1 Discutir los siguientes sistemas y resolverlos en caso de que proceda:

a \begin{cases} 2x+y=1\\ -x+2y=7\\ 3x+y=0 \end{cases}

b \begin{cases} 2x-y+3z=1\\ 3x+2y-z=5 \end{cases}

 

Primero formamos la matriz ampliada de coeficientes asociada al sistema

 

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2& 1& 1& \\ -1& 2& 7& \\ 3& 1& 0& \end{pmatrix}

 

Escalonaremos la matriz A, aplicando las siguientes operaciones en la filas de A. Denotaremos la fila i de A por f_{i}.

    $$1.\ f_{2}-2f_{1}.$$

    $$2.\ f_{3}-f_{1}.$$

    $$3.\ f_{2}+5f_{3}.$$

Y obtenemos lo siguiente

\displaystyle \begin{pmatrix} 2& 1& 1& \\ -1& 2& 7& \\ 3& 1& 0& \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 2& 1& 1& \\ -5& 0& 5& \\ 3& 1& 0& \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 2& 1& 1& \\ -5& 0& 5& \\ 1& 0& -1& \end{pmatrix}

 

\displaystyle \rightarrow\begin{pmatrix} 2& 1& 1& \\ 0& 0& 0& \\ 1& 0& -1& \end{pmatrix}

La última matriz nos indica lo siguiente

    $$x=-1,\qquad 2x+y=1.$$

Por lo tanto

    $$x=-1,\qquad y=3.$$

Dado que tenemos una solución unica podemos decir que el sistema es compatible determinado.

Primero formamos la matriz ampliada de coeficientes asociada al sistema

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2& -1& 3& 1&\\ 3& 2& -1& 5& \end{pmatrix}

Escalonaremos la matriz A, aplicando las siguientes operaciones en la filas de A. Denotaremos la fila i de A por f_{i}.

    $$1.\ f_{2}+2f_{1}.$$

Y obtenemos lo siguiente

\displaystyle \begin{pmatrix} 2& -1& 3& 1&\\ 3& 2& -1& 5& \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 2& -1& 3& 1&\\ 7& 0& 5& 7& \end{pmatrix}

Si z=\lambda, para un parámetro dado \lambda; la última matriz nos indica lo siguiente

    $$x=\cfrac{7-5\lambda}{7},\qquad y=-1+x+3\lambda=-1+(\cfrac{7-5\lambda}{7})+3\lambda.$$

Por lo tanto

    $$x=1-5\lambda,\qquad y=1+11\lambda.$$

Dado que tenemos infinitas soluciones podemos decir que el sistema es compatible indeterminado.

2 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

\begin{cases} x+y+z=1\\ 2x+3y-4z=9\\ x-y+z=-1 \end{cases}

Primero formamos la matriz ampliada de coeficientes asociada al sistema

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1& 1& 1& 1&\\ 2& 3& -4& 9&\\ 1& -1& 1& -1& \end{pmatrix}

Escalonaremos la matriz A, aplicando las siguientes operaciones en la filas de A. Denotaremos la fila i de A por f_{i}.

    $$1.\ f_{2}-2f_{1}.$$

    $$2.\ f_{3}-f_{1}.$$

Y obtenemos lo siguiente

\displaystyle \begin{pmatrix} 1& 1& 1& 1&\\ 2& 3& -4& 9&\\ 1& -1& 1& -1& \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1& 1& 1& 1&\\ 0& 1& -6& 7&\\ 1& -1& 1& -1& \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1& 1& 1& 1&\\ 0& 1& -6& 7&\\ 0& -2& 0& -2&\end{pmatrix}

La última matriz nos indica lo siguiente

    $$-2y=-2,\qquad y-6z=7\qquad x+y+z=1.$$

Por lo tanto

    $$y=1,\qquad z=-1,\qquad x=1.$$

Dado que tenemos una solución unica podemos decir que el sistema es compatible determinado.

3 Se considera el sistema:

\begin{cases} x-9y+5z=33\\ x+3y-z=-9\\ x-y+z=5 \end{cases}

a Resuélvelo y clasifícalo en función del número de soluciones.

b Determina si es posible, o no, eliminar una de las ecuaciones, de forma que el sistema que resulte sea equivalente al anterior.

