Si el centro de la hipérbola C(x_0, y_0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas:

 

F(x_0, y_0+c) y F'(x_0, y_0 - c).

 

Hiperbola con eje vertical y centro distinto al origen

 

Y la ecuación de la hipérbola será:

 

\cfrac{(y - y_0)^2}{a^2} - \cfrac{(x - x_0)^2}{b^2} = 1

 

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{(y - y_0)^2}{a^2} - \cfrac{(x - x_0)^2}{b^2} & = & 1 \\\\ b^2(y - y_0)^2 - a^2(x - x_0)^2 & = & a^2b^2 \\\\ -a^2x^2 + b^2y^2 + 2a^2x_0x - 2b^2y_0y - a^2x^2_0 + b^2y^2_o & = & a^2 b^2 \end{array}

 

Acomodando los elementos se obtiene

 

Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0

 

Donde A y B tienen signos opuestos.

 

Ejemplo: Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(-2, 5), de vértice A (-2, 3) y de centro C(-2, -5).

 

A partir de las coordenadas del centro C(x_0, y_0) se obtiene x_0 = -2, \, y_0 = -5

 

A partir de las coordenadas de foco F(x_0, y_0+c) se obtiene c = 10

 

A partir de las coordenadas del vértice V(x_0, y_0+a) se obtiene a = 8

 

Sustituyendo los valores de a, c en la fórmula b^2 = c^2 - a^2, obtenemos

 

b = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6

 

Luego, la ecuación de la hipérbola es

 

\cfrac{(y + 5)^2}{64} - \cfrac{(x + 2)^2}{36} = 1

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