Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes hipérbolas.

 

1{\displaystyle \frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = 1}

 

2{\displaystyle \frac{y^2}{144} - \frac{x^2}{25} = 1}

 

3{2x^2 - 3y^2 = 30}

 

4{9y^2 - 16x^2 = 1296}

1{\displaystyle \frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = 1}

 

De la ecuación de la hipérbola se obtiene

 

{\begin{array}{lcl}a^2 = 144 & \Longrightarrow & a=12 \\\\ b^2 = 81 & \Longrightarrow & b=9 \end{array}}

 

Encontramos el valor de {c}

 

{c = \sqrt{a^2 + b^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c = \sqrt{144 + 81} = 15}

 

Conociendo {a, b, c}, que la hipérbola se encuentra centrada en el origen y su eje real es horizontal, ya podemos encontrar los vértices {A_1, A_2}, los focos, {F_1, F_2} y la excentricidad {e}

 

{A_1 = (-a, 0), \ A_2=(a, 0) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ A_1 = (-12, 0), \ A_2  = (12, 0)}

 

{F_1 = (-c, 0), \ F_2=(c, 0) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ F_1 = (-15, 0), \ F_2  = (15, 0)}

 

{e = \displaystyle \frac{c}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ e = \displaystyle \frac{15}{12} = \frac{5}{4}}

 

Con los datos anteriores, representamos gráficamente la hipérbola

 

ejercicios de la hiperbola 1

 

2{\displaystyle \frac{y^2}{144} - \frac{x^2}{25} = 1}

 

De la ecuación de la hipérbola se obtiene

 

{\begin{array}{lcl}a^2 = 144 & \Longrightarrow & a=12 \\\\ b^2 = 25 & \Longrightarrow & b=5 \end{array}}

 

Encontramos el valor de {c}

 

{c = \sqrt{a^2 + b^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c = \sqrt{144 + 25} = 13}

 

Conociendo {a, b, c}, que la hipérbola se encuentra centrada en el origen y su eje real es vertical, ya podemos encontrar los vértices {A_1, A_2}, los focos, {F_1, F_2} y la excentricidad {e}

 

{A_1 = (0, -a), \ A_2=(0, a) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ A_1 = (0, -12), \ A_2 = (0, 12)}

 

{F_1 = (0, -c), \ F_2=(0, c) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ F_1 = (0, -13), \ F_2 = (0, 13)}

 

{e = \displaystyle \frac{c}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ e = \displaystyle \frac{13}{12}}

 

Con los datos anteriores, representamos gráficamente la hipérbola

 

ejercicios de la hiperbola 2

 

3{2x^2 - 3y^2 = 30}

 

Dividiendo por 30

 

{\displaystyle \frac{x^2}{15} - \frac{y^2}{10} = 1}

 

De la ecuación de la hipérbola se obtiene

 

{\begin{array}{lcl}a^2 = 15 & \Longrightarrow & a = \sqrt{15} \\\\ b^2 = 10 & \Longrightarrow & b= \sqrt{10} \end{array}}

 

Encontramos el valor de {c}

 

{c = \sqrt{a^2 + b^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c = \sqrt{15 + 10} = 5}

 

Conociendo {a, b, c}, que la hipérbola se encuentra centrada en el origen y su eje real es horizontal, ya podemos encontrar los vértices {A_1, A_2}, los focos, {F_1, F_2} y la excentricidad {e}

 

{A_1 = (-a, 0), \ A_2=(a, 0) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ A_1 = (-\sqrt{15}, 0), \ A_2 = (\sqrt{15}, 0)}

 

{F_1 = (-c, 0), \ F_2=(c, 0) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ F_1 = (-5, 0), \ F_2 = (5, 0)}

 

{e = \displaystyle \frac{c}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ e = \displaystyle \frac{5}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{3}}

 

Con los datos anteriores, representamos gráficamente la hipérbola

 

ejercicios de la hiperbola 3

 

4{9y^2 - 16x^2 = 1296}

 

Dividiendo por 1296

 

{\displaystyle \frac{y^2}{144} - \frac{x^2}{81} = 1}

 

De la ecuación de la hipérbola se obtiene

 

{\begin{array}{lcl}a^2 = 144 & \Longrightarrow & a=12 \\\\ b^2 = 81 & \Longrightarrow & b=9 \end{array}}

 

Encontramos el valor de {c}

 

{c = \sqrt{a^2 + b^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c = \sqrt{144 + 81} = 15}

 

Conociendo {a, b, c}, que la hipérbola se encuentra centrada en el origen y su eje real es vertical, ya podemos encontrar los vértices {A_1, A_2}, los focos, {F_1, F_2} y la excentricidad {e}

 

{A_1 = (0, -a), \ A_2=(0, a) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ A_1 = (0, -12), \ A_2 = (0, 12)}

 

{F_1 = (0, -c), \ F_2=(0, c) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ F_1 = (0, -15), \ F_2 = (0, 15)}

 

