 & 8 & 1080 \\ 0 & -3 & -4 & -1800 \\ 0 & 0 & 6 & 720 \end{array}\right ) }

 

Así se tiene un sistema compatible determinado con solución z = 120; \ y = 440; \ x = -480

 

Como puedes observar, aún cuando el sistema tiene solución el resultado negativo en el primer lingote indica que no se puede obtener el lingote con las concentraciones solicitadas, esto se debe a que los lingotes dados, exceden las concentraciones solicitadas.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