1 Determina las coordenadas del centro, así como el radio, de las siguientes circunferencias:

 

  • x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0
  • x^2 + y^2 + 3x + y + 10 = 0
  • 4x^2 + 4y^2 - 4x + 12y - 6 = 0
  • 4x^2+4y^2 - 4x - 8y - 11 = 0

 

Recordemos que si una circunferencia tiene ecuación dada por

 

\displaystyle x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0,

 

entonces el centro C(a, b) de la circunferencia tiene coordenadas

 

    \begin{align*} a & = - \frac{D}{2}\\ b & = - \frac{E}{2} \end{align*}

 

y el radio r satisface la ecuación

 

\displaystyle r^2 = a^2 + b^2 - F

 

Dicho esto, ya podemos resolver los ejercicios:

 

  • x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0

 

Primero buscaremos el centro C(a, b) de la circunferencia,

 

\displaystyle a = -\frac{-4}{2} = 2, \qquad b = -\frac{-6}{2} = 3

 

Por lo que el centro se encuentra en el punto C(2, 3).

 

Asimismo, tenemos que el radio r debe satisfacer

 

r^2 = 2^2 + 3^2 - (-12) = 25 \qquad \to \qquad r = 5

 

Por lo que el radio es r = 5.

 

La siguiente figura muestra la gráfica de la circunferencia:

 

circunferencia 1

 

  • x^2 + y^2 + 3x + y + 10 = 0

 

Buscaremos primero el centro C(a, b),

 

\displaystyle a = -\frac{3}{2}, \qquad b = -\frac{1}{2}

 

Por lo que el centro se encuentra en el punto C\left( - \frac{3}{2}, -\frac{1}{2} \right).

 

Asimismo, tenemos que el radio r debe satisfacer

 

\displaystyle r^2 = \left( - \frac{3}{2} \right)^2 + \left( - \frac{1}{2} \right)^2 - 10 = -\frac{30}{4} \qquad \to \qquad r \notin \mathbb{R}

 

Por lo tanto, no tenemos una circunferencia real.

 

  • 4x^2 + 4y^2 - 4x + 12y - 6 = 0

 

Antes de calcular el centro y el radio, debemos dividir por 4. De este modo, la ecuación tiene la forma que ya sabemos manejar.

 

\displaystyle x^2 + y^2 - x + 3y - \frac{3}{2} = 0

 

Ahora, busquemos el centro C(a, b) de la circunferencia:

 

\displaystyle a = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}, \qquad b = -\frac{3}{2}

 

De esta manera, el centro se encuentra en el punto C \left( \frac{1}{2}, - \frac{3}{2} \right).

 

Por otro lado, el radio r debe satisfacer

 

\displaystyle r^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( - \frac{3}{2} \right)^2 - \left( -\frac{3}{2} \right) = 4 \qquad \to \qquad r = 2

 

Así, el radio es r = 2. La siguiente figura muestra la gráfica de la circunferencia:

 

circunferencia 2

 

  • 4x^2 + 4y^2 - 4x - 8y - 11 = 0

 

Al igual que en el ejercicio anterior, antes de calcular el centro y el radio, debemos dividir por 4,

 

\displaystyle x^2 + y^2 - x - 2y - \frac{11}{4} = 0

 

Ahora, busquemos el centro de la circunferencia:

 

\displaystyle a = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}, \qquad b = -\frac{-2}{2} = 1

 

De esta manera, el centro se encuentra en C\left( \frac{1}{2}, 1 \right).

 

Por otro lado, el radio r debe satisfacer

 

\displaystyle r^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 + 1 ^2 - \left( -\frac{11}{4} \right) = 4 \qquad \to \qquad r = 2

 

Así, el radio es r = 2. La gráfica de la circunferencia se muestra a continuación:

 

circunferencia 3

 

2 Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2, -3) y es tangente al eje de abscisas.

 

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2, -3) y es tangente al eje de abscisas.

 

La gráfica de la circunferencia debe ser como la siguiente:

 

circunferencia tangente al eje de abscisas

 

Ya tenemos que el centro está en C(2, -3). Además, el eje de abscisas es la recta s: y = 0. De este modo, la distancia entre el punto C y la recta s está dada por

 

\displaystyle r = d(C, s) = \frac{| 1 \cdot (-3) |}{\sqrt{1^2}} = 3

 

Por lo tanto, el radio de la circunferencia debe ser 3. De este modo, la ecuación de la circunferencia es:

 

(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 3^2 = 9

 

3 Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es tangente al eje de ordenadas.

 

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es tangente al eje de ordenadas.

