Método de igualación

 

El método de igualación se basa en el principio de transitividad.

Si \displaystyle a=b y luego \displaystyle b=c ,
entonces, por transitividad se sabe que \displaystyle a=c .

 

Ejemplo:

Si \displaystyle a= b+c y sabemos que \displaystyle b+c=d , entonces podemos afirmar que
\displaystyle a=d .

 

Lo mismo ocurre en un sistema de ecuaciones usando este método, como se muestra a continuación.

 

Paso 1: Seleccionamos una variable que exista en cada una de las ecuaciones del sistema.

Paso 2: Despejamos la variable en cada una de las ecuaciones.

 

Ejemplo:

 

\displaystyle \left \lbrace2x+4y = 10 \atop x+3y = 7 \right

 

Podemos despejar cualquiera de las 2 variables, en este caso hemos elegido \displaystyle x . Recuerda
hacerlo en cada una de las ecuaciones.

 

\displaystyle 2x+4y=10 \ \ \rightarrow \ \ x= \frac{10-4y}{2}

\displaystyle x+3y=7 \ \ \rightarrow \ \ x= 7-3y

 

Podemos observar que ambas ecuaciones están igualadas con \displaystyle x , así que por transitividad
decimos que:

 

Si \displaystyle x= \frac{10-4y}{2} y \displaystyle x= 7-3y \ \ , entonces
\displaystyle \ \ \frac{10-4y}{2}=7-3y.

 

Podemos observar que ahora solo nos queda una ecuación con una sola variable, la cual podemos simplificar y despejar,
obteniendo:

 

\displaystyle \frac{10-4y}{2}=7-3y

\displaystyle 10-4y=2(7-3y)

\displaystyle 10-4y=14-6y

\displaystyle -4y+6y=14-10

\displaystyle 2y=4

\displaystyle y=2

 

Ahora sustituimos el valor de y en cualquiera de las 2 ecuaciones para obtener el valor de \displaystyle x

 

\displaystyle x+3(2) = 7

\displaystyle x+6=7

\displaystyle x=7-6

\displaystyle x=1

 

Ejercicios propuestos

 

 

1 \displaystyle \left\{\begin{matrix} 3x-4y=-6\\ 2x+4y=16 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} 3x-4y=-6\\ 2x+4y=16 \end{matrix}\right.

Despejamos la incógnita x de la primera y segunda ecuación

 

\displaystyle 3x=-6+4y
\displaystyle x=\frac{-6+4y}{3}

 

\displaystyle 2x=16-4y

\displaystyle x=\frac{16-4y}{2}

 

Igualamos ambas expresiones

 

\displaystyle \frac{-6+4y}{3} =\frac{16-4y}{2}

 

Resolvemos la ecuación

\displaystyle 2\left ( -6+4y \right )=3\left ( 16-4y \right )

\displaystyle -12+8y=48-12y

\displaystyle 12y+8y=48+12

\displaystyle 20y=60

\displaystyle y=3

 

Sustituimos el valor de \displaystyle y , en una de las dos expresiones
en las que tenemos despejada la \displaystyle x .

\displaystyle x=\frac{-6+4\cdot 3}{3}=\frac{-6+12}{3}

\displaystyle x=2

 

\displaystyle x=2, y=3

 

 

 

2 \displaystyle \left\{\begin{matrix} 2x+3y=-1\\ 3x+4y=0 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} 2x+3y=-1\\ 3x+4y=0 \end{matrix}\right.

Despejamos la incógnita \displaystyle x de la primera y segunda
ecuación

 

\displaystyle 3x=-4y

\displaystyle x=\frac{-4y}{3}

\displaystyle 2x=-1-3y

\displaystyle x=\frac{-1-3y}{2}

 

Igualamos ambas expresiones

 

\displaystyle \frac{-1-3y}{2}=\frac{-4y}{3}

 

Resolvemos la ecuación

 

\displaystyle 3\left ( -1-3y \right )=2\left ( -4y \right )

\displaystyle -3-9y =-8y

\displaystyle y =-3

 

Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos
despejada la \displaystyle x

 

\displaystyle x=\frac{-4\cdot \left ( -3 \right )}{3}

\displaystyle x=4

 

 

3 \displaystyle \left\{\begin{matrix} 3x+2y=7\\ 4x-3y=-2 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} 3x+2y=7\\ 4x-3y=-2 \end{matrix}\right.

