Método de reducción o eliminación

 

El método de reducción consiste en sumar o restar 2 ecuaciones, para obtener una tercera.  Esta otra ecuación tendrá una variable menos que las anteriores, de tal manera que se pueda
despejar para encontrar la solución de una de las variables.

 

Ejemplo

Dado el sistema de ecuaciones siguiente:

 

\left\{\begin{matrix} 2x+4y=10\\ x+3y=7 \end{matrix}\right.

 

Notemos que se trata de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, podemos asumir que el sistema tiene una solución única.  Entonces:

 

Paso 1: Verificar si ambas ecuaciones se pueden sumar o restar de tal modo, que se elimine alguna de sus variables.

 

De no poder eliminarse directamente, deberemos multiplicar una o las dos  ecuaciones por algún valor, de tal modo que en ambas ecuaciones tengamos alguna variable con el mismo coeficiente.

 

Paso 2: Una vez teniendo variables con el mismo coeficiente, estas podrán restarse y así se eliminara una de las variables.

 

Paso 3: En la ecuación obtenida, debemos despejar la variable.

 

Paso 4: Sustituimos la variable en una de las dos primeras ecuaciones para obtener el valor de la otra variable.

 

Resolvemos:

 

2x+4y=10

x+3y=7

 

Paso 1: Como ninguna de las variables tiene el mismo coeficiente debemos de realizar una multiplicación. La segunda ecuación se debe multiplicar por 2 :

 

2(x+3y=7)   \ \ \rightarrow  \ \  2x+6y=14

 

Ahora tenemos :

 

\left\{\begin{matrix} 2x+4y=10\\ 2x+6y=14 \end{matrix}\right.

 

Paso 2: Como tenemos coeficientes iguales en una de las variables, podemos restar las ecuaciones:

 

- \begin{array}{c}  2x+4y = 10   \\  \underline{2x+6y = 14} \\ 0-2y=-4 \\  \end{array}

 

Paso 3: Despejamos y .

 

0-2y=-4  \ \ \rightarrow  \ \ y=\frac{-4}{-2}   \ \ \rightarrow  \ \  y=2

 

Paso 4: Sustituimos y en la primera o la segunda ecuación.

 

2x+4y=10      \ \ \rightarrow  \ \   2x+4(2)=10 \ \ \rightarrow  \ \ 2x=2 \ \ \rightarrow  \ \ x=1

x+3y=7       \ \ \rightarrow  \ \ x+3(2)=7 \ \ \rightarrow  \ \ x=7-6 \ \ \rightarrow  \ \ x=1

 

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Resolver el sistema - Coeficientes enteros

 

1 \left\{\begin{matrix} 3x-4y=-6\\ 2x+4y=16 \end{matrix}\right.

 

Como ambas ecuaciones tienen el mismo coeficiente en la variable y pero de signo contrario, entonces realizamos una suma de las dos ecuaciones.

 

+ \begin{array}{c}  3x-4y = -6   \\  \underline{2x+4y = 16} \\ 5x+0=10 \\  \end{array}

 

Despejamos la variable para encontrar su valor:

 

 

5x=10  \ \ \rightarrow  \ \  x= \frac{10}{5}  \ \ \rightarrow  \ \ x=2

 

Sustituimos el valor de x en la segunda ecuación inicial.

 

 

3(2)-4y = -6  \ \ \rightarrow  \ \  6 -4y = -6  \ \ \rightarrow  \ \  y= \frac{-6-6}{-4} \ \ \rightarrow  \ \ y=3

 

La solución es :

 

x=2 y y=3

 

2 \displaystyle \left\{\begin{matrix} 3x+2y=7 \ \ \\ 4x-3y=-2 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} 3x+2y=7 \ \ \\ 4x-3y=-2 \end{matrix}\right.

 

Vamos a eliminar las y , para ello multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2 .

