Name: Ejercicios de la ecuacion de la circunferencia I
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Ejercicio 1

Escribir la ecuación de la circunferencia de centro $(3,4)$
y radio $r=2$ .

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Ejercicio 2

Dada la circunferencia de ecuación $x^{2}+y^{2}-2x+4y-4=0$ , hallar el centro y el radio.

Ejercicio 3

Determina las coordenadas del centro y el radio de las circunferencias:

1 $x^{2}+y^{2}-4x-6y-12=0$

2 $x^{2}+y^{2}+3x+y+10=0$

3 $4x^{2}+4y^{2}-4x+12y-6=0$

4 $4x^{2}+4y^{2}-4x-8y-11=0$

Ejercicio 4

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en $(2,-3)$ y es tangente al eje de abscisas.

Ejercicio 5

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en $(-1,4)$ y es tangente al eje de ordenadas.

Ejercicio 6

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas $x+3y+3=0$ , $x+y+1=0$ , y su radio es igual a $5$ .

Ejercicio 7

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación $x^{2}+y^{2}-6x+2y-6=0$ , y que pasa por el punto $(-3,4)$ .

Ejercicio 8

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto $C(3,1)$ y es tangente a la recta: $3x-4y+5=0$ .

Ejercicio 9

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos $A(2,0),\; B(2,3),\; C(1,3)$ .

Ejercicio 10

Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices: $A(0,0),\; B(3,1),\; C(5,7)$ .

Ejercicio 11

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos $A(2,1)$ y $B(-2,3)$ y tiene su centro sobre la recta: $x+y+4=0$ .

Ejercicio 12

Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto $(0,-3)$ , cuyo radio es $\sqrt{5}$ y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

Ejercicio 13

Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos $A(-5,3)$ y $B(3, 1)$ . ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?

Ejercicio 14

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia $x^{2}+y^{2}-4x+6y-17=0$ que sea tangente a la recta $3x-4y+7=0$ .

Ejercicio 15

Calcula la posición relativa de la circunferencia $x^{2}+y^{2}-2x-3=0$ y la recta $3x+y-5=0$ .

Ejercicio 16

Estudiar la posición relativa de la circunferencia $x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0$ con las rectas:

1 $x+7y-20=0$

2 $3x+4y-27=0$

3 $x+y-10=0$

Ejercicio 1 resuelto

Escribir la ecuación de la circunferencia de centro $(3, 4)$ y radio $2$ .

1 Sustituimos los datos en la ecuación ordinaria de la circunferencia:

$\left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$

donde:

$C(h,k)$ son las coordenadas del centro y $r$ es el radio.

$(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=4$

$x^{2}-6x+9+y^{2}-8y+16=4$

$x^{2}+y^{2}-6x-8y+21=0$

Ejercicio 2 resuelto

Dada la circunferencia de ecuación $x^{2}+y^{2}-2x+4y-4=0$ , hallar el centro y el radio.

Convertiremos la ecuación general a la forma ordinaria $\left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}$ ; para ello seguimos los siguientes pasos:

1 Reescribimos la ecuación ordenando las $x$ e y completamos los trinomios cuadrados perfectos

$x^{2}-2x+1+y^{2}+4y+4=-4+1+4$

2 Factorizamos los trinomios cuadrados perfectos

$(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=1$

$\Rightarrow \; C(1,-2)$ y $r=1$

Ejercicio 3 resuelto

Determina las coordenadas del centro y del radio de las circunferencias:

1 $x^{2}+y^{2}-4x-6y-12=0$

Reescribimos la ecuación en su forma ordinaria:

$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=25$

$\Rightarrow \; C(2,3)$ y $r=5$

2 $x^{2}+y^{2}+3x+y+10=0$

$\left (x+\cfrac{3}{2} \right )^{2}+\left ( y+\cfrac{1}{2} \right )^{2}=-\cfrac{15}{2}$ y $r=\sqrt{-\cfrac{15}{2}}$

Ya que $r$ es imaginario, no es una circunferencia real

3 $4x^{2}+4y^{2}-4x+12y-6=0$

Dividiendo por 4 y reescribiendo la ecuación en forma ordinaria:

$x^{2}+y^{2}-x+3y-\cfrac{3}{2}=0$

$\left ( x-\cfrac{1}{2} \right )^{2}+\left ( y+\cfrac{3}{2} \right )^{2}=4$

$\Rightarrow \; C\left ( \cfrac{1}{2},-\cfrac{3}{2} \right )$ y $r=2$

4 $4x^{2}+4y^{2}-4x-8y-11=0$

Dividiendo por 4 y reescribiendo la ecuación en forma ordinaria:

$x^{2}+y^{2}-x-2y-\cfrac{11}{4}=0$

$\left ( x-\cfrac{1}{2} \right )+\left ( y-1 \right )^{2}=4$

$\Rightarrow \; C\left ( \frac{1}{2},1 \right )$ y $r=2$

Ejercicio 4 resuelto

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en $(2,-3)$ y es tangente al eje de abscisas.

