Recordatorio:

Conociendo la ecuación canónica de la parábola es fácil determinar
muchos de sus elementos sin necesidad de hacer cuentas complicadas.

Ecuación canónica u ordinaria:

 

Caso 1 :  (y-k )^2= 4p(x-h)  (Abre hacia la derecha)

F(h+p,k)  D: x=h-p

 

Caso 2 :  (y-k )^2=- 4p(x-h)  (Abre hacia la izquierda)

F(h-p,k)  D: x=h+p

 

Caso 3 :  (x-h )^2= 4p(y-k)  (Abre hacia arriba)

F(h,k+p)  D: y=k-p

 

Caso 4 :  (x-h )^2=- 4p(y-k) (Abre hacia abajo)

F(h, k-p)  D: y= k+p

 

El vértice de una parábola es el punto C(h,k), cuando la parábola
tiene como vértice el origen , ocurre lo siguiente :

 

Caso 1 :  y ^2= 4px    (Abre hacia la derecha)

F(p,0)  D: x=-p

 

Caso 2 :  y ^2=- 4px  (Abre hacia la izquierda)

F(-p,0)  D: x=p

 

Caso 3 :  x^2= 4py    (Abre hacia arriba)

F(0,p)  D: y=-p

Caso 4 :  x-h ^2=- 4py (Abre hacia abajo)

F(0,-p)  D: y= p

 

Donde:

 

|4p| representa la medida del Lado Recto o LR.

p es la distancia que hay del vértice al foco y del vértice a la directriz.

F es el foco.

D es la directriz.

 

 

 

Simplifica las características de las parábolas

 

En base a la ecuación canónica de las siguientes parábolas
determina las coordenadas de sus Focos, ecuaciones de sus
Directrices, distancia de sus Lados Rectos y la Gráfica .

 

1

 

2

 

3

 

 

Calculas las ecuaciones canónicas de las siguientes parábolas

 

Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:

 

1 De directriz x = -3, de foco (3, 0).

 

2 De directriz y = 4, de vértice (0, 0).

 

3 De directriz y = -5, de foco (0, 5).

 

4 De directriz x = 2, de foco (-2, 0).

 

5 De foco (2, 0), de vértice (0, 0).

 

6 De foco (3, 2), de vértice (5, 2).

 

7 De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2).

 

8 De foco (3, 4), de vértice (1, 4).

 

 

Simplifica y obtén los calores que se indican

 

Calcular las coordenadas del vértice y de los focos, y las
ecuaciones de la directrices de las parábolas:

 

1

 

2

 

3

 

 

Parábola que pasa por 3 puntos

 

Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa
por los puntos: A(6, 1), B(-2, 3), C(16, 6).

 

 

Conociendo la directriz y un foco, encuentra la parabola

 

Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz
la recta: y= 0 y por foco el punto (2, 4).

 

 

Posición relativa de una recta en relación a una parábola

 

Calcular la posición relativa de la recta r ≡ x + y - 5 = 0
respecto a la parábola y² = 16 x.

 

 

Ejercicio 1 resuelto

 

Determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las siguientes
parábolas, indicando el valor del parámetro, las coordenadas del
foco y la ecuación de la directriz.

 

1

 

 

Parábola con vértice en el origen y abre hacia la derecha

 

 

4p=2                            p=\frac{2}{4}= \frac{1}{2}

 

 

 

2

 

 

Parábola con vértice en el origen y abre hacia la izquierda

 

 

 

4p=\frac{7}{2}                      p=\frac{\frac{7}{2}}{4}= \frac{7}{8}

 

 

 

3

 

 

Parábola con vértice en el origen y abre hacia abajo

 

 

 

4p=\frac{14}{5}                      p=\frac{\frac{14}{5}}{4}= \frac{14}{20}=\frac{7}{10}

 

 

 

Ejercicio 2 resuelto

 

Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:

 

1 De directriz x = -3, de foco (3, 0).

 

 

Parábola con vértice en el origen y abre hacia la derecha. 2

 

 

 

Como el foco vale cero en las ordenadas, entonces esta sobre el eje de
las abscisas.

 

Sabiendo que el foco para parábolas que abren hacia la derecha tiene
coordenadas(p,0) concluimos que p=3

 

Del foco y la directriz es fácil deducir que la parábola tiene como
vértice el origen.

 

Como p=3 , entonces el lado recto vale 12, pues LR = |4p|=4(3)

 

Ahora, sabemos que la ecuación de las parábolas que abren hacia la
derecha y con vértice en el origen tiene forma:

 

y^2=4px \ \ \ \rightarrow \ \ \ y^2=12x

 

 

 

 

2 De directriz y = 4, de vértice (0, 0).

 

Parábola con vértice en el origen y abre hacia abajo. 2

 

 

Como la directriz esta arriba del vértice, entonces la parábola abre
hacia abajo, y la ecuación de la directriz para estas parábolas es y=p.

