Regla de Cramer

Un Sistema Cramer es un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, tal que el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero, como el que se muestra a continuación:

    \begin{equation*}\begin{aligned} &a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+a_{13} x_{3}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1}\\ &a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+a_{23} x_{3}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2}\\ &a_{31} x_{1}+a_{32} x_{2}+a_{33} x_{3}+\cdots+a_{3 n} x_{n}=b_{3}\\ &a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+a_{m 3} x_{3}+\cdots+a_{m n} x_{n}=b_{m} \end{aligned}\end{equation*}

 

Sea \Delta el determinante de la matriz de coeficientes. Es decir:

    \begin{equation*} \Delta=\left|\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & a_{m 3} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right| \end{equation*}

Y sean \Delta_{1},\Delta_{2},\Delta_{3},...,\Delta_{n} los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna , en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente. Entonces las soluciones del sistema de ecuaciones están dadas por la siguiente relación:

    \begin{equation*} x_{1}=\frac{\Delta_{1}}{\Delta} \quad x_{2}=\frac{\Delta_{2}}{\Delta} \quad x_{3}=\frac{\Delta_{3}}{\Delta} \cdots \quad x_{n}=\frac{\Delta_{n}}{\Delta} \end{equation*}

    \begin{equation*} \begin{aligned} &x_{1}=\frac{\left|\begin{array}{ccccc} b_{1} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\ b_{2} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\ \ldots & \ldots & \cdots & \ldots & \ldots \\ b_{m} & a_{m 2} & a_{m 3} & \cdots & a_{m} \end{array}\right|}{\Delta} \quad x_{2}=\frac{\left|\begin{array}{cccccc} a_{11} & b_{1} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & b_{2} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \ldots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m 1} & b_{m} & a_{m 3} & \cdots & a_{m} \end{array}\right|}{\Delta}\\ &x_{3}=\frac{\left|\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & b_{1} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & b_{2} & \cdots & a_{2 n} \\ \ldots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & b_{m} & \cdots & a_{m} \end{array}\right|}{\Delta} \quad x_{n}=\frac{\left|\begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & b_{2} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & a_{m 3} & \cdots & b_{m} \end{array}\right|}{\Delta} \end{aligned} \end{equation*}

 

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución es que el rango r de la matriz de los coeficientes y el rango r' de la matriz ampliada sean iguales. Es decir, en los rangos de las matrices se pueden tener los siguientes casos:

 

  • r =r'Sistema Compatible.
  • r =r'=n Sistema Compatible Determinado.
  • r =r'\neq n Sistema Compatible Indeterminado.
  • r\neq r  Sistema Incompatible.

 

Sistemas homogéneos

Si un sistema de m ecuaciones y m incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo. Es decir, el sistema sólo admite la solución trivial: x_1 = x_2=... = x_n= 0.

La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el número de incógnitas, o dicho de otra forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