1 Graficamos la circunferencia con los datos dados:

representacion grafica de circunferencia con centro en 2, -3 y tangente al eje de abscisas

2 A partir de la gráfica podemos deducir que

$(2,-3)$ $s\equiv y=0$

$r=d(C,s)=3$

$(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=9$

Ejercicio 5 resuelto

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en $(-1,4)$ y es tangente al eje de ordenadas.

1 Graficamos la circunferencia con los datos dados:

representación gráfica de circunferencia tangente al eje de ordenadas, con centro en -2, 8

2 A partir de la gráfica podemos deducir que

$(-1,4)$ $s\equiv x=0$

$r=d(C,s)=1$

$(x+1)^{2}+(y-4)^{2}=1$

Ejercicio 6 resuelto

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas $x+3y+3=0$ , $x+y+1=0$ , y su radio es igual a $5$ .

1 Planteamos un sistema de ecuaciones con las rectas dadas, la solución del sistema de ecuaciones corresponde al centro de la circunferencia

$\left\{\begin{matrix} x+3y+3=0\\ x+y+1=0 \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow$ $C(0,-1)$

2 Sustituimos $C(0,-1)$ y $r=5$ en la forma ordinaria

$\left ( x-0 \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}=5^{2}$

$x^{2}+y^{2}+2y-24=0$

representacion grafica de circulo con centro en -1, 0

Ejercicio 7 resuelto

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación $x^{2}+y^{2}-6x+2y-6=0$ , y que pasa por el punto $(-3,4)$ .

1 Por ser concéntricas tienen el mismo centro:

representacion grafica de circulos concentricos con centro en 3 y -1

2 Calculamos el centro de la circunferencia $x^{2}+y^{2}-6x+2y-6=0$

$\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}=16$

$\Rightarrow \; C(3,-1)$

3 Para calcular el radio calculamos la distancia de $C(3,-1)$ a $(-3,4)$

$r=d(P,C)=\sqrt{(3+3)^{2}+(-1-4)^{2}}=\sqrt{61}$

4 Sustituimos el centro y el radio en la forma ordinaria

$\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}=( \sqrt{61})^{2}$

$x^{2}+y^{2}-6x+2y-51=0$

Ejercicio 8 resuelto

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto $C(3, 1)$ y es tangente a la recta: $3x-4y+5=0$ .

1 El radio se calcula con la distancia del punto $C(3, 1)$ a la recta $3x-4y+5=0$

$r=d(C,s)=\cfrac{3\cdot 3-4\cdot 1+5}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=2$

2 Sustituimos $C(3,1)$ y $r=2$ en la forma ordinaria

$(x-3)^{2}+(y-k)^{2}=2^{2}$

$x^{2}+y^{2}-6x-2y+6=0$

representacion grafica de circulo con centro 3 y 1, y con recta tangente

Ejercicio 9 resuelto

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos $A(2,0),\; B(2,3),\; C(1,3)$ .

1 Considerando la ecuación general de una circunferencia como $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ , sustituimos los puntos dados y construimos un sistema de ecuaciones:

$\left\{\begin{matrix} 4+0+2A+0+C=0\\ 4+9+2A+3B+C=0\\ 1+9+A+3B+C=0 \end{matrix}\right.$

2 Resolvemos el sistema de ecuaciones y sustituimos en la forma general considerada:

$A=-3$ $B=-3$ $C=2$

$x^{2}+y^{2}-3x-3y+2=0$

Ejercicio 10 resuelto

Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices: $A(0,0),\; B(3,1),\; C(5,7)$ .

representación gráfica de la circunferencia circunscrita al triángulo

1 Considerando que los vértices del triángulo son puntos por los que pasa la circunferencia, podemos considerar la ecuación de la circunferencia como $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ y sustituir los puntos dados:

$\left\{\begin{matrix} 0^{2}+0^{2}+A\cdot 0+B\cdot 0+C=0\\ 3^{2}+1^{2}+A\cdot 3 + B\cdot 1 +C=0 \\ 5^{2}+7^{2}+A\cdot 5 + B\cdot 7 +C=0 \end{matrix}\right.$

