Name: Ejercicios sobre parabolas
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Marta

1 marzo 2020

Temas

Repaso
Encuentra elementos de la parábola
Calcula la ecuación de la parábola dados un par de elementos
Parábola que pasa por 3 puntos
Posición relativa de una recta y parábola

Repaso

A partir de la ecuación canónica de la parábola es fácil determinar muchos de sus elementos sin necesidad de hacer cuentas complicadas. De la misma manera, dados algunos de elementos de una parábola, podemos encontrar su ecuación.

A continuación presentamos un resumen de lo más importante que necesitas saber sobre las parábolas.

Ecuación canónica u ordinaria:

1 $(y-k )^2= 4p(x-h)$

Abre hacia la derecha
Foco $F(h+p,k)$
Directriz $x=h-p$

2 $(y-k )^2=- 4p(x-h)$

Abre hacia la izquierda
Foco $F(h-p,k)$
Directriz $x=h+p$

3 $(x-h )^2= 4p(y-k)$

Abre hacia arriba
Foco $F(h,k+p)$
Directriz $y=k-p$

4 $(x-h )^2=- 4p(y-k)$

Abre hacia abajo
Foco $F(h, k-p)$
Directriz $y= k+p$

El vértice de la parábola es el punto $V(h,k)$ .

Cuando la parábola tiene como vértice el origen , ocurre lo siguiente con su ecuación:

1 $y^2= 4px$

Abre hacia la derecha
Foco $F(p,0)$
Directriz $x=-p$

2 $y ^2=- 4px$

Abre hacia la izquierda
Foco $F(-p,0)$
Directriz $x=p$

3 $x^2= 4py$

Abre hacia arriba
Foco $F(0,p)$
Directriz $y=-p$

4 $x^2=- 4py$

Abre hacia abajo
Foco $F(0,-p)$
Directriz $y= p$

$4p$ representa la medida del lado recto o LR.
$p$ es la distancia que hay del vértice al foco y del vértice a la directriz.

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Encuentra elementos de la parábola

1 En base a la ecuación de las siguientes parábolas determina las coordenadas de sus focos, ecuaciones de sus directrices, distancia de sus lados rectos y la gráfica.

$6y^2-12x=0$
$2y^2=-7x$
$15x^2=-42y$

La forma de proceder será determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las parábolas, indicando el valor del parámetro $p$ , y con ello las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz.

1 $6y^2-12x=0$

Despejamos el término cuadrático

$6y^2=12x \hspace{2cm} y^2=2x$

Identificamos el valor de p

$\displaystyle 4p=2 \hspace{2cm} p=\frac{2}{4}= \frac{1}{2}$

Localizamos el foco y encontramos la ecuación de la directriz

$\displaystyle \text{Foco} \ \ \rightarrow \ \ \text{F}\left( \frac{1}{2}, 0 \right)$

$\displaystyle \text{Directriz} \ \ \rightarrow \ \ x=-\frac{1}{2}$

Finalmente graficamos usando los datos obtenidos

2 $2y^2=-7x$

Despejamos el término cuadrático

$\displaystyle 2y^2=-7x \hspace{2cm} y^2=-\frac{7}{2}x$

Identificamos el valor de p

$\displaystyle 4p=\frac{7}{2} \hspace{2cm} p=\frac{\frac{7}{2}}{4}= \frac{7}{8}$

Localizamos el foco y encontramos la ecuación de la directriz

$\displaystyle \text{Foco} \ \ \rightarrow \ \ \text{F}\left( - \frac{7}{8}, 0 \right)$

$\displaystyle \text{Directriz} \ \ \rightarrow \ \ x=\frac{7}{8}$

Finalmente graficamos usando los datos obtenidos

3 $15x^2=-42y$

Despejamos el término cuadrático

$\displaystyle 15x^2=-42y \hspace{2cm} x^2=-\frac{14}{5}y$

Identificamos el valor de p

$\displaystyle 4p=-\frac{14}{5} \hspace{2cm} p= - \frac{\frac{14}{5}}{4}= -\frac{14}{20}=-\frac{7}{10}$

Localizamos el foco y encontramos la ecuación de la directriz

$\displaystyle \text{Foco} \ \ \rightarrow \ \ \text{F}\left( 0,- \frac{7}{10} \right)$

$\displaystyle \text{Directriz} \ \ \rightarrow \ \ y=\frac{7}{10}$

Finalmente graficamos usando los datos obtenidos

2 Calcular las coordenadas del vértice y del foco, y la ecuación de la directriz de cada parábola:

$y^2-6y-8x+17=0$
$x^2-2x-6y-5=0$
$y=x^2-6x+11$

La forma de proceder nuevamente será determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las parábolas, indicando el valor del parámetro $p$ , y con ello las coordenadas del foco y del vértice.

