La circunferencia y su ecuación

 

La circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo C(a, b) que llamamos centro.

 

circunferencia

 

Por lo tanto, cada punto P(x, y) de la circunferencia satisface

 

\displaystyle d(C, P) = r

 

donde la distancia r se llama radio. Así, tenemos la siguiente

 

\displaystyle \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = r

 

Elevando al cuadrado la ecuación anterior, obtenemos:

 

\displaystyle (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

 

La ecuación anterior se conoce como ecuación ordinaria de la circunferencia. Para obtener la ecuación general debemos desarrollar los binomios al cuadrado:

 

\displaystyle x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2

 

Luego reagrupamos los términos de la siguiente manera:

 

\displaystyle x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0

 

Consideramos los siguientes cambios:

 

\displaystyle A = -2a \qquad B = -2b \qquad C = a^2 + b^2 - r^2

 

Por tanto, la ecuación de la circunferencia se puede escribir de la siguiente manera:

 

\displaystyle x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0

 

la cual se conoce como la ecuación general de la circunferencia. Aquí, el centro está dado por:

 

\displaystyle C\left( -\frac{A}{2}, -\frac{B}{2} \right)

 

y el radio satisface que:

 

\displaystyle r^2 = \left( \frac{A}{2} \right)^2 + \left( \frac{B}{2} \right)^2 - C = a^2 + b^2 - C

 

Es importante notar que la ecuación

 

\displaystyle x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0

 

debe satisfacer lo siguiente para que describa una circunferencia:

 

1 Se cumple la siguiente desigualdad

 

\displaystyle \left( \frac{A}{2} \right)^2 + \left( \frac{B}{2} \right)^2 - C > 0

 

2 No hay ningún término xy (es decir, x y y no se multiplican).

 

3 x^2 y y^2 tienen coeficiente 1.

 

Nota: que en caso de que x^2 y y^2 tengan coeficiente distinto a 1, entonces ambos deben tener el mismo coeficiente. De esta forma, podemos dividir la ecuación por este coeficiente para obtener la ecuación general de la circunferencia.

 

Nota: si el centro de la circunferencia coincide con el origen de las coordenadas, entonces la ecuación de la circunferencia (ya sea ordinaria o general) queda reducida a

 

\displaystyle x^2 + y^2 = r^2

 

la cual se conoce como ecuación canónica de la circunferencia.

 

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Vamos

Ejercicios de ecuación reducida de la circunferencia

 

1 Escribe la ecuación de la circunferencia con centro en (3, 4) y radio 2.

 

La ecuación ordinaria de la circunferencia es:

 

\displaystyle (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4

 

mientras que la ecuación general de la circunferencia la obtenemos al desarrollar los binomios al cuadradado:

 

\displaystyle x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = 4

 

que al agrupar las constantes, obtenemos

 

\displaystyle x^2 + y^2 - 6x - 8y + 21 = 0

2 Dada la circunferencia cuya ecuación es x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0, encuentra su centro y radio.

 

Tenemos que el centro está dado por

 

\displaystyle C\left( -\frac{A}{2}, -\frac{B}{2} \right) = C\left( -\frac{-2}{2}, -\frac{4}{2} \right) = C\left( 1, -2 \right)

 

Por otro lado, el radio satisface:

 

\displaystyle r^2 = a^2 + b^2 - C = 1 + 4 - (-4) = 9

 

por lo tanto, el radio es r = \sqrt{9} = 3.

3 Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2, 0), B(2, 3) y C(1, 3).

 

Para encontrar la circunferencia que pasa por tres puntos, siempre debemos utilizar la ecuación general de la circunferencia, puesto que esto nos hará más sencillo el trabajo.

 

Así, sustituimos los valores de x e y en la ecuación:

 

\displaystyle x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0

 

Al sustituir A(2, 0) (es decir, x = 2 y y = 0), obtenemos 4 + 2A + C = 0, es decir,

 

\displaystyle 2A + C = -4

 

Similarmente, al sustituir B(2, 3) obtenemos 2A + 3B + C = -13; y al sustituir C(1, 3) tenemos A + 3B + C = -10. Por lo tanto, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

 

\begin{cases} 2A + C = -4\\ 2A + 3B + C = -13\\ A + 3B + C = -10 \end{cases}

 

Resolvemos este sistema de cualquier forma que deseemos (es más sencillo si comenzamos restando la tercera ecuación de la segunda ecuación); una vez resuelto el sistema obtenemos:

 

\displaystyle A = -3 \qquad B = -3 \qquad C = 2

 

De este modo, la ecuación general de la circunferencia es

 

\displaystyle x^2 + y^2 - 3x - 3y + 2 = 0

4 Indicar si la ecuación 4x^2 + 4y^2 - 4x - 8y - 11 = 0 corresponde a una circunferencia. En caso afirmativo, determina el centro y el radio.