2 Resolvemos el sistema de ecuaciones y sustituimos en la forma general considerada:

$\left\{\begin{matrix} C=0\\ 3A+B+C=-10 \\ 5A+7B+C=-74 \end{matrix}\right.$

$A=\frac{1}{4}$ $B=-\frac{43}{4}$ $C=0$

$x^{2}+y^{2}+\cfrac{1}{4}x-\cfrac{43}{4}y=0$

Ejercicio 11 resuelto

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos $A(2,1)$ y $B(-2,3)$ y tiene su centro sobre la recta $x+y+4=0$ .

representacion grafica de circunferencia con centro en una recta

1 Consideremos que el punto $(a,b)$ es el centro de la circunferencia y se encuentra sobre la recta $x+y+4=0$ , podemos plantear el sistema:

$\left\{\begin{matrix} \left ( 2-a \right )^{2}+\left ( 1-b \right )^{2}=r^{2}\\ \left ( -2-a \right )^{2}+\left ( 3-b \right )^{2}=r^{2}\\ a+b+4=0 \end{matrix}\right.$

2 De las primeras 2 ecuaciones obtenemos:

$\left\{\begin{matrix} \left ( 2-a \right )^{2}+\left ( 1-b \right )^{2}=\left ( -2-a \right )^{2}+\left ( 3-b \right )^{2}\\ a+b+4=0 \end{matrix}\right.$

3 Resolviendo el sistema:

$a=-2$ $b=-2$ $r=5$

$x^{2}+y^{2}+4x+4y-17=0$

Ejercicio 12 resuelto

Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto $(0,-3)$ , cuyo radio es $\sqrt{5}$ y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

representacion gráfica de circulo con centro en la recta

1 Consideremos que el punto $(a,b)$ es el centro de la circunferencia, además, la bisectriz del primer y tercer cuadrante es la recta $x=y$ :

$(0-a)^{2}+(-3-b)^{2}=5$

$a^{2}+b^{2}+6b+4=0$

$C$ $\LARGE \epsilon$ $s\equiv y=x$ $a=b$

$b^{2}+b^{2}+6b+4=0$

$b^{2}+3b+2=0$

2 Obtenemos 2 soluciones para $b$ :

$b=-1$ $b=-2$

3 Para $b=-1$

$C_{1}(-1,-1)$

$A_{1}=-2\cdot (-1)=2$

$B_{1}=-2\cdot (-1)=2$

$C_{1}=1+1-5=-3$

$x^{2}+y^{2}+2x+2y-3=0$

4 Para $b=-2$

$A_{2}=-2\cdot (-2)=4$

$B_{2}=-2\cdot (-2)=4$

$C_{2}=4+4-5=3$

$x^{2}+y^{2}+4x+4y+3=0$

Ejercicio 13 resuelto

Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos $A(-5,3)$ y $B(3,1)$ . ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?

representación gráfica de un circulo y una recta con dos puntos en la circunferencia A y B y con centro C

1 El radio de la circunferencia será la mitad de la distancia entre los puntos $A$ y $B$ :

$r=\cfrac{1}{2}d(A,B)=\cfrac{1}{2}\sqrt{\left ( 3+5 \right )^{2}+\left ( 1-3 \right )^{2}}=\sqrt{17}$

2 El centro de la circunferencia se encontrará en el punto medio entre los puntos $A$ y $B$ :

$C=\left ( \cfrac{-5+3}{2},\cfrac{3+1}{2} \right )=(-1,2)$

3 Obtenemos los coeficientes $A, B$ y $C$ para la forma $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$

$A=-2\cdot (-1)=2$ $B=-2\cdot 2=-4$

$C=\left (-1 \right )^{2}+2^{2}-\left ( \sqrt{17} \right )^{2}=-12$

$x^{2}+y^{2}+2x-4y-12=0$

Ejercicio 14 resuelto

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia $x^{2}+y^{2}-4x+6y-17=0$ que sea tangente a la recta $3x-4y+7=0$ .

representación gráfica de circunferencia concéntrica a la circunferencia con recta tangente

