Repaso

 

A partir de la ecuación canónica de la parábola es fácil determinar muchos de sus elementos sin necesidad de hacer cuentas complicadas. De la misma manera, dados algunos de elementos de una parábola, podemos encontrar su ecuación.

A continuación presentamos un resumen de lo más importante que necesitas saber sobre las parábolas.

 

Ecuación canónica u ordinaria:

 

1 (y-k )^2= 4p(x-h)

 

Abre hacia la derecha
Foco F(h+p,k)
Directriz x=h-p

 

2   (y-k )^2=- 4p(x-h)

 

Abre hacia la izquierda
Foco F(h-p,k)
Directriz x=h+p

 

3   (x-h )^2= 4p(y-k)

 

Abre hacia arriba
Foco F(h,k+p)
Directriz y=k-p

 

4 (x-h )^2=- 4p(y-k)

 

Abre hacia abajo
Foco F(h, k-p)
Directriz y= k+p

 

El vértice de la parábola es el punto V(h,k).

Cuando la parábola tiene como vértice el origen , ocurre lo siguiente con su ecuación:

 

1 y^2= 4px

 

Abre hacia la derecha
Foco F(p,0)
Directriz x=-p

 

2 y ^2=- 4px

 

Abre hacia la izquierda
Foco F(-p,0)
Directriz x=p

 

3 x^2= 4py

 

Abre hacia arriba
Foco F(0,p)
Directriz y=-p

 

4 x^2=- 4py

 

Abre hacia abajo
Foco F(0,-p)
Directriz y= p

 

4p representa la medida del lado recto o LR.
p es la distancia que hay del vértice al foco y del vértice a la directriz.

 

Superprof

Encuentra elementos de la parábola

 

1 En base a la ecuación de las siguientes parábolas determina las coordenadas de sus focos, ecuaciones de sus directrices, distancia de sus lados rectos y la gráfica.

  • 6y^2-12x=0
  • 2y^2=-7x
  • 15x^2=-42y

 

La forma de proceder será determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las parábolas, indicando el valor del parámetro p, y con ello las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz.

 

1 6y^2-12x=0

 

Despejamos el término cuadrático

6y^2=12x \hspace{2cm} y^2=2x

Identificamos el valor de p

\displaystyle 4p=2 \hspace{2cm} p=\frac{2}{4}= \frac{1}{2}

Localizamos el foco y encontramos la ecuación de la directriz

\displaystyle \text{Foco} \ \ \rightarrow \ \ \text{F}\left(  \frac{1}{2}, 0 \right)

\displaystyle \text{Directriz} \ \ \rightarrow \ \ x=-\frac{1}{2}

Finalmente graficamos usando los datos obtenidos

 

Parabola con vertice en el origen y abre hacia la derecha representación gráfica

 

2 2y^2=-7x

 

Despejamos el término cuadrático

\displaystyle 2y^2=-7x \hspace{2cm} y^2=-\frac{7}{2}x

Identificamos el valor de p

\displaystyle 4p=\frac{7}{2} \hspace{2cm} p=\frac{\frac{7}{2}}{4}= \frac{7}{8}

Localizamos el foco y encontramos la ecuación de la directriz

\displaystyle \text{Foco} \ \ \rightarrow \ \ \text{F}\left( - \frac{7}{8}, 0 \right)

\displaystyle \text{Directriz} \ \ \rightarrow \ \ x=\frac{7}{8}

Finalmente graficamos usando los datos obtenidos

 

Parábola con vértice en el origen y abre hacia la izquierda representación gráfica

 

3 15x^2=-42y

 

Despejamos el término cuadrático

\displaystyle 15x^2=-42x \hspace{2cm} x^2=-\frac{14}{5}y

Identificamos el valor de p

\displaystyle 4p=\frac{14}{5} \hspace{2cm} p=\frac{\frac{14}{5}}{4}= \frac{14}{20}=\frac{7}{10}

Localizamos el foco y encontramos la ecuación de la directriz

\displaystyle \text{Foco} \ \ \rightarrow \ \ \text{F}\left( 0,- \frac{7}{10} \right)

\displaystyle \text{Directriz} \ \ \rightarrow \ \ x=\frac{7}{10}

Finalmente graficamos usando los datos obtenidos

 

Parabola con vertice en el origen y abre hacia abajo representación gráfica

 

2 Calcular las coordenadas del vértice y del foco, y la ecuación de la directriz de cada parábola:

  • y^2-6y-8x+17=0
  • x^2-2x-6y-5=0
  • y=x^2-6x+11

 

La forma de proceder nuevamente será determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las parábolas, indicando el valor del parámetro p, y con ello las coordenadas del foco y del vértice.