{e = \displaystyle \frac{c}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ e = \displaystyle \frac{15}{12} = \frac{5}{4}}

 

Con los datos anteriores, representamos gráficamente la hipérbola

 

ejercicios de la hiperbola 4

 

Representa gráficamente y determina las coordenadas del centro, de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes hipérbolas:

 

1{4x^2 - 3y^2 -8x - 8 = 0}

 

2{y^2 - 2x^2 - 4x - 4y = 0}

1{4x^2 - 3y^2 -8x - 8 = 0}

Encontramos la ecuación ordinaria de la hipérbola

 

{\begin{array}{rcl} 4(x^2 -2x + 1) - 4 - 3y^2 - 8 & = & 0 \\\\ 4(x-1)^2 - 3y^2 & = & 12 \\\\ \displaystyle \frac{(x-1)^2}{3} - \frac{y^2}{4} & = & 1 \end{array}}

 

De la ecuación de la hipérbola se obtiene el centro y

 

{\begin{array}{lcl}C(h, k) & \Longrightarrow & C(1, 0) \\\\ a^2 = 3 & \Longrightarrow & a = \sqrt{3} \\\\ b^2 = 4 & \Longrightarrow & b=2 \end{array}}

 

Encontramos el valor de {c}

 

{c = \sqrt{a^2 + b^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c = \sqrt{3 + 4} = \sqrt{7}}

 

Conociendo {a, b, c}, su centro y que su eje real es horizontal, ya podemos encontrar los vértices {A_1, A_2}, los focos, {F_1, F_2} y la excentricidad {e}

 

{A_1 = (-a+h, k), \ A_2=(a+h, k) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ A_1 = (1-\sqrt{3}, 0), \ A_2 = (1+\sqrt{3}, 0)}

 

{F_1 = (-c+h, k), \ F_2=(c+h, k) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ F_1 = (1-\sqrt{7}, 0), \ F_2 = (1+\sqrt{7}, 0)}

 

{e = \displaystyle \frac{c}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ e = \displaystyle \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3}}

 

Con los datos anteriores, representamos gráficamente la hipérbola

 

ejercicios de la hiperbola 5

 

2{y^2 - 2x^2 - 4x - 4y = 0}

 

Encontramos la ecuación ordinaria de la hipérbola

 

{\begin{array}{rcl} (y^2 - 4y + 4) - 4 - 2(x^2 + 2x + 1) + 2 & = & 0 \\\\ (y-2)^2 - 2(x+1)^2 & = & 2 \\\\ \displaystyle \frac{(y-2)^2}{2} - (x+1)^2 & = & 1 \end{array}}

 

De la ecuación de la hipérbola se obtiene el centro y

 

{\begin{array}{lcl}C(h, k) & \Longrightarrow & C(-1, 2) \\\\ a^2 = 2 & \Longrightarrow & a = \sqrt{2} \\\\ b^2 = 1 & \Longrightarrow & b=1 \end{array}}

 

Encontramos el valor de {c}

 

{c = \sqrt{a^2 + b^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}}

 

Conociendo {a, b, c}, su centro y que su eje real es horizontal, ya podemos encontrar los vértices {A_1, A_2}, los focos, {F_1, F_2} y la excentricidad {e}

 

{A_1 = (h, k-a), \ A_2=(h, k+a) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ A_1 = (-1, 2-\sqrt{2}), \ A_2 = (-1, 2+\sqrt{2})}

 

{F_1 = (h, k-c), \ F_2=(h, k+c) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ F_1 = (-1, 2-\sqrt{3}), \ F_2 = (-1, 2+\sqrt{3})}

 

{e = \displaystyle \frac{c}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ e = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}}

 

Con los datos anteriores, representamos gráficamente la hipérbola

 

ejercicios de la hiperbola 6

3Hallar la ecuación de una hipérbola con centro en el origen, eje real horizontal igual 8 y distancia focal 10.

A partir de conocer el eje real y la distancia focal se tiene

 

{\begin{array}{lcl}2a = 8 & \Longrightarrow & a = 4 \\\\ 2c = 10 & \Longrightarrow & c=5 \end{array}}

 

Encontramos el valor de {b}

 

{b = \sqrt{c^2 - a^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b = \sqrt{9} = 3}

 

La ecuación de la hipérbola es

 

{\displaystyle \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1}

4El eje principal de una hipérbola es horizontal y mide 12. Si el centro se encuentra en el origen y la curva pasa por el punto {P(8, 14)}, hallar su ecuación.

La ecuación de la hipérbola es de la forma

 

{\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1}

 

Para obtener {a} utilizamos el eje principal

 

{2a = 12 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a = 6}

 

Para encontrar {b^2} sustituimos {a} y el punto {P(8, 14)} en la ecuación de la hipérbola

 

{\displaystyle \frac{8^2}{36} - \frac{14^2}{b^2} = 1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b^2 = 252}

 

La ecuación buscada es

 

{\displaystyle \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{252} = 1}

5Calcular la ecuación reducida de la hipérbola horizontal, cuya distancia focal es 34, la distancia de un foco al vértice más próximo es 2 y su centro se encuentra en el origen.

