Temas

Recordatorio
Simplifica las características de las parábolas
Calculas las ecuaciones canónicas de las siguientes parábolas
Simplifica y obtén los calores que se indican
Parábola que pasa por 3 puntos
Conociendo la directriz y un foco, encuentra la parabola
Posición relativa de una recta en relación a una parábola
Ejercicio 1 resuelto
Ejercicio 2 resuelto
Ejercicio 3 resuelto
Ejercicio 4 resuelto
Ejercicio 5 resuelto
Ejercicio 6 resuelto

Recordatorio

Conociendo la ecuación canónica de la parábola es fácil determinar muchos de sus elementos sin necesidad de hacer cuentas complicadas.

Ecuación canónica u ordinaria:

Caso 1 : $(y-k )^2= 4p(x-h)$ (Abre hacia la derecha)

F(h+p,k) D: x=h-p

Caso 2 : $(y-k )^2=- 4p(x-h)$ (Abre hacia la izquierda)

F(h-p,k) D: x=h+p

Caso 3 : $(x-h )^2= 4p(y-k)$ (Abre hacia arriba)

F(h,k+p) D: y=k-p

Caso 4 : $(x-h )^2=- 4p(y-k)$ (Abre hacia abajo)

F(h, k-p) D: y= k+p

El vértice de una parábola es el punto $C(h,k)$ , cuando la parábola tiene como vértice el origen , ocurre lo siguiente :

Caso 1 : $y ^2= 4px$ (Abre hacia la derecha)

F(p,0) D: x=-p

Caso 2 : $y ^2=- 4px$ (Abre hacia la izquierda)

F(-p,0) D: x=p

Caso 3 : $x^2= 4py$ (Abre hacia arriba)

F(0,p) D: y=-p

Caso 4 : $x-h ^2=- 4py$ (Abre hacia abajo)

F(0,-p) D: y= p

Donde:

$|4p|$ representa la medida del Lado Recto o LR.

p es la distancia que hay del vértice al foco y del vértice a la directriz.

F es el foco.

D es la directriz.

Simplifica las características de las parábolas

En base a la ecuación canónica de las siguientes parábolas determina las coordenadas de sus Focos, ecuaciones de sus Directrices, distancia de sus Lados Rectos y la Gráfica .

Calculas las ecuaciones canónicas de las siguientes parábolas

Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:

1 De directriz x = -3, de foco (3, 0).

2 De directriz y = 4, de vértice (0, 0).

3 De directriz y = -5, de foco (0, 5).

4 De directriz x = 2, de foco (-2, 0).

5 De foco (2, 0), de vértice (0, 0).

6 De foco (3, 2), de vértice (5, 2).

7 De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2).

8 De foco (3, 4), de vértice (1, 4).

Simplifica y obtén los calores que se indican

Calcular las coordenadas del vértice y de los focos, y las ecuaciones de la directrices de las parábolas:

Parábola que pasa por 3 puntos

Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los puntos: A(6, 1), B(-2, 3), C(16, 6).

Conociendo la directriz y un foco, encuentra la parabola

Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz
la recta: y= 0 y por foco el punto (2, 4).

Posición relativa de una recta en relación a una parábola

Calcular la posición relativa de la recta r ≡ x + y - 5 = 0
respecto a la parábola y² = 16 x.

Ejercicio 1 resuelto

Determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las siguientes parábolas, indicando el valor del parámetro, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz.

Parábola con vértice en el origen y abre hacia la derecha

4p=2 p= $\frac{2}{4}= \frac{1}{2}$

Parábola con vértice en el origen y abre hacia la izquierda

4p= $\frac{7}{2}$ p= $\frac{\frac{7}{2}}{4}= \frac{7}{8}$

Parábola con vértice en el origen y abre hacia abajo

4p= $\frac{14}{5}$ p= $\frac{\frac{14}{5}}{4}= \frac{14}{20}=\frac{7}{10}$

Ejercicio 2 resuelto

Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:

1 De directriz x = -3, de foco (3, 0).

Parábola con vértice en el origen y abre hacia la derecha. 2

Como el foco vale cero en las ordenadas, entonces esta sobre el eje de las abscisas.

