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Método de reducción o eliminación

 

El método de reducción consiste en sumar o restar 2 ecuaciones, para obtener una tercera.
Esta otra ecuación tendrá una variable menos que las anteriores, de tal manera que se pueda
despejar para encontrar la solución de una de las variables.

 

Ejemplo:

Dado el sistema de ecuaciones siguiente:

 

 

    \[\left \lbrace2x+4y = 10 \atop x+3y = 7 \right.\]

 

 

 

Notemos que se trata de un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, podemos asumir que
el sistema tiene una solución única.  Entonces:

 

Paso 1: Verificar si ambas ecuaciones se pueden sumar o restar de tal modo, que se elimine
alguna se sus variables.

 

 

De no poder eliminarse directamente, deberemos multiplicar una o las 2 ecuaciones por
algún valor, de tal modo que en ambas ecuaciones tengamos alguna variable con el mismo
coeficiente.

 

Paso 2: Una vez teniendo variables con el mismo coeficiente, estas podrán restarse y así se
eliminara una de las variables.

 

Paso 3: En la ecuación obtenida, debemos despejar la variable.

 

Paso 4: Sustituimos la variable en una de las 2 primeras ecuaciones para obtener el valor
de la otra variable.

 

Resolviendo:

 

2x+4y=10;    Ecuación I

x+3y=7 ;       Ecuación II

 

Paso 1: Como ninguna de las variables tiene el mismo coeficiente debemos de realizar una
multiplicación. La ecuación II se debe multiplicar por 2:

 

 

2(x+3y=7) \ \ \rightarrow \ \ 2x+6y=14

 

Ahora tenemos :

 

 

    \[\left \lbrace2x+4y = 10 \atop 2x+6y = 14 \right.\]

 

Paso 2: Como tenemos coeficientes iguales en una de las variables, podemos restar
las ecuaciones:

 

- \begin{array}{c} 2x+4y = 10 \\ \underline{2x+6y = 14} \\ 0-2y=-4 \\ \end{array}

 

Paso 3: Despejamos y.

 

0-2y=-4 \ \ \rightarrow \ \ y=\frac{-4}{-2} \ \ \rightarrow \ \ y=2

 

Paso 4: Sustituimos y en Ecuación I o Ecuación II.

 

2x+4y=10;    Ecuación I  \ \ \rightarrow \ \ 2x+4(2)=10 \ \ \rightarrow \ \ 2x=2 \ \ \rightarrow \ \ x=1

x+3y=7 ;       Ecuación II   \ \ \rightarrow \ \ x+3(2)=7 \ \ \rightarrow \ \ x=7-6 \ \ \rightarrow \ \ x=1

 

Resuelve el siguiente sistema eliminando la variable y

 

    \[\left \lbrace3x-4y = -6 \atop 2x+4y = 16 \right.\]

 

 

    \[\left \lbrace3x-4y = -6 \atop 2x+4y = 16 \right.\]

Como ambas ecuaciones tienen el mismo coeficiente en la variable y
pero de signo contrario, entonces realizamos una suma de las 2 ecuaciones.

 

    \[+ \begin{array}{c} 3x-4y = -6 \\ \underline{2x+4y = 16} \\ 5x+0=10 \\ \end{array}\]

 

Despejamos la variable para encontrar su valor:

 

 

5x=10 \ \ \rightarrow \ \ x= \frac{10}{5} \ \ \rightarrow \ \ x=2

 

Sustituimos el valor de x en la segunda ecuación inicial

 

 

3(2)-4y = -6 \ \ \rightarrow \ \ 6 -4y = -6 \ \ \rightarrow \ \ y= \frac{-6-6}{-4} \ \ \rightarrow \ \ y=3

 

La solución es :

 

x=2 y y=3

 

 

Resuelve el siguiente sistema sin coeficientes iguales

 

Sistema de ecuaciones sin coeficientes en común.

 

 

Sistema de ecuaciones sin coeficientes en común.

 

Vamos a eliminar las y, para ello multiplicamos la primera
ecuación por 3 y la segunda por 2.

 

Sumamos miembro a miembro y obtenemos el valor de la x

 

Resultado de sistema de ecuaciones para la variable x.

 

Sustituimos el valor de x en la primera ecuación inicial

 

Resultado de sistema de ecuaciones para la variable y.

 

 

Resuelve el sistema de ecuaciones eliminando la variable x

 

Sistema de ecuaciones sin coeficientes en común. 2

 

 

Sistema de ecuaciones sin coeficientes en común. 2

 

Vamos a eliminar las x, para ello multiplicamos la segunda
ecuación por −3

 

Sumamos miembro a miembro y obtenemos el valor de la y

 

Resultado de sistema de ecuaciones para la variable y. 2

 

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial

 

Sustitución de y para obtener x

 

Resultado de sistema de ecuaciones para la variable x. 2

 

 

Resuelve el sistema siguiente

 

Sistema de ecuaciones son resta de fracciones.

 

 

Sistema de ecuaciones son resta de fracciones.

 

Quitamos denominadores en la segunda ecuación.

 

Vamos a eliminar las x, para ello multiplicamos la segunda ecuación por −90

 

Resultado de sistema de ecuaciones para la variable y. 3

 

Obtenemos el valor de la y

 

Valor de y

 

Sustituimos el valor de y en la primera ecuación inicial

 

Resultado de sistema de ecuaciones para la variable x. 3

 

 

Calcula el valor de x y y de este sistema de ecuaciones

 

Sistema de ecuaciones sin coeficientes en común. 3

 

 

Sistema de ecuaciones sin coeficientes en común. 3

 

Vamos a eliminar las x, para ello multiplicamos la primera
ecuación por 3 y la segunda por −2

 

Reducción de ecuaciones para encontrar el valor de y

 

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial

 

3x + 4 · (−3) = 0         3x = 12          x =4

 

 

Simplifica el denominador y resuelve

 

Sistema de ecuaciones con fracciones.

 

 

Sistema de ecuaciones con fracciones.

 

Quitamos denominadores

 

 

Sistema de ecuaciones simplificado

 

Quitamos paréntesis

 

Sistema de ecuaciones simplificado . 2

 

Ordenamos los términos

 

Agrupación de términos semejantes.

 

Sumamos miembro a miembro y calculamos el valor de y

 

Resultado de sistema de ecuaciones para la variable y. 4

 

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación

 

Resultado de sistema de ecuaciones para la variable x. 4

 

 

Multiplica la segunda fracción por 100 y simplifica

 

Sistema de ecuaciones con suma fracciones.

 

 

Sistema de ecuaciones con suma fracciones.

 

 

Quitamos denominadores

 

Vamos a eliminar las x, para ello multiplicamos la segunda ecuación por −110

 

Producto de de una ecuación para igualar coeficientes en el sistema

 

Obtenemos el valor de la y

 

Valor de y

 

Sustituimos el valor de y en la primera ecuación

 

Resultado de sistema de ecuaciones para la variable x. 5

 

 

Iguala coeficientes y reduce las ecuaciones

 

 

 

 

 

Vamos a eliminar las x multiplicando la primera ecuación por −2

 

Eliminación de la variable x en el sistema de ecuaciones

 

Calculamos el valor de y

 

Valor de y

 

Sustituimos el valor de y en la primera ecuación

 

Resultado de sistema de ecuaciones para la variable x. 6

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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