Al tratar de resolver un sistema de ecuaciones uno se puede encontrar con que hay muchas formas diferentes de hacerlo como el método de Gauss, regla de Cramer o el teorema Rouche-Frobenius.

 

Esto podría generar la pregunta: ¿Cuál método es el mejor?

 

A continuación haremos una comparación entre estos métodos resolviendo diferentes sistemas de ecuaciones y discutiremos sobre las ventajas y desventajas de usar cada uno de los métodos mencionados.

 

Sistemas homogéneos

 

Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo.

 

Admiten la solución trivial:

 

x_1=x_2=\cdots=x_n=0
 

La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el nº de incógnitas, o dicho de otra forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.
Esto solo nos dice que el sistema tiene una solución diferente de la trivial, pero claramente no nos dice cual es. Por lo que para calcularla podemos hacer uso de los métodos mencionados.
Ejemplo
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

\begin{matrix} x+y+z &=0 \\ x-y& =0\\ x+3y+2z & =0 \end{matrix}
 

Solución con el método de Gauss-Jordan

 

1Formar una matriz de los coeficientes y los términos independientes.
Lo primero que tenemos que hacer es formar una matriz con los coeficientes y los términos independientes (números del lado derecho del signo de igualdad de las ecuaciones) de las ecuaciones de la siguiente manera:
&nbsp,

\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &|\ 0 \\ 1 & -1 & 0 & |\ 0\\ 1 & 3 & 2 & |\ 0 \end{bmatrix}
 

2Usar un poco de álgebra para hacer la eliminación gaussiana.
Ahora procedemos a hacer las operaciones para encontrar la solución del sistema, por lo que hacemos:

\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &|\ 0 \\ 1 & -1 & 0 & |\ 0\\ 1 & 3 & 2 & |\ 0 \end{bmatrix} \overset{f_{2}-f_{1}}{\rightarrow}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &|\ 0 \\ 0 & -2 & -1 & |\ 0\\ 1 & 3 & 2 & |\ 0 \end{bmatrix} \overset{f_{3}-f_{1}}{\rightarrow}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &|\ 0 \\ 0 & -2 & -1 & |\ 0\\ 0 & 2 & 1 & |\ 0 \end{bmatrix}
 

\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &|\ 0 \\ 0 & -2 & -1 & |\ 0\\ 0 & 2 & 1 & |\ 0 \end{bmatrix} \overset{f_{3}+f_{2}}{\rightarrow}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &|\ 0 \\ 0 & -2 & -1 & |\ 0\\ 0 & 0 & 0 & |\ 0 \end{bmatrix} \overset{f_{1}+(f_{2}/2)}{\rightarrow}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1/2 &|\ 0 \\ 0 & -2 & -1 & |\ 0\\ 0 & 0 & 0 & |\ 0 \end{bmatrix}
 

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1/2 &|\ 0 \\ 0 & -2 & -1 & |\ 0\\ 0 & 0 & 0 & |\ 0 \end{bmatrix}\overset{-\frac{1}{2}\times f_{2}\times}{\rightarrow}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1/2 &|\ 0 \\ 0 & 1 & 1/2 & |\ 0\\ 0 & 0 & 0 & |\ 0 \end{bmatrix}
 

De esto obtenemos las ecuciones:

\begin{matrix} x+\frac{z}{2} &=0 \\ y+\frac{z}{2}&=0 \end{matrix}\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} \begin{matrix} x &=-\frac{z}{2} \\ y&=-\frac{z}{2} \end{matrix}
 

3Reescribir las variables.
En este caso tomamos z=\lambda, tenemos que: x=-\frac{\lambda}{2} y y=-\frac{\lambda}{2}.
Esto para tener todas las variables en términos de una sola.
Lo que indica que el sistema tiene infinitas soluciones.

Solución con la regla de Cramer

 

1Formar la matriz de los coeficientes y calcular el determinante.

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 0\\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix}=0
 

2Debido a que el determinante de la matriz de los coeficientes es 0, no podemos hacer uso de la regla de cramer. Esto puede indicar que el sistema no tiene solución o tiene infinitas soluciones.