 

Sumamos miembro a miembro y obtenemos el valor de la x.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} 3x+2y=7 & \overset{\times 3}{\longrightarrow} \\ 4x-3y=-2 & \overset{\times 2}{\longrightarrow} \end{matrix}\right. \hspace{.3cm} \left\{\begin{matrix} 9x+6y=21\\ 8x-6y=-4 \end{matrix}\right. \\ \begin{matrix} \hspace{4.8cm} \overline{\ \ \ \ \ \ \ 17x =17 \ \ } \\ \hspace{4.8cm} \ \ \ \ \ \ \ \ \ x =1 \ \ \\ \end{matrix}

 

Sustituimos el valor de x  en la primera ecuación inicial.

 

\displaystyle 3\cdot 1 +2y=7 \hspace{2cm} 2y=4 \hspace{2cm} y=2

 

3 \displaystyle \left\{\begin{matrix} 3x+2y=24\\ x+3y=3 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} 3x+2y=24\\ x+3y=3 \end{matrix}\right.

 

Vamos a eliminar las x , para ello multiplicamos la segunda ecuación por -3.

 

Sumamos miembro a miembro y obtenemos el valor de la y.

 

\displaystyle \begin{matrix} 3x+2y=24\\ -3x-9y=-9 \ \\ \overline{\ \ \ \ \ \ \ -7y=15 \ \ } \end{matrix} \hspace{2cm} y=-\frac{15}{7}

 

Sustituimos el valor de y  en la segunda ecuación inicial.

 

\displaystyle x+3\left( -\frac{15}{7}\right)=3 \hspace{2cm} x-\frac{45}{7}=3

 

\displaystyle 7x-45=21 \hspace{2cm} 7x=66 \hspace{2cm} x=\frac{66}{7}

 

4 \displaystyle \left\{\begin{matrix} 2x+3y=-1\\ 3x+4y=0 \ \ \end{matrix}\right.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} 2x+3y=-1\\ 3x+4y=0 \ \ \end{matrix}\right.

 

Vamos a eliminar las x , para ello multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por -2.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} \ \ \ \6x+9y=-3 \\ -6x-8y=0\\ \end{matrix}\right.\\ \begin{matrix} \hspace{.8cm}\overline{\hspace{1.7cm}y=-3} \end{matrix}

 

Sustituimos el valor de y  en la segunda ecuación inicial.

 

\displaystyle 3x + 4 \cdot (-3) = 0 \hspace{2cm} 3x=12 \hspace{2cm} x=4

5 \displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=58\\ 2x+4y=168 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=58\\ 2x+4y=168 \end{matrix}\right.

 

 

Vamos a eliminar las x  multiplicando la primera ecuación por -2

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} -2x-2y=-116\\ 2x+4y=168 \end{matrix}\right.\\ \begin{matrix} \hspace{1cm}\overline{\hspace{1.1cm}2y=52} \end{matrix}

 

Calculamos el valor de y

 

y=26

 

 

Sustituimos el valor de y  en la primera ecuación.

 

x+26=58 \hspace{2cm} x=32

 

Resolver el sistema - Coeficientes racionales

 

6 \displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=3500\\ x-\frac{10x}{100}+y-\frac{8y}{100}=3170 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=3500\\ x-\frac{10x}{100}+y-\frac{8y}{100}=3170 \end{matrix}\right.

 

Quitamos denominadores en la segunda ecuación multiplicando a x por\displaystyle \frac {100}{100}.

 

Esta fracción es igual a 1, entonces no cambia la proporcionalidad de la ecuación, se trata simplemente de un truco para facilitar el cálculo.

Obtenemos:

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=3500\\ \frac{100x}{100}-\frac{10x}{100}+\frac{100y}{100}-\frac{8y}{100}=3170 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=3500\\ \frac{90x}{100}+\frac{92y}{100}=3170 \end{matrix}\right.

 

Para deshacernos de los denominadores en la segunda ecuación, multiplicamos 3170 por 100 . El nuevos sistema obtenido es:

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=3500\\ 90x+92y=317000 \end{matrix}\right.

