Sistemas compatibles e incompatibles

Discutir un sistema es determinar si tiene solución y, en caso de tenerla, saber si ésta es única. Es decir, determinar si es compatible o incompatible, y en caso de ser compatible, si es determinado o indeterminado.

Un sistema es compatible cuando tiene solución, ya sea única o una infinidad de soluciones; por otro lado, es incompatible cuando no tiene solución.

Cuando el sistema tiene solución única es un sistema compatible determinado y si tiene una infinidad de soluciones se le conoce como compatible indeterminado .

Ejemplo

Estudiar si existe algún valor de , para el cual el sistema es compatible. Si es así, resolver el sistema para ese valor de .

Primero identificamos los coeficientes de cada término y elaboramos de la matriz aumentada.

Recordemos que todos los coeficientes escritos en cada columna deben de corresponder a la misma incógnita. Los números escritos en la última columna deben ser los términos independientes separados por una recta.

Después debemos simplificar la matriz hasta obtener una matriz escalonada, esto lo logramos sumando y restando las filas o intercambiando de posición las columnas.

Denotando a las filas y columnas con las etiquetas y , respectivamente, procedemos a sumar y restar las filas hasta obtener una matriz escalonada y hallar el valor de .

Escribiendo la última fila como la ecuación que representa, . Así, se concluye que para el sistema es incompatible porque vuelve cero al denominador de la fracción y, por tanto, el sistema es compatible determinado para .

De lo obtenido

y entonces el sistema queda definido por el valor que tome: