El conocer y utilizar el teorema de Rouché-Frobenius permite determinar el tipo de solución que tendrá un sistema de  m ecuaciones lineales de  n incógnitas, a partir de calcular tanto el rango de la matriz formada por los coeficientes,  A , y como el de la matriz ampliada por los términos independientes,  A' .

Presentación del teorema Rouche-Frobenius

Sean  A la matriz de coeficientes y  A' la matriz ampliada del sistema de  m ecuaciones lineales con  n incógnitas. Si r y  r' son el rango de  A y  A' , respectivamente:

El sistema es compatible si los rangos coinciden r = r'. Además, si r = n, el sistema es compatible determinado; es decir, tiene solución única.

Si el sistema es compatible, r = r', pero r < n, el sistema es compatible indeterminado; es decir, tiene una infinidad de soluciones.

El sistema es incompatible si los rangos son distintos r \neq r', es decir, el sistema no tiene solución.

 

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Aplicación del teorema de Rouche-Frobenius

Considera el sistema de ecuaciones. En caso de que sea posible, resuélvelo.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} 2x-y-2z&= -2\\ -x+y+z&= 0 \\ x-2y+z&=8 \\ 2x-2y&=6 \\ \end{matrix}\right.

 

 1  Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

 

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2& -1& -2& \\ -1& 1& 1& \\ 1& -2& 1& \\ 2& -2& 0& \end{pmatrix}

 

Tiene rango mayor a 1, pues

 

 \left | 2\right |= 2 \neq 0 .

 

Tiene rango mayor a 2, porque

 

 \begin{vmatrix} 2 & -1\\ -1 & 1 \end{vmatrix} =1 \neq 0.

 

Tiene rango mayor a 3, porque

 

 \begin{vmatrix} 2& -1& -2& \\ -1& 1& 1& \\ 1& -2& 1& \\ \end{vmatrix} = 2 \neq 0.

 

No es posible calcular si tiene rango mayor a 4 porque no es una matriz de  4\times 4. Por tanto,  r(A)=3.

 

 2  Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

 

 A' = \begin{pmatrix} 2 & -1& -2& -2\\ -1& 1& 1& 0\\ 1& -2& 1& 8\\ 2& -2& 0 & 6 \end{pmatrix}

 

Como

 

 \begin{vmatrix} 2 & -1& -2& -2\\ -1& 1& 1& 0\\ 1& -2& 1& 8\\ 2& -2& 0 & 6 \end{vmatrix}= 0,

 

 r(A')=3.

 

 3  Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, pues

 

 r(A)=3,\qquad r(A')=3, \qquad n=3.

 

 4Como el sistema tiene solución única, podemos resolverlo ya sea por la regla de Cramer o por el método de Gauss. Ya que el cuarto renglón de la matriz  A' es una combinación lineal de los otros tres, tomamos el subsistema de  3 \times 3 y su matriz correspondiente.

 

 \left\{ \begin{matrix} 2x-y-2z&= -2\\ -x+y+z&= 0 \\ x-2y+z&=8 \\ \end{matrix}\right. \Rightarrow

 
 

\begin{pmatrix} 2 & -1& -2& -2\\ -1& 1& 1& 0\\ 1& -2& 1& 8\\ \end{pmatrix}

 

En este caso, resolveremos el sistema por la regla de Cramer.

 

 x = \dfrac{\begin{vmatrix} -2 & -1& -2\\ 0& 1& 1\\ 8& -2& 1\\ \end{vmatrix}}{2} = \dfrac{8-6}{2}=1

 

 y = \dfrac{\begin{vmatrix} 2 & -2& -2\\ -1& 0& 1\\ 1& 8& 1\\ \end{vmatrix}}{2} = \dfrac{-2-2}{2}=-2

 

 z = \dfrac{\begin{vmatrix} 2 & -1& -2\\ -1& 1& 0\\ 1& -2& 8\\ \end{vmatrix}}{2} = \dfrac{-2+8}{2}=3

 

Por tanto, para el sistema inicial se tiene que  x=1, y=-2 y  z=3.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