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Hallar los elementos de la elipse
Determina la ecuación de la elipse
Encuentra las coordenadas

Hallar los elementos de la elipse

Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses.

1 $\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$

1 Eje mayor

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

$a^2=16 \hspace{2cm} a=4$

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

$A(4,0) \hspace{2cm} A'(-4,0)$

2 Eje menor

Entonces el valor del semieje menor es

$b^2=12 \hspace{2cm} b=2\sqrt{3}$

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

$B(0, 2\sqrt{3}) \hspace{2cm} B'(0, -2\sqrt{3})$

3 Focos

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

$c=\sqrt{16-12} \hspace{2cm} c=2$

Y con éste, localizar los focos

$F(2,0) \hspace{2cm} F'(-2,0)$

4 Excentricidad

La excentricidad es igual al cociente de la distancia semifocal y el semieje mayor

$\displaystyle e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$

5 Gráfica

2 $\displaystyle x^2+4y^2=16$

1 Obtener ecuación canónica

$\displaystyle x^2+4y^2=16 \hspace{2cm} \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$

2 Eje mayor

Obtenemos el valor del semieje mayor

$a^2=16 \hspace{2cm} a=4$

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

$A(4,0) \hspace{2cm} A'(-4,0)$

3 Eje menor

Entonces el valor del semieje menor es

$b^2=4 \hspace{2cm} b=2$

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

$B(0, 2) \hspace{2cm} B'(0, -2)$

4 Focos

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

$c=\sqrt{16-4} \hspace{2cm} c=2\sqrt{3}$

Y con éste, localizar los focos

$F(2\sqrt{3},0) \hspace{2cm} F'(-2\sqrt{3},0)$

5 Excentricidad

La excentricidad es igual al cociente de la distancia semifocal y el semieje mayor

$\displaystyle e=\frac{\sqrt{3}}{2}$

6 Gráfica

gráfica de la elipse

3 $\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$

1 Eje mayor

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

$a^2=25 \hspace{2cm} a=5$

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

$A(0,5) \hspace{2cm} A'(0,-5)$

2 Eje menor

Entonces el valor del semieje menor es

$b^2=9 \hspace{2cm} b=3$

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

$B(3,0) \hspace{2cm} B'(-3,0)$

3 Focos

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

$c=\sqrt{25-9} \hspace{2cm} c=4$

Y con éste, localizar los focos

$F(0,4) \hspace{2cm} F'(0,-4)$

4 Excentricidad

La excentricidad es igual al cociente de la distancia semifocal y el semieje mayor

$\displaystyle e=\frac{4}{5}$

5 Gráfica

grafica de una elipse

4 $\displaystyle 3x^2+2y^2=6$

1 Obtener ecuación canónica

$\displaystyle 3x^2+2y^2=6 \hspace{2cm} \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$

2 Eje mayor

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

$a^2= 3 \hspace{2cm} a=\sqrt{3}$

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

$A(0,\sqrt{3}) \hspace{2cm} A'(0,-\sqrt{3})$

3 Eje menor

Entonces el valor del semieje menor es

$b^2=2 \hspace{2cm} b=\sqrt{2}$

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

$B(\sqrt{2},0) \hspace{2cm} B'(-\sqrt{2},0)$

4 Focos

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

$c=\sqrt{3-2} \hspace{2cm} c=1$

Y con éste, localizar los focos

$F(0,1) \hspace{2cm} F'(0,-1)$

5 Excentricidad

La excentricidad es igual al cociente de la distancia semifocal y el semieje mayor

$\displaystyle e=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

6 Gráfica

grafica de una elipse dibujo

5 $x^2+2y^2-2x+8y+5=0$

1 Obtener ecuación canónica

$x^2+2y^2-2x+8y+5=0$

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto

$(x^2-2x+1)-1+2(y^2+4y+4)-8+5=0$

Cambiamos los trinomios por los binomios al cuadrado

$(x-1)^2+2(y+2)^2=4$

Dividimos todo por 4

$\displaystyle \frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(y+2)^2}{2}=1$