 

1 y^2-6y-8x+17=0

 

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto y lo despejamos

(y^2-6y+9)-9-8x+17=0

(y^2-6y+9)=8x-8

Factorizamos

(y-3)^2=8(x-1)

Con la ecuación identificamos sus elementos

\text{V\'ertice} \ \ \rightarrow \ \ V(1,3)

\text{Par\'ametro} \ \ \rightarrow \ \ 4p=8\hspace{1cm} p=2

Con el vértice y el valor del parámetro p, localizamos el foco y la directriz

\text{Foco} \ \ \rightarrow \ \ F(1+2,3) \hspace{1cm} F(3,3)

\text{Directriz} \ \ \rightarrow \ \  x=1-2 \hspace{1cm}  x=-1

Finalmente ubicamos en la gráfica

Parábola con vértice fuera del origen representación gráfica

 

2 x^2-2x-6y-5=0

 

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto y lo despejamos

(x^2-2x+1)-1-6y-5=0

(x^2-2x+1)=6y-6

Factorizamos

(x-1)^2=6(y+1)

Con la ecuación identificamos sus elementos

\text{V\'ertice} \ \ \rightarrow \ \ V(1,-1)

\displaystyle \text{Par\'ametro} \ \ \rightarrow \ \ 4p= \frac{12}{2} = 6 \hspace{1cm} p=\frac{3}{2}

Con el vértice y el valor del parámetro p, localizamos el foco y la directriz

\displaystyle \text{Foco} \ \ \rightarrow \ \ F\left(1,-1+\frac{3}{2}\right) \hspace{1cm} F\left(1,\frac{1}{2}\right)

\displaystyle \text{Directriz} \ \ \rightarrow \ \  y=-1-\frac{3}{2} \hspace{1cm}  y=-\frac{5}{2}

Finalmente ubicamos en la gráfica

Parabola con vertice fuera del origen representación gráfica

 

3 y=x^2-6x+11

 

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto y lo despejamos

y=(x^2-6x+9)-9+11

(x^2-6x+9)=y-2

Factorizamos

(x-3)^2=1\cdot (y-2)

Con la ecuación identificamos sus elementos

\text{V\'ertice} \ \ \rightarrow \ \ V(3,2)

\displaystyle \text{Par\'ametro} \ \ \rightarrow \ \ 4p=1 \hspace{1cm} p=\frac{1}{4}

Con el vértice y el valor del parámetro p, localizamos el foco y la directriz

\displaystyle \text{Foco} \ \ \rightarrow \ \ F\left( 3, 2+\frac{1}{4}\right) \hspace{1cm} F\left(3,\frac{9}{4}\right)

\displaystyle \text{Directriz} \ \ \rightarrow \ \  y=2-\frac{1}{4} \hspace{1cm}  y=\frac{7}{4}

Finalmente ubicamos en la gráfica

Parabola que abre hacia arriba representación gráfica

 

Calcula la ecuación de la parábola dados un par de elementos

 

3 Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:

  • De directriz x = -3, de foco (3, 0).
  • De directriz y = -5, de foco (0, 5).
  • De directriz x = 2, de foco (-2, 0).
  • De directriz y = 4, de vértice (0, 0).

 

1 De directriz x = -3, de foco (3, 0).

 

Al localizar la directriz y el foco es fácil deducir que la parábola abre hacia la derecha y su vértice es el origen.

Sabiendo que el foco para estas parábolas tiene coordenadas (p,0), concluimos que

p=3.

La ecuación es

y^2=4px \ \ \ \rightarrow \ \ \ y^2=12x

 

dibujar una parábola representación gráfica

 

2 De directriz y = -5, de foco (0, 5).

 

Al localizar la directriz y el foco es fácil deducir que la parábola abre hacia arriba y su vértice es el origen.

Sabiendo que el foco para estas parábolas tiene coordenadas (p,0)=(5,0), concluimos que

p=5.