 

Vamos a emplear el método de reducción. Por ello, necesitamos deshacernos de una de las dos incógnitas al sumar las dos ecuaciones. Podemos entonces multiplicar la primera ecuación por -90 y así deshacernos de la x. Sumando las dos ecuaciones, obtendremos una ecuación con una incógnita (la y)/p>

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=3500 \ \ \ & \overset{\times (-90)}{\longrightarrow} \\ 90x+92y=317000 & \end{matrix}\right. \hspace{.3cm} \left\{\begin{matrix} -90x-90y=-315000\\ \ 90x+92y= \ 317000 \end{matrix}\right. \\ \begin{matrix} \hspace{6.4cm} \overline{ \hspace{1.8cm} 2y =2000 \ \ } \\ \hspace{4.8cm} \hspace{3.6cm} y =1000 \ \ \\ \end{matrix}

 

Obtenemos el valor de la y

 

y=1000

 

Sustituimos el valor de y en la primera ecuación inicial

 

\displaystyle x+1000=3500 \hspace{2cm} x=2500

 

7 \displaystyle \left\{\begin{matrix} \frac{x+y}{2}=x-1\\ \frac{x-y}{2}=y+1 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} \frac{x+y}{2}=x-1\\ \frac{x-y}{2}=y+1 \end{matrix}\right.

 

 

Quitamos denominadores. Para esto, multiplicamos por 2 las ecuaciones ya que en ambas solo aparece este denominador:

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} 2\left(\frac{x+y}{2}\right)=2(x-1)\\ 2\left(\frac{x-y}{2}\right)=2(y+1) \end{matrix}\right.

 

Como del lado izquierdo de las ecuaciones se está multiplicando y dividiendo por el mismo número, se cancela el 2

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=2(x-1)\\ x-y=2(y+1) \end{matrix}\right.

 

Quitamos paréntesis

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=2x-2\\ x-y=2y+2 \end{matrix}\right.

 

Ordenamos los términos, las variables de un lado y el término independiente del otro

 

\left\{\begin{matrix} x+y-2x=-2\\ x-y-2y=2 \end{matrix}\right.

 

\left\{\begin{matrix} -x+y=-2\\ x-3y=2 \end{matrix}\right.

 

Como en las ecuaciones aparece x y -x, ya se puede hacer la reducción directamente (suma de las ecuaciones) pues se eliminará la variable x porque -x+x=0. Sumamos miembro a miembro y calculamos el valor de y.

 

 \begin{matrix} -x+y=-2\\ x-3y=2\ \ \\ \overline{\ \ \ \ \ -2y=0\ \ \ \ } \end{matrix}\hspace{2cm}y=0

 

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación del sistema (también puedes usar la primera) y despejamos

 

\displaystyle x-3y =2

\displaystyle x-3\cdot 0 =2

\displaystyle x=2

 

8 \displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=2000\\ x+\frac{10x}{100}+y+\frac{15y}{100}=2260 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=2000\\ x+\frac{10x}{100}+y+\frac{15y}{100}=2260 \end{matrix}\right.

 

 

Quitamos los denominadores  de la segunda ecuación multiplicando por 100, pues es el único denominador que aparece

 

\displaystyle x+\frac{10x}{100}+y+\frac{15y}{100}=2260

 

\displaystyle 100x+100\left(\frac{10x}{100}\right)+100y+100\left(\frac{15y}{100}\right)=100\times 2260

 

Cancelamos el 100 en los términos donde tenga a este factor multiplicando y diviendo, pues \displaystyle \frac{100}{100}=1

 

\displaystyle 100x+10x+100y+15y=226000

 

sumamos los términos similares para simplificar

 

\displaystyle 110x+115y=226000

 

Vamos a eliminar las x, y para ello multiplicamos la primera ecuación por -110

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y=2000\\ 110x+115y=226000 \end{matrix}\right. \begin{matrix} \overset{\times (-110)}{\longrightarrow}\\ \hspace{1cm} \end{matrix}\left{\begin{matrix} -110x-110y=-220000\\ \ 110x+115y=226000 \end{matrix}\right.\\ \begin{matrix} \hspace{5cm}\overline{\hspace{2cm}5y=6000\hspace{1.2cm}} \end{matrix}\\

 

Obtenemos el valor de la y.

 

\displaystyle y=\frac{6000}{5}

\displaystyle y=1200

 

Sustituimos el valor de y en la primera ecuación y despejamos.

 

\displaystyle x+y=2000

\displaystyle x+1200=2000

\displaystyle x=2000-1200

\displaystyle x=800

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