Name: Ejercicios de elipses
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Hallar los elementos de la elipse
Determina la ecuación de la elipse
Encuentra las coordenadas

Hallar los elementos de la elipse

Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses.

1 $\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$

1 Eje mayor

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

$a^2=16 \hspace{2cm} a=4$

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

$A(4,0) \hspace{2cm} A'(-4,0)$

2 Eje menor

Entonces el valor del semieje menor es

$b^2=12 \hspace{2cm} b=2\sqrt{3}$

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

$B(0, 2\sqrt{3}) \hspace{2cm} B'(0, -2\sqrt{3})$

3 Focos

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

$c=\sqrt{16-12} \hspace{2cm} c=2$

Y con éste, localizar los focos

$F(2,0) \hspace{2cm} F'(-2,0)$

4 Excentricidad

La excentricidad es igual al cociente de la distancia semifocal y el semieje mayor

$\displaystyle e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$

5 Gráfica

2 $\displaystyle x^2+4y^2=16$

1 Obtener ecuación canónica

$\displaystyle x^2+4y^2=16 \hspace{2cm} \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$

2 Eje mayor

Obtenemos el valor del semieje mayor

$a^2=16 \hspace{2cm} a=4$

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

$A(4,0) \hspace{2cm} A'(-4,0)$

3 Eje menor

Entonces el valor del semieje menor es

$b^2=4 \hspace{2cm} b=2$

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

$B(0, 2) \hspace{2cm} B'(0, -2)$

4 Focos

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

$c=\sqrt{16-4} \hspace{2cm} c=2\sqrt{3}$

Y con éste, localizar los focos

$F(2\sqrt{3},0) \hspace{2cm} F'(-2\sqrt{3},0)$

5 Excentricidad

La excentricidad es igual al cociente de la distancia semifocal y el semieje mayor

$\displaystyle e=\frac{\sqrt{3}}{2}$

6 Gráfica

gráfica de la elipse

3 $\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$

1 Eje mayor

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

$a^2=25 \hspace{2cm} a=5$

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

$A(0,5) \hspace{2cm} A'(0,-5)$

2 Eje menor

Entonces el valor del semieje menor es

$b^2=9 \hspace{2cm} b=3$

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

$B(3,0) \hspace{2cm} B'(-3,0)$

3 Focos

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

$c=\sqrt{25-9} \hspace{2cm} c=4$

Y con éste, localizar los focos

$F(0,4) \hspace{2cm} F'(0,-4)$

4 Excentricidad

La excentricidad es igual al cociente de la distancia semifocal y el semieje mayor

$\displaystyle e=\frac{4}{5}$

5 Gráfica

grafica de una elipse

4 $\displaystyle 3x^2+2y^2=6$

1 Obtener ecuación canónica

$\displaystyle 3x^2+2y^2=6 \hspace{2cm} \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$

2 Eje mayor

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

$a^2= 3 \hspace{2cm} a=\sqrt{3}$

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

$A(0,\sqrt{3}) \hspace{2cm} A'(0,-\sqrt{3})$

3 Eje menor

Entonces el valor del semieje menor es

$b^2=2 \hspace{2cm} b=\sqrt{2}$

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

$B(\sqrt{2},0) \hspace{2cm} B'(-\sqrt{2},0)$

4 Focos

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

$c=\sqrt{3-2} \hspace{2cm} c=1$

Y con éste, localizar los focos

$F(0,1) \hspace{2cm} F'(0,-1)$

5 Excentricidad

La excentricidad es igual al cociente de la distancia semifocal y el semieje mayor

$\displaystyle e=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

6 Gráfica

grafica de una elipse dibujo

5 $x^2+2y^2-2x+8y+5=0$

1 Obtener ecuación canónica

$x^2+2y^2-2x+8y+5=0$

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto

$(x^2-2x+1)-1+2(y^2+4y+4)-8+5=0$

Cambiamos los trinomios por los binomios al cuadrado

$(x-1)^2+2(y+2)^2=4$

Dividimos todo por 4

$\displaystyle \frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(y+2)^2}{2}=1$

