Ejercicios propuestos

 

1Resolver por la regla de Cramer:

    \begin{equation*}1. \left\{\begin{array}{r} 2 x-y+z=3 \\ 2 y-z=1 \\ -x+y=1 \end{array}\right. \quad 2. \left\{\begin{array}{r} x+y+z=1 \\ x-y+z=1 \\ -x+y+z=1 \end{array} \end{equation*}

1 Para resolver el primer sistema de ecuaciones mediante la regla de Cramer, expresemos el sistema de ecuaciones mediante su forma matricial. Es decir el sistema:

    \begin{equation*}\left\{\begin{array}{r} 2 x-y+z=3 \\ 2 y-z=1 \\ -x+y=1 \end{array}\right.\end{equation*}

Se puede reescribir como:

    \begin{equation*}\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1\\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x\\ y \\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3\\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \end{equation*}

    \Delta=\begin{equation*}\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1\\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix}=3\end{equation*}

  • Calculamos el valor de x:

    \begin{equation*}x=\frac{\Delta_{1}}{\Delta}=\frac{ \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1\\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} }{3}=\frac{3}{3}=1\end{equation*}

  • Calculamos el valor de y:

    \begin{equation*}y=\frac{\Delta_{2}}{\Delta}=\frac{ \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1\\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} }{3}=\frac{6}{3}=2\end{equation*}

  • Calculamos el valor de z:

    \begin{equation*}z=\frac{\Delta_{3}}{\Delta}=\frac{ \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3\\ 0 & 2& 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} }{3}=\frac{9}{3}=3\end{equation*}

 

2 Para resolver el segundo sistema de ecuaciones mediante la regla de Cramer, expresemos el sistema de ecuaciones mediante su forma matricial. Es decir el sistema:

    \begin{equation*}\left\{\begin{array}{r} x+y+z=1 \\ x-y+z=1 \\ -x+y+z=1 \end{array}\right.\end{equation*}

Se puede reescribir como:

    \begin{equation*}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 \\-1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x\\ y \\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 1 \\1 \end{bmatrix}\end{equation*}

    \begin{equation*}\Delta=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=-4\end{equation*}

  • Calculamos el valor de x:

    \begin{equation*}x=\frac{\Delta_{1}}{\Delta}=\frac{ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} }{-4}=\frac{0}{-4}=0\end{equation*}

  • Calculamos el valor de y:

    \begin{equation*}y=\frac{\Delta_{2}}{\Delta}=\frac{ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} }{-4}=\frac{0}{-4}=0\end{equation*}

  • Calculamos el valor de z:

    \begin{equation*}y=\frac{\Delta_{3}}{\Delta}=\frac{ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} }{-4}=\frac{-4}{-4}=1\end{equation*}

2Discutir y resolver, si es posible, el sistema:

    \begin{equation*}\left\{\begin{array}{r} x+2y-2z=10 \\ 4x-y+z=4 \\ -2x+y+z=-2 \\ -x-3y=-11 \end{array}\right.\end{equation*}

1Para establecer si el sistema es compatible determinado utilicemos el teorema de Rouche-Frobenius, de tal manera que la matriz  A (la matriz de coeficientes) y  A' la matriz ampliada son las siguientes:

    \begin{equation*}A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\ 4 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \\ -1 & -3 & 0 \end{array}\right) \quad A^{\prime}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -2 & 10 \\ 4 & -1 & 1 & 4 \\ -2 & 1 & 1 & -2 \\ -1 & -3 & 0 & -11 \end{array}\right)\end{equation*}

  • Luego, calculamos los rangos de la matriz  r(A) y  r(A') de la matriz ampliada:

    \begin{equation*}|1|=1 \neq 0 \quad\left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{array}\right|=-9 \neq 0 \quad\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\ 4 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{array}\right|=-18 \neq 0\end{equation*}

  • Además se satisface que:

    \begin{equation*}\left|\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -2 & 10 \\ 4 & -1 & 1 & 4 \\ -2 & 1 & 1 & -2 \\ -1 & -3 & 0 & -11 \end{array}\right|=0\end{equation*}

  • Entonces tenemos que r(A) = r(A')=3 y el número de incógnitas   n=3 coincide con  r(A) = r(A')=3 el sistema es compatible determinado; es decir, tiene solución única.

