1 Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3,4)
y radio r=2.

Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.1 Sustituimos los datos en la ecuación ordinaria de la circunferencia:

\left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}

donde:

C(h,k) son las coordenadas del centro y r es el radio.

 

(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=4

x^{2}-6x+9+y^{2}-8y+16=4

x^{2}+y^{2}-6x-8y+21=0

2 Dada la circunferencia de ecuación x^{2}+y^{2}-2x+4y-4=0, hallar el centro y el radio.

Dada la circunferencia de ecuación x^{2}+y^{2}-2x+4y-4=0, hallar el centro y el radio.Convertiremos la ecuación general a la forma ordinaria \left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}; para ello seguimos los siguientes pasos:
1 Reescribimos la ecuación ordenando las x e y completamos los trinomios cuadrados perfectos

x^{2}-2x+1+y^{2}+4y+4=4+1+4

 

2 Factorizamos los trinomios cuadrados perfectos

 

(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=9

\Rightarrow \; C(1,-2) y r=3

3 Determina las coordenadas del centro y el radio de las circunferencias:

 

A x^{2}+y^{2}-4x-6y-12=0

B x^{2}+y^{2}+3x+y+10=0

C 4x^{2}+4y^{2}-4x+12y-6=0

D 4x^{2}+4y^{2}-4x-8y-11=0

Determina las coordenadas del centro y del radio de las circunferencias:
A x^{2}+y^{2}-4x-6y-12=0Reescribimos la ecuación en su forma ordinaria:

(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=25

\Rightarrow \; C(2,3) y r=5

 

B x^{2}+y^{2}+3x+y+10=0

 

\left (x+\cfrac{3}{2} \right )^{2}+\left ( y+\cfrac{1}{2} \right )^{2}=-\cfrac{15}{2} y r=\sqrt{-\cfrac{15}{2}}

 

Ya que r es imaginario, no es una circunferencia real

 

C 4x^{2}+4y^{2}-4x+12y-6=0

 

Dividiendo por 4 y reescribiendo la ecuación en forma ordinaria:

 

x^{2}+y^{2}-x+3y-\cfrac{3}{2}=0

 

\left ( x-\cfrac{1}{2} \right )^{2}+\left ( y+\cfrac{3}{2} \right )^{2}=4

 

\Rightarrow \; C\left ( \cfrac{1}{2},-\cfrac{3}{2} \right ) y r=2

 

D 4x^{2}+4y^{2}-4x-8y-11=0

 

Dividiendo por 4 y reescribiendo la ecuación en forma ordinaria:

 

x^{2}+y^{2}-x-2y-\cfrac{11}{4}=0

 

\left ( x-\cfrac{1}{2} \right )+\left ( y-1 \right )^{2}=4

 

\Rightarrow \; C\left ( \frac{1}{2},1 \right ) y r=2

 

4 Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente al eje de abscisas.

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente al eje de abscisas.
1 Graficamos la circunferencia con los datos dados:
representacion grafica de circunferencia con centro en 2, -3 y tangente al eje de abscisas
2 A partir de la gráfica podemos deducir que

(2,-3)          s\equiv y=0

 

r=d(C,s)=3

 

(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=9

5 Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1,4) y es tangente al eje de ordenadas.

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1,4) y es tangente al eje de ordenadas.
1 Graficamos la circunferencia con los datos dados:

representación gráfica de circunferencia tangente al eje de ordenadas, con centro en -2, 8

2 A partir de la gráfica podemos deducir que

(-1,4)          s\equiv x=0

 

r=d(C,s)=1

 

(x+1)^{2}+(y-4)^{2}=1

6 Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas x+3y+3=0, x+y+1=0, y su radio es igual a 5.

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas x+3y+3=0, x+y+1=0, y su radio es igual a 5.
1 Planteamos un sistema de ecuaciones con las rectas dadas, la solución del sistema de ecuaciones corresponde al centro de la circunferencia

\left\{\begin{matrix} x+3y+3=0\\ x+y+1=0 \end{matrix}\right.     \Rightarrow     C(0,-1)

 

2 Sustituimos C(0,-1) y r=5  en la forma ordinaria

 

\left ( x-0 \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}=5^{2}

x^{2}+y^{2}+2y-24=0

 

representacion grafica de circulo con centro en -1, 0

7 Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación x^{2}+y^{2}-6x+2y-6=0, y que pasa por el punto (-3,4).

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación x^{2}+y^{2}-6x+2y-6=0, y que pasa por el punto (-3,4).
1 Por ser concéntricas tienen el mismo centro:

representacion grafica de circulos concentricos con centro en 3 y -1

2 Calculamos el centro de la circunferencia x^{2}+y^{2}-6x+2y-6=0

\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}=16

\Rightarrow \; C(3,-1)

 

3 Para calcular el radio calculamos la distancia de C(3,-1) a (-3,4)

 

r=d(P,C)=\sqrt{(3+3)^{2}+(-1-4)^{2}}=\sqrt{61}

 

4 Sustituimos el centro y el radio en la forma ordinaria

 

\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}=( \sqrt{61})^{2}

x^{2}+y^{2}-6x+2y-51=0

 

8 Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto C(3,1) y es tangente a la recta: 3x-4y+5=0.