 

Primero formamos la matriz ampliada de coeficientes asociada al sistema

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1& -9& 5& 33&\\ 1& 3& -1& -9&\\ 1& -1& 1& 5& \end{pmatrix}

Escalonaremos la matriz A, aplicando las siguientes operaciones en la filas de A. Denotaremos la fila i de A por f_{i}.

    $$1.\ f_{2}-f_{1}.$$

    $$2.\ f_{3}-f_{1}.$$

    $$3.\ 12f_{3}-8f_{2}.$$

Y obtenemos lo siguiente

    $$\begin{pmatrix} 1& -9& 5& 33&\\ 1& 3& -1& -9&\\ 1& -1& 1& 5& \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1& -9& 5& 33&\\ 0& 12& -6& -42&\\ 1& -1& 1& 5& \end{pmatrix}$$

\displaystyle \rightarrow \begin{pmatrix} 1& -9& 5& 33&\\ 0& 12& -6& -42&\\ 0& 8& -4& -28& \end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix} 1& -9& 5& 33&\\ 0& 12& -6& -42&\\ 0& 0& 0& 0& \end{pmatrix}

Si z=\lambda, para un parámetro dado \lambda; la última matriz nos indica lo siguiente

    $$y=-\cfrac{7}{2}+\cfrac{1}{2}\lambda,\qquad x=\cfrac{3}{2}-\cfrac{1}{2}\lambda.$$

Dado que tenemos infinitas soluciones podemos decir que el sistema es compatible indeterminado.

Se puede eliminar la 3^{a} ecuación, ya que es combinación lineal de las otras dos ecuaciones, es decir, quedamos con el siguiente sistema:

    $$\begin{cases} x-9y+5z=33\\ 12y-6z=-42 \end{cases}.$$

4 Clasificar y resolver el sistema:

\begin{cases} x-y+z+t=4\\ 2x+y-3z+t=4\\ x-2y+2z-t=3\\ x-3y+3z-3t=2 \end{cases}

Primero formamos la matriz ampliada de coeficientes asociada al sistema

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1& -1& 1& 1& 4&\\ 2& 1& -3& 1& 4&\\ 1& -2& 2& -1& 3&\\ 1& -3& 3& -3& 2& \end{pmatrix}

Escalonaremos la matriz A, aplicando las siguientes operaciones en la filas de A. Denotaremos la fila i de A por f_{i}.

    $$1.\ f_{2}-2f_{1}.$$

    $$2.\ f_{3}-f_{1}.$$

    $$3.\ f_{4}-f_{1}.$$

    $$4.\ f_{2}+3f_{3}.$$

    $$5. f_{4}-2f_{3}.$$

Y obtenemos lo siguiente

\displaystyle \begin{pmatrix} 1& -1& 1& 1& 4&\\ 2& 1& -5& -1& -4&\\ 1& -2& 1& -2& -1&\\ 1& -3& 2& -4& -2& \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1& -1& 1& 1& 4&\\ 0& 3& -3& 1& 4&\\ 0& -1& 2& -1& 3&\\ 0& -2& 3& -3& 2& \end{pmatrix}

 

\rightarrow \begin{pmatrix} 1& -1& 1& 1& 4&\\ 0& 0& -2& -7& -7&\\ 0& -1& 1& -2& -1&\\ 0& 0& 0& 0& 0&\end{pmatrix}

Si t=\lambda, para un parámetro dado \lambda; la última matriz nos indica lo siguiente

    $$z=\cfrac{7}{2}-\cfrac{7}{2}\lambda,\qquad y=\cfrac{9}{2}-\cfrac{11}{2}\lambda\qquad x=5-3\lambda.$$

Dado que tenemos un número infinito de soluciones podemos decir que el sistema es compatible indeterminado.

5 Discutir el sistema según los valores del parámetro a.

\begin{cases} x+y+2t=3\\ 3x-y+z-t=1\\ 5x-3y+2z-4t=a\\ 2x+y+z+t=2 \end{cases}

 

Primero formamos la matriz ampliada de coeficientes asociada al sistema

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1& 1& 0& 2& 3&\\ 3& -1& 1& -1& 1&\\ 5& -3& 2& -4& a&\\ 2& 1& 1& 1& 2& \end{pmatrix}

Escalonaremos la matriz A, aplicando las siguientes operaciones en la filas de A. Denotaremos la fila i de A por f_{i}.

    $$1.\ f_{2}-3f_{1}.$$

    $$2.\ f_{3}-5f_{1}.$$

    $$3.\ f_{4}-2f_{1}.$$

    $$4.\ f_{3}-2f_{2}.$$

    $$5.\ f_{4}-f_{2}.$$

 

Y obtenemos lo siguiente

\displaystyle \begin{pmatrix} 1& 1& 0& 2& 3&\\ 3& -1& 1& -1& 1&\\ 5& -3& 2& -4& a&\\ 2& 1& 1& 1& 2& \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1& 1& 0& 2& 3&\\ 0& -4& 1& -7& -8&\\ 0& -8& 2& -14& a-15&\\ 0& -1& 1& 3& -4& \end{pmatrix}

 

\rightarrow \begin{pmatrix} 1& 1& 0& 2& 3&\\ 0& -4& 1& -7& -8&\\ 0& 0& 0& 0& a+1&\\ 0& 3& 0& 4& 4&\end{pmatrix}

De la tercera fila en la última matriz se concluye lo siguiente

    $$a+1=0\qquad a=-1.$$

Y esto nos da el siguiente sistema compatible indeterminado

\begin{cases} x+y+2t=3\\ -4y-7t=-8-z\\ 3y+4t=4 \end{cases}.