1 Obtenemos el centro de la circunferencia con coordenadas $(a,b)$ :

$-4=-2a$ $a=2$

$6=-2b$ $b=-3$

2 El radio será la distancia entre $(a,b)$ y la recta $3x-4y+7=0$ :

$r=d(C,s)=\cfrac{2\cdot 3-4\cdot (-3)+7}{\sqrt{9+16}}=5$

3 Obtenemos los coeficientes $A, B$ y $C$ para la forma $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$

$A=-4$ $B=6$ $C=4+9-25=-12$

$x^{2}+y^{2}-4x+6y-12=0$

Ejercicio 15 resuelto

Calcula la posición relativa de la circunferencia $x^{2}+y^{2}-2x-3=0$ y la recta $3x+y-5=0$ .

representacion de posicion relativa de una recta en una circunferencia

1 Planteamos un sistema de ecuaciones entre la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la recta para buscar sus intersecciones

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-2x-3=0\\ 3x+y-5=0 \end{matrix}\right.$ $y=5-3x$

$x^{2}+\left ( 5-3x \right )^{2}-2x-3=0$

$5x^{2}-16x+11=0$

$x=\cfrac{16\pm \sqrt{256-220}}{10}=\cfrac{16\pm 6}{10}$

$x_{1}=\cfrac{11}{5}$ $x_{2}=1$

$P\left ( \cfrac{11}{5},-\cfrac{8}{5} \right )$ $Q(1,2)$

Al haber dos puntos de intersección, podemos decir que la recta y la circunferencia son secantes

Ejercicio 16 resuelto

Estudiar la posición relativa de la circunferencia $x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0$ con las rectas:

1 $x+7y-20=0$

representacion gráfica de una recta y un circunferencia secantes

Planteamos un sistema de ecuaciones entre la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la recta para buscar sus intersecciones:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0\\ x+7y-20=0 \end{matrix}\right.$

$x=20-7y$ $y^{2}-5y+6=0$

$y_{1}=3$ $x_{1}=-1$ $P(-1,3)$

$y_{2}=2$ $x_{2}=6$ $Q(6,2)$

Al haber dos puntos de intersección, podemos decir que la recta y la circunferencia son secantes

2 $3x+4y-27=0$

Planteamos un sistema de ecuaciones entre la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la recta para buscar sus intersecciones:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0\\ 3x+4y-27=0 \end{matrix}\right.$

$x=\cfrac{-4y+27}{3}$ $y^{2}-6y+9=0$

$y=3$ $x=5$ $P(5,3)$

Al haber un solo punto de intersección entre la circunferencia y la recta, podemos decir que son tangentes

3 $x+y-10=0$

Planteamos un sistema de ecuaciones entre la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la recta para buscar sus intersecciones:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0\\ x+y-10=0 \end{matrix}\right.$

$y=10-x$ $x^{2}-13x+50=0$

$\Delta =(-13)^{2}-4.50< 0$

Al no existir puntos de intersección entre la recta y la circunferencia podemos decir que son exteriores

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Marta

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Patzi
Invité

14 May.

Gracias

Pulla
Invité

22 Nov.

Por favor ayúdenme resolviendo el siguiente ejercicio :
Hallar las ecuaciones de las circunferencias que son tangentes a las rectas x+y+4=0 ; 7x-y+4=0 y tienen un radio de 5

Gaspar Leon
Editor

11 Jun.

Hola, Tenemos que encontrar el centro (h,k) de la circunferencia que es tangente a las rectas x+y+4=0; 7x-y+4=0; como la distancia del centro a las rectas tangentes es igual al radio r=5, empleamos la fórmula para encontrar la distancia de un punto (p1, p2) a una recta Ax+By+C=0 que viene dada por d=|A p1+B p2+C|/√( A2+ B2) Empleando la fórmula anterior tenemos las siguientes dos expresiones en términos de h y k (a) 5=|h+k+4|/√(2), (b) 5=|7h-k+4|/5√(2). Recuerda que el valor absoluto |x| se divide en dos partes: la primera es x si x≥0 y la segunda es… Lire la suite »

Tejada Hernández
Invité

11 May.

Buen contenido! Muchas gracias

Superprof
Administrateur

13 May.

¡Gracias a ti! Nos alegramos de que te guste 😀

Martín
Invité

19 May.

Buenas, tengo una pregunta, me pide determinar la ecuación de una circunferencia de radio 2√2, que pasa por el origen de coordenadas, y que el centro está en la bisectriz del segundo cuadrante. Alguien sabe como se soluciona?

