El conocer y utilizar el teorema de Rouché-Frobenius permite determinar el tipo de solución que tendrá un sistema de 
ecuaciones lineales de 
incógnitas, a partir de calcular tanto el rango de la matriz formada por los coeficientes, 
, y como el de la matriz ampliada por los términos independientes, 
.
Presentación del teorema Rouche-Frobenius
Sean la matriz de coeficientes y la matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales con incógnitas. Si 
y 
son el rango de y , respectivamente:
El sistema es compatible si los rangos coinciden 
. Además, si 
, el sistema es compatible determinado; es decir, tiene solución única.
Si el sistema es compatible, , pero 
, el sistema es compatible indeterminado; es decir, tiene una infinidad de soluciones.
El sistema es incompatible si los rangos son distintos 
, es decir, el sistema no tiene solución.
Aplicación del teorema de Rouche-Frobenius
Considera el sistema de ecuaciones. En caso de que sea posible, resuélvelo.
1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.
Tiene rango mayor a 1, pues
Tiene rango mayor a 2, porque
Tiene rango mayor a 3, porque
No es posible calcular si tiene rango mayor a 4 porque no es una matriz de 
Por tanto, 
2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.
Como
3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, pues
4Como el sistema tiene solución única, podemos resolverlo ya sea por la regla de Cramer o por el método de Gauss. Ya que el cuarto renglón de la matriz es una combinación lineal de los otros tres, tomamos el subsistema de 
y su matriz correspondiente.
En este caso, resolveremos el sistema por la regla de Cramer.
Por tanto, para el sistema inicial se tiene que 
y 
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no entiendo esto debe d e explicarlo mucho mejor no entiendo el método de gramer esta enredado debe mejorar para que sea entendible
Hola lamentamos el que no puedas entender, tratamos de adaptarnos a la mayoría de personas posible, pero hay casos como el tuyo en que no lo logramos, pero nos ponemos en disposición para cualquier duda, si hay un ejercicio en particular que no entiendas por este medio podemos ayudarte a explicarlo mejor, en el caso de la regla de Cramer menciona un ejemplo que no entendiste y te lo explicamos.
es posible que en el ejercicio de discutir un sistema con parámetros, usando la forma de roche este mal copiada o haya un error en la matriz de los coeficientes, en la columna 2 fila 3 hay un 1 y creo que debería haber un 2?
Hola revise los ejercicios y no encontré el error que mencionas, podrías decirme que numero de ejercicio es para poder rectificarlo, nos seria de mucha ayuda.
Resultado de este ejercicios de sistemas de Gauss con matrices:x+y+z=3
2x+4y+z=4
3x-y+z=1
Me podrían ayudar a resolverlo
Si tengo tres rectas donde dos se superponen (hasta acá el sistema es compatible indeterminado), pero una tercer recta las cruza, es sistema se convierte es compatible determinado por haber un punto de intersección entre las tres rectas o continúa siendo compatible indeterminado por las infinitas soluciones de dos de las tres rectas?
Hola como la tercera recta intercepta a las otras dos que están superpuestas, lo hace en un solo punto, entonces solo hay una sola solución que corresponde a las tres rectas, pues para que hubiera una infinidad de puntos de respuesta las tres rectas tendrían que ser superpuestas.