 

La gráfica sería la siguiente:

 

circunferencia tangente al eje de ordenadas

 

Este problema se resuelve de manera muy similar al anterior. Tenemos que el centro está en C(-1, 4). Asimismo, el eje de ordenadas es la recta s: x = 0. De este manera, la distancia entre el punto C y la recta s está dada por

 

\displaystyle r = d(C, s) = \frac{| 1 \cdot (-1) |}{\sqrt{1^2}} = 1

 

Por lo tanto, el radio de la circunferencia debe ser 1. De este modo, la ecuación de la circunferencia es:

 

(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 1

 

4 Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0 y x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.

 

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0 y x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.

 

Tenemos las siguientes rectas, su intersección es el punto C. Buscamos la ecuación de la siguiente circunferencia (color azul):

 

circunferencia con centro en la intersección de dos rectas

 

Debemos encontrar la intersección entre las dos rectas, esto es equivalente a resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

 

\displaystyle \left\{ \begin{matrix} x + 3y + 3 & = 0\\ x + y + 1 & = 0 \end{matrix}\right.

 

La solución al sistema de ecuaciones de x = 0 y y = -1. Por lo tanto, el centro de la circunferencia debe ser C(0, -1). De esta manera, la ecuación de la circunferencia es

 

x^2 + (y + 1)^2 = 25

 

5 Encuentra la ecuación de la circunferencia concéntrica con la circunferencia con ecuación x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0, y que, además, pasa por el punto (-3, 4).

 

Encuentra la ecuación de la circunferencia concéntrica con la circunferencia con ecuación x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0, y que, además, pasa por el punto (-3, 4).

 

Observemos la siguiente gráfica:

 

circunferencias concéntricas con centro en 3, -1

 

Buscamos la ecuación de la circunferencia de color azul (la cual tiene el mismo centro que la circunferencia verde, y pasa por el punto en rojo).

 

Por ser concéntricas, entonces tienen el mismo centro. Por lo tanto, debemos encontrar el centro de la otra circunferencia:

 

\displaystyle a = - \frac{-6}{2}= 3, \qquad b = -\frac{2}{2} = -1

 

De este modo, el centro es el punto C(3, -1). Asimismo, la circunferencia debe pasar por el punto P(-3, 4); esto significa que el radio r de la circunferencia es la distancia entre estos dos puntos:

 

r = d(P, C) = \sqrt{(3 + 3)^2 + (-1 - 4)^2} = \sqrt{61}

 

De este modo, la ecuación de la circunferencia es

 

(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 61

 

6 Determina la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices: A(0, 0), B(3, 1), C(5,7).

 

Determina la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices: A(0, 0), B(3, 1), C(5,7).

 

La circunferencia debe pasar por todos los puntos. Esto significa que, al sustituir los valores de x y y en la ecuación de la circunferencia x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0, esta debe ser igual a cero. Por tanto, tenemos el siguiente sistema:

 

\displaystyle \begin{cases} 0^2 + 0^2 + D \cdot 0 + E \cdot 0 + F = 0\\ 3^2 + 1^2 + D\cdot 3 + E\cdot 1 + F = 0\\ 5^2 + 7^2 + D\cdot 5 + E\cdot 7 + F = 0 \end{cases}

 

El sistema anterior es equivalente al siguiente sistema de ecuaciones —después de despejar las constantes que no multiplican a D, E ni F al lado derecho de cada ecuación—:

 

\displaystyle \begin{cases} C = 0\\ 3A + B + C  = -10\\ 5A + 7B + C = -74 \end{cases}

 

Este sistema tiene la siguiente solución:

 

\displaystyle A = \frac{1}{4}, \qquad B = - \frac{43}{4}, \qquad C = 0

 

Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es

 

\displaystyle x^2 + y^2 + \frac{1}{4}x - \frac{43}{4}y = 0

 

Observemos la gráfica de la circunferencia:

 

circunferencia circunscrita

 

7 Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-5, 3) y B(3, 1). ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?

 

Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-5, 3) y B(3, 1). ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?

 

Observemos la siguiente gráfica:

 

circunferencia dado su diámetro

 

Tenemos que los extremos del diámetro son los puntos A y B. Por lo tanto, el radio r debe ser la mitad de la distancia de A a B. Es decir,

 

\displaystyle r = \frac{1}{2}d(A, B) = \frac{1}{2} \sqrt{(3 + 5)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{17}

 

Asimismo, el centro se encuentra en el punto medio de A y B, el cual está dado por,

 

\displaystyle Q\left( \frac{-5 + 3}{2}, \frac{3 +1 }{2}\right) = Q(-1, 2)

 

Así, la ecuación de la circunferencia está dada por:

 

\displaystyle (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 17

 

8Encuentra la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia x^2 + y^2 - 4x + 6y - 17 = 0 que sea tangente a la recta 3x - 4y + 7 = 0.

 

Encuentra la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia x^2 + y^2 - 4x + 6y - 17 = 0 que sea tangente a la recta 3x - 4y + 7 = 0.