Si a\not=-1 entonces el sistema será incompatible, pues se tendria

    $$0=k,$$

para alguna constante k.

6 Estudiar la compatibilidad del sistema según los valores de los parámetros a y b.

\begin{cases} x+y+z=a\\ x-y=0\\ 3x+y+bz=0 \end{cases}

Resolverlo en los casos en que sea compatible.

 

Primero formamos la matriz ampliada de coeficientes asociada al sistema

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1& 1& 1& a&\\ 1& -1& 0& 0&\\ 3& 1& b& 0& \end{pmatrix}

Escalonaremos la matriz A, aplicando las siguientes operaciones en la filas de A. Denotaremos la fila i de A por f_{i}.

    $$1. f_{1}+f_{2}.$$

    $$2. f_{3}+f_{2}.$$

    $$3. f_{3}-2f_{1}.$$

Y obtenemos lo siguiente

\displaystyle \begin{pmatrix} 1& 1& 1& a&\\ 1& -1& 0& 0&\\ 3& 1& b& 0& \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 2& 0& 1& a&\\ 1& -1& 0& 0&\\ 4& 0& b& 0& \end{pmatrix}

 

\rightarrow \begin{pmatrix} 2& 0& 1& a&\\ 1& -1& 0& 0&\\ 0& 0& b-2& -2a& \end{pmatrix}

 

Si b\neq 2 entonces tenemos que el sistema será compatible determinado, pues

    $$b-2\neq 0,\qquad (b-2)z=-2a.$$

De esto último tenemos las siguientes soluciones,

    $$z=\cfrac{-2a}{b-2},\qquad x=\cfrac{ab}{2(b-2)},\qquad z=\cfrac{ab}{2(b-2)}.$$

Si b=2 y a\neq 0 entonces tenemos que el sistema será incompatible, pues tendriamos

    $$0=-2a.$$

Si b=2 y a= 0 entonces tenemos que el sistema será compatible determinado, pues tendriamos el siguiente sistema para un parámetro \lambda,

    $$\begin{cases} 2x+z=0\\ x-y=0 \end{cases},\qquad \begin{cases} z=-2\lambda\\ -y=-x \end{cases}.$$

Y por lo tanto

    $$x=\lambda,\qquad y=\lambda,\qquad z=-2\lambda.$$

7 Determinar para qué valores de k, el siguiente sistema tiene infinitas soluciones.

\begin{cases} x+y+z=0\\ x-y+z=0\\ kx+z=0 \end{cases}

Primero formamos la matriz ampliada de coeficientes asociada al sistema

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1& 1& 1& 0&\\ 1& -1& 1& 0&\\ k& 0& 1& 0& \end{pmatrix}

Escalonaremos la matriz A, aplicando las siguientes operaciones en la filas de A. Denotaremos la fila i de A por f_{i}.

    $$1.\ f_{1}+f_{2}.$$

    $$2.\ \cfrac{1}{2}{f_{2}.$$

    $$3.\ f_{3}-f_{1}.$$

Y obtenemos lo siguiente

\displaystyle \begin{pmatrix} 1& 1& 1& 0&\\ 1& -1& 1& 0&\\ k& 0& 1& 0& \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1& 1& 1& 0&\\ 2& 0& 2& 0&\\ k& 0& 1& 0& \end{pmatrix}

 

\rightarrow \begin{pmatrix} 1& 1& 1& 0&\\ 1& 0& 1& 0&\\ k-1& 0& 0& 0& \end{pmatrix}

 

Dado que buscamos infinitas soluciones, entonces

    $$(k-1)x=0,\qquad k-1=0,\qquad k=1.$$

Esto nos dice que el sistema será compatible indeterminado y tendremos el siguiente sistema y soluciones para un parámetro \lambda

    $$\begin{cases} x+y+z=0\\ x+z=0 \end{cases},\qquad \begin{cases} x=\lambda\\ y=0\\ z=-\lambda \end{cases}.$$

8 Una empresa tiene tres minas con menas de composiciones:

Níquel (%) Cobre (%) Hierro (%)
Mina A 1 2 3
Mina B 2 5 7
Mina C 1 3 1

¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro?

