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Hallar los elementos de la elipse
Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses.
1
1 Eje mayor
La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor
Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor
2 Eje menor
Entonces el valor del semieje menor es
Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son
3 Focos
Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal
Y con éste, localizar los focos
4 Excentricidad
La excentricidad es igual al cociente de la distancia semifocal y el semieje mayor
5 Gráfica

2
1 Obtener ecuación canónica
2 Eje mayor
Obtenemos el valor del semieje mayor
Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor
3 Eje menor
Entonces el valor del semieje menor es
Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son
4 Focos
Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal
Y con éste, localizar los focos
5 Excentricidad
La excentricidad es igual al cociente de la distancia semifocal y el semieje mayor
6 Gráfica
3
1 Eje mayor
La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor
Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor
2 Eje menor
Entonces el valor del semieje menor es
Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son
3 Focos
Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal
Y con éste, localizar los focos
4 Excentricidad
La excentricidad es igual al cociente de la distancia semifocal y el semieje mayor
5 Gráfica
4
1 Obtener ecuación canónica
2 Eje mayor
La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor
Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor
3 Eje menor
Entonces el valor del semieje menor es
Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son
4 Focos
Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal
Y con éste, localizar los focos
5 Excentricidad
La excentricidad es igual al cociente de la distancia semifocal y el semieje mayor
6 Gráfica
5
1 Obtener ecuación canónica
Completamos el trinomio al cuadrado perfecto
Cambiamos los trinomios por los binomios al cuadrado
Dividimos todo por 4
2 Centro
A partir de la ecuación de la elipse canónica encontramos el centro
3 Eje mayor
La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor
Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor
4 Eje menor
El valor del semieje menor es
Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son
5 Focos
Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal
Y con éste, localizar los focos
6 Gráfica
6
1 Obtener ecuación canónica
Completamos el trinomio al cuadrado perfecto
Cambiamos los trinomios por los binomios al cuadrado
Dividimos todo por 225
2 Centro
A partir de la ecuación de la elipse canónica encontramos el centro
3 Eje mayor
La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor
Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor
4 Eje menor
El valor del semieje menor es
Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son
5 Focos
Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal
Y con éste, localizar los focos
6 Gráfica
7
1 Obtener ecuación canónica
Completamos el trinomio al cuadrado perfecto
Cambiamos los trinomios por los binomios al cuadrado
Dividimos todo por 12
2 Centro
A partir de la ecuación de la elipse canónica encontramos el centro
3 Eje mayor
La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor
Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor
4 Eje menor
El valor del semieje menor es
Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son
5 Focos
Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal
Y con éste, localizar los focos
6 Gráfica
8
1 Obtener ecuación canónica
Completamos el trinomio al cuadrado perfecto
Cambiamos los trinomios por los binomios al cuadrado
Dividimos todo por 9
2 Centro
A partir de la ecuación de la elipse canónica encontramos el centro
3 Eje mayor
La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor
Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor
4 Eje menor
El valor del semieje menor es
Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son
5 Focos
Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal
Y con éste, localizar los focos
6 Gráfica
Determina la ecuación de la elipse
9 Halla la ecuación de la elipse conociendo:
1
El valor de es la distancia del centro al vértice A, mientras que el valor de
es la distancia del centro al foco, entonces
Los valores ,
y
guardan una relación pitagórica, es decir
Despejamos para calcular el valor de
Concluímos que
2
El valor de es la distancia del centro al vértice A, mientras que el valor de
es la distancia del centro al foco, entonces
Los valores ,
y
guardan una relación pitagórica, es decir
Despejamos para calcular el valor de
Concluímos que
3
El valor de es la distancia del centro al vértice A, mientras que el valor de
es la distancia del centro al foco, entonces
Los valores ,
y
guardan una relación pitagórica, es decir
Despejamos para calcular el valor de
Concluímos que
4
El valor de es la distancia del centro al vértice A, mientras que el valor de
es la distancia del centro al foco, entonces
Los valores ,
y
guardan una relación pitagórica, es decir
Despejamos para calcular el valor de
Concluímos que
10 Escribe la ecuación canónica de la elipse con centro en el origen que pasa por el
punto y cuyo eje menor mide
y se encuentra sobre el eje
.
El eje menor mide
Tiene centro en el origen y el eje menor está sobre el eje Y, por lo que la ecuación canónica es del tipo
Como el punto (2,1) pertence a la elipse, sus coordenadas cumplen con la ecuación canónica
Despejamos para obtener el valor de
Conociendo los valores de y
, concluimos que
11 La distancia focal de una elipse con centro en el origen es . Un punto de la elipse dista de sus focos
y
, respectivamente. Calcular la ecuación canónica de dicha elipse si el eje mayor está sobre el eje
.
La distancia focal es igual al valor de
Recordemos que la suma de las distancia de un punto en la elipse a los focos es igual a
Los valores ,
y
guardan una relación pitagórica, es decir
Despejamos para calcular el valor de
Conociendo los valores de y
, concluimos que
12 Escribe la ecuación canónica de la elipse que pasa por los puntos:
Como pasa por los puntos: , entonces sus coordenadas cumplen la ecuación canónica de la elipse. Esto es
Resolvemos el sistema
Entonces
Despejamos
Finalmente
13 Determina la ecuación canónica de un elipse con centro en el origen y eje mayor en el eje , cuya distancia focal es
y el área del rectángulo con lados que midan lo mismo que los ejes (mayor y menor) es
u².
Como los lados del rectángulo son los ejes, y estos miden y
entonces
La distancia focal es igual a
Los valores ,
y
guardan una relación pitagórica, es decir
Esto nos conduce a tener un sistema de dos ecuaciones
De la primera ecuación despejamos y de la segunda
Usamos de la segunda ecuación para sustituir en la primera
Desarrollamos
Resolvemos con la fórmula general y obtenemos el valor de
Conociendo los valores de y
, concluimos que
Encuentra las coordenadas
14 Hallar las coordenadas del punto medio de la cuerda que intercepta
la recta: en la elipse de ecuación:
.
1 Encontrar puntos de intersección
Los puntos de intersección son los que resuelven el sistema de las ecuaciones de la recta y la elipse.
Para resolver podemos despejar de la primera ecuación y elevar al cuadrado. También despejamos
de la segunda ecuación
Igualamos ambas ecuaciones
Usamos la fórmula general para encontrar las soluciones
Las soluciones para la coordenada son
Las coordenadas se calculan usando alguna ecuación del sistema, en este caso usaremos
Así que los puntos de interección están dados por
2 Encontrar punto medio
El punto medio entre los puntos A y B está dado por
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