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto C(3, 1) y es tangente a la recta: 3x-4y+5=0.

1 El radio se calcula con la distancia del punto C(3, 1) a la recta 3x-4y+5=0

r=d(C,s)=\cfrac{3\cdot 3-4\cdot 1+5}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=2

 

2 Sustituimos C(3,1) y r=2 en la forma ordinaria

 

(x-3)^{2}+(y-k)^{2}=2^{2}

x^{2}+y^{2}-6x-2y+6=0

 

representacion grafica de circulo con centro 3 y 1, y con recta tangente

9 Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0),\; B(2,3),\; C(1,3).

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0),\; B(2,3),\; C(1,3).
1 Considerando la ecuación general de una circunferencia como x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0, sustituimos los puntos dados y construimos un sistema de ecuaciones:\left\{\begin{matrix} 4+0+2A+0+C=0\\ 4+9+2A+3B+C=0\\ 1+9+A+3B+C=0 \end{matrix}\right.

2 Resolvemos el sistema de ecuaciones y sustituimos en la forma general considerada:

A=-3          B=-3          C=2

x^{2}+y^{2}-3x-3y+2=0

 

10 Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices: A(0,0),\; B(3,1),\; C(5,7).

Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices: A(0,0),\; B(3,1),\; C(5,7).representación gráfica de la circunferencia circunscrita al triángulo
1 Considerando que los vértices del triángulo son puntos por los que pasa la circunferencia, podemos considerar la ecuación de la circunferencia como x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0 y sustituir los puntos dados:

\left\{\begin{matrix} 0^{2}+0^{2}+A\cdot 0+B\cdot 0+C=0\\ 3^{2}+1^{2}+A\cdot 3 + B\cdot 1 +C=0 \\ 5^{2}+7^{2}+A\cdot 5 + B\cdot 7 +C=0 \end{matrix}\right.

 

2 Resolvemos el sistema de ecuaciones y sustituimos en la forma general considerada:

 

\left\{\begin{matrix} C=0\\ 3A+B+C=-10 \\ 5A+7B+C=-74 \end{matrix}\right.

 

A=\frac{1}{4}          B=-\frac{43}{4}          C=0

 

x^{2}+y^{2}+\cfrac{1}{4}x-\cfrac{43}{4}y=0

11 Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,1) y B(-2,3) y tiene su centro sobre la recta: x+y+4=0.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,1) y B(-2,3) y tiene su centro sobre la recta x+y+4=0.
representacion grafica de circunferencia con centro en una recta  

1 Consideremos que el punto (a,b) es el centro de la circunferencia y se encuentra sobre la recta x+y+4=0, podemos plantear el sistema:

\left\{\begin{matrix} \left ( 2-a \right )^{2}+\left ( 1-b \right )^{2}=r^{2}\\ \left ( -2-a \right )^{2}+\left ( 3-b \right )^{2}=r^{2}\\ a+b+4=0 \end{matrix}\right.

 

2 De las primeras 2 ecuaciones obtenemos:

 

\left\{\begin{matrix} \left ( 2-a \right )^{2}+\left ( 1-b \right )^{2}=\left ( -2-a \right )^{2}+\left ( 3-b \right )^{2}\\ a+b+4=0 \end{matrix}\right.

 

3 Resolviendo el sistema:

 

a=-2        b=-2          r=5

x^{2}+y^{2}+4x+4y-17=0

12 Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0,-3), cuyo radio es \sqrt{5} y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0,-3), cuyo radio es \sqrt{5} y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.representacion gráfica de circulo con centro en la recta

 

1 Consideremos que el punto (a,b) es el centro de la circunferencia, además, la bisectriz del primer y tercer cuadrante es la recta x=y:

(0-a)^{2}+(-3-b)^{2}=5

a^{2}+b^{2}+6b+4=0

C \LARGE \epsilon s\equiv y=x          a=b

b^{2}+b^{2}+6b+4=0

b^{2}+3b+2=0

 

2 Obtenemos 2 soluciones para b:

b=-1                                           b=-2

 

3 Para b=-1

 

C_{1}(-1,-1)

A_{1}=-2\cdot (-1)=2

B_{1}=-2\cdot (-1)=2

C_{1}=1+1-5=-3

x^{2}+y^{2}+2x+2y-3=0

 

4 Para b=-2

A_{2}=-2\cdot (-2)=4

B_{2}=-2\cdot (-2)=4

C_{2}=4+4-5=3

x^{2}+y^{2}+4x+4y+3=0

13 Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-5,3) y B(3, 1). ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?

Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-5,3) y B(3,1). ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?representación gráfica de un circulo y una recta con dos puntos en la circunferencia A y B y con centro C

 

1 El radio de la circunferencia será la mitad de la distancia entre los puntos A y B:

r=\cfrac{1}{2}d(A,B)=\cfrac{1}{2}\sqrt{\left ( 3+5 \right )^{2}+\left ( 1-3 \right )^{2}}=\sqrt{17}

 

2 El centro de la circunferencia se encontrará en el punto medio entre los puntos A y B:

 

C=\left ( \cfrac{-5+3}{2},\cfrac{3+1}{2} \right )=(-1,2)

 

3 Obtenemos los coeficientes A, B y C para la forma x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0

 

A=-2\cdot (-1)=2          B=-2\cdot 2=-4

C=\left (-1 \right )^{2}+2^{2}-\left ( \sqrt{17} \right )^{2}=-12

x^{2}+y^{2}+2x-4y-12=0

14 Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia x^{2}+y^{2}-4x+6y-17=0 que sea tangente a la recta 3x-4y+7=0.

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia x^{2}+y^{2}-4x+6y-17=0 que sea tangente a la recta 3x-4y+7=0.
representación gráfica de circunferencia concéntrica a la circunferencia con recta tangente1 Obtenemos el centro de la circunferencia con coordenadas (a,b):

-4=-2a          a=2

6=-2b          b=-3

 

2 El radio será la distancia entre (a,b) y la recta 3x-4y+7=0:

 

r=d(C,s)=\cfrac{2\cdot 3-4\cdot (-3)+7}{\sqrt{9+16}}=5

 

3 Obtenemos los coeficientes A, B y C para la forma x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0

 

A=-4        B=6          C=4+9-25=-12

x^{2}+y^{2}-4x+6y-12=0

15Calcula la posición relativa de la circunferencia x^{2}+y^{2}-2x-3=0 y la recta 3x+y-5=0.

Calcula la posición relativa de la circunferencia x^{2}+y^{2}-2x-3=0 y la recta 3x+y-5=0.representacion de posicion relativa de una recta en una circunferencia

 

1 Planteamos un sistema de ecuaciones entre la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la recta para buscar sus intersecciones

\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-2x-3=0\\ 3x+y-5=0 \end{matrix}\right.          y=5-3x

 

x^{2}+\left ( 5-3x \right )^{2}-2x-3=0

5x^{2}-16x+11=0

 

x=\cfrac{16\pm \sqrt{256-220}}{10}=\cfrac{16\pm 6}{10}

 

x_{1}=\cfrac{11}{5}          x_{2}=1

 

P\left ( \cfrac{11}{5},-\cfrac{8}{5} \right )          Q(1,2)

 

Al haber dos puntos de intersección, podemos decir que la recta y la circunferencia son secantes

16 Estudiar la posición relativa de la circunferenciax^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0 con las rectas:

A x+7y-20=0

B 3x+4y-27=0

C x+y-10=0

Estudiar la posición relativa de la circunferenciax^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0 con las rectas:

A x+7y-20=0representacion gráfica de una recta y un circunferencia secantes
Planteamos un sistema de ecuaciones entre la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la recta para buscar sus intersecciones:

\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0\\ x+7y-20=0 \end{matrix}\right.

 

x=20-7y          y^{2}-5y+6=0

y_{1}=3    x_{1}=-1    P(-1,3)

y_{2}=2    x_{2}=6    Q(6,2)

 

Al haber dos puntos de intersección, podemos decir que la recta y la circunferencia son secantes

 

B 3x+4y-27=0

 

grafica de circulo y recta tangente

 

Planteamos un sistema de ecuaciones entre la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la recta para buscar sus intersecciones:

 

\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0\\ 3x+4y-27=0 \end{matrix}\right.

x=\cfrac{-4y+27}{3}    y^{2}-6y+9=0

y=3          x=5          P(5,3)

 

Al haber un solo punto de intersección entre la circunferencia y la recta, podemos decir que son tangentes

 

C x+y-10=0

 

dibujo de circulo y recta no tangente

 

Planteamos un sistema de ecuaciones entre la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la recta para buscar sus intersecciones:

 

\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0\\ x+y-10=0 \end{matrix}\right.

 

y=10-x          x^{2}-13x+50=0

\Delta =(-13)^{2}-4.50< 0

 

Al no existir puntos de intersección entre la recta y la circunferencia podemos decir que son exteriores

Encuentra el mejor curso de matematicas en Superprof. Elige el profesor que más te convenga, ya sea un profesor de matematicas online o uno presencial y empieza las clases cuanto antes.

¿Necesitas un profesor de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,41/5 - 34 vote(s)
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