Para que una expresión del tipo: {x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0} sea una circunferencia debe cumplir que:

1 Los coeficientes de {x^2} e {y^2} sean iguales a la unidad. Si tuvieran ambos un mismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términos de la ecuación.

2 No tenga término en xy.

3 {(\frac{A}{2})^2 + (\frac{B}{2})^2 - C > 0}

Ejemplo:

Indicar si la ecuación: {4x^2 + 4y^2 - 4x - 8y - 11 = 0}, corresponde a una circunferencia, y en caso afirmativo, calcular el centro y el radio.

1 Como los coeficientes de {x^2} e {y^2} son distintos a la unidad, dividimos por 4, es decir, {x^2 + y^2 - x - 2y - \frac{11}{4} = 0}

2 No tiene término en xy.

3 {(\frac{-1}{2})^2 + (\frac{-2}{2})^2 - (-\frac{11}{4}) = \frac{1}{4} + 1 + \frac{11}{4} = 4 > 0}

Es una circunferencia, ya que se cumplen las tres condiciones.

Ahora vamos a encontrar el centro y el radio.

Para encontrar el centro {C(a,b)}, utilizamos que {A = -2a} y {B = -2b}, sustituyendo el valor de {A \textup{ y } B}, tenemos:

{-1 = -2a \quad \textup{entonces} \quad a = \frac{1}{2}}
{-2 = -2b \quad \textup{entonces} \quad b = \frac{-2}{-2} = 1}
Entonces el centro es: {C(\frac{1}{2},1)}

Para encontrar el valor del radio utilizamos que {C = a^2 + b^2 - r^2}, entonces sustituimos los valores de las incógnitas que conocemos.

{-\frac{11}{4} = \frac{1}{4} + 1 -r^2}
{ r^2 = \frac{11}{4} + \frac{1}{4} + 1 }
{ r^2 = 4 }
{ r = \sqrt{4}}
Entonces el valor del radio es: {r = 2}.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