Name: Ejercicios de la ecuacion de la circunferencia I
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1 Escribir la ecuación de la circunferencia de centro $(3,4)$
y radio $r=2$ .

Escribir la ecuación de la circunferencia de centro $(3, 4)$ y radio $2$ .1 Sustituimos los datos en la ecuación ordinaria de la circunferencia:

$\left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$

donde:

$C(h,k)$ son las coordenadas del centro y $r$ es el radio.

$(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=4$

$x^{2}-6x+9+y^{2}-8y+16=4$

$x^{2}+y^{2}-6x-8y+21=0$

2 Dada la circunferencia de ecuación $x^{2}+y^{2}-2x+4y-4=0$ , hallar el centro y el radio.

Dada la circunferencia de ecuación $x^{2}+y^{2}-2x+4y-4=0$ , hallar el centro y el radio.Convertiremos la ecuación general a la forma ordinaria $\left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$ ; para ello seguimos los siguientes pasos:
1 Reescribimos la ecuación ordenando las $x$ e y completamos los trinomios cuadrados perfectos

$x^{2}-2x+1+y^{2}+4y+4=4+1+4$

2 Factorizamos los trinomios cuadrados perfectos

$(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=9$

$\Rightarrow \; C(1,-2)$ y $r=3$

3 Determina las coordenadas del centro y el radio de las circunferencias:

A $x^{2}+y^{2}-4x-6y-12=0$

B $x^{2}+y^{2}+3x+y+10=0$

C $4x^{2}+4y^{2}-4x+12y-6=0$

D $4x^{2}+4y^{2}-4x-8y-11=0$

Determina las coordenadas del centro y del radio de las circunferencias:
A $x^{2}+y^{2}-4x-6y-12=0$ Reescribimos la ecuación en su forma ordinaria:

$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=25$

$\Rightarrow \; C(2,3)$ y $r=5$

B $x^{2}+y^{2}+3x+y+10=0$

$\left (x+\cfrac{3}{2} \right )^{2}+\left ( y+\cfrac{1}{2} \right )^{2}=-\cfrac{15}{2}$ y $r=\sqrt{-\cfrac{15}{2}}$

Ya que $r$ es imaginario, no es una circunferencia real

C $4x^{2}+4y^{2}-4x+12y-6=0$

Dividiendo por 4 y reescribiendo la ecuación en forma ordinaria:

$x^{2}+y^{2}-x+3y-\cfrac{3}{2}=0$

$\left ( x-\cfrac{1}{2} \right )^{2}+\left ( y+\cfrac{3}{2} \right )^{2}=4$

$\Rightarrow \; C\left ( \cfrac{1}{2},-\cfrac{3}{2} \right )$ y $r=2$

D $4x^{2}+4y^{2}-4x-8y-11=0$

Dividiendo por 4 y reescribiendo la ecuación en forma ordinaria:

$x^{2}+y^{2}-x-2y-\cfrac{11}{4}=0$

$\left ( x-\cfrac{1}{2} \right )+\left ( y-1 \right )^{2}=4$

$\Rightarrow \; C\left ( \frac{1}{2},1 \right )$ y $r=2$

4 Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en $(2,-3)$ y es tangente al eje de abscisas.

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en $(2,-3)$ y es tangente al eje de abscisas.
1 Graficamos la circunferencia con los datos dados:
representacion grafica de circunferencia con centro en 2, -3 y tangente al eje de abscisas

representacion grafica de circunferencia con centro en 2, -3 y tangente al eje de abscisas

2 A partir de la gráfica podemos deducir que

$(2,-3)$ $s\equiv y=0$

$r=d(C,s)=3$

$(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=9$

5 Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en $(-1,4)$ y es tangente al eje de ordenadas.

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en $(-1,4)$ y es tangente al eje de ordenadas.
1 Graficamos la circunferencia con los datos dados:

representación gráfica de circunferencia tangente al eje de ordenadas, con centro en -2, 8

2 A partir de la gráfica podemos deducir que

$(-1,4)$ $s\equiv x=0$

$r=d(C,s)=1$

$(x+1)^{2}+(y-4)^{2}=1$

6 Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas $x+3y+3=0$ , $x+y+1=0$ , y su radio es igual a $5$ .

