Hallar los elementos de la elipse

 

Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses.

 

1 \displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1

 

 

1 Eje mayor

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

 

a^2=16  \hspace{2cm} a=4

 

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

 

A(4,0) \hspace{2cm} A'(-4,0)

 

2 Eje menor

 

Entonces el valor del semieje menor es

 

b^2=12  \hspace{2cm} b=2\sqrt{3}

 

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

 

B(0, 2\sqrt{3}) \hspace{2cm} B'(0, -2\sqrt{3})

 

3 Focos

 

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

 

c=\sqrt{16-12}  \hspace{2cm} c=2

 

Y con éste, localizar los focos

 

F(2,0) \hspace{2cm} F'(-2,0)

 

4 Excentricidad

 

La excentricidad es igual al cociente de la distancia semifocal y el semieje mayor

 

\displaystyle e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}

 

5 Gráfica

 

representación gráfica de la elipse

 

2 \displaystyle x^2+4y^2=16

 

 

1 Obtener ecuación canónica

 

\displaystyle x^2+4y^2=16 \hspace{2cm} \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1

 

2 Eje mayor

 

Obtenemos el valor del semieje mayor

 

a^2=16  \hspace{2cm} a=4

 

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

 

A(4,0) \hspace{2cm} A'(-4,0)

 

3 Eje menor

 

Entonces el valor del semieje menor es

 

b^2=4  \hspace{2cm} b=2

 

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

 

B(0, 2) \hspace{2cm} B'(0, -2)

 

4 Focos

 

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

 

c=\sqrt{16-4}  \hspace{2cm} c=2\sqrt{3}

 

Y con éste, localizar los focos

 

F(2\sqrt{3},0) \hspace{2cm} F'(-2\sqrt{3},0)

 

5 Excentricidad

 

La excentricidad es igual al cociente de la distancia semifocal y el semieje mayor

 

\displaystyle e=\frac{\sqrt{3}}{2}

 

6 Gráfica

 

 gráfica de la elipse

 

3 \displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1

 

 

1 Eje mayor

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

 

a^2=25  \hspace{2cm} a=5

 

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

 

A(0,5) \hspace{2cm} A'(0,-5)

 

2 Eje menor

 

Entonces el valor del semieje menor es

 

b^2=9  \hspace{2cm} b=3

 

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

 

B(3,0) \hspace{2cm} B'(-3,0)

 

3 Focos

 

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

 

c=\sqrt{25-9}  \hspace{2cm} c=4

 

Y con éste, localizar los focos

 

F(0,4) \hspace{2cm} F'(0,-4)

 

4 Excentricidad

 

La excentricidad es igual al cociente de la distancia semifocal y el semieje mayor

 

\displaystyle e=\frac{4}{5}

 

5 Gráfica

 

grafica de una elipse

 

4 \displaystyle 3x^2+2y^2=6

 

 

1 Obtener ecuación canónica

 

\displaystyle 3x^2+2y^2=6 \hspace{2cm} \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1

 

2 Eje mayor

 

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

 

a^2= 3  \hspace{2cm} a=\sqrt{3}

 

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

 

A(0,\sqrt{3}) \hspace{2cm} A'(0,-\sqrt{3})

 

3 Eje menor

 

Entonces el valor del semieje menor es

 

b^2=2  \hspace{2cm} b=\sqrt{2}

 

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

 

B(\sqrt{2},0) \hspace{2cm} B'(-\sqrt{2},0)

 

4 Focos

 

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

 

c=\sqrt{3-2}  \hspace{2cm} c=1

 

Y con éste, localizar los focos

 

F(0,1) \hspace{2cm} F'(0,-1)

 

5 Excentricidad

 

La excentricidad es igual al cociente de la distancia semifocal y el semieje mayor

 

\displaystyle e=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}

 

6 Gráfica

grafica de una elipse dibujo

 

5 x^2+2y^2-2x+8y+5=0

 

 

1 Obtener ecuación canónica

 

x^2+2y^2-2x+8y+5=0

 

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto

 

(x^2-2x+1)-1+2(y^2+4y+4)-8+5=0

 

Cambiamos los trinomios por los binomios al cuadrado

 

(x-1)^2+2(y+2)^2=4

 

Dividimos todo por 4

 

\displaystyle \frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(y+2)^2}{2}=1

 

2 Centro

 

A partir de la ecuación de la elipse canónica encontramos el centro

 

C(1,-2)

 

3 Eje mayor

 

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

 

a^2=4 \hspace{2cm}a=2

 

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

 

A(3,-2) \hspace{2cm} A'(-1,-2)

 

