10 Escribe la ecuación canónica de la elipse con centro en el origen que pasa por el
punto $(2, 1)$ y cuyo eje menor mide $4$ y se encuentra sobre el eje $Y$ .

El eje menor mide $2b$

$2b=4 \hspace{2cm} b=2$

Tiene centro en el origen y el eje menor está sobre el eje Y, por lo que la ecuación canónica es del tipo

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Como el punto (2,1) pertence a la elipse, sus coordenadas cumplen con la ecuación canónica

$\displaystyle \frac{2^2}{a^2}+\frac{1^2}{2^2}=1$

Despejamos para obtener el valor de $a$

$\displaystyle a=\frac{4}{\sqrt{3}}$

Conociendo los valores de $a$ y $b$ , concluimos que

$\displaystyle \frac{3x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$

11 La distancia focal de una elipse con centro en el origen es $4$ . Un punto de la elipse dista de sus focos $2$ y $6$ , respectivamente. Calcular la ecuación canónica de dicha elipse si el eje mayor está sobre el eje $X$ .

La distancia focal es igual al valor de $2c$

$2c=4 \hspace{2cm} c=2$

Recordemos que la suma de las distancia de un punto en la elipse a los focos es igual a $2a$

$2a=2+6 \hspace{2cm} a=4$

Los valores $a$ , $b$ y $c$ guardan una relación pitagórica, es decir

$a^2=b^2+c^2$

Despejamos para calcular el valor de $b$

$b^2=a^2-c^2 \hspace{2cm} b=\sqrt{a^2-c^2}$

$b=\sqrt{16-4}=\sqrt{12} \hspace{2cm} b=2\sqrt{3}$

Conociendo los valores de $a$ y $b$ , concluimos que

$\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$

12 Escribe la ecuación canónica de la elipse que pasa por los puntos:

$\displaystyle \left(1,\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \text{ y } \left(\sqrt{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Como pasa por los puntos: $\displaystyle \left(1,\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \text{ y } \left(\sqrt{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ , entonces sus coordenadas cumplen la ecuación canónica de la elipse. Esto es

$\displaystyle \left\{\begin{matrix} \frac{1}{a^2}+\frac{3}{4b^2}=1\\ \\ \frac{2}{a^2}+\frac{2}{4b^2}=1 \end{matrix}\right.$

Resolvemos el sistema

$\displaystyle \left\{\begin{matrix} -\cancel{\frac{2}{a^2}}-\frac{3}{2b^2}=-2\\ \\ \cancel{\frac{2}{a^2}}+\frac{2}{4b^2}=1 \end{matrix}\right. \\ \begin{matrix} \overline{\hspace{1cm} -\frac{1}{b^2}=-1\hspace{1cm}} \end{matrix}\hspace{2cm} \rightarrow \hspace{2cm} b=1$

Entonces

$\displaystyle \frac{2}{a^2}+\frac{2}{4\cdot 1^2}=1 \hspace{1cm} \frac{2}{a^2}+\frac{1}{2}=1 \hspace{1cm} \frac{2}{a^2}=\frac{1}{2}$

Despejamos $a$

$a^2=4 \hspace{1cm} a=2$

Finalmente

$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$

13 Determina la ecuación canónica de un elipse con centro en el origen y eje mayor en el eje $X$ , cuya distancia focal es $8\sqrt{6}$ y el área del rectángulo con lados que midan lo mismo que los ejes (mayor y menor) es $80$ u².

Como los lados del rectángulo son los ejes, y estos miden $2a$ y $2b$ entonces

$2a\cdot 2b=80$

La distancia focal es igual a $2c$

$2c=8\sqrt{6} \hspace{2cm} c=4\sqrt{6}$

Los valores $a$ , $b$ y $c$ guardan una relación pitagórica, es decir

$a^2=b^2+c^2 \hspace{2cm} a^2 = b^2+(4\sqrt{6})^2$

Esto nos conduce a tener un sistema de dos ecuaciones

$\left\{\begin{matrix} a^2 = b^2+(4\sqrt{6})^2\\ 2a\cdot 2b=80 \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.$

De la primera ecuación despejamos $a^2$ y de la segunda $b$

$\displaystyle \left\{\begin{matrix} a^2=b^2+96\\ b=\frac{20}{a} \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.$

Usamos $b$ de la segunda ecuación para sustituir en la primera

$\displaystyle a^2=\left(\frac{20}{a}\right)^2+96$

Desarrollamos

$a^4-96a^2-400=0$

Resolvemos con la fórmula general y obtenemos el valor de $b$

$a=10 \hspace{2cm} b=2$

Conociendo los valores de $a$ y $b$ , concluimos que

$\displaystyle \frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{4}=1$

Encuentra las coordenadas

14 Hallar las coordenadas del punto medio de la cuerda que intercepta
la recta: $x + 2y - 1 = 0$ en la elipse de ecuación: $x^2+ 2y^2= 3$ .