2 Reducimos el sistema a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y utilizamos la regla de Cramer para resolver el sistema:

    \begin{equation*}\left\{\begin{array}{c} x+2 y-2 z=10 \\ 4 x-y+z=4 \\ -2 x+y+z=-2 \end{array}\right.\end{equation*}

  • De tal manera que obtenemos los siguientes valores:

    \begin{equation*}x=\frac{\left|\begin{array}{ccc} 10 & 2 & -2 \\ 4 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{array}\right|}{-18}=\frac{-36}{-18}=2\end{equation*}

    \begin{equation*}y=\frac{\left|\begin{array}{ccc} 1 & 10 & -2 \\ 4 & 4 & 1 \\ -2 & -2 & 1 \end{array}\right|}{-18}=\frac{-54}{-18}=3\end{equation*}

    \begin{equation*}z=\frac{\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 10 \\ 4 & -1 & 4 \\ -2 & 1 & -2 \end{array}\right|}{-18}=\frac{18}{-18}=-1\end{equation*}

3Discutir y resolver, si es posible, el sistema:

    \begin{equation*}\left\{\begin{array}{r} x+y-z+u+v=2 \\ x-2 y+u=5 \\ -x+z++2 v=3 \\ 3 y+z-2 u=-1 \end{array}\right.\end{equation*}

1 Para establecer si el sistema es compatible determinado utilicemos el teorema de Rouche-Frobenius, de tal manera que la matriz  A (la matriz de coeficientes) y  A' la matriz ampliada son las siguientes:

    \begin{equation*}A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 1 & -2 & 0 \end{array}\right)\end{equation*}

    \begin{equation*}A^{\prime}=\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 5 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 1 & -2 & 0 & -1 \end{array}\right)\end{equation*}

  • Notemos que los rangos en ambos casos es cuatro pues satisface que:

    \begin{equation*}|1| \neq 0 \quad\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{array}\right| \neq 0 \quad\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right| \neq 0\end{equation*}

    \begin{equation*}\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & -2 \end{array}\right|=8 \neq 0\end{equation*}

  • Notemos que en este caso el sistema es compatible, r = r'=4, pero r < n, pues hay cinco incógnitas, por lo tanto el sistema es compatible indeterminado; es decir, tiene una infinidad de soluciones.

    \begin{equation*}\left\{\begin{array}{rl} x+y-z+u & =2-\lambda \\ x-2 y+u & =5 \\ -x+z+ & =3-2 \mu \\ 3 y+z-2 u & =-1 \end{array} \quad v=\lambda\right.\end{equation*}

  • De tal manera que utilizando la regla de Cramer podemos calcular el conjunto solución:

    \begin{equation*}x=\frac{\left|\begin{array}{cccc} 2-\lambda & 1 & -1 & 1 \\ 5 & -2 & 0 & 1 \\ 3-2 \lambda & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 1 & -2 \end{array}\right|}{8}=\frac{18+3 \lambda}{8}\end{equation*}

    \begin{equation*}y=\frac{\left|\begin{array}{cccc} 1 & 2-\lambda & -1 & 1 \\ 1 & 5 & 0 & 1 \\ -1 & 3-2 \lambda & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \end{array}\right|}{8}=\frac{6-7 \lambda}{8}\end{equation*}

    \begin{equation*}z=\frac{\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & -2 & 5 & 1 \\ -1 & 0 & 3-2 \lambda & 0 \\ 0 & 3 & -1 & -2 \end{array}\right|}{8}=\frac{42-13 \lambda}{8}\end{equation*}

    \begin{equation*}u=\frac{\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & 2-\lambda \\ 1 & -2 & 0 & 5 \\ -1 & 0 & 1 & 3-2 \lambda \\ 0 & 3 & 1 & -1 \end{array}\right|}{8}=\frac{34-17 \lambda}{8}\end{equation*}

4 Resolver el sistema homogéneo:

    \begin{equation*}\left\{\begin{array}{r} 3 x-2 y-z=0 \\ -4 x+y-z=0 \\ 2 x+2 z=0 \end{array}\right.\end{equation*}

  • Notemos que el determinante es distinto de cero y el rango coincide con el número de incógnitas por lo cual la solución es única.

    \begin{equation*}\left|\begin{array}{ccc} 3 & -2 & -1 \\ -4 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 2 \end{array}\right| \neq 0\end{equation*}

  • En este caso notemos que la solución es la trivial, es decir x=y=z=0

5 Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.

    \begin{equation*}\left\{\begin{array}{r} 2 x+y+a z=4 \\ x+z=2 \\ x+y+z=2 \end{array}\right.\end{equation*}

Para determinar cuándo el sistema es compatible determinado utilicemos el teorema de Rouche-Frobenius, de tal manera que la matriz  A (la matriz de coeficientes) y  A' la matriz ampliada son las siguientes:

    \begin{equation*}A=\left(\begin{array}{lll} 2 & 1 & a \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \quad A^{\prime}=\left(\begin{array}{llll} 2 & 1 & a & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right)\end{equation*}