2 Centro

A partir de la ecuación de la elipse canónica encontramos el centro

$C(1,-2)$

3 Eje mayor

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

$a^2=4 \hspace{2cm}a=2$

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

$A(3,-2) \hspace{2cm} A'(-1,-2)$

4 Eje menor

El valor del semieje menor es

$b^2=2 \hspace{2cm}b=\sqrt{2}$

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

$B(1,-2+\sqrt{2}) \hspace{2cm} B'(1,-2-\sqrt{2})$

5 Focos

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

$c=\sqrt{4-2} \hspace{2cm}c=\sqrt{2}$

Y con éste, localizar los focos

$F(1+\sqrt{2},-2) \hspace{2cm} F'(1-\sqrt{2},-2)$

6 Gráfica

grafica de elipse con focos

6 $25x^2+9y^2-18x-216=0$

1 Obtener ecuación canónica

$25x^2+9y^2-18x-216=0$

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto

$25x^2+9(y^2-2y+1)-9-216=0$

Cambiamos los trinomios por los binomios al cuadrado

$25x^2+9(y-1)^2=225$

Dividimos todo por 225

$\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{(y-1)^2}{25}=1$

2 Centro

A partir de la ecuación de la elipse canónica encontramos el centro

$C(0,1)$

3 Eje mayor

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

$a^2=25 \hspace{2cm}a=5$

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

$A(0,6) \hspace{2cm} A'(0,-4)$

4 Eje menor

El valor del semieje menor es

$b^2=9 \hspace{2cm}b=3$

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

$B(3,1) \hspace{2cm} B'(-3,1)$

5 Focos

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

$c=\sqrt{25-9} \hspace{2cm}c=4$

Y con éste, localizar los focos

$F(0,5) \hspace{2cm} F'(0,-3)$

6 Gráfica

dibujar graficamente la elipse y sus focos

7 $x^2+3y^2-6x+6y=0$

1 Obtener ecuación canónica

$x^2+3y^2-6x+6y=0$

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto

$(x^2-6x+9)-9+3(y^2+2y+1)-3=0$

Cambiamos los trinomios por los binomios al cuadrado

$(x-3)^2+3(y+1)^2=12$

Dividimos todo por 12

$\displaystyle \frac{(x-3)^2}{12}+\frac{(y+1)^2}{4}=1$

2 Centro

A partir de la ecuación de la elipse canónica encontramos el centro

$C(3,-1)$

3 Eje mayor

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

$a^2=12\hspace{2cm}a=2\sqrt{3}$

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

$A(3+2\sqrt{3},-1) \hspace{2cm} A'(3-2\sqrt{3},-1)$

4 Eje menor

El valor del semieje menor es

$b^2=4 \hspace{2cm}b=2$

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

$B(3,1) \hspace{2cm} B'(3,-3)$

5 Focos

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

$c=\sqrt{12-4} \hspace{2cm}c=2\sqrt{2}$

Y con éste, localizar los focos

$F(3+2\sqrt{2},-1) \hspace{2cm} F'(3-2\sqrt{2},-1)$

6 Gráfica

grafica de los elementos de la elipse

8 $3x^2+y^2-24x+39=0$

1 Obtener ecuación canónica

$3x^2+y^2-24x+39=0$

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto

$3(x^2-8x+16)-48+y^2+39=0$

Cambiamos los trinomios por los binomios al cuadrado

$3(x-4)^2+y^2=9$

Dividimos todo por 9

$\displaystyle \frac{(x-4)^2}{3}+\frac{y^2}{9}=1$

2 Centro

A partir de la ecuación de la elipse canónica encontramos el centro

$C(4,0)$

3 Eje mayor

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

$a^2=9\hspace{2cm}a=3$

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

$A(4,3) \hspace{2cm} A'(4,-3)$

4 Eje menor

El valor del semieje menor es

$b^2=3 \hspace{2cm}b=\sqrt{3}$

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

$B(4+\sqrt{3},0) \hspace{2cm} B'(4-\sqrt{3},0)$

5 Focos

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

$c=\sqrt{9-3} \hspace{2cm}c=\sqrt{6}$

Y con éste, localizar los focos

$F(4,\sqrt{6}) \hspace{2cm} F'(4,-\sqrt{6})$

6 Gráfica

grafica de la elipse y sus focos

Superprof

Determina la ecuación de la elipse

9 Halla la ecuación de la elipse conociendo:

$C(0,0), \ F(2,0), \ A(3,0)$
$C(0,0), \ F(0,4), \ A(0,5)$
$C(1,-1), \ F(1,2), \ A(1,4)$
$C(-3,2), \ F(-1,2), \ A(2,2)$

1 $C(0,0), \ F(2,0), \ A(3,0)$

El valor de $a$ es la distancia del centro al vértice A, mientras que el valor de $c$ es la distancia del centro al foco, entonces