Solución con el teorema Rouche-Frobenius

 

1Formar la matriz de los coeficientes.

A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0\\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}
 

2Calcular el rango de la matriz de los coeficientes.
En este caso el rango de la matriz es:

rang(A)=2
 

3Formar la matriz ampliada.
Ahora agregamos los términos independientes del sistema de ecuaciones (números del lado derecho del signo de igualdad de las ecuaciones) a la matriz, por lo que formamos la matriz ampliada:

A^{*}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 0 & 0\\ 1 & 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}
 

4Calcular el rango de la matriz ampliada.
En este caso el rango de la matriz ampliada es:

rang(A^{*})=2
 

5Aplicamos el teorema de Rouché.

  • rang(A) = rang(A^{*})               Sistema Compatible.
    • rang(A) = rang(A^{*}) = n   Sistema Compatible Determinado.
    • rang(A) = rang(A^{*}) \neq n    Sistema Compatible Indeterminado.
  • rang(A) \neq rang(A^{*})               Sistema Incompatible.

 

Donde n representa el número de variables.
Como los rangos de ambas matrices coinciden, entonces el sistema es compatible, y además ya que el rango es menor al número de incógnitas entonces el sistema es compatible indeterminado, lo que indica que tiene infinitas soluciones.

Se dice que un sistema de ecuaciones es no homogéneo, cuando cada una de las ecuaciones involucradas en el sistema están igualadas a un número diferente de cero.

Ejemplo
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

\begin{matrix} 2x+y+2z &=1 \\ x+2y+3z &=3 \\ 3x+2y+z &=0 \end{matrix}
 

Solución con el método de Gauss-Jordan

 

1Formar la matriz de los coeficientes y los términos independientes.
Lo primero que tenemos que hacer es formar una matriz con los coeficientes y los términos independientes (números del lado derecho del signo de igualdad de las ecuaciones) de las ecuaciones de la siguiente manera:

\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 &|\ 1\\ 1 & 2 & 3 &|\ 3 \\ 3 & 2 & 1 &|\ 0 \end{pmatrix}
 

2Usar un poco de álgebra para hacer la eliminación gaussiana.
Antes de comenzar con a realizar las operaciones, cambiaremos la posición de las filas de la matriz de la siguiente manera para facilitar la resolución.

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &|\ 3 \\ 2 & 1 & 2 &|\ 1\\ 3 & 2 & 1 &|\ 0 \end{pmatrix}

&nbsp
Ahora procedemos a hacer las operaciones para encontrar la solución del sistema, por lo que hacemos:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &|\ 3 \\ 2 & 1 & 2 &|\ 1\\ 3 & 2 & 1 &|\ 0 \end{pmatrix}\overset{f_{2}-2\cdot f_{1}}{\rightarrow}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &|\hspace{0.5cm} 3 \\ 0 & -3 & -4 &|-5\\ 3 & 2 & 1 &|\hspace{0.5cm} 0 \end{pmatrix}
 

\overset{f_{3}-3\cdot f_{1}}{\rightarrow}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &|\hspace{0.5cm} 3 \\ 0 & -3 & -4 &|-5\\ 0 & -4 & -8 &|-9 \end{pmatrix}\overset{-\frac{1}{3}\cdot f_{2}}{\rightarrow}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &|\hspace{0.5cm} 3 \\ 0 & 1 & 4/3 &|\hspace{0.1cm}5/3\\ 0 & -4 & -8 &|-9 \end{pmatrix}
 

\overset{f_{3}+4\cdot f_{2}}{\rightarrow}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &|\hspace{0.6cm} 3\hspace{0.3cm} \\ 0 & 1 & 4/3 &|\hspace{0.4cm}5/3\hspace{0.1cm}\\ 0 & 0 & -8/3 &|-7/3 \end{pmatrix}\overset{f_{1}-2\cdot f_{2}}{\rightarrow}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1/3 &| -1/3\\ 0 & 1 & 4/3 &|\hspace{0.4cm}5/3\hspace{0.1cm}\\ 0 & 0 & -8/3 &|-7/3 \end{pmatrix}
 