 

Para resolver este ejercicio, primero debemos encontrar el centro de la circunferencia (que será el mismo al de la otra circunferencia que se nos proporcionó). Luego, debemos encontrar la distancia con la recta dada: esta distancia será el radio de nuestra circunferencia.

 

De este modo, el centro de la circunferencia es,

 

\displaystyle a = -\frac{-4}{2} = 2, \qquad b = -\frac{6}{2} = -3

 

Así, el centro se encuentra en el punto C(2, -3). Por otro lado, el radio es

 

\displaystyle r = d(C, s) = \frac{|2 \cdot 3 - 4\cdot (-3) + 7|}{ \sqrt{9 + 16} } = \frac{25}{5} = 5

 

En consecuencia, la ecuación de la circunferencia está dada por

 

\displaystyle (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25

 

La gráfica se muestra a continuación:

 

circunferencia concéntrica a otra y tangente a recta dada

 

9 Estudia la posición relativa de la circunferencia x^2 + y^2 - 4x + 2y - 20 = 0 con las siguientes rectas:

 

  • x + 7y - 20 = 0
  • 3x + 4y - 27 = 0
  • x + y - 10 = 0

 

Estudia la posición relativa de la circunferencia x^2 + y^2 - 4x + 2y - 20 = 0 con las siguientes rectas:

 

  • x + 7y - 20 = 0

 

Para determinar la posición relativa entre la recta y la circunferencia, debemos encontrar en cuáles puntos se intersecan. Es decir, debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:

 

\displaystyle \begin{cases} x^2 + y^2 - 4x + 2y - 20 = 0\\ x + 7y - 20 = 0 \end{cases}

 

Despejando x de la segunda ecuación, y sustituyendo en la primera se tiene (después de simplificar),

 

x = 20 - 7y \qquad \to \qquad y^2 - 5y + 6 = 0

 

Las soluciones de la ecuación cuadrática son y_1 = 3 y y_2 = 2, las cuales se encuentran utilizando la fórmula cuadrática. Al sustituir en la segunda ecuación del sistema no lineal, tenemos que,

 

\displaystyle y_1 = 3, \qquad \to \qquad x_1 = -1

\displaystyle y_2 = 2, \qquad \to \qquad x_2 = 6

 

Por lo que P(-1, 3) y Q(6, 2) son los puntos de intersección entre la recta y la circunferencia. De este modo, la recta es secante a la circunferencia, tal y como se aprecia en la siguiente gráfica.

 

recta secante a una circunferencia

 

  • 3x + 4y - 27 = 0

 

De la misma forma que el inciso anterior, debemos resolver el siguiente sistema no lineal de ecuaciones:

 

\displaystyle \begin{cases} x^2 + y^2 - 4x + 2y - 20 = 0\\ 3x + 4y - 27 = 0 \end{cases}

 

Al despejar x en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera, obtenemos

 

\displaystyle x = \frac{-4y + 27}{3} \qquad \to \qquad y^2 - 6y + 9 = 0

 

Notemos que la ecuación cuadrática tiene una única solución, y = 3. Al sustituir en la segunda ecuación se obtiene que x = 5.

 

Por lo tanto, la recta solo intersecta a la circunferencia en el punto P(5, 3). Esto es, la recta es tangente a la circunferencia, justo como se puede apreciar en la siguiente figura:

 

recta tangente a una circunferencia

 

  • x + y - 10 = 0

 

Por último, este problema también se resuelve como los anteriores. Así, consideremos el siguiente sistema no lineal de ecuaciones

 

\displaystyle \begin{cases} x^2 + y^2 - 4x + 2y - 20 = 0\\ x + y - 10 = 0 \end{cases}

 

Al despejar y de la segunda ecuación y sustituir en la primera, obtenemos,

 

\displaystyle y = 10 - x \qquad \to \qquad x^2 - 13x + 50 = 0

 

Notemos que el discriminante de la ecuación es,

 

\displaystyle \Delta = (-13)^2 - 4 \cdot 50 = -31 < 0

 

Por lo tanto, la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales. Es decir, el sistema de ecuaciones no tiene soluciones reales.

 

De este modo, la recta no interseca a la circunferencia en ningún punto. Es decir, la recta es exterior a la circunferencia, tal y como se aprecia en la siguiente figura:

 

recta externa a una circunferencia


 

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Marta

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Peñaloza
Peñaloza
Invité
30 Ago.

Muy interesante, resoluciones concretas y precisas

Superprof
Superprof
Administrateur
5 Sep.

¡Nos alegramos mucho de que te guste nuestro articulo!

Balkey
Balkey
Invité
19 May.

Pusieron esfera al principio de las soluciones.

Superprof
Superprof
Administrateur
25 May.

Gracias por decírnoslo, lo vamos a corregir lo antes posible. ¡Un saludo!