$a=3 \hspace{2cm} c=2$

Los valores $a$ , $b$ y $c$ guardan una relación pitagórica, es decir

$a^2=b^2+c^2$

Despejamos para calcular el valor de $b$

$b^2=a^2-c^2 \hspace{2cm} b=\sqrt{a^2-c^2}$

$b=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$

Concluímos que

$\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5} =1$

2 $C(0,0), \ F(0,4), \ A(0,5)$

El valor de $a$ es la distancia del centro al vértice A, mientras que el valor de $c$ es la distancia del centro al foco, entonces

$a=5 \hspace{2cm} c=4$

Los valores $a$ , $b$ y $c$ guardan una relación pitagórica, es decir

$a^2=b^2+c^2$

Despejamos para calcular el valor de $b$

$b^2=a^2-c^2 \hspace{2cm} b=\sqrt{a^2-c^2}$

$b=\sqrt{25-16}=3$

Concluímos que

$\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25} =1$

3 $C(1,-1), \ F(1,2), \ A(1,4)$

El valor de $a$ es la distancia del centro al vértice A, mientras que el valor de $c$ es la distancia del centro al foco, entonces

$a=5 \hspace{2cm} c=3$

Los valores $a$ , $b$ y $c$ guardan una relación pitagórica, es decir

$a^2=b^2+c^2$

Despejamos para calcular el valor de $b$

$b^2=a^2-c^2 \hspace{2cm} b=\sqrt{a^2-c^2}$

$b=\sqrt{25-9}=4$

Concluímos que

$\displaystyle \frac{(x-1)^2}{16}+\frac{(y+1)^2}{25} =1$

4 $C(-3,2), \ F(-1,2), \ A(2,2)$

El valor de $a$ es la distancia del centro al vértice A, mientras que el valor de $c$ es la distancia del centro al foco, entonces

$a=5 \hspace{2cm} c=2$

Los valores $a$ , $b$ y $c$ guardan una relación pitagórica, es decir

$a^2=b^2+c^2$

Despejamos para calcular el valor de $b$

$b^2=a^2-c^2 \hspace{2cm} b=\sqrt{a^2-c^2}$

$b=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}$

Concluímos que

$\displaystyle \frac{(x+3)^2}{25}+\frac{(y-2)^2}{21} =1$

10 Escribe la ecuación canónica de la elipse con centro en el origen que pasa por el
punto $(2, 1)$ y cuyo eje menor mide $4$ y se encuentra sobre el eje $Y$ .

El eje menor mide $2b$

$2b=4 \hspace{2cm} b=2$

Tiene centro en el origen y el eje menor está sobre el eje Y, por lo que la ecuación canónica es del tipo

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Como el punto (2,1) pertence a la elipse, sus coordenadas cumplen con la ecuación canónica

$\displaystyle \frac{2^2}{a^2}+\frac{1^2}{2^2}=1$

Despejamos para obtener el valor de $a$

$\displaystyle a=\frac{4}{\sqrt{3}}$

Conociendo los valores de $a$ y $b$ , concluimos que

$\displaystyle \frac{3x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$

11 La distancia focal de una elipse con centro en el origen es $4$ . Un punto de la elipse dista de sus focos $2$ y $6$ , respectivamente. Calcular la ecuación canónica de dicha elipse si el eje mayor está sobre el eje $X$ .