1 $y^2-6y-8x+17=0$

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto y lo despejamos

$(y^2-6y+9)-9-8x+17=0$

$(y^2-6y+9)=8x-8$

Factorizamos

$(y-3)^2=8(x-1)$

Con la ecuación identificamos sus elementos

$\text{V\'ertice} \ \ \rightarrow \ \ V(1,3)$

$\text{Par\'ametro} \ \ \rightarrow \ \ 4p=8\hspace{1cm} p=2$

Con el vértice y el valor del parámetro $p$ , localizamos el foco y la directriz

$\text{Foco} \ \ \rightarrow \ \ F(1+2,3) \hspace{1cm} F(3,3)$

$\text{Directriz} \ \ \rightarrow \ \ x=1-2 \hspace{1cm} x=-1$

Finalmente ubicamos en la gráfica

2 $x^2-2x-6y-5=0$

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto y lo despejamos

$(x^2-2x+1)-1-6y-5=0$

$(x^2-2x+1)=6y-6$

Factorizamos

$(x-1)^2=6(y+1)$

Con la ecuación identificamos sus elementos

$\text{V\'ertice} \ \ \rightarrow \ \ V(1,-1)$

$\displaystyle \text{Par\'ametro} \ \ \rightarrow \ \ 4p= \frac{12}{2} = 6 \hspace{1cm} p=\frac{3}{2}$

Con el vértice y el valor del parámetro $p$ , localizamos el foco y la directriz

$\displaystyle \text{Foco} \ \ \rightarrow \ \ F\left(1,-1+\frac{3}{2}\right) \hspace{1cm} F\left(1,\frac{1}{2}\right)$

$\displaystyle \text{Directriz} \ \ \rightarrow \ \ y=-1-\frac{3}{2} \hspace{1cm} y=-\frac{5}{2}$

Finalmente ubicamos en la gráfica

3 $y=x^2-6x+11$

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto y lo despejamos

$y=(x^2-6x+9)-9+11$

$(x^2-6x+9)=y-2$

Factorizamos

$(x-3)^2=1\cdot (y-2)$

Con la ecuación identificamos sus elementos

$\text{V\'ertice} \ \ \rightarrow \ \ V(3,2)$

$\displaystyle \text{Par\'ametro} \ \ \rightarrow \ \ 4p=1 \hspace{1cm} p=\frac{1}{4}$

Con el vértice y el valor del parámetro $p$ , localizamos el foco y la directriz

$\displaystyle \text{Foco} \ \ \rightarrow \ \ F\left( 3, 2+\frac{1}{4}\right) \hspace{1cm} F\left(3,\frac{9}{4}\right)$

$\displaystyle \text{Directriz} \ \ \rightarrow \ \ y=2-\frac{1}{4} \hspace{1cm} y=\frac{7}{4}$

Finalmente ubicamos en la gráfica

Calcula la ecuación de la parábola dados un par de elementos

3 Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:

De directriz $x = -3$ , de foco $(3, 0)$ .
De directriz $y = -5$ , de foco $(0, 5)$ .
De directriz $x = 2$ , de foco $(-2, 0)$ .
De directriz $y = 4$ , de vértice $(0, 0)$ .

1 De directriz $x = -3$ , de foco $(3, 0)$ .

Al localizar la directriz y el foco es fácil deducir que la parábola abre hacia la derecha y su vértice es el origen.

Sabiendo que el foco para estas parábolas tiene coordenadas $(p,0)$ , concluimos que

$p=3$ .

La ecuación es

$y^2=4px \ \ \ \rightarrow \ \ \ y^2=12x$

2 De directriz y = -5, de foco (0, 5).

Al localizar la directriz y el foco es fácil deducir que la parábola abre hacia arriba y su vértice es el origen.

Sabiendo que el foco para estas parábolas tiene coordenadas $(p,0)=(5,0)$ , concluimos que

$p=5$ .

Sustituimos en la ecuación:

$x^2=4py \ \ \ \rightarrow \ \ \ x^2=20y$

encontrar foco y directriz de una parabola representación gráfica

3 De directriz $x = 2$ , de foco $(-2, 0)$ .

Al localizar la directriz y el foco es fácil deducir que la parábola abre hacia la izquierda y su vértice es el origen.

El foco para parabolas que abren hacia la izquierda tiene coordenadas $\text{F}(-p,0)$ , esto significa que

$p=2$

Sustituimos en la ecuación:

$y^2=-4px \ \ \ \rightarrow \ \ \ y^2=-8x$

4 De directriz $y = 4$ , de vértice $(0, 0)$ .

Al localizar la directriz y el vértice es fácil deducir que la parábola abre hacia abajo y su vértice es el origen.

Para estas parábolas la ecuación de la directriz es $y=p$ . Entonces

$p=4$

La ecuación es de la forma:

$x^2=-4py \ \ \ \rightarrow \ \ \ x^2=-16y$

4 Determina las ecuaciones de las parábolas dado el foco y el vértice.

De foco $(2, 0)$ , de vértice $(0, 0)$ .
De foco $(3, 2)$ , de vértice $(5, 2)$ .
De foco $(-2, 5)$ , de vértice $(-2, 2)$ .
De foco $(3, 4)$ , de vértice $(1, 4)$ .