Despejamos la incógnita \displaystyle x de la primera y segunda
ecuación.

 

\displaystyle 3x=7-2y

\displaystyle x=\frac{7-2y}{3}

 

\displaystyle 4x=-2+3y

 

\displaystyle x=\frac{-2+3y}{4}

 

Igualamos ambas expresiones y resolvemos la ecuación

 

\displaystyle 4\left ( 7-2y \right )=3\left ( -2+3y \right )

\displaystyle 28-8y=-6+9y

\displaystyle 28+6=9y+8y

\displaystyle 34=17y

\displaystyle y=2

 

Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada
la \displaystyle x.

\displaystyle x=\frac{7-2\cdot 2}{3}

\displaystyle x=1

 

 

 

4 \displaystyle \left\{\begin{matrix} \frac{x+3y}{2}=5\\ 4-x+\frac{y}{2}=1 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} \frac{x+3y}{2}=5\\ 4-x+\frac{y}{2}=1 \end{matrix}\right.
Multiplicamos la segunda ecuación por 2, para simplificarla:

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+3y=10\\ 8-2x+y=2 \end{matrix}\right.

 

Ordenamos los términos

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+3y=10\\ -2x+y=-6 \end{matrix}\right.

 

Despejamos la incógnita x de la primera y segunda ecuación

\displaystyle x=10-3y

\displaystyle -2x=-6-y

\displaystyle 2x=6+y

\displaystyle x=\frac{6+y}{2}

 

Igualamos ambas expresiones y resolvemos la ecuación

\displaystyle 10-3y=\frac{6+y}{2}

\displaystyle 20-6y=6+y

\displaystyle 14=7y

\displaystyle y=2

 

Sustituimos el valor de \displaystyle y, en una de las dos expresiones
en las que tenemos despejada la \displaystyle x.

 

\displaystyle x=10-3\cdot 2

 

\displaystyle x=4

 

 

5 \displaystyle \left\{\begin{matrix} \frac{x+3y}{2}=5\\ \\ 4-\frac{2x-y}{2}=1  \end{matrix}\right.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} \frac{x+3y}{2}=5\\ \\ 4-\frac{2x-y}{2}=1\end{matrix}\right.

 

Quitamos denominadores

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+3y=10\\ 8-2x+y=2 \end{matrix}\right.

 

Ordenamos la segunda ecuación

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+3y=10\\ -2x+y=-6 \end{matrix}\right.

 

Despejamos la incógnita x de la primera y segunda ecuación

 

\displaystyle x=10-3y

\displaystyle -2x=-6-y

\displaystyle 2x=6+y

\displaystyle x=\frac{6+y}{2}

 

Igualamos ambas expresiones

 

\displaystyle 10-3y=\frac{6+y}{2}

 

Resolvemos la ecuación

 

\displaystyle 20-6y=6+y

\displaystyle 14=7y

\displaystyle y=2

 

Sustituimos el valor de \displaystyle y , en una de las dos expresiones
en las que \displaystyle x .

 

\displaystyle x=10-3\cdot 2

\displaystyle x=4

 

6 \displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=60\\ 16x+20y=1100 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=60\\ 16x+20y=1100 \end{matrix}\right.

Despejamos la incógnita x de la primera y segunda ecuación

 

\displaystyle x=60-y

\displaystyle 16x=1100-20y

\displaystyle x=\frac{1100-20y}{16}

 

Igualamos ambas expresiones

 

\displaystyle 60-y=\frac{1100-20y}{16}

 

Resolvemos la ecuación

\displaystyle 960-16y=1100-20y

\displaystyle -16y+20y=1100-960

\displaystyle 4y=140

\displaystyle y=35

 

Sustituimos el valor de \displaystyle y, en una de las dos
expresiones en las que tenemos despejada la \displaystyle y.

 

\displaystyle x+35=60

\displaystyle x=25

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