Marta

20 septiembre 2021

1 Resolver el sistema homogéneo:

\left\{\begin{matrix} x+y+z=0\\ x-y=0\\ x+3y+2z=0 \end{matrix}\right.

Tomamos los coeficientes del sistema de ecuaciones y calculamos el determinante

\begin{vmatrix} 1 & 1 &1 \\ 1 & -1 &0 \\ 1&3 &2 \end{vmatrix}=0     
Como el resultado es cero tomo los primeros coeficientes para hacer un determinante de 2x2 y lo calculo
 \begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1& -1 \end{vmatrix}=-2
Entonces tenemos r=2 y n=3.
Tomamos las dos primeras ecuaciones y hacemos z=\lambda
\left\{\begin{matrix} x+y+\lambda =0\\ x-y=0 \end{matrix}\right.
Despejamos x y y quedando un sistema compatible indeterminado
\left\{\begin{matrix} x+y=-\lambda \\ x-y=0 \end{matrix}\right.  
Ahora resuelvo el sistema para encontrar los valores de x y y  usando determinantes
 \Delta _{1}=\begin{vmatrix} -\lambda & 1\\ 0& -1 \end{vmatrix}=\lambda
entonces dividiendo el resultado por  -2
x=-\frac{\lambda }{2}
\Delta _{2}=\begin{vmatrix} 1 & -\lambda \\ 1& 0 \end{vmatrix}=\lambda
entonces dividiendo el resultado por  -2
y=-\frac{\lambda }{2}
finalmente
x=-\frac{\lambda }{2}      y=-\frac{\lambda }{2}        z=\lambda .

 

2 Resolver el sistema homogéneo:

\left\{\begin{matrix} x+y+2z=0\\ 3x-y-2z=0\\ -x+2y+z=0 \end{matrix}\right.

Tomamos los coeficientes del sistema de ecuaciones y calculamos el determinante

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2\\ 3& -1 &-2 \\ -1& 2 & 1 \end{vmatrix}=12

En este caso el resultado es diferente de cero, por lo tanto r = 3 y n = 3

Entonces solo tenemos la solución trivial: x=y=z=0.

 

3 Resolver el sistema homogéneo:

\left\{\begin{matrix} 3x-2y-z=0\\ -4x+y-z=0\\ 2x+2z=0 \end{matrix}\right.

Tomamos los coeficientes del sistema de ecuaciones y calculamos el determinante

\begin{vmatrix} 3 & -2 & -1\\ -4 & 1 & -1\\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix}\neq 0
En este caso el resultado es diferente de cero, por lo tanto r = 3 y n = 3Entonces solo tenemos la solución trivial: x=y=z=0.

 

4 Resolver el sistema homogéneo:

\left\{\begin{matrix} x+5y-4z=0\\ x-2y+z=0\\ 3x+y-2z=0 \end{matrix}\right.

Tomamos los coeficientes del sistema de ecuaciones y calculamos el determinante

\begin{vmatrix} 1 & 5 &-4 \\ 1 & -2 &1\\ 3&1&-2 \end{vmatrix}=0 
Como el resultado es cero tomo los primeros coeficientes para hacer un determinante de 2x2 y lo calculo
 \begin{vmatrix} 1 & 5\\ 1& -2 \end{vmatrix}=-7
Entonces tenemos r=2 y n=3 
Tomamos las dos primeras ecuaciones y hacemos z=\lambda quedando
\left\{\begin{matrix} x+5y-4\lambda =0\\ x-2y+\lambda =0 \end{matrix}\right.
Despejamos x y y quedando un sistema compatible indeterminado
\left\{\begin{matrix} x+5y=4\lambda \\ x-2y=-\lambda \end{matrix}\right.  
       