4 Eje menor

 

El valor del semieje menor es

 

b^2=2 \hspace{2cm}b=\sqrt{2}

 

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

 

B(1,-2+\sqrt{2}) \hspace{2cm} B'(1,-2-\sqrt{2})

 

5 Focos

 

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

 

c=\sqrt{4-2} \hspace{2cm}c=\sqrt{2}

 

Y con éste, localizar los focos

 

F(1+\sqrt{2},-2) \hspace{2cm} F'(1-\sqrt{2},-2)

 

6 Gráfica

 

grafica de elipse con focos

 

6 25x^2+9y^2-18x-216=0

 

1 Obtener ecuación canónica

 

25x^2+9y^2-18x-216=0

 

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto

 

25x^2+9(y^2-2y+1)-9-216=0

 

Cambiamos los trinomios por los binomios al cuadrado

 

25x^2+9(y-1)^2=225

 

Dividimos todo por 225

 

\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{(y-1)^2}{25}=1

 

2 Centro

 

A partir de la ecuación de la elipse canónica encontramos el centro

 

C(0,1)

 

3 Eje mayor

 

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

 

a^2=25 \hspace{2cm}a=5

 

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

 

A(0,6) \hspace{2cm} A'(0,-4)

 

4 Eje menor

 

El valor del semieje menor es

 

b^2=9 \hspace{2cm}b=3

 

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

 

B(3,1) \hspace{2cm} B'(-3,1)

 

5 Focos

 

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

 

c=\sqrt{25-9} \hspace{2cm}c=4

 

Y con éste, localizar los focos

 

F(0,5) \hspace{2cm} F'(0,-3)

 

6 Gráfica

 

dibujar graficamente la elipse y sus focos

 

7 x^2+3y^2-6x+6y=0

 

 

1 Obtener ecuación canónica

 

x^2+3y^2-6x+6y=0

 

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto

 

(x^2-6x+9)-9+3(y^2+2y+1)-3=0

 

Cambiamos los trinomios por los binomios al cuadrado

 

(x-3)^2+3(y+1)^2=12

 

Dividimos todo por 12

 

\displaystyle \frac{(x-3)^2}{12}+\frac{(y+1)^2}{4}=1

 

2 Centro

 

A partir de la ecuación de la elipse canónica encontramos el centro

 

C(3,-1)

 

3 Eje mayor

 

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

 

a^2=12\hspace{2cm}a=2\sqrt{3}

 

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

 

A(3+2\sqrt{3},-1) \hspace{2cm} A'(3-2\sqrt{3},-1)

 

4 Eje menor

 

El valor del semieje menor es

 

b^2=4 \hspace{2cm}b=2

 

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

 

B(3,1) \hspace{2cm} B'(3,-3)

 

5 Focos

 

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

 

c=\sqrt{12-4} \hspace{2cm}c=2\sqrt{2}

 

Y con éste, localizar los focos

 

F(3+2\sqrt{2},-1) \hspace{2cm} F'(3-2\sqrt{2},-1)

 

6 Gráfica

 

grafica de los elementos de la elipse

 

8 3x^2+y^2-24x+39=0

 

 

1 Obtener ecuación canónica

 

3x^2+y^2-24x+39=0

 

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto

 

3(x^2-8x+16)-48+y^2+39=0

 

Cambiamos los trinomios por los binomios al cuadrado

 

3(x-4)^2+y^2=9

 

Dividimos todo por 9

 

\displaystyle \frac{(x-4)^2}{3}+\frac{y^2}{9}=1

 

2 Centro

 

A partir de la ecuación de la elipse canónica encontramos el centro

 

C(4,0)

 

3 Eje mayor

 

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

 

a^2=9\hspace{2cm}a=3

 

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

 

A(4,3) \hspace{2cm} A'(4,-3)

 

4 Eje menor

 

El valor del semieje menor es

 

b^2=3 \hspace{2cm}b=\sqrt{3}

 

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

 

B(4+\sqrt{3},0) \hspace{2cm} B'(4-\sqrt{3},0)

 

5 Focos

 

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

 

c=\sqrt{9-3} \hspace{2cm}c=\sqrt{6}

 

Y con éste, localizar los focos

 

F(4,\sqrt{6}) \hspace{2cm} F'(4,-\sqrt{6})

 

6 Gráfica

 

grafica de la elipse y sus focos

 

Superprof

Determina la ecuación de la elipse

 

9 Halla la ecuación de la elipse conociendo:

 

  • C(0,0), \ F(2,0), \ A(3,0)
  • C(0,0), \ F(0,4), \ A(0,5)
  • C(1,-1), \ F(1,2), \ A(1,4)
  • C(-3,2), \ F(-1,2), \ A(2,2)

