1 Determina las coordenadas del centro, así como el radio, de las siguientes circunferencias:

 

  • x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0
  • x^2 + y^2 + 3x + y + 10 = 0
  • 4x^2 + 4y^2 - 4x + 12y - 6 = 0
  • 4x^2+4y^2 - 4x - 8y - 11 = 0

 

Recordemos que si una esfera tiene ecuación dada por

 

\displaystyle x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0,

 

entonces el centro C(a, b) de la esfera tiene coordenadas

 

    \begin{align*} a & = - \frac{D}{2}\\ b & = - \frac{E}{2} \end{align*}

 

y el radio r satisface la ecuación

 

\displaystyle r^2 = a^2 + b^2 - F

 

Dicho esto, ya podemos resolver los ejercicios:

 

  • x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0

 

Primero buscaremos el centro C(a, b) de la circunferencia,

 

\displaystyle a = -\frac{-4}{2} = 2, \qquad b = -\frac{-6}{2} = 3

 

Por lo que el centro se encuentra en el punto C(2, 3).

 

Asimismo, tenemos que el radio r debe satisfacer

 

r^2 = 2^2 + 3^2 - (-12) = 25 \qquad \to \qquad r = 5

 

Por lo que el radio es r = 5.

 

  • x^2 + y^2 + 3x + y + 10 = 0

 

Buscaremos primero el centro C(a, b),

 

\displaystyle a = -\frac{3}{2}, \qquad b = -\frac{1}{2}

 

Por lo que el centro se encuentra en el punto C\left( - \frac{3}{2}, -\frac{1}{2} \right).

 

Asimismo, tenemos que el radio r debe satisfacer

 

\displaystyle r^2 = \left( - \frac{3}{2} \right)^2 + \left( - \frac{1}{2} \right)^2 - 10 = -\frac{30}{4} \qquad \to \qquad r \notin \mathbb{R}

 

Por lo tanto, no tenemos una circunferencia real.

 

  • 4x^2 + 4y^2 - 4x + 12y - 6 = 0

 

Antes de calcular el centro y el radio, debemos dividir por 4. De este modo, la ecuación tiene la forma que ya sabemos manejar.

 

\displaystyle x^2 + y^2 - x + 3y - \frac{3}{2} = 0

 

Ahora, busquemos el centro C(a, b) de la circunferencia:

 

\displaystyle a = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}, \qquad b = -\frac{3}{2}

 

De esta manera, el centro se encuentra en el punto C \left( \frac{1}{2}, - \frac{3}{2} \right).

 

Por otro lado, el radio r debe satisfacer

 

\displaystyle r^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( - \frac{3}{2} \right)^2 - \left( -\frac{3}{2} \right) = 4 \qquad \to \qquad r = 2

 

Así, el radio es r = 2.

 

  • 4x^2 + 4y^2 - 4x - 8y - 11 = 0

 

Al igual que en el ejercicio anterior, antes de calcular el centro y el radio, debemos dividir por 4,

 

\displaystyle x^2 + y^2 - x - 2y - \frac{11}{4} = 0

 

Ahora, busquemos el centro de la circunferencia:

 

\displaystyle a = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}, \qquad b = -\frac{-2}{2} = 1

 

De esta manera, el centro se encuentra en C\left( \frac{1}{2}, 1 \right).

 

Por otro lado, el radio r debe satisfacer

 

\displaystyle r^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 + 1 ^2 - \left( -\frac{11}{4} \right) = 4 \qquad \to \qquad r = 2

 

Así, el radio es r = 2.

 

2 Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2, -3) y es tangente al eje de abscisas.

 

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2, -3) y es tangente al eje de abscisas.

 

Representación gráfica de circunferencia con centro 2, -4

 

Ya tenemos que el centro está en C(2, -3). Además, el eje de abscisas es la recta s: y = 0. De este modo, la distancia entre el punto C y la recta s está dada por

 

\displaystyle r = d(C, s) = \frac{| 1 \cdot (-3) |}{\sqrt{1^2}} = 3

 

Por lo tanto, el radio de la circunferencia debe ser 3. De este modo, la ecuación de la circunferencia es:

 

(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 3^2 = 9

 

3 Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es tangente al eje de ordenadas.

 

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es tangente al eje de ordenadas.