La ecuación de la hipérbola es de la forma

 

{\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1}

 

A partir de conocer la distancia focal y la distancia del foco al vértice, se tiene

 

{\begin{array}{lcl}2c = 34 & \Longrightarrow & c = 17 \\\\ c-a = 2 & \Longrightarrow & a=15 \end{array}}

 

Encontramos el valor de {b}

 

{b = \sqrt{c^2 - a^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b = \sqrt{64} = 8}

 

La ecuación de la hipérbola es

 

{\displaystyle \frac{x^2}{225} - \frac{y^2}{64} = 1}

6Determina la ecuación reducida de la hipérbola horizontal con centro en el origen y que pasa por los puntos {(4, \sqrt{8})} y {(2\sqrt{3}, 2).}

La ecuación de la hipérbola es de la forma

 

{\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1}

 

Para encontrar {a^2} y {b^2} sustituimos los puntos dados en la ecuación de la hipérbola

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \frac{4^2}{a^2} - \frac{\sqrt{8}^2}{b^2} & = & 1, \\\\ \displaystyle \frac{(2\sqrt{3})^2}{a^2} - \frac{2^2}{b^2} & = & 1\end{array}}

 

Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene

 

{a^2 = 8, \ \ \ b^2 = 8}

 

La ecuación buscada es

 

{\displaystyle \frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{8} = 1}

7Determina la ecuación reducida de una hipérbolan centro en el origen, que pasa por el punto {(2, \sqrt{3})} y su excentricidad es {\sqrt{3}}

La ecuación de la hipérbola es de la forma

 

{\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1}

 

sustituimos el punto dado en la ecuación de la hipérbola y obtenemos la ecuación

 

{\displaystyle \frac{4}{a^2} - \frac{3}{b^2} = 1}

 

A partir de la excentricidad se obtiene la ecuación

 

{\displaystyle \frac{c}{a}=\sqrt{3} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a}=\sqrt{3}}

 

Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones anteriores se tiene que {a^2=\displaystyle\frac{5}{2} } y {b^2=5}

 

La ecuación buscada es

 

{\displaystyle \frac{2x^2}{5} - \frac{y^2}{5} = 1}

8Determina la ecuación reducida de la hipérbola horizontal con centro en el origen, sabiendo que un foco dista de los vértices de la hipérbola 50 y 2.

A partir de los datos encontramos el eje real y el eje focal

 

{\begin{array}{lcl}2a = 50-2 = 48 & \Longrightarrow & a = 24 \\\\ 2c = 50+2 = 52 & \Longrightarrow & c=26 \end{array}}

 

Encontramos el valor de {b}

 

{b = \sqrt{c^2 - a^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b = \sqrt{100} = 10}

 

La ecuación de la hipérbola es

 

{\displaystyle \frac{x^2}{576} - \frac{y^2}{100} = 1}

9Determina la posición relativa de la recta {x+y-1=0} con respecto a la hipérbola {x^2 - 2y^2 = 1}

Resolvemos el sistema de ecuacioones formado por la recta y la hipérbola

 

{\begin{array}{rcl}x+y-1&=&0 \\\\ x^2 - 2y^2 &=& 1\end{array}}

 

Se obtienen los puntos de intersección {P(3, -2)} y {P'(1, 0)}

 

Así, la recta es secante a la hipérbola

 

ejercicios de la hiperbola 7

 

10Una hipérbola equilátera pasa por el punto {\left (4, \displaystyle \frac{1}{2} \right )}. Haya su ecuación referida a sus asíntotas como ejes, y las coordenadas de los vértices y los focos.

La ecuación de la hipérbola equilátera es

 

{xy=d}

 

Sustituimos el punto por donde pasa la hipérbola

 

{4 \cdot \displaystyle\frac{1}{2}=d \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ d=2}

 

Así, la ecuación referida a sus asíntotas como ejes es

 

{xy=2}

 

Para encontrar los vértices intersectamos la recta que contiene a los vértices con la hipérbola

 

{\begin{array}{rcl} y&=&x \\\\ xy&=&2 \end{array} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=\pm \sqrt{2}, \ y=\pm \sqrt{2}}

 

Los vértices son {(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})} y {(\sqrt{2}, \sqrt{2})}

 

Sabemos que {c=a\sqrt{2}} y su ecuación asociada es {\sqrt{x^2+y^2}=2\sqrt{2}}. Para encontrar los focos intersectamos la ecuación anterior con la recta que contiene a los vértices

 

{\begin{array}{rcl} \sqrt{x^2+y^2}&=&2\qrt{2} \\\\ xy&=&2 \end{array} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=\pm 2, \ y=\pm 2}

 

Los focos son {(-2, -2)} y {(2, 2)}

 

ejercicios de la hiperbola 8

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