1 De foco $(2, 0)$ , de vértice $(0, 0)$ .

Al localizar el foco y el vértice es fácil deducir que la parábola abre hacia la derecha y su vértice es el origen. Por lo que su ecuación es de la forma

$y^2=4px$

Recordemos que para estas parábolas, el foco se encuentra en $F(p,0)$ , por lo tanto

$p=2$

Finalmente la parábola tiene una ecuación de la forma:

$y^2=4px \ \ \ \rightarrow \ \ \ y^2=8x$

2 De foco (3, 2), de vértice (5, 2).

Ubicando el vértice y el foco, podemos notar que el foco esta a la izquierda del vértice, lo que nos indica que la parábola abre hacia la izquierda y su ecuación es de la forma:

$(y-k)^2=-4p(x-h) \ \ \ \rightarrow \ \ \ (y-2)^2=-4p(x-5)$

Calculamos la distancia del vértice al foco y obtenemos que

$p=2$

Sustituimos en la ecuación:

$(y-2)^2=-8(x-5)$

3 De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2).

Ubicando el vértice y el foco, podemos notar que el foco esta arriba del vértice, lo que nos indica que la parábola abre hacia arriba y su ecuación es de la forma:

$(x-h)^2=4p(y-k) \ \ \ \rightarrow \ \ \ (x+2)^2=4p(y-2)$

Calculamos la distancia del vértice al foco y obtenemos que

$p=3$

Sustituimos en la ecuación:

$(x+2)^2=12(y-2)$

4 De foco (3, 4), de vértice (1, 4).

Ubicando el vértice y el foco, podemos notar que el foco esta a la derecha del vértice, lo que nos indica que la parábola abre hacia la derecha y su ecuación es de la forma:

$(y-k)^2=4p(x-h) \ \ \ \rightarrow \ \ \ (y-4 )^2=4p(x- 1)$

Calculamos la distancia del vértice al foco y obtenemos que

$p=2$

Sustituimos en la ecuación:

$(y-4 )^2=8(x- 1)$

5 Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: $y= 0$ y por foco el punto $(2, 4)$ .

Sabemos que la distancia entre el vértice y el foco es igual a la distancia entre el vértice y la directriz.

$\displaystyle d(P,F)=d(P,d)$

La distancia de una recta $r: Ax+By+C=0$ a un punto $P=(x_1,y_1)$ está dado por

$\displaystyle d(P, r)= \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Así que, si consideramos al vértice que no conocemos como el punto $P=(x,y)$ , la primera ecuación es equivalente a

$\displaystyle \sqrt{(x-2)^2+(y-4)^2}=\frac{y}{\sqrt{0^2+1^2}}$

$\displaystyle \sqrt{(x-2)^2+(y-4)^2}=y$

Elevamos al cuadrado para eliminar la raíz del lado izquierdo y desarrollamos

$\displaystyle (x-2)^2+(y-4)^2=y^2$

$\displaystyle (x-2)^2+y^2-8y+16=y^2$

Despejamos, dejando las variable $y$ de un lado, y las $x$ de otro

$\displaystyle (x-2)^2=y^2-y^2+8y-16$

Factorizamos

$\displaystyle (x-2)^2=8(y-2)$

Parábola que pasa por 3 puntos

6 Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los puntos:

$A(6, 1), \ B(-2, 3), \ C(16, 6)$

La ecuación de una parábola vertical es de la forma

$\displaystyle y=ax^2+bx+c$

Como los puntos A, B y C pasan por la parábola, sus coordenadas satisfacen su ecuación

$\displaystyle \left\{\begin{matrix} 1=a\cdot (6)^2 + b\cdot 6 +c\\ 3=a\cdot (-2)^2 +b\cdot (-2)+c\\ 6=a\cdot (16)^2 + b \cdot 16 +c\end{matrix}\right.\hspace{2cm} \left\{\begin{matrix} 1=36a + 6b +c\\ 3=4a -2b+c\\ 6=256a + 16b +c\end{matrix}\right.$

Resolvemos el sistema de ecuaciones y obtenemos que

$\displaystyle a=\frac{1}{24} \hspace{2cm} b=-\frac{10}{24} \hspace{2cm} c=2$

Y así la ecuación de la parábola es

$\displaystyle y=\frac{1}{24}x^2-\frac{10}{24}x+2$

Posición relativa de una recta y parábola

7 Calcular la posición relativa de la recta $r \equiv x + y - 5 = 0$
respecto a la parábola $y^2 = 16 x$ .

Para calcula la posición relativa entre ambos objetos necesitamos ver si existen puntos de intersección. Las coordenadas de dichos puntos deberían satisfacer ambas ecuaciones.

$\displaystyle \left\{\begin{matrix} y^2=16x\\ y=5-x \end{matrix}\right.$

Para resolver el sistema, podemos elevar al cuadrado la segunda ecuación e igualar $y^2$ de ambas ecuaciones.

$\displaystyle (5-x)^2=16x$

Desarrollamos

$\displaystyle x^2-26x+25=0$

Resolvemos la cuadrática vía la fórmula general.