 

1 Notemos que los coeficientes de x^2 and y^2 son iguales (aunque no son 1); por lo tanto, dividimos toda la ecuación por 4:

 

\displaystyle x^2 + y^2 - x - 2y - \frac{11}{4} = 0

 

2 Asimismo, notemos que no tiene ningún término xy.

 

3 Por último, verifiquemos que se cumpla la desiguadad con los términos A, B y C:

 

\displaystyle \left( \frac{-1}{2} \right)^2 + \left( \frac{-2}{2} \right)^2 - \left( -\frac{11}{4} \right) = \frac{1}{4} + 1 + \frac{11}{4} > 0

 

Por lo tanto, debido a que se cumplen las tres condiciones, entonces la ecuación sí describe a una circunferencia.

 

Para encontrar el centro, tenemos:

 

\displaystyle C\left( -\frac{A}{2}, -\frac{B}{2} \right) = C\left( -\frac{-1}{2}, -\frac{-2}{2} \right) = C\left( \frac{1}{2}, 1 \right)

 

Asimismo, el radio satisface:

 

\displaystyle r^2 = a^2 + b^2 - C = \frac{1}{4} + 1 + \frac{11}{4} = 4

 

por lo que r = 2.

5 Calcular la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2, -3) y es tangente al eje de las abscisas.

 

Se nos pide encontrar una circunferencia que es tangente a una recta. Cuando se nos pide esto, el radio siempre será la distancia que hay entre el punto y la recta (a la que deseamos que la circunferencia sea tangente). Por lo tanto, debemos encontrar la distancia entre la recta y el centro.

 

Primero, recordemos que el eje de abscisas es la recta y = 0. Asimismo, la distancia entre un punto A(a, b) y una recta s \equiv Ax + By + C = 0 está dada por la fórmula:

 

\displaystyle d(A, s) = \frac{|Aa + Bb + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

 

Por lo tanto, la distancia entre (2, -3) y la recta s \equiv y = 0 es

 

\displaystyle d(C, s) = \frac{|0(2) + 1(-3) + 0|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{1}} = 3

 

Por lo tanto, la ecuación ordinaria de la circunferencia es:

 

(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9

 

La gráfica de la circunferencia se muestra en la siguiente gráfica:

 

circunferencia con centro en 2 coma menos 3

6 Calcula la ecuación de la circunferencia con centro en (-1, 4) y que es tangente al eje de ordenadas.

 

Similar al ejercicio anterior, debemos encontrar la distancia entre el punto y el eje de ordenadas. Recordemos que el eje de ordenadas está dado por la ecuación $s \equiv x = 0$. Así, la distancia es

 

\displaystyle d(C, s) = \frac{|1(-1) + 0(4) + 0|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{1}} = 1

 

Por tanto, la ecuación de la circunferencia es

 

\displaystyle (x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 1

 

La gráfica de la circunferencia puede verse en la siguiente gráfica:

 

circunferencia de radio 1

7 Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de las rectas $ y x + y + 1 = 0, y que su radio es igual a 5.

 

Para encontrar la ecuación de la circunferencia solo debemos encontrar la intersección de las dos rectas (el radio ya lo tenemos). Para hacerlo, igualamos las ecuaciones:

 

\displaystyle x + 3y + 3 = x + y + 1

 

de donde se sigue que 2y + 2 = 0; es decir, y = -1. Sustituyendo en cualquier ecuación, obtenemos x = 0. Por lo tanto, el centro es C(0, -1) y la ecuación de la circunferencia es

 

\displaystyle x^2 + (y + 1)^2 = 25

 

o, en su forma general,

 

\displaystyle x^2 + y^2 + 2y - 24 = 0

 

La gráfica se muestra en la siguiente figura:

 

circunferencia de radio 5

8 Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (-3, 4) y que es concéntrica a la circunferencia x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0

 

Este problema puede resolver de dos maneras distintas:

 

La más sencilla es darnos cuenta que todas las circunferencias concéntricas a x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0 tendrán una ecuación de la forma:

 

\displaystyle x^2 + y^2 - 6x + 2y + C = 0

 

Por lo tanto, debemos sustituir el punto (-3, 4) para poder encontrar el valor de C, lo cual nos da

 

\displaystyle 9 + 16 - 6(-3) + 2(4) + C = 0

 

es decir, 51 + C = 0. Por lo tanto, C = -51. De esta forma, la ecuación de la circunferencia sería

 

\displaystyle x^2 + y^2 - 6x + 2y - 51 = 0

 

Nota: La otra manera es determinar el centro de x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0 y utilizar la ecuación ordinaria para poder determinar el radio.

 

La gráfica de la circunferencia se muestra en la siguiente figura:

 

circunferencia 3

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9 Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-5, 3) y B(3, 1). ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?

 

Para resolver este problema debemos encontrar el radio y el centro.