 

 

1 C(0,0), \ F(2,0), \ A(3,0)

 

El valor de a es la distancia del centro al vértice A, mientras que el valor de c es la distancia del centro al foco, entonces

 

a=3 \hspace{2cm} c=2

 

Los valores a, b y c guardan una relación pitagórica, es decir

 a^2=b^2+c^2

 

Despejamos para calcular el valor de b

 

 b^2=a^2-c^2 \hspace{2cm} b=\sqrt{a^2-c^2}

 

 b=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}

 

Concluímos que

 

\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5} =1

 

2 C(0,0), \ F(0,4), \ A(0,5)

 

El valor de a es la distancia del centro al vértice A, mientras que el valor de c es la distancia del centro al foco, entonces

 

a=5 \hspace{2cm} c=4

 

Los valores a, b y c guardan una relación pitagórica, es decir

 a^2=b^2+c^2

 

Despejamos para calcular el valor de b

 

 b^2=a^2-c^2 \hspace{2cm} b=\sqrt{a^2-c^2}

 

b=\sqrt{25-16}=3

 

Concluímos que

 

\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25} =1

 

3 C(1,-1), \ F(1,2), \ A(1,4)

 

El valor de a es la distancia del centro al vértice A, mientras que el valor de c es la distancia del centro al foco, entonces

 

a=5 \hspace{2cm} c=3

 

Los valores a, b y c guardan una relación pitagórica, es decir

 a^2=b^2+c^2

 

Despejamos para calcular el valor de b

 

 b^2=a^2-c^2 \hspace{2cm} b=\sqrt{a^2-c^2}

 

 b=\sqrt{25-9}=4

 

Concluímos que

 

\displaystyle \frac{(x-1)^2}{16}+\frac{(y+1)^2}{25} =1

 

4 C(-3,2), \ F(-1,2), \ A(2,2)

 

El valor de a es la distancia del centro al vértice A, mientras que el valor de c es la distancia del centro al foco, entonces

 

a=5 \hspace{2cm} c=2

 

Los valores a, b y c guardan una relación pitagórica, es decir

 a^2=b^2+c^2

 

Despejamos para calcular el valor de b

 

 b^2=a^2-c^2 \hspace{2cm} b=\sqrt{a^2-c^2}

 

b=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}

 

Concluímos que

 

\displaystyle \frac{(x+3)^2}{25}+\frac{(y-2)^2}{21} =1

 

10 Escribe la ecuación canónica de la elipse con centro en el origen que pasa por el
punto (2, 1) y cuyo eje menor mide 4 y se encuentra sobre el eje Y.

 

 

El eje menor mide 2b

 

2b=4 \hspace{2cm} b=2

 

Tiene centro en el origen y el eje menor está sobre el eje Y, por lo que la ecuación canónica es del tipo

\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

 

Como el punto (2,1) pertence a la elipse, sus coordenadas cumplen con la ecuación canónica

 

\displaystyle \frac{2^2}{a^2}+\frac{1^2}{2^2}=1

 

Despejamos para obtener el valor de a

 

\displaystyle a=\frac{4}{\sqrt{3}}

 

Conociendo los valores de a y b, concluimos que

 

\displaystyle \frac{3x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1

 

11 La distancia focal de una elipse con centro en el origen es 4. Un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6, respectivamente. Calcular la ecuación canónica de dicha elipse si el eje mayor está sobre el eje X.

 

La distancia focal es igual al valor de 2c

 

2c=4 \hspace{2cm} c=2

 

Recordemos que la suma de las distancia de un punto en la elipse a los focos es igual a 2a

 

2a=2+6 \hspace{2cm} a=4

 

Los valores a, b y c guardan una relación pitagórica, es decir

 

 a^2=b^2+c^2

 

Despejamos para calcular el valor de b

 

 b^2=a^2-c^2 \hspace{2cm} b=\sqrt{a^2-c^2}

 

 b=\sqrt{16-4}=\sqrt{12} \hspace{2cm} b=2\sqrt{3}

 

Conociendo los valores de a y b, concluimos que

 

\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1

 

12 Escribe la ecuación canónica de la elipse que pasa por los puntos:

 

\displaystyle \left(1,\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \text{ y } \left(\sqrt{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

 

 

Como pasa por los puntos: \displaystyle \left(1,\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \text{ y } \left(\sqrt{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right), entonces sus coordenadas cumplen la ecuación canónica de la elipse. Esto es

\displaystyle \left\{\begin{matrix} \frac{1}{a^2}+\frac{3}{4b^2}=1\\ \\ \frac{2}{a^2}+\frac{2}{4b^2}=1 \end{matrix}\right.