$\displaystyle x_1=25 \hspace{2cm} x_2=1$

Ya tenemos las coordenadas $x$ , para obtener las coordenadas $y$ sustituimos en una de las ecuaciones, en este caso la más sencilla es

$y=5-x$

Entonces

$y_1=-20 \hspace{2cm} y_2=4$

Y así, los puntos de intersección son:

$\displaystyle A(25,-20) \hspace{2cm} B(1,4)$

Por lo que la recta es secante a la parábola

Recuerda que también puedes encontrar clases de matematicas si necesitas una ayuda complementaria.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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olivera

Mayo

Una parábola pasa por los puntos (4;2), (-2;2), y su foco está en (1;-2). Hallar su
vértice, su directriz y su ecuación.

Juan Manuel Sanchez Perez

Septiembre

Para responder a esta pregunta primero debemos averiguar qué tipo de ecuación usaremos (así como la orientación de la parábola). Tenemos dos puntos que están en la parábola y tenemos su foco. Esto sugiere que no podemos utilizar una forma general como $ax^2 + by + cx = 1$ ya que es difícil utilizar la información del foco en este caso.

Sin embargo, si utilizamos la forma «canónica» u «ordinaria», dada por $(x - x_0)^2 = 2p(y - y_0)$ o $(y - y_0)^2 = 2p(x - x_0)$ es más fácil (debemos escoger una de las dos ecuaciones, dependiendo el sentido de la directriz). Ahí debemos notar que $(x_0, y_0)$ es el vértice de la parábola; por lo tanto, al resolver el problema encontraremos inmediatamente al vértice. Asimismo, $p$ es la distancia entre el foco y la directriz.

Ahora, para determinar el sentido de la parábola, observemos que los dos puntos que no son el foco están sobre la recta $y = 2$ , lo cual sugiere una parábola cuya directriz es paralela al eje-x. Por lo tanto, la ecuación tendrá la forma $(x - x_0)^2 = 2p(y - y_0)$ .

Así, sustituimos los primeros dos puntos en la ecuación:

$(4 - x_0)^2 = 2p(2 - y_0)$
$(-2 -x_0)^2 = 2p(2 - y_0)$

Por último, sabemos que la distancia entre el foco y la directriz es $p$ , por lo que la distancia entre el foco y la directriz será $p/2$ . Así:

$\sqrt{(1 - x_0)^2 + (-2 - y_0)^2} = p/2$

Que, al elevar al cuadrado, resulta:

$(1 - x_0)^2 + (2 + y_0)^2 = p^2/4$

Resolvemos el sistema de ecuaciones no lineal (por cualquier método que desees, por ejemplo, sustitución). El sistema tiene 4 soluciones (esto quiere decir que existen 4 parábolas diferentes que pasan por esos puntos y tienen su foco ahí). Las soluciones son:

$p = -9; x = 1; y = 5/2$

$p = 1; x = 1; y = -5/2$

$p = 4 - \sqrt{7}; x = 1; y = -\frac{\sqrt{7}}{2}$

$p = 4 + \sqrt{7}; x = 1; y = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Notemos que p no necesariamente es positivo. Puesto que un p negativo significa que la parábola es cóncava hacia abajo. Utilizando la primera solución obtienes que el vértice es $(1, 5/2)$ , la directriz es la recta $y = 7$ (se calcula con $y = -2 + 9$ ya que el foco tiene coordenada y = -2). Por último, la ecuación de la parábola sería

$(x - 1)^2 = -18(y - 5/2)$

Esa es una de las respuestas. Puedes sustituir los valores de las otras soluciones para obtener otros resultados.

Si tienes más dudas, comenta y con gusto te ayudamos.

Ingrid Mariana Cárdenas Vega

Diciembre

Hola necesito ayuda…. obtener la ecuación de la parabola con los extremos del lado recto (-1,5) y (-1,-1) y que abre a la izquierda

Any

Abril

Encuentra el foco y la directriz de las siguientes parábolas.
4. x2=−2y
5. y2=14x
6. y2=−5x
Porfavor que me ayude gracias

Usca

Junio

hola buenas tardes quiero que me ayude a resolver o me lo haga un trabajo de matematica ll me habla al whashappt

Superprof

Junio

Hola, te aconsejamos contactar con uno de nuestros profesores a través nuestra plataforma. ¡Un saludo!

Rojas

Junio

hola, tenia una sugerencia, de en la ecuación para sacar la ecuacón de directriz, pongan cuando es menos como: k- (valor absoluto de p), por que si el parámetro es negativo, se cambia el signo, y nos da el foco interior.

Gaspar Leon

Junio

Hola,
gracias por tu sugerencia. En este artículo p es considerado como distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz por lo que siempre es positivo.
Un saludo

García Bueno

Junio

V(0,0),p=5

Gaspar Leon

Julio

Hola,

te faltó indicar hacia donde abre la parábola. Como el vértice se encuentra en el origen entonces se tienen cuatro posibilidades para la parábola:
1. x² = 4py, si abre hacia arriba.
2. x² = -4py, si abre hacia abajo.
3. y² = 4px, si abre hacia la derecha.
4. y² = -4px, si abre hacia la izquierda.
Como p=5, basta sustituir en la fórmula adecuada.
1. x² = 20y, si abre hacia arriba.
2. x² = -20y, si abre hacia abajo.
3. y² = 20x, si abre hacia la derecha.
4. y² = -20x, si abre hacia la izquierda.