 

El radio es la mitad del diámetro, por lo tanto, será la mitad de la distancia entre A y B:

 

\displaystyle r = \frac{1}{2}d(A, B) = \frac{1}{2}\sqrt{(-5 - 3)^2 + (3- 1)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{64 + 4} = \sqrt{17}

 

Por otro lado, el centro es el punto medio entre A y B:

 

\displaystyle C\left( \frac{-5 + 3}{2}, \frac{3 + 1}{2} \right) = C(-1, 2)

 

De este modo, la ecuación ordinaria de la circunferencia es:

 

\displaystyle (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 17

 

mientras que la ecuación general es:

 

\displaystyle x^2 + y^2 + 2x - 4y -12 = 0

 

La gráfica se muestra a continuación:

 

circunferencia con centro en menos 1 coma 2

10 Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia x^2 + y^2 - 4x + 6y - 17 = 0 y que sea tangente a la recta 3x - 4y + 7 = 0.

 

Para resolver esta ecuación necesitamos encontrar el centro de la circunferencia. Por lo tanto, trabajaremos con la forma ordinaria. El centro está dado por:

 

\displaystyle C\left( -\frac{A}{2}, -\frac{B}{2} \right) = C\left( -\frac{-4}{2}, -\frac{6}{2} \right) = C\left( 2, -3 \right)

 

una vez que encontramos el centro, debemos encontrar la distancia entre el centro y la recta dada; esta distancia será el radio:

 

\displaystyle r = \frac{|3(2)-4(-3) + 7|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|25|}{5} = 5

 

Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es:

 

\displaystyle (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25

 

La gráfica se puede observar en la siguiente figura:

 

circunferencia con centro en 2 coma menos 3 y radio 5

11 Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2, 1) y B(-2, 3), y que tiene su centro sobre la recta x + y + 4 = 0.

 

Como necesitamos utilizar el centro, entonces debemos utilizar la ecuación ordinaria (y no la general) de la circunferencia. Sea C(a, b) el centro de la circunferencia y r su radio, entonces sabemos que el centro satisface

 

\displaystyle a + b + 4 = 0

 

Por otro lado, la ecuación de la circunferencia es

 

\displaystyle (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

 

si sustituimos el punto A(2, 1), tenemos

 

\displaystyle (2 - a)^2 + (1 - b)^2 = r^2

 

similarmente, si sustituimos B(-2, 3), entonces tenemos:

 

\displaystyle (-2 - a)^2 + (3 - b)^2 = r^2

 

De esta forma, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones (no lineal):

 

\begin{cases} (2 - a)^2 + (1 - b)^2 = r^2\\ (-2 - a)^2 + (3 - b)^2 = r^2\\ a + b + 4 = 0 \end{cases}

 

Para resolverlo, igualaremos las primeras dos ecuaciones (ya que ambas son igual a r^2):

 

\displaystyle (2 - a)^2 + (1 - b)^2 = (-2 - a)^2 + (3 - b)^2

 

Si desarrollamos los binomios y cancelamos términos apropiados, obtenemos:

 

\displaystyle 5 - 4a - 2b = 13 + 4a - 6b \quad \Longrightarrow \quad b = 2 + 2a

 

Luego, de la tercera ecuación despejamos a para obtener a = -b - 4. Al sustituirlo en la ecuación anterior nos da

 

\displaystyle b = 2 + 2(-b - 4) = 2 - 2b - 8 \quad \Longrightarrow \quad b = -2

 

De aquí se sigue que a = -(-2) - 4 = - 2. Por último, sustituyendo a y b en la primera ecuación del sistema de ecuaciones obtenemos r^2 = 25. Por lo tanto, la ecuación ordinaria de la circunferencia es

 

\displaystyle (x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 25

 

La gráfica se aprecia en la siguiente figura:

 

circunferencia con centro en menos 2 coma menos 2

 

12 Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0, -3), cuyo radio \sqrt{5} y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

 

Primero debemos notar que la bisectriz del primer y tercer cuadrantes es la recta s \equiv y = x o x - y = 0. Esto es, el centro C(a, b) debe cumplir que a = b por lo tanto, escribimos el centro de la forma C(a, a).

 

Sabemos que pasa por el punto (0, -3) y que el radio es r = \sqrt{5}, sustituyendo en la forma ordinaria de la circunferencia obtenemos

 

\displaystyle (0 - a)^2 + (-3 - a)^2 = 5

 

Sólo tenemos a a como incógnita, por lo que esa ecuación es sucificente. Desarrollamos los binomios:

 

\displaystyle a^2 + a^2 + 6a + 9 = 5 \quad \Longrightarrow \quad a^2 + 3a + 2 = 0

 

Por lo que tenemos una ecuación cuadrática. Utilizando la fórmula general (o cualquier otro método), llegamos a que a = -1 y a = -2.

 

Por lo tanto, hay dos circunferencias que cumplen con las condiciones del problema. La primera tiene el centro en C_1(-1, -1), por lo que su ecuación es (primero en forma ordinaria y luego en forma general):

 

\displaystyle (x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 5 \quad \Longrightarrow \quad x^2 + y^2 + 2x + 2y - 3 = 0

 

y la segunda circunferencia tiene el centro en C_2(-2, -2), por lo que su ecuación es:

 

\displaystyle (x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 5 \quad \Longrightarrow \quad x^2 + y^2 + 4x + 4y + 3 = 0

 

La gráfica de la primera circunferencia se muestra a continuación:

 

circunferencia con radio raiz de 5

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