La distancia focal es igual al valor de $2c$

$2c=4 \hspace{2cm} c=2$

Recordemos que la suma de las distancia de un punto en la elipse a los focos es igual a $2a$

$2a=2+6 \hspace{2cm} a=4$

Los valores $a$ , $b$ y $c$ guardan una relación pitagórica, es decir

$a^2=b^2+c^2$

Despejamos para calcular el valor de $b$

$b^2=a^2-c^2 \hspace{2cm} b=\sqrt{a^2-c^2}$

$b=\sqrt{16-4}=\sqrt{12} \hspace{2cm} b=2\sqrt{3}$

Conociendo los valores de $a$ y $b$ , concluimos que

$\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$

12 Escribe la ecuación canónica de la elipse que pasa por los puntos:

$\displaystyle \left(1,\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \text{ y } \left(\sqrt{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Como pasa por los puntos: $\displaystyle \left(1,\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \text{ y } \left(\sqrt{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ , entonces sus coordenadas cumplen la ecuación canónica de la elipse. Esto es

$\displaystyle \left\{\begin{matrix} \frac{1}{a^2}+\frac{3}{4b^2}=1\\ \\ \frac{2}{a^2}+\frac{2}{4b^2}=1 \end{matrix}\right.$

Resolvemos el sistema

$\displaystyle \left\{\begin{matrix} -\cancel{\frac{2}{a^2}}-\frac{3}{2b^2}=-2\\ \\ \cancel{\frac{2}{a^2}}+\frac{2}{4b^2}=1 \end{matrix}\right. \\ \begin{matrix} \overline{\hspace{1cm} -\frac{1}{b^2}=-1\hspace{1cm}} \end{matrix}\hspace{2cm} \rightarrow \hspace{2cm} b=1$

Entonces

$\displaystyle \frac{2}{a^2}+\frac{2}{4\cdot 1^2}=1 \hspace{1cm} \frac{2}{a^2}+\frac{1}{2}=1 \hspace{1cm} \frac{2}{a^2}=\frac{1}{2}$

Despejamos $a$

$a^2=4 \hspace{1cm} a=2$

Finalmente

$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$

13 Determina la ecuación canónica de un elipse con centro en el origen y eje mayor en el eje $X$ , cuya distancia focal es $8\sqrt{6}$ y el área del rectángulo con lados que midan lo mismo que los ejes (mayor y menor) es $80$ u².

Como los lados del rectángulo son los ejes, y estos miden $2a$ y $2b$ entonces

$2a\cdot 2b=80$

La distancia focal es igual a $2c$

$2c=8\sqrt{6} \hspace{2cm} c=4\sqrt{6}$

Los valores $a$ , $b$ y $c$ guardan una relación pitagórica, es decir

$a^2=b^2+c^2 \hspace{2cm} a^2 = b^2+(4\sqrt{6})^2$

Esto nos conduce a tener un sistema de dos ecuaciones

$\left\{\begin{matrix} a^2 = b^2+(4\sqrt{6})^2\\ 2a\cdot 2b=80 \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.$

De la primera ecuación despejamos $a^2$ y de la segunda $b$

$\displaystyle \left\{\begin{matrix} a^2=b^2+96\\ b=\frac{20}{a} \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.$

Usamos $b$ de la segunda ecuación para sustituir en la primera

$\displaystyle a^2=\left(\frac{20}{a}\right)^2+96$

Desarrollamos

$a^4-96a^2-400=0$

Resolvemos con la fórmula general y obtenemos el valor de $b$

$a=10 \hspace{2cm} b=2$

Conociendo los valores de $a$ y $b$ , concluimos que

$\displaystyle \frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{4}=1$

Encuentra las coordenadas

14 Hallar las coordenadas del punto medio de la cuerda que intercepta
la recta: $x + 2y - 1 = 0$ en la elipse de ecuación: $x^2+ 2y^2= 3$ .

1 Encontrar puntos de intersección

Los puntos de intersección son los que resuelven el sistema de las ecuaciones de la recta y la elipse.

$\left\{\begin{matrix} x+2y-1=0\\ x^2+2y^2=3 \ \ \ \end{matrix}\right.$

Para resolver podemos despejar $x$ de la primera ecuación y elevar al cuadrado. También despejamos $x^2$ de la segunda ecuación

$\left\{\begin{matrix} x=1-2y\\ x^2+2y^2=3 \ \ \ \end{matrix}\right. \hspace{2cm} \left\{\begin{matrix} x^2=(1-2y)^2\\ x^2=3 -2y^2\ \ \ \end{matrix}\right.$