Un saludo

salinas

Junio

ejercicios de parabolas
porfavor

Christopher duran

Junio

Necesito que me ayuden con un tema de un trabajo de matemática sobre una función cuadratica

Superprof

Julio

Hola Christopher, escríbenos el enunciado del problema y te contestaremos lo más rápido posible. ¡Un saludo!

Oneida vanessa chavez reynaga

Diciembre

Cual es la determinación de (-1,4) y de (-1,9)

Patricia Valverde

Septiembre

Hola buenas tardes, necesito su ayuda porfabor :'(
Este es: Escribe la ecuación de la parábola con foco en (9,0), y directriz en y= -4, realiza la gráfica correspondiente.

Luis Ernesto Sanchez Perez

Septiembre

Buen día.

Te ayudo. Analicemos los datos que tenemos.

* La directriz tiene ecuación $y = -4$ .

Recordemos que la directriz es perpendicular al eje de simetría, por lo tanto, tenemos que el eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas (eje y).

*El foco está dado por $F(9,0)$ .

Observación. Dado que el eje de simetría es paralelo al eje y, la ecuación de este eje lo determina la primer coordenada del foco, así, si el foco está dado por $F(x_0, y_0)$ , el eje de simetría está dado por $x = x_0$ , en nuestro caso, el eje de simetría está dado por $x = 9$ .

Dada la directriz y el foco, tenemos que nuestra parábola «abre» en dirección de la directriz hacia el foco, en este caso, el foco está «arriba» de la directriz, por lo tanto, nuestra parábola abre hacia arriba.

Ahora, el vértice está entre el foco y la directriz, exactamente en el medio, por lo tanto, hay que calcular el punto medio entre $-4$ y $0$ . Este punto es $-2$ y es la segunda coordenada del vértice. La primer coordenada es la misma que la del foco, esto debido a que la parábola abre hacia arriba. Así, el vértice está dado por $V(9, -2)$ . Por último, la ecuación canónica de una parábola con vértice (h,k) y que abre hacia arriba está dada por

$4p(y - k) = (x - h)^2$

en donde $p$ es la distancia entre el vértice y foco. Notemos que la distancia es $d(V,F) = 2$ . Por lo tanto, nuestra ecuación es

$8(y + 2) = (x - 9)^2$

La gráfica te la dejo a ti, solo toma unos cuantos puntos y únelos.

Saludos

ruben

Febrero

Hallar la ecuación general de la parábola conociendo que su vértice tiene coordenadas (-3,-2) y
una directriz paralela al eje de las abscisas, ésta se separa del vértice en dos puntos en sentido
negativo.

Jean Carlos

Abril

Hola, necesito ayuda a con esto: halla la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto F ( 0, – 4 / 3) y su directriz es la recta y – 4 /3 =0.

Por favor!!

Jay

Julio

Resolver _2×elevado 2 +4×+4=0

Juan Manuel Sanchez Perez

Agosto

¡Hola, Jay!

Con gusto te ayudamos. Tienes la ecuación $2x^2 + 4x + 4 = 0$ . La manera más metódica para resolver este tipo de ecuaciones es por medio de la fórmula general. Si la utilizamos resulta:

$\begin{align*} x & = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(2)(4)} }{2(2)}\\ & = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 32}}{4}\\ & = \frac{-4 \pm \sqrt{-16}}{4}\\ & = \frac{-4 \pm i\sqrt{16}}{4}\\ & = \frac{4 \pm i4}{4}\\ & = \frac{4}{4} \pm i\frac{4}{4}\\ & = 1 \pm i \end{align*}$

De este modo, tus raíces son $x_1 = 1 + i$ y $x_2 = 1 - i$ . Si tienes más dudas sobre el manejo de los números complejos y las raíces de números negativos, puedes consultar nuestro artículo sobre los números imaginarios. Asimismo, cualquier otra duda que tengas, coméntala y con gusto te ayudamos.

¡Un saludo!

felix

Agosto

la gráfica de f pasa por los puntos (–2, 3), (0, –3) y (1, 0).

Superprof

Septiembre

Hola Felix, ¿cuál es tu pregunta?

Parabola

Septiembre

foco (4,-1) ;eje x=4 ; pasa por el punto (8,2)

Jahdai

Septiembre

Hola me podrian ayudar con este ejercicio
1. Dada la ecuación de la parábola halla las coordenadas del foco, directriz, lados rectos y grafica
4y2 + 16y = 0
Gracias

Jose Eduardo Silva Arellano

Septiembre

Una pregunta Jahdai las dos variables de la ecuación de tu parábola son $y$ alguna no es x?

Luis Aguilar Güere

Septiembre

Bien, felicitaciones por poner al servicio de los amantes de la matemática todo su empeño y esmero por enseñar. Éxitos.