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas $x+3y+3=0$ , $x+y+1=0$ , y su radio es igual a $5$ .
1 Planteamos un sistema de ecuaciones con las rectas dadas, la solución del sistema de ecuaciones corresponde al centro de la circunferencia

$\left\{\begin{matrix} x+3y+3=0\\ x+y+1=0 \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow$ $C(0,-1)$

2 Sustituimos $C(0,-1)$ y $r=5$ en la forma ordinaria

$\left ( x-0 \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}=5^{2}$

$x^{2}+y^{2}+2y-24=0$

representacion grafica de circulo con centro en -1, 0

7 Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación $x^{2}+y^{2}-6x+2y-6=0$ , y que pasa por el punto $(-3,4)$ .

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación $x^{2}+y^{2}-6x+2y-6=0$ , y que pasa por el punto $(-3,4)$ .
1 Por ser concéntricas tienen el mismo centro:

representacion grafica de circulos concentricos con centro en 3 y -1

2 Calculamos el centro de la circunferencia $x^{2}+y^{2}-6x+2y-6=0$

$\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}=16$

$\Rightarrow \; C(3,-1)$

3 Para calcular el radio calculamos la distancia de $C(3,-1)$ a $(-3,4)$

$r=d(P,C)=\sqrt{(3+3)^{2}+(-1-4)^{2}}=\sqrt{61}$

4 Sustituimos el centro y el radio en la forma ordinaria

$\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}=( \sqrt{61})^{2}$

$x^{2}+y^{2}-6x+2y-51=0$

8 Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto $C(3,1)$ y es tangente a la recta: $3x-4y+5=0$ .

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto $C(3, 1)$ y es tangente a la recta: $3x-4y+5=0$ .

1 El radio se calcula con la distancia del punto $C(3, 1)$ a la recta $3x-4y+5=0$

$r=d(C,s)=\cfrac{3\cdot 3-4\cdot 1+5}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=2$

2 Sustituimos $C(3,1)$ y $r=2$ en la forma ordinaria

$(x-3)^{2}+(y-k)^{2}=2^{2}$

$x^{2}+y^{2}-6x-2y+6=0$

representacion grafica de circulo con centro 3 y 1, y con recta tangente

9 Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos $A(2,0),\; B(2,3),\; C(1,3)$ .

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos $A(2,0),\; B(2,3),\; C(1,3)$ .
1 Considerando la ecuación general de una circunferencia como $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ , sustituimos los puntos dados y construimos un sistema de ecuaciones: $\left\{\begin{matrix} 4+0+2A+0+C=0\\ 4+9+2A+3B+C=0\\ 1+9+A+3B+C=0 \end{matrix}\right.$

2 Resolvemos el sistema de ecuaciones y sustituimos en la forma general considerada:

$A=-3$ $B=-3$ $C=2$

$x^{2}+y^{2}-3x-3y+2=0$

10 Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices: $A(0,0),\; B(3,1),\; C(5,7)$ .

Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices: $A(0,0),\; B(3,1),\; C(5,7)$ . representación gráfica de la circunferencia circunscrita al triángulo

representación gráfica de la circunferencia circunscrita al triángulo

1 Considerando que los vértices del triángulo son puntos por los que pasa la circunferencia, podemos considerar la ecuación de la circunferencia como $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ y sustituir los puntos dados:

$\left\{\begin{matrix} 0^{2}+0^{2}+A\cdot 0+B\cdot 0+C=0\\ 3^{2}+1^{2}+A\cdot 3 + B\cdot 1 +C=0 \\ 5^{2}+7^{2}+A\cdot 5 + B\cdot 7 +C=0 \end{matrix}\right.$

2 Resolvemos el sistema de ecuaciones y sustituimos en la forma general considerada:

$\left\{\begin{matrix} C=0\\ 3A+B+C=-10 \\ 5A+7B+C=-74 \end{matrix}\right.$

$A=\frac{1}{4}$ $B=-\frac{43}{4}$ $C=0$

$x^{2}+y^{2}+\cfrac{1}{4}x-\cfrac{43}{4}y=0$

11 Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos $A(2,1)$ y $B(-2,3)$ y tiene su centro sobre la recta: $x+y+4=0$ .

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos $A(2,1)$ y $B(-2,3)$ y tiene su centro sobre la recta $x+y+4=0$ .
representacion grafica de circunferencia con centro en una recta

representacion grafica de circunferencia con centro en una recta

1 Consideremos que el punto $(a,b)$ es el centro de la circunferencia y se encuentra sobre la recta $x+y+4=0$ , podemos plantear el sistema:

$\left\{\begin{matrix} \left ( 2-a \right )^{2}+\left ( 1-b \right )^{2}=r^{2}\\ \left ( -2-a \right )^{2}+\left ( 3-b \right )^{2}=r^{2}\\ a+b+4=0 \end{matrix}\right.$

2 De las primeras 2 ecuaciones obtenemos:

$\left\{\begin{matrix} \left ( 2-a \right )^{2}+\left ( 1-b \right )^{2}=\left ( -2-a \right )^{2}+\left ( 3-b \right )^{2}\\ a+b+4=0 \end{matrix}\right.$

3 Resolviendo el sistema:

$a=-2$ $b=-2$ $r=5$

$x^{2}+y^{2}+4x+4y-17=0$

12 Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto $(0,-3)$ , cuyo radio es $\sqrt{5}$ y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto $(0,-3)$ , cuyo radio es $\sqrt{5}$ y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes. representacion gráfica de circulo con centro en la recta

representacion gráfica de circulo con centro en la recta

1 Consideremos que el punto $(a,b)$ es el centro de la circunferencia, además, la bisectriz del primer y tercer cuadrante es la recta $x=y$ :

$(0-a)^{2}+(-3-b)^{2}=5$

$a^{2}+b^{2}+6b+4=0$

$C$ $\LARGE \epsilon$ $s\equiv y=x$ $a=b$

$b^{2}+b^{2}+6b+4=0$

$b^{2}+3b+2=0$

2 Obtenemos 2 soluciones para $b$ :

$b=-1$ $b=-2$

3 Para $b=-1$

$C_{1}(-1,-1)$

$A_{1}=-2\cdot (-1)=2$

$B_{1}=-2\cdot (-1)=2$

$C_{1}=1+1-5=-3$

$x^{2}+y^{2}+2x+2y-3=0$

4 Para $b=-2$

$A_{2}=-2\cdot (-2)=4$

$B_{2}=-2\cdot (-2)=4$

$C_{2}=4+4-5=3$

$x^{2}+y^{2}+4x+4y+3=0$

13 Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos $A(-5,3)$ y $B(3, 1)$ . ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?

Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos $A(-5,3)$ y $B(3,1)$ . ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia? representación gráfica de un circulo y una recta con dos puntos en la circunferencia A y B y con centro C

representación gráfica de un circulo y una recta con dos puntos en la circunferencia A y B y con centro C

1 El radio de la circunferencia será la mitad de la distancia entre los puntos $A$ y $B$ :

$r=\cfrac{1}{2}d(A,B)=\cfrac{1}{2}\sqrt{\left ( 3+5 \right )^{2}+\left ( 1-3 \right )^{2}}=\sqrt{17}$

2 El centro de la circunferencia se encontrará en el punto medio entre los puntos $A$ y $B$ :

$C=\left ( \cfrac{-5+3}{2},\cfrac{3+1}{2} \right )=(-1,2)$

3 Obtenemos los coeficientes $A, B$ y $C$ para la forma $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$

$A=-2\cdot (-1)=2$ $B=-2\cdot 2=-4$

$C=\left (-1 \right )^{2}+2^{2}-\left ( \sqrt{17} \right )^{2}=-12$

$x^{2}+y^{2}+2x-4y-12=0$

14 Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia $x^{2}+y^{2}-4x+6y-17=0$ que sea tangente a la recta $3x-4y+7=0$ .

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia $x^{2}+y^{2}-4x+6y-17=0$ que sea tangente a la recta $3x-4y+7=0$ .
representación gráfica de circunferencia concéntrica a la circunferencia con recta tangente

representación gráfica de circunferencia concéntrica a la circunferencia con recta tangente

1 Obtenemos el centro de la circunferencia con coordenadas $(a,b)$ :

$-4=-2a$ $a=2$

$6=-2b$ $b=-3$

2 El radio será la distancia entre $(a,b)$ y la recta $3x-4y+7=0$ :

$r=d(C,s)=\cfrac{2\cdot 3-4\cdot (-3)+7}{\sqrt{9+16}}=5$

3 Obtenemos los coeficientes $A, B$ y $C$ para la forma $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$

$A=-4$ $B=6$ $C=4+9-25=-12$

$x^{2}+y^{2}-4x+6y-12=0$

15Calcula la posición relativa de la circunferencia $x^{2}+y^{2}-2x-3=0$ y la recta $3x+y-5=0$ .

Calcula la posición relativa de la circunferencia $x^{2}+y^{2}-2x-3=0$ y la recta $3x+y-5=0$ . representacion de posicion relativa de una recta en una circunferencia

representacion de posicion relativa de una recta en una circunferencia

1 Planteamos un sistema de ecuaciones entre la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la recta para buscar sus intersecciones

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-2x-3=0\\ 3x+y-5=0 \end{matrix}\right.$ $y=5-3x$

$x^{2}+\left ( 5-3x \right )^{2}-2x-3=0$

$5x^{2}-16x+11=0$

$x=\cfrac{16\pm \sqrt{256-220}}{10}=\cfrac{16\pm 6}{10}$

$x_{1}=\cfrac{11}{5}$ $x_{2}=1$

$P\left ( \cfrac{11}{5},-\cfrac{8}{5} \right )$ $Q(1,2)$

Al haber dos puntos de intersección, podemos decir que la recta y la circunferencia son secantes

16 Estudiar la posición relativa de la circunferencia $x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0$ con las rectas:

A $x+7y-20=0$

B $3x+4y-27=0$

C $x+y-10=0$

Estudiar la posición relativa de la circunferencia $x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0$ con las rectas:

A $x+7y-20=0$ representacion gráfica de una recta y un circunferencia secantes
Planteamos un sistema de ecuaciones entre la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la recta para buscar sus intersecciones:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0\\ x+7y-20=0 \end{matrix}\right.$

$x=20-7y$ $y^{2}-5y+6=0$

$y_{1}=3$ $x_{1}=-1$ $P(-1,3)$

$y_{2}=2$ $x_{2}=6$ $Q(6,2)$

Al haber dos puntos de intersección, podemos decir que la recta y la circunferencia son secantes

B $3x+4y-27=0$

Planteamos un sistema de ecuaciones entre la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la recta para buscar sus intersecciones:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0\\ 3x+4y-27=0 \end{matrix}\right.$

$x=\cfrac{-4y+27}{3}$ $y^{2}-6y+9=0$

$y=3$ $x=5$ $P(5,3)$

Al haber un solo punto de intersección entre la circunferencia y la recta, podemos decir que son tangentes

C $x+y-10=0$

Planteamos un sistema de ecuaciones entre la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la recta para buscar sus intersecciones:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0\\ x+y-10=0 \end{matrix}\right.$

$y=10-x$ $x^{2}-13x+50=0$

$\Delta =(-13)^{2}-4.50< 0$

Al no existir puntos de intersección entre la recta y la circunferencia podemos decir que son exteriores

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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carlos francisco

Junio 2022

La ecuación de la circunferencia con centro en el punto C (1,1) y que pasa por el punto P (5, – 3) es:
opcion A) x2+y2+2y+34=o
opcion B) x2+y2-2x-18=0
opcion C) X2+Y2-2X-2Y-30=
opcion D)x2+y2+2x-2y-28=0
creo que es la a ya ice la ecuación pero me sale mal y la ise otra vez y me da esa opción solo quisiera confirmar

Samuel

Junio 2022

En la D del ejercicio 3 hay algo malo. Al sacar el radio con la fórmula 1/2 √D^2+E^2-4(F) de ninguna manera me da 2 como resultado. Quiero que me expliquen por favor

Antonio Tapia

Julio 2022

La fórmula que usas esta incompleta debe ser 1/2A √D^2+E^2-4(A)(F) donde A es el número que multiplica a x^2 y y^2 o primero divide toda la ecuación entre 4 y entonces usas la formula que tienes.

Liliana

Junio 2022

hola me ayudarian con la tarea necesito urgente
calcular la escuacion general de la circunferencia de radio 8 cuyo centro esta en el punto C=(-6;9)
alguien me ayuda porfa

Luis mena

Mayo 2022

Me ayudarían con una tarea urgente de calculo 1

Mia

Abril 2022

la solucion ?
Dados los siguiente datos de la circunferencia C:
Centro:(2√21,−6) Área:63πu2
Determine la ecuación estándar de la circunferencia C

Luis Miguel

Abril 2022

hola, me ayudan con este ejercicio: Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y cuyo centro está sobre las rectas L1 :
3x − 2y − 24 = 0 y L2 : 2x + 7y + 9 = 0. Graficar.

Marleni Mamani

Marzo 2022

me ayudan DADA LA CIRCUNFERENCIA DE ECUACIÓN x2+y2−4x−8y−5=0, entonces la única afirmación verdadera es:

ana

Marzo 2022

No entendí el segundo, me explican?

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