Juan Manuel Sanchez Perez
Editor

28 Jun.

Hola, Martín. Por supuesto te ayudamos a resolverlo. Recordemos, antes que nada, que la bisectriz del segundo cuadrante es la recta (observa que esta recta parte el cuadrante en dos áreas «iguales»). Por lo tanto, el centro debe cumplir esa ecuación. Además, la ecuación de la circunferencia tiene la forma: Donde es el centro de la circunferencia; por tanto, debe satisfacer la ecuación . Si sustituimos en la ec. de la circunferencia, obtenemos: Además, el radio es de manera que . Así, nuestra ecuación ahora es Por otro lado, sabemos que el origen está en la circunferencia. Es este modo,… Lire la suite »

trujillo
Invité

4 Jun.

el ejercicio 7 tiene un problema dice que el centro es 3,1 y es 3,-1 y al calcular la distancia se cambio erroneamente el simbolo de y2 (4) dejando raiz de 61 pero en realidad es raiz de 90

Gaspar Leon
Editor

23 Jun.

Hola,

te agradecemos tus observaciones; hemos corregido el signo en el centro. Respecto a la distancia de la segunda circunferencia, esta es correcta ya que el radio es igual a la distancia de (3,-1) a (-3,4)
d=√[(3+3)² + (-1-4)²]=√(61)

Un saludo

Lopez
Invité

19 Jun.

Porfa me ayudan! Determine la ecuación de la tangente a la circunferencia x2+y2-2x+2y-43=0

Karla Paulette Flores Silva
Editor

12 Jul.

Hola, para poder resolver este problema es necesario especificar en qué punto sobre la circunferencia se considerará la tangente, ya que existen infinitas.

Te invitamos a escribirnos de nuevo, añadiendo este dato, para poderte ayudar
¡saludos!

ALLAN
Invité

22 Jun.

Dibujar las dos circunferencias cuyas ecuaciones son
C1=x2+y2+4x-8y+7=0 y C2=x2+y2-16x-4y+3=0
Tambiin dibuiar tres elementos de la familia CI + kc2 = 0 para valores de k
diferentes de 0 y – 1, y demostrar que sus centros estin sobre la recta de 10s
centros de C1 y C2.

Luis Maciel Baron
Editor

27 Jul.

¡Hola! Con gusto ye apoyo en tu ejercicio, no podré representar las gráficas pero puedo explicarte como hacerlo para que tú lo grafiques: Empecemos con C1. Para poderla graficar debemos pasarla a su forma ordinaria: De esta circunferencia, deducimos que el centro está en y su radio es , para hacer la gráfica sólo ubicas el centro y de ahí puedes marcar algunos puntos de referencia que se encuentren a una distancia de para trazar la circunferencia. Para C2 hacemos lo mismo: De aquí, deducimos que la circunferencia tiene y radio Para la familia de circunferencias se cumple que: Lo… Lire la suite »

Sanabria
Invité

3 Jul.

Buenas una pregunta tengo un ejercisio que esta un poco complejo…es hallar la circunferencia que pasa por los puntos (1,1)(1,3)y(9,2)…pero el resultado dice que tiene que salir así 8×2+8y2-79x-32y+95=0…por favor alguien ayúdeme que debo hacer

Karla Paulette Flores Silva
Editor

26 Jul.

Hola, los pasos para resolver esto son Obtener la ecuación de la recta de dos de los lados del triángulo inscrito que se forma con esos puntos, con fórmula de la ecuación de la recta dados dos puntos. (y-y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1) Obtener el punto medio de dicho par de segmentos Coordenadas del punto medio entre dos puntos: ( (x1+x2)/2 , (y1+y2)/2 ) Encontrar la ecuación de las rectas perpendiculares en esos puntos medios. Básicamente serían las ecuaciones de dos mediatrices del triángulo. Toma encuenta que las pendientes de rectas perpendiculares cumplen que m·m’=-1 Hallar el punto de intersección entre ambas… Lire la suite »

Ejercicios con la ecuación de la circunferencia I

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Ejercicio 9

Ejercicio 10

Ejercicio 11

Ejercicio 12

Ejercicio 13

Ejercicio 14

Ejercicio 15

Ejercicio 16

Ejercicio 1 resuelto

Ejercicio 2 resuelto

Ejercicio 3 resuelto

Ejercicio 4 resuelto

Ejercicio 5 resuelto

Ejercicio 6 resuelto

Ejercicio 7 resuelto

Ejercicio 8 resuelto

Ejercicio 9 resuelto

Ejercicio 10 resuelto

Ejercicio 11 resuelto

Ejercicio 12 resuelto

Ejercicio 13 resuelto

Ejercicio 14 resuelto

Ejercicio 15 resuelto

Ejercicio 16 resuelto

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