Superprof

Septiembre

¡Muchas gracias por el comentario Luis! <3

cielo

Septiembre

Buenas Tardes quiero que me ayuden con este problema.
Determina la ecuacion de la recta en su forma general de la siguiente parabola f(3,4) V(3,2)

Luis Ernesto Sanchez Perez

Septiembre

Buen día.

Supongo que te refieres a la ecuación general de la parábola con foco $F(3,4)$ y vértice $V(3,2)$ ya que no existe ninguna recta que sea parábola. Obtengamos la ecuación. Yo te ayudaré a obtenerla en forma canónica y tu solo te encargarás de pasarla a la forma general.

Primero, notemos que el foco está dos posiciones arriba del vértice, esto nos dice que la parábola abre hacia arriba. Ahora, la fórmula canónica de una parábola que abre hacia arriba es

$4p(y - k) = (x - h)^2$

cuyo vértice es $V(h,k)$ y $p$ es la distancia entre el foco y el vértice. Calculemos $p$

$p = d(F,V) = 2$

así, nuestra ecuación canónica es

$8(y - 2) = (x - 3)^2$

la fórma genera de una parábola es de la forma

$x^2 + Dx + Ey + F = 0$

solo desarrolla la ecuación canónica y déjala en esta forma.

Saludos

Alejandra Tullume

Septiembre

Graficar la parábola con vértice:V(0;-1) y foco :F(0;1).Determina la ecuación ordinaria y general de la parábola

Jose Gabriel Rosales Castañeda

Octubre

Hola Alejandra.

Ya que la parábola tiene vértice en $(o,-1)$ y foco en $(0,1)$ , se trata de un parábola vertical que abre arriba la derecha, por lo tanto la ecuación ordinaria de la parábola está dada por $(x-h)^2=4p(y-k)$ , donde $p$ es la distancia del vértice al foco y $(h,k)=V(0,-1)$ , entonces sustituyendo los valor de $h=0$ , $k=-1$ y $p=2$ tenemos:

$(x-(0))^2=4(2)(y-(-1)) \Rightarrow x^2=8(y+1)$

Ahora para encontrar la ecuación general de la parábola igualamos la ecuación ordinaria a cero:

$x^2=8(y+1) \Rightarrow x^{2}=8y+8 \Rightarrow x^{2}-8y-8=0$

Te dejo se ejercicio graficar la parábola.
Saludos.

Briyith

Septiembre

Dada la ecuación de la parábola y2+4x=0, determina el vértice, el foco, la directriz y grafica la parábola.

Johana

Septiembre

Determina la ecuación ordinaria, general y la
gráfica de la parábola, de acuerdo a los siguientes
datos.
*Directriz: y = 1 ; Foco(-3;7)
*Foco(1;3); vértice (-2;3)

Johana

Septiembre

Ayudenme plis!!

Dada la ecuación general de la parábola, encontrar:
*Las coordenadas del vértice.
*Las coordenadas del foco.
*La ecuación de la directriz.
*Trazar la gráfica.
Y(elevado a la 2) – 8x + 6y + 25 = 0

DANNA

Septiembre

No entiendo este problema, me ayudan??
Halla la ecuación general de una parábola si su vértice es V (-3;5) y la longitud de su ldo
recto es 32 y se abre hacia la izquierda. (Realiza la gráfica)

Yineth Mamani Copa

Septiembre

Hola podrían ayudarme con este ejercicio por favor.
Hallar la ecuación y todos sus elementos de la parábola si el F(-4;0). V(0;0) y graficar.

Luis Ernesto Sanchez Perez

Octubre

Buen día.

Yo te ayudaré a obtener la ecuación y la directriz. Ya con el foco y el vértice tú puedes obtener de forma sencilla el lado recto, el eje de simetría, la gráfica, etc.

Primero, notemos que el foco está cuatro posiciones a la izquierda del vértice, esto nos dice que la parábola abrirá a la izquierda. Por lo tanto, la ecuación de una parábola que abre a la izquierda tiene la forma

$(y - k)^2 = -4p(x - h)$

en donde $(h, k)$ es el vértice y $p$ es la distancia entre el vértice y el foco. Es claro que la distancia entre el foco y el vértice es

$d(V,F) = |-4 - 0| = |-4| = 4$ ,

por lo tanto $p = 4$ . Así, nuestra ecuación canónica de la parábola estaría dada por

$(y - 0) = -4(4)(x - 0) \quad \Rightarrow \quad y = -16x^2$ .

El eje de simetría es el eje de las abscisas, cuya ecuación es $y = 0$ . Ahora, la directriz es perpendicular al eje de simetría, por lo tanto, tiene una ecuación de la forma $x = a$ . Para encontrar el valor de $a$ haremos lo siguiente, sabemos que la directriz está a la misma distancia del vértice que el foco del vértice, sim embargo, se encuentre en la dirección opuesta. Dado que el foco está a $4$ unidades a la izquierda del vértice, la directriz está a $4$ unidades a la derecha. Además, el vértice está en el origen, por lo tanto, al movernos $4$ unidades, estaríamos sobre el punto $(4, 0)$ , y como este punto pertenece a la directriz, la ecuación de la directriz es

$x = 4$ .

Lo demás te toca a ti resolverlo.

Saludos

Saray

Septiembre

Determine las coordenadas del foco y la ecuacion de la directriz para cada una de las siguientes parabolas:

1. X²= ¼ y 2. Y= ½ x² 3. Y²= 2x

Karoll

Septiembre

La ecuación general de la parábola sabiendo que esta tiene V(1,-1) y F(1,-3) es

Kassandra

Septiembre

Escribe la ecuación de la párabola con foco en (-2;5) y directriz en y = 3

breyc

Septiembre

Parábola que abre hacia la izquierda y p vale 3, ubicar la directriz, el vértice en el punto 0,0.

Miguel

Septiembre

Hallar la ecuación de la parábola sabiendo que su eje es paralelo al eje X, su vértice es el punto V(2,3), y además, el punto R(1,1) pertenece a la parábola.

Estefany

Octubre

a) 𝐹 = (0,6)𝑦 𝑙𝐷 ∶ 𝑦 = 0
b) 𝐹 = (−2,3),𝑅 = (−2,2) 𝑦 𝐿 = (−2,4).
c) 𝐹 = (4,3) 𝑦 𝑙𝐷: 𝑦 + 1 = 0.
d) 𝑉 = (0,0), 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑃 = (2,4) 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑦 𝐸𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙.
e)𝐹 = (−1,3),𝐸𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑦 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑃 = (3,6)𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎

yuliana

Octubre

encontrar la ecuacion de la parabola: con vertice V= (-3,4) y foco F= (-5,4) Y TRAZAR la grafica, me podrian ayudar

Superprof

Octubre

Hola Yuliana, ¿has intentado la resolución por tu propia cuenta? Escríbenos los pasos que has conseguido y corregiremos el ejercicio para que puedas averiguar la solución. ¡Un saludo!

merle patricia aguirre lopez

Octubre

determinar la ecuacion ordinaria de cada una de las siguientes parabolas con vertice de origen a partir de los siguientes datos
1)la parabola pasa por el punto de interseccion de las rectas 3x+y=6 y la recta 2x-5y=10su foco se localiza en el eje de las x.
2)su foco es (-3,0)
3)uno de los puntos que satisface la ecuacion de la árabola es (-4,6)

me pueden ayudar a resolver

Daniel

Octubre

x-7 y^(2)=0

Ale

Octubre

Hola, necesito ayuda para un trabajo y quería ejemplos resueltos del uso de la parábola en la financia ;;

Yeison barrios

Octubre

Ayuda por favor: Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (3,4) y cuyo foco es (3,2). Hallar también la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto

jass

Octubre

F (0-3)
D Y-4=0
ayuda por favor solo tengo esos dos datos y me complico en la gráfica gracias de antemano ! =)

PAOLA

Octubre

vertice V (-3,4) y foco en f (-5,4)

emilia

Octubre

Se arroja una pelota desde un puente. La altura y (en m) alcanzada por la pelota en función del tiempo x (en segundos) responde a la fórmula y = -4,9x’2 + 14,7’2 + 19,6 entonces:
a. el puente tiene una altura de 14,7 m.
b. la máxima altura alcanzada por la pelota es aproximadamente 30,63 m.
c. a los 2 segundos de haber sido lanzada, la pelota alcanza la altura máxima.
d. la pelota tarda 19,6 segundos en tocar el suelo.

Sandra

Noviembre

Ayuda

Sergio Diaz

Noviembre

Encontrar los elementos de la parábola cuya ecuación canónica es:

(y – 2)^2 = -10(x + 1)

pili

Noviembre

Dada la siguiente ecuación obtenga la ecuación canónica de la Parábola, de
sus elementos y grafique:
4𝑥² − 20𝑥 − 24𝑦 + 97 = 0

Areli

Noviembre

Encontrar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de
la directriz y la gráfica si nos proporcionan V(3,-4) y P=2 y la parábola abre hacia
abajo.

Sebastian

Noviembre

Necesito ayar la ecuación de cada parábola a partir de cada una de estas condiciones v (0,0) y f (6,0)

Ani

Noviembre

AYUDA PORFAVOR traza en el cuaderno la parábola que tiene las siguientes características: vértice (-3, -4 ), ecuación del eje de simetría x=-3, es cóncava hacia arriba, corta al eje y en el punto (0,5) y corta al eje x en los puntos (-1, 0) y (-5,0)

Mayra Salazar

Noviembre

Buenos díass alguien me podria ayudar con lo siguiente:
determine la siguiente parabola
vertice:(3,1)
foco:(3,3)
p:
directriz:

mary jose

Noviembre

Escribe en su forma general la ecuación de la parábola (y + 3)2 = −8(x−1).

karla

Noviembre

Calcular todos los elementos de la parábola dada y obtén la ecuación general
1.-(Y-3)2=8(x-1)

Antonio

Noviembre

Grafica y determina las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz, la
longitud de lado recto y la ecuación del eje de la siguiente parábola:
𝑥
2 + 6𝑦 = 0