  • Luego, calculemos el determinante de la matriz, para determinar su rango:

    \begin{equation*}|A|=\left|\begin{array}{lll} 2 & 1 & a \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|=a-2 \quad a-2=0 \quad a=2\end{equation*}

    \begin{equation*}A^{\prime}=\left(\begin{array}{llll} 2 & 1 & a & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right) c_{4} \rightarrow 2 c_{1} \quad A^{\prime}=\left(\begin{array}{lll} 2 & 1 & a \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)\end{equation*}

  • De esta manera podemos concluir que si a=2 entonces r(A)=r(A')=2 y n=3, por lo cual el sistema sera compatible indeterminado. Luego consideremos el otro caso:

    \begin{equation*}\left\{\begin{array}{ccc} 2 x+y & =4-2 \lambda \\ x & =2-\lambda \end{array} \quad z=\lambda \quad \Delta=\left|\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right|=-1\right.\end{equation*}

  • De lo anterior, podemos concluir que si a\neq 2 entonces r(A)=r(A')=n=3 por lo cual el sistema será compatible determinado.
  • Finalmente,  utilizando la regla de Cramer podemos calcular la solución para este caso:

    \begin{equation*}\Delta_{1}=\left|\begin{array}{lll} 4 & 1 & a \\ 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{array}\right|=2 a-4 ;\end{equation*}

    \begin{equation*}\Delta_{2}=\left|\begin{array}{lll} 2 & 4 & a \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right|=0\end{equation*}

    \begin{equation*}\Delta_{3}=\left|\begin{array}{lll} 2 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}\right|=0\end{equation*}

  • De tal manera, que los valores de las incógnitas son las siguientes:

    \begin{equation*}x=\frac{2a-4}{a-2}=2\end{equation*}

    \begin{equation*}y=0\end{equation*}

    \begin{equation*}z=0\end{equation*}

6Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.

    \begin{equation*}\left\{\begin{array}{cccc} x & +y & +z & = a \\ x & +(a+1) y & +z & = 2 a \\ x & +y & +(1+a) z & = 0 \end{array}\right.\end{equation*}

Para determinar cuándo el sistema es compatible determinado utilicemos el teorema de Rouche-Frobenius, de tal manera que la matriz  A (la matriz de coeficientes) y  A' la matriz ampliada son las siguientes:

    \begin{equation*}A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a+1 & 1 \\ 1 & 1 & a+1 \end{array}\right) \quad A^{\prime}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & a \\ 1 & a+1 & 1 & 2 a \\ 1 & 1 & a+1 & 0 \end{array}\right)\end{equation*}

  • Luego, calculemos los determinantes:

    \begin{equation*}|A|=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a+1 & 1 \\ 1 & 1 & a+1 \end{array}\right|=a^{2}\end{equation*}

  • De tal manera que si a=0 se satisface que:

    \begin{equation*}A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \quad A^{\prime}=\left(\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right)\end{equation*}

  • Por lo cual en ese caso r(A)=r(A')=1 y n=3. Por lo cual si a=0 el sistema es compatible indeterminado. De tal manera que tenemos el siguiente conjunto de soluciones:

    \begin{equation*}x+y+z=0 \quad y=\lambda \quad z=\mu \quad x=-\lambda-\mu\end{equation*}

  • Por otro lado si a\neq 0 se satisface que r(A)=r(A')=n=3 . Por lo cual el sistema es compatible indeterminado. De tal manera que podemos utilizar la regla de Cramer para encontrar las soluciones:

    \begin{equation*}\Delta_{1}=\left|\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 2 a & a+1 & 1 \\ 0 & 1 & a+1 \end{array}\right|=a^{3} ; \quad \Delta_{2}=\left|\begin{array}{ccc} 1 & a & 1 \\ 1 & 2 a & 1 \\ 1 & 0 & a+1 \end{array}\right|=a^{2}\end{equation*}

    \begin{equation*}\Delta_{3}=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & a \\ 1 & a+1 & 2 a \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right|=-a^{2}\end{equation*}

  • De tal manera que obtenemos las siguientes soluciones:

    \begin{equation*}x=\frac{a^{3}}{a^{2}}=a \quad y=\frac{a^{2}}{a^{2}}=1 \quad z=\frac{-a^{2}}{a^{2}}=-1\end{equation*}

7Resolver el sistema cuando sea compatible determinado.

    \begin{equation*}\left\{\begin{array}{ccccc} a x & & +z & +t & = 1 \\ & ay & +z & -t & = 1 \\ &  ay & +z & -2 t & = 2 \\ & & +a z & -t & = 0 \end{array}\right.\end{equation*}