 

De lo anterior deducimos que el foco se encuentra en F(0,-p), es decir,
F(0,-4) y el LR = 4(4)=16.

 

Como el vértice es (0,0) y la parábola abre hacia abajo, la ecuación es
de la forma:

 

x^2=-4py \ \ \ \rightarrow \ \ \ x^2=-16y

 

 

 

3 De directriz y = -5, de foco (0, 5).

 

Parábola con vértice en el origen y abre hacia arriba

 

 

Como la directriz esta abajo del foco, entonces la parábola abre
hacia arriba. Su ecuación es de la forma:

x^2=4py

 

La coordenada del foco es (0,p), es decir (0,5) lo que nos dice que
p=5 y entonces LR= 4p = 4(5)= 20. Sustituimos en la ecuación:

 

x^2=-4py \ \ \ \rightarrow \ \ \ x^2=20y

 

 

 

4 De directriz x = 2, de foco (-2, 0).

 

Parábola con vértice en el origen y abre hacia la izquierda. 2

 

 

Como el foco vale cero en las ordenadas, entonces esta sobre el eje de
las abscisas.

 

Como la directriz se encuentra a la derecha del foco, entonces la
parábola abre hacia la izquierda y su ecuación es de la forma:

y^2=-4px

 

El foco para parabolas que abren hacia la izquierda tiene coordenadas
F(-p,0), esto significa que p=2. Entonces el LR=|4p|=4(2)=8.

 

Sustituimos en la ecuación:

 

y^2=-4px \ \ \ \rightarrow \ \ \ y^2=-8x

 

 

 

5 De foco (2, 0), de vértice (0, 0).

 

Parábola con vértice en el origen y abre hacia la derecha. 3

 

 

Del foco obtenemos que p=2, entonces LR=8 y como el
foco esta a la derecha del vértice, entonces la parábola abre
hacia la derecha y tiene una ecuación de la forma:

y^2=4px \ \ \ \rightarrow \ \ \ y^2=8x

 

 

 

6 De foco (3, 2), de vértice (5, 2).

 

Parábola con vértice fuera del origen y abre hacia la izquierda

 

 

Ubicando el vértice y el foco, podemos notar que el foco esta a la
izquierda del vértice, lo que nos indica que la parábola abre hacia
la izquierda y su ecuación es de la forma:

(y-k)^2=-4p(x-h) \ \ \ \rightarrow \ \ \(y-2)^2=-4p(x-5)

 

Calculamos la distancia del vértice al foco y obtenemos que p=2 ,
entonces LR=8. Sustituimos en la ecuación:

(y-2)^2=-8(x-5)

 

 

7 De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2).

 

Parábola con vértice fuera del origen y abre hacia la arriba

 

 

Ubicando el vértice y el foco, podemos notar que el foco esta
arriba del vértice, lo que nos indica que la parábola abre hacia
arriba y su ecuación es de la forma:

(x-h)^2=4p(y-k) \ \ \ \rightarrow \ \ \(x+2)^2=4p(y-2)

 

Calculamos la distancia del vértice al foco y obtenemos que p=3 ,
entonces LR=12. Sustituimos en la ecuación:

(x+2)^2=12(y-2)

 

 

 

8 De foco (3, 4), de vértice (1, 4).

 

Parábola con vértice fuera del origen y abre hacia la derecha

 

 

Ubicando el vértice y el foco, podemos notar que el foco esta
a la derecha  del vértice, lo que nos indica que la parábola abre
hacia la derecha y su ecuación es de la forma:

(y-k)^2=4p(x-h) \ \ \ \rightarrow \ \ \(y-4 )^2=4p(x- 1)

 

Calculamos la distancia del vértice al foco y obtenemos que p=2 ,
entonces LR=8. Sustituimos en la ecuación:

(y-4 )^2=8(x- 1)

 

 

Ejercicio 3 resuelto

 

Calcular las coordenadas del vértice y de los focos, y las ecuaciones
de la directrices de las parábolas:

 

1

 

Parábola con vértice fuera del origen y abre hacia la derecha

 

 

 

 

 

4p=8                                                       p=2

 

 

 

 

2

 

Parábola con vértice fuera del origen y abre hacia arriba

 

 

 

 

4p= \frac{12}{2} = 6                                   p=frac{3}{2}

 

 

 

 

3

 

Parábola con vértice fuera del origen y abre hacia  arriba

 

 

 

 

4p=1                                           p=\frac{1}{4}

 

 

 

 

Ejercicio 4 resuelto

 

Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los
puntos: A(6, 1), B(-2, 3), C(16, 6).

 

 

 

 

 

 

Ejercicio 5 resuelto

 

Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la
recta: y= 0 y por foco el punto (2, 4).

 

 

 

 

 

 

Ejercicio 6 resuelto

 

Calcular la posición relativa de la recta r ≡ x + y - 5 = 0 respecto a
la parábola y² = 16 x.

 

Posición relativa de la recta

 

 

 

 

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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