 

Representación gráfica de circunferencia con centro -1, 4 y tangente en eje de ordenadas

 

Este problema se resuelve de manera muy similar al anterior. Tenemos que el centro está en C(-1, 4). Asimismo, el eje de ordenadas es la recta s: x = 0. De este manera, la distancia entre el punto C y la recta s está dada por

 

\displaystyle r = d(C, s) = \frac{| 1 \cdot (-1) |}{\sqrt{1^2}} = 1

 

Por lo tanto, el radio de la circunferencia debe ser 1. De este modo, la ecuación de la circunferencia es:

 

(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 1

 

4 Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0 y x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.

 

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0 y x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.

 

circunferencia con centro en interseccion

 

Debemos encontrar la intersección entre las dos rectas, esto es equivalente a resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

 

\displaystyle \left\{ \begin{matrix} x + 3y + 3 & = 0\\ x + y + 1 & = 0 \end{matrix}\right.

 

La solución al sistema de ecuaciones de x = 0 y y = -1. Por lo tanto, el centro de la circunferencia debe ser C(0, -1). De esta manera, la ecuación de la circunferencia es

 

x^2 + (y + 1)^2 = 25

 

5 Encuentra la ecuación de la circunferencia concéntrica con la circunferencia con ecuación x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0, y que, además, pasa por el punto (-3, 4).

 

Encuentra la ecuación de la circunferencia concéntrica con la circunferencia con ecuación x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0, y que, además, pasa por el punto (-3, 4).

 

representacion grafica de circunferencias concentricas con radio

 

Por ser concéntricas, entonces tienen el mismo centro. Por lo tanto, debemos encontrar el centro de la otra circunferencia:

 

\displaystyle a = - \frac{-6}{2}= 3, \qquad b = -\frac{2}{2} = -1

 

De este modo, el centro es el punto C(3, -1). Asimismo, la circunferencia debe pasar por el punto P(-3, 4); esto significa que el radio r de la circunferencia es la distancia entre estos dos puntos:

 

r = d(P, C) = \sqrt{(3 + 3)^2 + (-1 - 4)^2} = \sqrt{61}

 

De este modo, la ecuación de la circunferencia es

 

(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 61

 

6 Determina la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices: A(0, 0), B(3, 1), C(5,7).

 

Determina la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices: A(0, 0), B(3, 1), C(5,7).

 

representacion grafica de circunferencia circunscrita a un triangulo

 

La circunferencia debe pasar por todos los puntos. Esto significa que, al sustituir los valores de x y y en la ecuación de la circunferencia x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0, esta debe ser igual a cero. Por tanto, tenemos el siguiente sistema:

 

\displaystyle \begin{cases} 0^2 + 0^2 + D \cdot 0 + E \cdot 0 + F = 0\\ 3^2 + 1^2 + D\cdot 3 + E\cdot 1 + F = 0\\ 5^2 + 7^2 + D\cdot 5 + E\cdot 7 + F = 0 \end{cases}

 

El sistema anterior es equivalente al siguiente sistema de ecuaciones —después de despejar las constantes que no multiplican a D, E ni F al lado derecho de cada ecuación—:

 

\displaystyle \begin{cases} C = 0\\ 3A + B + C  = -10\\ 5A + 7B + C = -74 \end{cases}

 

Este sistema tiene la siguiente solución:

 

\displaystyle A = \frac{1}{4}, \qquad B = - \frac{43}{4}, \qquad C = 0

 

Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es

 

\displaystyle x^2 + y^2 + \frac{1}{4}x - \frac{43}{4}y = 0

 

7 Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-5, 3) y B(3, 1). ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?

 

Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-5, 3) y B(3, 1). ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?

 

dibujo circunferencia dada los extremos del diametro

 

Tenemos que los extremos del diámetro son los puntos A y B. Por lo tanto, el radio r debe ser la mitad de la distancia de A a B. Es decir,

 

\displaystyle r = \frac{1}{2}d(A, B) = \frac{1}{2} \sqrt{(3 + 5)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{17}

 

Asimismo, el centro se encuentra en el punto medio de A y B, el cual está dado por,

 

\displaystyle Q\left( \frac{-5 + 3}{2}, \frac{3 +1 }{2}\right) = Q(-1, 2)

 

Así, la ecuación de la circunferencia está dada por:

 

\displaystyle (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 17

 

8Encuentra la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia x^2 + y^2 - 4x + 6y - 17 = 0 que sea tangente a la recta 3x - 4y + 7 = 0.