Sabiendo que el foco para parábolas que abren hacia la derecha tiene coordenadas(p,0) concluimos que p=3

Del foco y la directriz es fácil deducir que la parábola tiene como vértice el origen.

Como p=3 , entonces el lado recto vale 12, pues LR = |4p|=4(3)

Ahora, sabemos que la ecuación de las parábolas que abren hacia la derecha y con vértice en el origen tiene forma:

$y^2=4px \ \ \ \rightarrow \ \ \ y^2=12x$

2 De directriz y = 4, de vértice (0, 0).

Parábola con vértice en el origen y abre hacia abajo. 2

Como la directriz esta arriba del vértice, entonces la parábola abre hacia abajo, y la ecuación de la directriz para estas parábolas es y=p.

De lo anterior deducimos que el foco se encuentra en F(0,-p), es decir, F(0,-4) y el LR = 4(4)=16.

Como el vértice es (0,0) y la parábola abre hacia abajo, la ecuación es de la forma:

$x^2=-4py \ \ \ \rightarrow \ \ \ x^2=-16y$

3 De directriz y = -5, de foco (0, 5).

Parábola con vértice en el origen y abre hacia arriba

Como la directriz esta abajo del foco, entonces la parábola abre hacia arriba. Su ecuación es de la forma:

$x^2=4py$

La coordenada del foco es (0,p), es decir (0,5) lo que nos dice que p=5 y entonces LR= 4p = 4(5)= 20. Sustituimos en la ecuación:

$x^2=-4py \ \ \ \rightarrow \ \ \ x^2=20y$

4 De directriz x = 2, de foco (-2, 0).

Parábola con vértice en el origen y abre hacia la izquierda. 2

Como el foco vale cero en las ordenadas, entonces esta sobre el eje de las abscisas.

Como la directriz se encuentra a la derecha del foco, entonces la parábola abre hacia la izquierda y su ecuación es de la forma:

$y^2=-4px$

El foco para parabolas que abren hacia la izquierda tiene coordenadas F(-p,0), esto significa que p=2. Entonces el LR=|4p|=4(2)=8.

Sustituimos en la ecuación:

$y^2=-4px \ \ \ \rightarrow \ \ \ y^2=-8x$

5 De foco (2, 0), de vértice (0, 0).

Parábola con vértice en el origen y abre hacia la derecha. 3

Del foco obtenemos que p=2, entonces LR=8 y como el foco esta a la derecha del vértice, entonces la parábola abre hacia la derecha y tiene una ecuación de la forma:

$y^2=4px \ \ \ \rightarrow \ \ \ y^2=8x$

6 De foco (3, 2), de vértice (5, 2).

Parábola con vértice fuera del origen y abre hacia la izquierda

Ubicando el vértice y el foco, podemos notar que el foco esta a la izquierda del vértice, lo que nos indica que la parábola abre hacia la izquierda y su ecuación es de la forma:

$(y-k)^2=-4p(x-h) \ \ \ \rightarrow \ \ \(y-2)^2=-4p(x-5)$

Calculamos la distancia del vértice al foco y obtenemos que p=2, entonces LR=8. Sustituimos en la ecuación:

$(y-2)^2=-8(x-5)$

7 De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2).

Parábola con vértice fuera del origen y abre hacia la arriba

Ubicando el vértice y el foco, podemos notar que el foco esta arriba del vértice, lo que nos indica que la parábola abre hacia arriba y su ecuación es de la forma:

$(x-h)^2=4p(y-k) \ \ \ \rightarrow \ \ \(x+2)^2=4p(y-2)$

Calculamos la distancia del vértice al foco y obtenemos que p=3, entonces LR=12. Sustituimos en la ecuación:

$(x+2)^2=12(y-2)$

8 De foco (3, 4), de vértice (1, 4).

Parábola con vértice fuera del origen y abre hacia la derecha

Ubicando el vértice y el foco, podemos notar que el foco esta a la derecha del vértice, lo que nos indica que la parábola abre hacia la derecha y su ecuación es de la forma:

$(y-k)^2=4p(x-h) \ \ \ \rightarrow \ \ \(y-4 )^2=4p(x- 1)$