Para determinar cuándo el sistema es compatible determinado utilicemos el teorema de Rouche-Frobenius, de tal manera que la matriz  A (la matriz de coeficientes) y  A' la matriz ampliada son las siguientes:

    \begin{equation*}A=\left(\begin{array}{cccc} a & 0 & 1 & 1 \\ 0 & a & 1 & -1 \\ 0 & a & 1 & -2 \\ 0 & 0 & a & -1 \end{array}\right) \quad A^{\prime}=\left(\begin{array}{ccccc} a & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & a & 1 & -1 & 1 \\ 0 & a & 1 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & a & -1 & 0 \end{array}\right)\end{equation*}

  • Luego para determinar los rangos calculamos los determinantes:

    \begin{equation*}|A|=\left|\begin{array}{cccc} a & 0 & 1 & 1 \\ 0 & a & 1 & -1 \\ 0 & a & 1 & -2 \\ 0 & 0 & a & -1 \end{array}\right|=a^{3} \quad \Rightarrow a=0\end{equation*}

  • Notemos que si a=0, las matrices se pueden reescribir como:

    \begin{equation*}A=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right) \quad A^{\prime}=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right)\end{equation*}

  • Después calculando los determinantes tenemos:

    \begin{equation*}\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right| \neq 0 \quad\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \end{array}\right| \neq 0\end{equation*}

  • Así, a partir de lo anterior podemos concluir que r(A)=2 y r(A')=3. Por lo cual si a=0 entonces el sistema es incompatible.
  • En cambio, si a\neq 0 notemos que r(A)=r(A')=n=4. Por lo cual en este caso el sistema es compatible determinado.
  • Luego resolvemos el sistema para el caso en el que el sistema es compatible determinado, simplificando el sistema:

    \begin{equation*}\left\{\begin{array}{rllll} a x & & +z & +t & = 1 \\ & \text { ay } & +z & -t & = 1 \\ & & & -t & = 1 \\ & & +a z & -t & = 0 \end{array}\right.\end{equation*}

  • Finalmente, calculamos los valores de las incógnitas:

    \begin{equation*}x=\frac{2 a+1}{a^{2}} \quad y=\frac{1}{a^{2}} \quad z=\frac{-1}{a} \quad t=-1\end{equation*}

8 Estudiar el siguiente sistema según los distintos valores de a y b.

    \begin{equation*}\left\{\begin{array}{ccccc} (a+1) x & +y & +z & = & 1 \\ x & +(a+1) y & +z & = & b \\ x & +y & +(1+a) z & = & b^{2} \end{array}\right.\end{equation*}

Para determinar cuándo el sistema es compatible determinado utilicemos el teorema de Rouche-Frobenius, de tal manera que la matriz  A (la matriz de coeficientes) y  A' la matriz ampliada son las siguientes:

    \begin{equation*}A=\left(\begin{array}{ccc} a+1 & 1 & 1 \\ 1 & a+1 & 1 \\ 1 & 1 & a+1 \end{array}\right) \quad A^{\prime}=\left(\begin{array}{cccc} a+1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a+1 & 1 & b \\ 1 & 1 & a+1 & b^{2} \end{array}\right)\end{equation*}

  • Luego, calculemos el determinante de la matriz A para determinar los posibles valores de a:

    \begin{equation*}|A|=\left|\begin{array}{ccc} a+1 & 1 & 1 \\ 1 & a+1 & 1 \\ 1 & 1 & a+1 \end{array}\right|=a^{2}(a+3) \quad \Rightarrow a=0, \quad a=-3\end{equation*}

  • De tal manera que en el primer caso si a\neq 0\; \forall b. Se satisface que r(A)=r(A')=n=3. Por lo cual el sistema es compatible determinado.

    \begin{equation*}\end{equation*}

  • Luego si a= 0 podemos reescribir las matrices de la siguiente forma:

    \begin{equation*}A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \quad A^{\prime}=\left(\begin{array}{lllc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & b \\ 1 & 1 & 1 & b^{2} \end{array}\right)\end{equation*}

  • De tal manera que podemos determinar los posibles valores de b:

    \begin{equation*}\left|A^{\prime}\right|=\left|\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & b \end{array}\right|=b-1 \quad \Rightarrow b=1\end{equation*}

  • De tal manera que en el segundo caso si a= 0, b\neq 1. Se satisface que r(A)=1 mientras que r(A')=2. Por lo cual el sistema es incompatible.
  • De tal manera que en el tercer caso si a= 3. Se satisface que r(A)=2 mientras que r(A')=3. Por lo cual el sistema es incompatible .

>

La plataforma que conecta profes particulares y estudiantes

¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 5,00 (2 nota(s))
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