 

Declaramos las siguientes variables y planteamos un sistema de ecuaciones

x = n^{\circ} de toneladas de la mina A.

y = n^{\circ} de toneladas de la mina B.

z = n^{\circ} de toneladas de la mina C.

    $$\begin{cases} \cfrac{x}{100}+\cfrac{2y}{100}+\cfrac{z}{100}=7\\ \cfrac{2x}{100}+\cfrac{5y}{100}+\cfrac{3z}{100}=18\\ \cfrac{3x}{100}+\cfrac{7y}{100}+\cfrac{z}{100}=16\end{cases},\qquad \begin{cases} x+2y+z=700\\ 2x+5y+3z=1800\\ 3x+7y+z=1600 \end{cases}.$$

 

Primero formamos la matriz ampliada de coeficientes asociada al sistema

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1& 2& 1& 700&\\ 2& 5& 3& 1800&\\ 3& 7& 1& 1600& \end{pmatrix}

Escalonaremos la matriz A, aplicando las siguientes operaciones en la filas de A. Denotaremos la fila i de A por f_{i}.

    $$1. f_{2}-2f_{1}.$$

    $$2. f_{3}-f_{2}.$$

    $$3. f_{3}-3f_{1}.$$

Y obtenemos lo siguiente

\displaystyle \begin{pmatrix} 1& 2& 1& 700&\\ 2& 5& 3& 1800&\\ 3& 7& 1& 1600& \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1& 2& 1& 700&\\ 0& 1& 1& 400&\\ 3& 7& 1& 1600& \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1& 2& 1& 700&\\ 0& 1& 1& 400&\\ 3& 6& 0& 1200&\end{pmatrix}

 

\displaystyle\rightarrow \begin{pmatrix} 1& 2& 1& 700&\\ 0& 1& 1& 400&\\ 0& 0& -3& -900& \end{pmatrix}

La última matriz nos indica lo siguiente

    $$z=300ton,\qquad y=100ton,\qquad x=200ton.$$

9 La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos), la edad del padre era triple que la suma de las edades, en aquel tiempo, de sus hijos. Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de edades de las tres personas será 150 años. ¿Qué edad tenía el padre en el momento de nacer sus hijos?

 

Declaramos las siguientes variables y planteamos un sistema de ecuaciones de acuerdo a la información dada en el problema

x = Edad actual del padre.

y = Edad actual del hijo mayor.

z = Edad actual del hijo menor.

Relación actual:         x = 2(y + z)

Hace y − z años:        x − (y − z) = 3[y − (y − z) + z − (y − z)]

Dentro de y + z:        x + (y + z) + y + (y + z) + z + (y + z) = 150

\begin{cases} x-2y-2z=0\\ x+2y-8z=0\\ x+4y+4z=150 \end{cases}.

Primero formamos la matriz ampliada de coeficientes asociada al sistema

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1& -2& -2& 0&\\ 1& 2& -8& 0&\\ 1& 4& 4& 150& \end{pmatrix}

Escalonaremos la matriz A, aplicando las siguientes operaciones en la filas de A. Denotaremos la fila i de A por f_{i}.

    $$1. f_{2}-f_{1}.$$

    $$2. f_{3}-f_{1}.$$

    $$3. f_{3}+f_{2}.$$

Y obtenemos lo siguiente

\displaystyle \begin{pmatrix} 1& -2& -2& 0&\\ 1& 2& -8& 0&\\ 1& 4& 4& 150& \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1& -2& -2& 0&\\ 0& 4& -6& 0&\\ 0& 6& 6& 150& \end{pmatrix}

 

\rightarrow \begin{pmatrix} 1& -2& -2& 0&\\ 0& 4& -6& 0&\\ 0& 10& 0& 150&\end{pmatrix}

La última matriz nos indica lo siguiente

    $$x=50,\qquad y=15,\qquad z=10.$$

Por lo tanto este sistema es compatible determinado.

 

Finalmente, al nacer los hijos, el padre tenía 35 y 40 años , respectivamente.

10 Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y mijo.

Cada volumen de trigo se vende por 4 €, el de la cebada por 2 € y el de mijo por 0.5 €.

Si se vende 100 volúmenes en total y si obtiene por la venta 100 €, ¿cuántos volúmenes de cada especie se venden?

 

Declaramos las siguientes variables y planteamos un sistema de ecuaciones de acuerdo a la información dada en el problema

x = Volumen de trigo.

y =Volumen de cebada.

z = Volumen de mijo.

\begin{cases} x+y+z=100\\ 4x+2y+(0.5)z=100 \end{cases}.

Dado que este sistema tiene mas variables que ecuaciones, entonces es compatible indeterminado. Y podemos obtener la siguiente información

\begin{cases} y+z=100-x\\ 4y+z=200-8x \end{cases}.

 

Considerando que las tres variables son números naturales, y que su suma es 100, obtenemos las siguientes soluciones:

S1 S2 S3 S4 S5
x 1 4 7 10 13
y 31 24 17 10 3
z 68 72 76 80 84

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