\overset{-\frac{3}{8}\cdot f_{3}}{\rightarrow}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1/3 &| -1/3\\ 0 & 1 & 4/3 &|\hspace{0.4cm}5/3\hspace{0.1cm}\\ 0 & 0 & 1 &|\hspace{0.4cm}7/8\hspace{0.1cm} \end{pmatrix}\overset{f_{2}-\frac{4}{3}\cdot f_{3}}{\rightarrow}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1/3 &| -1/3\\ 0 & 1 & 0 &|\hspace{0.4cm}1/2\hspace{0.1cm}\\ 0 & 0 & 1 &|\hspace{0.4cm}7/8\hspace{0.1cm} \end{pmatrix}
 

\overset{f_{1}-\frac{1}{3}\cdot f_{3}}{\rightarrow}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &| -5/8\\ 0 & 1 & 0 &|\hspace{0.4cm}1/2\hspace{0.1cm}\\ 0 & 0 & 1 &|\hspace{0.4cm}7/8\hspace{0.1cm} \end{pmatrix}
 

Lo que nos indica que la solución del sistema es:

x=-\frac{5}{8} \hspace{1cm} y=\frac{1}{2} \hspace{1cm} z=\frac{7}{8}
 

Solución con la regla de Cramer

 

1Formar la matriz de los coeficientes y calcular el determinante.

\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}=-8
 

2Como el determinante es distinto de 0, la matriz es regular y el sistema tiene una única solución (sistema compatible determinado).
3Continuar con el procedimiento para resolver el sistema.
Ahora reemplazamos la primera columna de la matriz de los coeficientes por una columna formada por los términos independientes (números del lado derecho del signo de igualdad de las ecuaciones) y calculamos el determinante.

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix}=5
 

Ahora el valor de la variable x esta dado por:

x=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}}=-\frac{5}{8}
 

Si hacemos algo similar a esto podemos encontrar el valor de las variables restantes, cambiando la segunda columna de la matriz de coeficientes por la columna de los términos independientes y calculando su determinante, encontramos el valor de y de forma similar al de x, esto es lo mismo para la variable z pero cambiando la tercera columna. Si hacemos los cálculos obtenemos que:

x=-\frac{5}{8} \hspace{1cm} y=\frac{1}{2} \hspace{1cm} z=\frac{7}{8}
 

Solución con el teorema Rouche-Frobenius

 

1Formar la matriz de los coeficientes
&nbsp

A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}
 

2Calcular el rango de la matriz de los coeficientes.
En este caso el rango de la matriz es:

rang(A)=3
 

3Formar la matriz ampliada.
Ahora agregamos los términos independientes del sistema de ecuaciones (números del lado derecho del signo de igualdad de las ecuaciones) a la matriz, por lo que formamos la matriz ampliada:

A^{*}=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 3\\ 3 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}
 

4Calcular el rango de la matriz ampliada.
En este caso el rango de la matriz ampliada es:

rang(A^{*})=3
 

5Aplicamos el teorema de Rouché.

  • rang(A) = rang(A^{*})               Sistema Compatible.
    • rang(A) = rang(A^{*}) = n   Sistema Compatible Determinado.
    • rang(A) = rang(A^{*}) \neq n    Sistema Compatible Indeterminado.
  • rang(A) \neq rang(A^{*})               Sistema Incompatible.

 

Donde n representa el número de variables.
Como los rangos de ambas matrices coinciden, entonces el sistema es compatible, y además ya que el rango es igual al número de incógnitas entonces el sistema es compatible determinado, lo que indica que tiene una única solución.