Ahora resuelvo el sistema para encontrar los valores de x y y  usando determinantes
\Delta _{1}=\begin{vmatrix} 4\lambda & 5\\ -\lambda& -2 \end{vmatrix}=-3\lambda
entonces dividiendo el resultado por  -7
x=\frac{3\lambda }{7}
\Delta _{2}=\begin{vmatrix} 1 & 4\lambda \\ 1& -\lambda \end{vmatrix}=-5\lambda
entonces dividiendo el resultado por  -7
y=\frac{5\lambda }{7} 
finalmente
x=\frac{3\lambda }{7}      y=\frac{5\lambda }{7}        z=\lambda .

 

5 Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.

\left\{\begin{matrix} ax+y+z=0\\ x+3y+z=0\\ 3x+10y+4z=0 \end{matrix}\right.

Tomamos los coeficientes del sistema de ecuaciones y calculamos el determinante
\left | A \right |=\begin{vmatrix} a & 1& -1\\ 1& 3 &1 \\ 3& 10 & 4 \end{vmatrix}=2\left ( a-1 \right )     
Tendríamos dos casos primero a\neq 1 y a=1

Si a\neq 1 , entonces

r = 3 n = 3

y tendríamos una solución trivial: x=y=z=0

Si  a=1, entonces

\begin{vmatrix} 1 &1 & -1\\ 1 &3 &1 \\ 3& 10 &4 \end{vmatrix}

y tenemos que r=2        n=3

usando las mismas operaciones que en los ejemplos pasados  tenemos el sistema compatible indeterminado con z=\lambda

\left\{\begin{matrix} x+y=\lambda \\ x+3y=-\lambda \end{matrix}\right.

Ahora resuelvo el sistema para encontrar los valores de x y y  usando determinantes

\Delta =\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1& 3 \end{vmatrix}=2

 

\Delta_{1} =\begin{vmatrix} \lambda & 1\\ -\lambda & 3 \end{vmatrix}=4\lambda

entonces dividiendo el resultado por  2

x=\frac{4\lambda }{2}=2\lambda

\Delta_{2} =\begin{vmatrix} 1 & \lambda \\ 1 & -\lambda \end{vmatrix}=-2\lambda

entonces dividiendo el resultado por  2

y=\frac{-2\lambda }{2}=-\lambda

finalmente

x=\frac{4\lambda }{2}=2\lambda          y=\frac{-2\lambda }{2}=-\lambda        z=\lambda .

 

6 Determinar para qué valores de k, el siguiente sistema tiene infinitas soluciones.

\left.\begin{matrix} x+y+z=0\\ x-y+z=0\\ kx+z=0 \end{matrix}\right\}

Tomamos los coeficientes del sistema de ecuaciones para representar la matriz y poder reducirla con las operaciones de matrices y sabiendo que f_{1}, f_{2}, f_{3} son las filas de la matriz y sobre cada flecha te indica que operación se realizo para el cambio

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vdots & 0\\ 1& -1 & 1 & \vdots &0 \\ k& 0 &1 & \vdots & 0 \end{pmatrix}\xrightarrow[]{f_{2}+f_{1}}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &\vdots & 0\\ 2 & 0& 2 & \vdots & 0\\ k& 0 & 1 & \vdots & 0 \end{pmatrix}\xrightarrow[]{\frac{f_{2}}{2}}\begin{pmatrix} 1& 1 & 1 & \vdots & 0\\ 1 & 0 & 1 & \vdots & 0\\ k& 0 & 1 & \vdots & 0 \end{pmatrix}\xrightarrow[]{f_{3}-f_{1}}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vdots & 0\\ 1 & 0 & 1 & \vdots &0 \\ k-1 & 0 & 0 &\vdots & 0 \end{pmatrix}En base a la ultima matriz tendríamos que k-1=0 o k=1y el sistema compatible indeterminado seria obtenido por el sistema de ecuaciones\left.\begin{matrix} x+y+z=0\\ x+z=0 \end{matrix}\right\}

que se obtuvo de la ultima matriz y z=-\lambda obtendriamos

\begin{matrix} x= \lambda \\ y=0\\ z=-\lambda \end{matrix}.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