Sustituimos en la ecuación:

x^2=4py \ \ \ \rightarrow \ \ \ x^2=20y

 

encontrar foco y directriz de una parabola representación gráfica

 

3 De directriz x = 2, de foco (-2, 0).

 

Al localizar la directriz y el foco es fácil deducir que la parábola abre hacia la izquierda y su vértice es el origen.

El foco para parabolas que abren hacia la izquierda tiene coordenadas \text{F}(-p,0), esto significa que

p=2

Sustituimos en la ecuación:

y^2=-4px \ \ \ \rightarrow \ \ \ y^2=-8x

 

Parábolas representación gráfica

 

4 De directriz y = 4, de vértice (0, 0).

 

Al localizar la directriz y el vértice es fácil deducir que la parábola abre hacia abajo y su vértice es el origen.

Para estas parábolas la ecuación de la directriz es y=p. Entonces

p=4

La ecuación es de la forma:

x^2=-4py \ \ \ \rightarrow \ \ \ x^2=-16y

 

elementos de la parabola representación gráfica

 

4 Determina las ecuaciones de las parábolas dado el foco y el vértice.

  • De foco (2, 0), de vértice (0, 0).
  • De foco (3, 2), de vértice (5, 2).
  • De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2).
  • De foco (3, 4), de vértice (1, 4).

 

1 De foco (2, 0), de vértice (0, 0).

 

Al localizar el foco y el vértice es fácil deducir que la parábola abre hacia la derecha y su vértice es el origen. Por lo que su ecuación es de la forma

y^2=4px

Recordemos que para estas parábolas, el foco se encuentra en F(p,0), por lo tanto

p=2

Finalmente la parábola tiene una ecuación de la forma:

y^2=4px \ \ \ \rightarrow \ \ \ y^2=8x

 

grafica una parabola

 

2 De foco (3, 2), de vértice (5, 2).

 

Ubicando el vértice y el foco, podemos notar que el foco esta a la izquierda del vértice, lo que nos indica que la parábola abre hacia la izquierda y su ecuación es de la forma:

(y-k)^2=-4p(x-h) \ \ \ \rightarrow \ \ \ (y-2)^2=-4p(x-5)

Calculamos la distancia del vértice al foco y obtenemos que

p=2

Sustituimos en la ecuación:

(y-2)^2=-8(x-5)

 

gráfica de una parábola representación gráfica

 

3 De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2).

 

Ubicando el vértice y el foco, podemos notar que el foco esta arriba del vértice, lo que nos indica que la parábola abre hacia arriba y su ecuación es de la forma:

(x-h)^2=4p(y-k) \ \ \ \rightarrow \ \ \ (x+2)^2=4p(y-2)

Calculamos la distancia del vértice al foco y obtenemos que

p=3

Sustituimos en la ecuación:

(x+2)^2=12(y-2)

 

Cómo graficar una parábola

 

4 De foco (3, 4), de vértice (1, 4).

 

Ubicando el vértice y el foco, podemos notar que el foco esta a la derecha  del vértice, lo que nos indica que la parábola abre hacia la derecha y su ecuación es de la forma:

(y-k)^2=4p(x-h) \ \ \ \rightarrow \ \ \ (y-4 )^2=4p(x- 1)

Calculamos la distancia del vértice al foco y obtenemos que

p=2

Sustituimos en la ecuación:

(y-4 )^2=8(x- 1)

directriz de una parabola

 

5 Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: y= 0 y por foco el punto (2, 4).

 

Sabemos que la distancia entre el vértice y el foco es igual a la distancia entre el vértice y la directriz.

\displaystyle d(P,F)=d(P,d)

La distancia de una recta r: Ax+By+C=0 a un punto P=(x_1,y_1) está dado por

\displaystyle d(P, r)= \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

Así que, si consideramos al vértice que no conocemos como el punto P=(x,y), la primera ecuación es equivalente a

\displaystyle \sqrt{(x-2)^2+(y-4)^2}=\frac{y}{\sqrt{0^2+1^2}}

\displaystyle  \sqrt{(x-2)^2+(y-4)^2}=y

Elevamos al cuadrado para eliminar la raíz del lado izquierdo y desarrollamos

\displaystyle (x-2)^2+(y-4)^2=y^2

\displaystyle (x-2)^2+y^2-8y+16=y^2

Despejamos, dejando las variable y de un lado, y las x de otro

\displaystyle (x-2)^2=y^2-y^2+8y-16

Factorizamos

\displaystyle (x-2)^2=8(y-2)

 

Parábola que pasa por 3 puntos

 

6 Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los puntos:

A(6, 1), \ B(-2, 3), \ C(16, 6)

 

La ecuación de una parábola vertical es de la forma

\displaystyle y=ax^2+bx+c

Como los puntos A, B y C pasan por la parábola, sus coordenadas satisfacen su ecuación

\displaystyle \left\{\begin{matrix} 1=a\cdot (6)^2 + b\cdot 6 +c\\ 3=a\cdot (-2)^2 +b\cdot (-2)+c\\ 6=a\cdot (16)^2 + b \cdot 16 +c\end{matrix}\right.\hspace{2cm} \left\{\begin{matrix} 1=36a + 6b +c\\ 3=4a -2b+c\\ 6=256a + 16b  +c\end{matrix}\right.

Resolvemos el sistema de ecuaciones y obtenemos que

\displaystyle a=\frac{1}{24} \hspace{2cm} b=-\frac{10}{24} \hspace{2cm} c=2

Y así la ecuación de la parábola es

\displaystyle y=\frac{1}{24}x^2-\frac{10}{24}x+2

 

Posición relativa de una recta y parábola

 

7 Calcular la posición relativa de la recta r \equiv x + y - 5 = 0
respecto a la parábola y^2 = 16 x.

 

Para calcula la posición relativa entre ambos objetos necesitamos ver si existen puntos de intersección. Las coordenadas de dichos puntos deberían satisfacer ambas ecuaciones.

\displaystyle \left\{\begin{matrix} y^2=16x\\ y=5-x \end{matrix}\right.

Para resolver el sistema, podemos elevar al cuadrado la segunda ecuación e igualar y^2 de ambas ecuaciones.

\displaystyle (5-x)^2=16x

Desarrollamos

\displaystyle x^2-26x+25=0

Resolvemos la cuadrática vía la fórmula general.

\displaystyle x_1=25 \hspace{2cm} x_2=1

Ya tenemos las coordenadas x, para obtener las coordenadas y sustituimos en una de las ecuaciones, en este caso la más sencilla es

y=5-x

Entonces

y_1=-20 \hspace{2cm} y_2=4

Y así, los puntos de intersección son:

\displaystyle A(25,-20) \hspace{2cm} B(1,4)

Por lo que la recta es secante a la parábola

Parábola y recta secante representación gráfica

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Usca
Usca
Invité
2 Jun.

hola buenas tardes quiero que me ayude a resolver o me lo haga un trabajo de matematica ll me habla al whashappt

Superprof
Superprof
Administrateur
2 Jun.

Hola, te aconsejamos contactar con uno de nuestros profesores a través nuestra plataforma. ¡Un saludo!

Rojas
Rojas
Invité
3 Jun.

hola, tenia una sugerencia, de en la ecuación para sacar la ecuacón de directriz, pongan cuando es menos como: k- (valor absoluto de p), por que si el parámetro es negativo, se cambia el signo, y nos da el foco interior.

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
29 Jun.

Hola,
gracias por tu sugerencia. En este artículo p es considerado como distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz por lo que siempre es positivo.
Un saludo

García Bueno
García Bueno
Invité
6 Jun.

V(0,0),p=5

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
10 Jul.

Hola,
 
te faltó indicar hacia donde abre la parábola. Como el vértice se encuentra en el origen entonces se tienen cuatro posibilidades para la parábola:
1. x² = 4py, si abre hacia arriba.
2. x² = -4py, si abre hacia abajo.
3. y² = 4px, si abre hacia la derecha.
4. y² = -4px, si abre hacia la izquierda.
Como p=5, basta sustituir en la fórmula adecuada.
1. x² = 20y, si abre hacia arriba.
2. x² = -20y, si abre hacia abajo.
3. y² = 20x, si abre hacia la derecha.
4. y² = -20x, si abre hacia la izquierda.

Un saludo

salinas
salinas
Invité
11 Jun.

ejercicios de parabolas
porfavor

Christopher duran
Christopher duran
Invité
30 Jun.

Necesito que me ayuden con un tema de un trabajo de matemática sobre una función cuadratica

Superprof
Superprof
Administrateur
6 Jul.

Hola Christopher, escríbenos el enunciado del problema y te contestaremos lo más rápido posible. ¡Un saludo!