Sistemas de ecuaciones con parámetros

 

En esta sección revisaremos como resolver sistemas de ecuaciones con parámetros con los métodos que hemos visto hasta ahora.
Ejemplo
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

\begin{matrix} x-y+2z &=3 \\ kx+5y-4z & =1\\ 3x+2y-z & =1 \end{matrix}
 

Solución con el método de Gauss-Jordan

 

1Formar una matriz de los coeficientes y los términos independientes.
Lo primero que tenemos que hacer es formar una matriz con los coeficientes y los términos independientes (números del lado derecho del signo de igualdad de las ecuaciones) de las ecuaciones de la siguiente manera:

\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 &|\ 3 \\ k & 5 & -4 &|\ 1 \\ 3 & 2 & -1 &|\ 1 \end{pmatrix}
 

2Usar un poco de álgebra para hacer la eliminación gaussiana.
Ahora procedemos a hacer las operaciones para encontrar la solución del sistema

\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 &|\ 3 \\ k & 5 & -4 &|\ 1 \\ 3 & 2 & -1 &|\ 1 \end{pmatrix}\overset{f_{2}-k\cdot f_{1}}{\rightarrow}\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 &|\hspace{0.5cm} 3 \hspace{0.5cm}\\ 0 & 5+k & -4-2k &| 1-3k \\ 3 & 2 & -1 &|\hspace{0.5cm} 1 \hspace{0.5cm} \end{pmatrix}\overset{f_{3}-3\cdot f_{1}}{\rightarrow}
 

\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 &|\hspace{0.5cm} 3 \hspace{0.4cm}\\ 0 & 5+k & -4-2k &| 1-3k \\ 0 & 5 & -7 &|\hspace{0.2cm} -8 \hspace{0.2cm} \end{pmatrix}\overset{\frac{1}{5}\cdot f_{3}}{\rightarrow}\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 &|\hspace{0.5cm} 3 \hspace{0.4cm}\\ 0 & 5+k & -4-2k &| 1-3k \\ 0 & 1 & -7/5 &| -8/5 \end{pmatrix}
 

\overset{f_{2}-(5+k)f_{3}}{\rightarrow}\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 &|\hspace{0.5cm} 3 \hspace{0.4cm}\\ 0 & 0 & 3-\frac{3k}{5} &|9-\frac{7k}{5} \\ 0 & 1 & -7/5 &| -8/5 \end{pmatrix}\overset{f_1+f_3}{\rightarrow}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3/5 &|\hspace{0.3cm} 7/5 \hspace{0.2cm}\\ 0 & 0 & 3-\frac{3k}{5} &|9-\frac{7k}{5} \\ 0 & 1 & -7/5 &| -8/5 \end{pmatrix}
 

\overset{f_{3}/(3-\frac{3k}{5})}{\rightarrow}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3/5 &|\hspace{0.3cm} 7/5 \hspace{0.2cm}\\ 0 & 0 & 1 &|\hspace{0.1cm}\frac{45-7k}{3(5-k)} \\ 0 & 1 & -7/5 &| -8/5 \end{pmatrix}\overset{f_1-\frac{3}{5}\cdot f_2}{\rightarrow}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|\hspace{0.3cm} \frac{2}{k-5} \hspace{0.2cm}\\ 0 & 0 & 1 &|\hspace{0.1cm}\frac{45-7k}{3(5-k)} \\ 0 & 1 & -7/5 &| -8/5 \end{pmatrix}
 

\overset{f_3+\frac{7}{5}\cdot f_2}{\rightarrow}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|\hspace{0.3cm} \frac{2}{k-5} \hspace{0.2cm}\\ 0 & 0 & 1 &|\hspace{0.1cm}\frac{45-7k}{3(5-k)} \\ 0 & 1 & 0 &|\hspace{0.1cm} \frac{5k-39}{3(k-5)} \end{pmatrix}
 

Rápidamente notamos que si k=5, entonces no existirían la solución del sistema de ecuaciones. Por lo que suponemos que k\neq 5.
Por lo que tenemos que la solución del sistema es:

x=\frac{2}{k-5} \hspace{1cm} y=\frac{5k-39}{3(k-5)} \hspace{1cm} z=\frac{45-7k}{3(5-k)}
 

Solución con la regla de Cramer

 

1Formar la matriz de los coeficientes y calcular el determinante.