 

Resolvemos el sistema

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} -\cancel{\frac{2}{a^2}}-\frac{3}{2b^2}=-2\\ \\ \cancel{\frac{2}{a^2}}+\frac{2}{4b^2}=1 \end{matrix}\right. \\ \begin{matrix} \overline{\hspace{1cm} -\frac{1}{b^2}=-1\hspace{1cm}} \end{matrix}\hspace{2cm} \rightarrow \hspace{2cm} b=1

 

Entonces

 

\displaystyle \frac{2}{a^2}+\frac{2}{4\cdot 1^2}=1 \hspace{1cm} \frac{2}{a^2}+\frac{1}{2}=1 \hspace{1cm} \frac{2}{a^2}=\frac{1}{2}

 

Despejamos a

 

 a^2=4 \hspace{1cm} a=2

 

Finalmente

 

\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1

 

13 Determina la ecuación canónica de un elipse con centro en el origen y eje mayor en el eje X, cuya distancia focal es 8\sqrt{6} y el área del rectángulo con lados que midan lo mismo que los ejes (mayor y menor) es 80 u².

 

 

Como los lados del rectángulo son los ejes, y estos miden 2a y 2b entonces

2a\cdot 2b=80

 

La distancia focal es igual a 2c

 

2c=8\sqrt{6} \hspace{2cm} c=4\sqrt{6}

 

Los valores a, b y c guardan una relación pitagórica, es decir

 a^2=b^2+c^2 \hspace{2cm} a^2 = b^2+(4\sqrt{6})^2

 

Esto nos conduce a tener un sistema de dos ecuaciones

 

\left\{\begin{matrix} a^2 = b^2+(4\sqrt{6})^2\\ 2a\cdot 2b=80 \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

 

De la primera ecuación despejamos a^2 y de la segunda b

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} a^2=b^2+96\\ b=\frac{20}{a} \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

 

Usamos b de la segunda ecuación para sustituir en la primera

 

\displaystyle a^2=\left(\frac{20}{a}\right)^2+96

 

Desarrollamos

 

a^4-96a^2-400=0

 

Resolvemos con la fórmula general y obtenemos el valor de b

a=10 \hspace{2cm} b=2

 

Conociendo los valores de a y b, concluimos que

\displaystyle \frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{4}=1

 

Encuentra las coordenadas

14 Hallar las coordenadas del punto medio de la cuerda que intercepta
la recta: x + 2y - 1 = 0 en la elipse de ecuación: x^2+ 2y^2= 3.

 

 

1 Encontrar puntos de intersección

Los puntos de intersección son los que resuelven el sistema de las ecuaciones de la recta y la elipse.

 

\left\{\begin{matrix} x+2y-1=0\\ x^2+2y^2=3 \ \ \ \end{matrix}\right.

 

Para resolver podemos despejar x de la primera ecuación y elevar al cuadrado. También despejamos x^2 de la segunda ecuación

 

\left\{\begin{matrix} x=1-2y\\ x^2+2y^2=3 \ \ \ \end{matrix}\right. \hspace{2cm} \left\{\begin{matrix} x^2=(1-2y)^2\\ x^2=3 -2y^2\ \ \ \end{matrix}\right.

 

Igualamos ambas ecuaciones

 

(1-2y)^2=3 -2y^2

 1-4y-4y^2 =3-2y^2

 6y^2-4y-2=0

 

Usamos la fórmula general para encontrar las soluciones

 

\displaystyle y=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4(6)(-2)}}{2(6)}

\displaystyle y=\frac{4\pm \sqrt{16+48}}{12}=\frac{4\pm \sqrt{64}}{12}=\frac{4\pm 8}{12}

 

Las soluciones para la coordenada y son

 

\displaystyle y_1=1

\displaystyle y_2=-\frac{1}{3}

 

Las coordenadas x se calculan usando alguna ecuación del sistema, en este caso usaremos

x=1-2y

 

Así que los puntos de interección están dados por

A(-1,1)

\displaystyle B\left(\frac{5}{3},-\frac{1}{3}\right)

2 Encontrar punto medio

 

El punto medio entre los puntos A y B está dado por

\displaystyle M\left(\frac{-1+\frac{5}{3}}{2},\frac{1-\frac{1}{3}}{2}\right)\hspace{2cm} M\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)

 

 

representacion grafica de una elipse y una cuerda

 

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Marta

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17 Oct.

gracias, ya estudie un montón gracias a estos ejercicios