1. Hallamos el rango de la matriz de los coefecientes.

 

2. Calculamos el rango de la matriz ampliada.

 

3. Aplicamos el teorema de Rouché.

 

  • r = r'               Sistema Compatible.
    • r = r'= n   Sistema Compatible Determinado.
    • r = r'≠ n   Sistema Compatible Indeterminado.
  • r ≠ r'               Sistema Incompatible.

 

4. Si el sistema es compatible determinado se resuelve por la regla de Cramer(tambíén se puede resolver mediante el método de Gauss).

 

5. Si el sistema es compatible indeterminado se resuelve teniendo en cuenta que:

 

El número de ecuaciones = rango

 

El número de parámetros = nº de incógitas menos el rango

 

Sistemas homogéneos

 

Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo .

 

Admiten la solución trivial: x1 = x=... = x= 0.

 

La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el nº de incógnitas, o dicho de otra forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.

 

r < n

 

Ejercicio

 

En este tema, discutiremos los sistemas de ecuaciones con parámetros utilizando determinantes y el teorema Rouché−Fröbenius.

 

 

 1  Hallamos el rango de la matriz de los coefecientes.

 

 

 

 

 

 2  Hallamos el rango de la matriz ampliada.

 

 

 

 3  Aplicamos el teorema de Rouché

 

 

 

 4  Resolvemos el sistema compatible determinado por la regla de Cramer (tambíén se puede resolver mediante el método de Gauss).

 

 

 

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Marta

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