\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2\\ k & 5 & -4\\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix}=3(k-5)
 

2Notamos que si k=5 entonces el determinante es 0 y significaría que no podemos utilizar la regla de Cramer. Por lo que vamos a suponer que k\neq 5.
3Sustituimos la primera columna por columna de los términos independientes y calculamos el determinante.

\begin{vmatrix} 3 & -1 & 2\\ 1 & 5 & -4\\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}=6
 

4Sustituimos la segunda columna por columna de los términos independientes y calculamos el determinante.

\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2\\ k & 1 & -4\\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix}=5k-39
 

5Sustituimos la tercera columna por columna de los términos independientes y calculamos el determinante.

\begin{vmatrix} 1 & -1 & 3\\ k & 5 & 1\\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}=7k-45
 

5Calculamos el valor de las variables x, y y z.
Por la regla de cramer sabemos que:

x=\frac{\begin{vmatrix} 3 & -1 & 2\\ 1 & 5 & -4\\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2\\ k & 5 & -4\\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{6}{3(k-5)}=\frac{2}{k-5}
 

y=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2\\ k & 1 & -4\\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2\\ k & 5 & -4\\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{5k-39}{3(k-5)}
 

z=\frac{\begin{vmatrix} 1 & -1 & 3\\ k & 5 & 1\\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2\\ k & 5 & -4\\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{7k-45}{3(k-5)}=\frac{45-7k}{3(5-k)}
 

Solución con el teorema Rouche-Frobenius

1Formar la matriz de los coeficientes.

A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ k & 5 & -4 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}
 

2Calcular el rango de la matriz de los coeficientes.
En este caso el rango de la matriz depende del determinante de la matriz el cual es:

det(A)=3(k-5)
 

Notamos que si k=5 entonces el determinante es det(A)=0, por lo que el rango de la matriz sería rang(A)=2.
Ahora si k\neq 5 entonces el determinante es det(A)\neq 0, por lo que el rango en este caso es rang(A)=3
3Formar la matriz ampliada.
Ahora agregamos los términos independientes del sistema de ecuaciones (números del lado derecho del signo de igualdad de las ecuaciones) a la matriz, por lo que formamos la matriz ampliada:

A^{*}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 3\\ k & 5 & 0 & 1\\ 3 & 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}
 

4Calcular el rango de la matriz ampliada.
En este caso el rango de la matriz ampliada es:

rang(A^{*})=3
5Aplicamos el teorema de Rouché.

  • rang(A) = rang(A^{*})               Sistema Compatible.
    • rang(A) = rang(A^{*}) = n   Sistema Compatible Determinado.
    • rang(A) = rang(A^{*}) \neq n    Sistema Compatible Indeterminado.
  • rang(A) \neq rang(A^{*})               Sistema Incompatible.

 

Donde n representa el número de variables.
Si k=5, entonces el rango de las matrices es diferente, por lo que tenemos un sistema incompatible.
Si k\neq 5 entonces los rangos de ambas matrices coinciden, entonces el sistema es compatible, y además ya que el rango es igual al número de incógnitas entonces el sistema es compatible determinado, lo que indica que tiene una única solución.

Método de solución.Ventajasdesventajas
Método de Gauss-JordanEs un método simple, fácil de aprender y recordar, además con él podemos ver que forman tienen las soluciones de los sistemas compatibles indeterminados. No podemos conocer el tipo de sistema que estamos resolviendo hasta llegar prácticamente al final de las operaciones.
Regla de CramerCon este método podemos saber si el sistema a resolver tiene una única solución o no con sólo calcular el determinante de la matriz de coeficientes.Con este método solo podemos resolver sistemas compatibles determinados, y no podemos ver que forma tienen las soluciones de sistemas compatibles indeterminados, o si el sistema es incompatible.
Teorema Rouche-FrobeniusCon sólo calcular el rango de dos matrices (la matriz de coeficientes y la matriz ampliada) podemos saber que tipo de sistema estamos resolviendo (compatible indeterminado, compatible determinado, incompatible).No podemos calcular las soluciones (en caso de que existan) solo usando este método, para encontrarlas debemos hacer uso de otros métodos (regla de Cramer y método Gauss-Jordan).

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