1 Encontrar puntos de intersección

Los puntos de intersección son los que resuelven el sistema de las ecuaciones de la recta y la elipse.

$\left\{\begin{matrix} x+2y-1=0\\ x^2+2y^2=3 \ \ \ \end{matrix}\right.$

Para resolver podemos despejar $x$ de la primera ecuación y elevar al cuadrado. También despejamos $x^2$ de la segunda ecuación

$\left\{\begin{matrix} x=1-2y\\ x^2+2y^2=3 \ \ \ \end{matrix}\right. \hspace{2cm} \left\{\begin{matrix} x^2=(1-2y)^2\\ x^2=3 -2y^2\ \ \ \end{matrix}\right.$

Igualamos ambas ecuaciones

$(1-2y)^2=3 -2y^2$

$1-4y-4y^2 =3-2y^2$

$6y^2-4y-2=0$

Usamos la fórmula general para encontrar las soluciones

$\displaystyle y=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4(6)(-2)}}{2(6)}$

$\displaystyle y=\frac{4\pm \sqrt{16+48}}{12}=\frac{4\pm \sqrt{64}}{12}=\frac{4\pm 8}{12}$

Las soluciones para la coordenada $y$ son

$\displaystyle y_1=1$

$\displaystyle y_2=-\frac{1}{3}$

Las coordenadas $x$ se calculan usando alguna ecuación del sistema, en este caso usaremos

$x=1-2y$

Así que los puntos de interección están dados por

$A(-1,1)$

$\displaystyle B\left(\frac{5}{3},-\frac{1}{3}\right)$

2 Encontrar punto medio

El punto medio entre los puntos A y B está dado por

$\displaystyle M\left(\frac{-1+\frac{5}{3}}{2},\frac{1-\frac{1}{3}}{2}\right)\hspace{2cm} M\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$

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Marta

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Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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gomez

Octubre

gracias, ya estudie un montón gracias a estos ejercicios

Karol Bibiana Aguilar Tellez

Agosto

Esto me ayudó mucho ya que en tiempos de pandemia no intiendo casi

Superprof

Agosto

¡Nos alegramos haber podido ayudarte! 🙂

Lidia Mamani

Septiembre

Hola. !
Me podrías ayudar con este ejercicio porfavor
F(x,y)=2√x^2+y^2 (media elipsoide)
Cómo le resuelvo ? La gráfica tiene que salir una media elipsoide.

Mercedes

Septiembre

Marta, un gusto y gracias por estos ejercicios, pero en el de la ecuación 25x^2+9y^2-18x-216=0 no se toma en cuenta el -18x
Agradezco atención y respuesta

Juan Manuel Sanchez Perez

Septiembre

¡Hola, Mercedes!

Muchas gracias por tu comentario, ya se corrigió. Resulta que el problema a resolver era en realidad $25x^2+9y^2-18y-216=0$ ( $y$ en lugar de $x$ ).

Agradecemos mucho tus comentarios. Nos permites tener contenido preciso. ¡Un saludo!

Carl

Noviembre

Hola me podían ayudar con este problema.
La ventana debe venir horizontalmente 3.6 m y 1 m de altura a demás se deben anexar 4 soportes para los vidrios 1 en casa curva de ambos lados tomando como referencia la alturas del foco y otros 2 justo a la mitad entre el centro de la base de la ventana y los focos.

1: que ecuación describe la curva de la elipse?
2: ¿Cuántos miden los soportes que van entre el centro y los puntos de los focos ?

Cherry

Noviembre

Hola me podrían a yudar con este ejercicio 3. Una parte del jardín trasero de la Casa Blanca se llama La Elipse. El eje mayor es 1058 pies y el eje menor es 903 pies. Encuentra la ecuación de la elipse horizontal, asumiendo que tiene su centro en el origen.

nicole

Noviembre

Determina la ecuación de la elipse considerando que V(±5, 0) y B(0,±4)

Isela

Noviembre

Nesesito ayuda necesito ejercicios de elipse contestado xf

Katherine Leon

Diciembre

La ecuación de la elipse que tiene focos: F1(−1,4) y F2(5,4) y que pasa por el punto A(6,4) tiene la forma:

JUAN

Diciembre

MUY BUENAS EXPLICACIONES OS RECOMIENDO ESTA PAGINA 😀

Roxana

Enero

Excelente

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Determina la ecuación de la elipse

Encuentra las coordenadas

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