Mariana

Diciembre

Hola necesito ayuda, por favor
Halla la ecuación de la parábola con vértice en el origen y grafica
a) Foco en el punto (6, 0)
b) Foco en el punto (0, -9)
c) Directriz y + 10 = 0

Lucia

Diciembre

la ecuación de la directriz de una parabola es de y-3=0 y su foco se localiza en (-3,0)

Angel

Diciembre

Sabiendo que las siguientes parábolas tienen vértice V (x,h) determina todos sus elementos y esboza sus respectivas gráficas. Sube las imágenes de los procedimientos, la gráfica y los elementos que se solicitan. V( -3, 1) F (1,1) *

esteban

Diciembre

resolver una parabola con los siguientes datos dados como dato el vertice y la distancia de la vertice al foco

v(-3,-5) p=5

Camilo

Diciembre

En algunos puntos hizo mal la transposición de términos.

Ars

Diciembre

y²= -10x

Lizbeth

Diciembre

obten la ecuacion de la parabola con foco en el punto F(2,-2) y directriz la recta x= -2

Ángel alexis

Diciembre

La ecuación general de la parábola que tiene vértice en V(-3,-4) y foco en F(-1,-4)

Everardo

Diciembre

Determinar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz, su lado recto y trazar la gráfica correspondiente para la ecuación de la parábola
X2 = 20y.

Victoria

Diciembre

Me mandaron a encontrar la fórmula de la circunferencia con origen diferente al 0,0 en el plano cartesiano y realiza un ejercicio con eso,ayuda porfavor ):

joel

Diciembre

me gustaria aprender mucho sobre esta materia

Bere

Enero

Elaborar dos ejercicios para desarrollar grafica y ecuación ordinaria (canónica) de la parábola.

Selene

Enero

3. Determina la ecuación de la parábola y el lado recto con vértice en el origen y foco en el punto F(3 , 0). Traza su gráfica

Karen

Enero

.Obtener la ecuacion de la circunferencia cuyo centro es el punto (-4,-1) y que es tangente a la recta 3x+2y-12=0

Cortez Pacheco, Gianella

Enero

Podrian ayudarme con este ejercicio?

-Hallar la ecuación de la parábola, si: V (2;4) y F (-3;4)

paulina

Enero

DETERMINE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Y CUYO FOCO ES F(3,0)

julissa

Febrero

grafica los siguientes parabolas

x al cuadrado= 8y
x al cuadrado = -20
y al cuadrado= 16x

porfavor necesito esa respuesta para hoy ala 12

alex

Febrero

buenas tengo una duda en este ejercicio: 3y^2 – 8x – 12y – 4 = 0 como hago para completar el trinomio cuadrado perfecto

Maria

Febrero

Encontrar la ecuación general de la parábola con vértice en (3,2) y foco en (3,5) luego, compararla con la ecuación general de la parábola cuyo vértice está en (-5,1) y cuyo foco está en (-5,7)

Rocio

Febrero

Me podrían ayudar a este ejercicio por favor
Ecuación general y ordinaria para la parábola con foco de (3,2) y vértice en (5,2)

franklin

Febrero

halle la ecuación y el foco de la parábola cuyo punto es (2,4) su eje focal la recta l: x-3 que pasa por el punto m=(4,10)

Valentina

Febrero

una parabola tiene por vertice el punto v(2,2) y foco f(-1,2) hallar la directriz, distancia focal, lado recto, eje focal y su grafico

arle

Febrero

necesito ayuda con este problema …

Encuentra el vértice y la ecuación de la parábola con foco (4,0) y directriz L: 2x – y + 3 = 0

Mateo

Marzo

En el ejercicio 1c hay 2 errores.
El primero es que p=-7/10
Y el segundo es que la ecuación de la directriz es y=7/10 y no x=7/10

Superprof

Marzo

Hola Mateo, ¡gracias por el mensaje y por ayudarnos a mejorar nuestra página!

pedro

Marzo

¿Porqué en estos ejercicios, en la ecuación reducida de la parábola, se utiliza 4p, y en los demás, utilizamos 2p?. Gracias

Jose Gabriel Rosales Castañeda

Marzo

Hola Pedro.

Esto se es debido a que algunos nombran a $p$ como la distancia focal, mientras que otros toman un parámetro denotado por $p$ como la distancia entre el foco y el punto más próximo de la directriz (es decir el doble de la distancia focal).

Por eso es que hay formulas que tienen el $4p$ y otras el $2p$ y lo que pasa aquí es que en realidad las « $p$ » no denotan lo mismo. Por eso debes tener cuidado a cual se están refiriendo.

Saludos.

bei

Marzo

Encuentra la ecuación estándar y general de una parábola horizontal negativa que
tiene vértice en las coordenadas (3,4) un Lado Recto de 20

He tratado y no puedo no se como resolverlo

Edgar Garcia

Marzo

Me pide encontrar la parabola de la siguiente ecuacion
3x^(2)+4y^(2)+12x-8y+9=0
Y obtener el centro, foco, vertice y excentricidad

Samia Males

Abril

Encuentre la ecuación de la parábola si el Foco es (0,-5) y el vértice está en el origen

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