Discutir un sistema es determinar si tiene solución y, en caso de tenerla, saber si ésta es única. Es decir, determinar si es compatible o incompatible, y en caso de ser compatible, si es determinado o indeterminado.

Un sistema es compatible cuando tiene solución, ya sea única o una infinidad de soluciones; por otro lado, es incompatible cuando no tiene solución.

Cuando el sistema tiene solución única es un sistema compatible determinado y si tiene una infinidad de soluciones se le conoce como compatible indeterminado .

Ejemplo

Estudiar si existe algún valor de m, para el cual el sistema es compatible. Si es así, resolver el sistema para ese valor de m.

 

\left\{ \begin{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+my+z =1 \\ mx+y+(m-1)z=m\\ \ \ \ \ \ \ \ x+y+z=m+1 \end{matrix}\right.
Primero identificamos los coeficientes de cada término y elaboramos de la matriz aumentada.

Recordemos que todos los coeficientes escritos en cada columna deben de corresponder a la misma incógnita. Los números escritos en la última columna deben ser los términos independientes separados por una recta.
\left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & m &1 &1\\ m & 1 & m-1 &m\\ 1 & 1 & 1 & m+1 \end{array} \right )
Después debemos simplificar la matriz hasta obtener una matriz escalonada, esto lo logramos sumando y restando las filas o intercambiando de posición las columnas.

Denotando a las filas y columnas con las etiquetas \textup{F}_1, \textup{F}_2, \textup{F}_3 y \textup{C}_1, \textup{C}_2, \textup{C}_3, respectivamente, procedemos a sumar y restar las filas hasta obtener una matriz escalonada y hallar el valor de m.
\begin{array}{c} \xrightarrow[\textup{F}_3-\textup{F}_1]{\textup{F}_2-m\textup{F}_1} \end{array} \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & m &1 &1\\ 0 & 1-m^2 & -1 &0\\ 0 & 1-m & 0 & m \end{array} \right ) \begin{array}{c} \xrightarrow[\textup{C}_3\to \textup{C}_2]{\textup{C}_2 \to \textup{C}_3} \end{array} \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1& m &1\\ 0 & -1& 1-m^2 &0\\ 0 & 0 &1-m & m \end{array} \right )
Escribiendo la última fila como la ecuación que representa, (1-m)y=m \Rightarrow y=\dfrac{m}{1-m} . Así, se concluye que para m=1 el sistema es incompatible porque vuelve cero al denominador de la fracción y, por tanto, el sistema es compatible determinado para m\neq 1 .

De lo obtenido
\left\{ \begin{matrix} \ \ \ \ \ \ x+z+my=1 \\ -z+(1-m^2 )y=0\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1-m)y=1 \end{matrix}\right.
y entonces el sistema queda definido por el valor que m tome:

    \[ y=\dfrac{m}{1-m},\quad z=m(1-m^2), \quad x=\dfrac{m^3-m^2-2m+1}{1-m}.\]

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