 

Encuentra la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia x^2 + y^2 - 4x + 6y - 17 = 0 que sea tangente a la recta 3x - 4y + 7 = 0.

 

dibujo circunferencia concentrica con tangente

 

Para resolver este ejercicio, primero debemos encontrar el centro de la circunferencia (que será el mismo al de la otra circunferencia que se nos proporcionó). Luego, debemos encontrar la distancia con la recta dada: esta distancia será el radio de nuestra circunferencia.

 

De este modo, el centro de la circunferencia es,

 

\displaystyle a = -\frac{-4}{2} = 2, \qquad b = -\frac{6}{2} = -3

 

Así, el centro se encuentra en el punto C(2, -3). Por otro lado, el radio es

 

\displaystyle r = d(C, s) = \frac{|2 \cdot 3 - 4\cdot (-3) + 7|}{ \sqrt{9 + 16} } = \frac{25}{5} = 5

 

En consecuencia, la ecuación de la circunferencia está dada por

 

\displaystyle (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25

 

9 Estudia la posición relativa de la circunferencia x^2 + y^2 - 4x + 2y - 20 = 0 con las siguientes rectas:

 

  • x + 7y - 20 = 0
  • 3x + 4y - 27 = 0
  • x + y - 10 = 0

 

Estudia la posición relativa de la circunferencia x^2 + y^2 - 4x + 2y - 20 = 0 con las siguientes rectas:

 

  • x + 7y - 20 = 0

 

Para determinar la posición relativa entre la recta y la circunferencia, debemos encontrar en cuáles puntos se intersecan. Es decir, debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:

 

\displaystyle \begin{cases} x^2 + y^2 - 4x + 2y - 20 = 0\\ x + 7y - 20 = 0 \end{cases}

 

Despejando x de la segunda ecuación, y sustituyendo en la primera se tiene (después de simplificar),

 

x = 20 - 7y \qquad \to \qquad y^2 - 5y + 6 = 0

 

Las soluciones de la ecuación cuadrática son y_1 = 3 y y_2 = 2, las cuales se encuentran utilizando la fórmula cuadrática. Al sustituir en la segunda ecuación del sistema no lineal, tenemos que,

 

\displaystyle y_1 = 3, \qquad \to \qquad x_1 = -1

\displaystyle y_2 = 2, \qquad \to \qquad x_2 = 6

 

Por lo que P(-1, 3) y Q(6, 2) son los puntos de intersección entre la recta y la circunferencia. De este modo, la recta es secante a la circunferencia, tal y como se aprecia en la siguiente gráfica.

 

dibujo recta secante a la circunferencia

 

  • 3x + 4y - 27 = 0

 

De la misma forma que el inciso anterior, debemos resolver el siguiente sistema no lineal de ecuaciones:

 

\displaystyle \begin{cases} x^2 + y^2 - 4x + 2y - 20 = 0\\ 3x + 4y - 27 = 0 \end{cases}

 

Al despejar x en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera, obtenemos

 

\displaystyle x = \frac{-4y + 27}{3} \qquad \to \qquad y^2 - 6y + 9 = 0

 

Notemos que la ecuación cuadrática tiene una única solución, y = 3. Al sustituir en la segunda ecuación se obtiene que x = 5.

 

Por lo tanto, la recta solo intersecta a la circunferencia en el punto P(5, 3). Esto es, la recta es tangente a la circunferencia, justo como se puede apreciar en la siguiente figura:

 

dibujo de recta tangente a la circunferencia

 

  • x + y - 10 = 0

 

Por último, este problema también se resuelve como los anteriores. Así, consideremos el siguiente sistema no lineal de ecuaciones

 

\displaystyle \begin{cases} x^2 + y^2 - 4x + 2y - 20 = 0\\ x + y - 10 = 0 \end{cases}

 

Al despejar y de la segunda ecuación y sustituir en la primera, obtenemos,

 

\displaystyle y = 10 - x \qquad \to \qquad x^2 - 13x + 50 = 0

 

Notemos que el discriminante de la ecuación es,

 

\displaystyle \Delta = (-13)^2 - 4 \cdot 50 = -31 < 0

 

Por lo tanto, la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales. Es decir, el sistema de ecuaciones no tiene soluciones reales.

 

De este modo, la recta no interseca a la circunferencia en ningún punto. Es decir, la recta es exterior a la circunferencia, tal y como se aprecia en la siguiente figura:

 

dibujo de recta exterior a la circunferencia


 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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