2 Centro

A partir de la ecuación de la elipse canónica encontramos el centro

$C(1,-2)$

3 Eje mayor

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

$a^2=4 \hspace{2cm}a=2$

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

$A(3,-2) \hspace{2cm} A'(-1,-2)$

4 Eje menor

El valor del semieje menor es

$b^2=2 \hspace{2cm}b=\sqrt{2}$

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

$B(1,-2+\sqrt{2}) \hspace{2cm} B'(1,-2-\sqrt{2})$

5 Focos

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

$c=\sqrt{4-2} \hspace{2cm}c=\sqrt{2}$

Y con éste, localizar los focos

$F(1+\sqrt{2},-2) \hspace{2cm} F'(1-\sqrt{2},-2)$

6 Gráfica

grafica de elipse con focos

6 $25x^2+9y^2-18y-216=0$

1 Obtener ecuación canónica

$25x^2+9y^2-18y-216=0$

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto

$25x^2+9(y^2-2y+1)-9-216=0$

Cambiamos los trinomios por los binomios al cuadrado

$25x^2+9(y-1)^2=225$

Dividimos todo por 225

$\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{(y-1)^2}{25}=1$

2 Centro

A partir de la ecuación de la elipse canónica encontramos el centro

$C(0,1)$

3 Eje mayor

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

$a^2=25 \hspace{2cm}a=5$

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

$A(0,6) \hspace{2cm} A'(0,-4)$

4 Eje menor

El valor del semieje menor es

$b^2=9 \hspace{2cm}b=3$

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

$B(3,1) \hspace{2cm} B'(-3,1)$

5 Focos

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

$c=\sqrt{25-9} \hspace{2cm}c=4$

Y con éste, localizar los focos

$F(0,5) \hspace{2cm} F'(0,-3)$

6 Gráfica

dibujar graficamente la elipse y sus focos

7 $x^2+3y^2-6x+6y=0$

1 Obtener ecuación canónica

$x^2+3y^2-6x+6y=0$

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto

$(x^2-6x+9)-9+3(y^2+2y+1)-3=0$

Cambiamos los trinomios por los binomios al cuadrado

$(x-3)^2+3(y+1)^2=12$

Dividimos todo por 12

$\displaystyle \frac{(x-3)^2}{12}+\frac{(y+1)^2}{4}=1$

2 Centro

A partir de la ecuación de la elipse canónica encontramos el centro

$C(3,-1)$

3 Eje mayor

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

$a^2=12\hspace{2cm}a=2\sqrt{3}$

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

$A(3+2\sqrt{3},-1) \hspace{2cm} A'(3-2\sqrt{3},-1)$

4 Eje menor

El valor del semieje menor es

$b^2=4 \hspace{2cm}b=2$

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

$B(3,1) \hspace{2cm} B'(3,-3)$

5 Focos

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

$c=\sqrt{12-4} \hspace{2cm}c=2\sqrt{2}$

Y con éste, localizar los focos

$F(3+2\sqrt{2},-1) \hspace{2cm} F'(3-2\sqrt{2},-1)$

6 Gráfica

grafica de los elementos de la elipse

8 $3x^2+y^2-24x+39=0$

1 Obtener ecuación canónica

$3x^2+y^2-24x+39=0$

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto

$3(x^2-8x+16)-48+y^2+39=0$

Cambiamos los trinomios por los binomios al cuadrado

$3(x-4)^2+y^2=9$

Dividimos todo por 9

$\displaystyle \frac{(x-4)^2}{3}+\frac{y^2}{9}=1$

2 Centro

A partir de la ecuación de la elipse canónica encontramos el centro

$C(4,0)$

3 Eje mayor

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

$a^2=9\hspace{2cm}a=3$

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

$A(4,3) \hspace{2cm} A'(4,-3)$

4 Eje menor

El valor del semieje menor es

$b^2=3 \hspace{2cm}b=\sqrt{3}$

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

$B(4+\sqrt{3},0) \hspace{2cm} B'(4-\sqrt{3},0)$

5 Focos

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

$c=\sqrt{9-3} \hspace{2cm}c=\sqrt{6}$

Y con éste, localizar los focos

$F(4,\sqrt{6}) \hspace{2cm} F'(4,-\sqrt{6})$

6 Gráfica

grafica de la elipse y sus focos

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Determina la ecuación de la elipse

9 Halla la ecuación de la elipse conociendo:

$C(0,0), \ F(2,0), \ A(3,0)$
$C(0,0), \ F(0,4), \ A(0,5)$
$C(1,-1), \ F(1,2), \ A(1,4)$
$C(-3,2), \ F(-1,2), \ A(2,2)$

1 $C(0,0), \ F(2,0), \ A(3,0)$

El valor de $a$ es la distancia del centro al vértice A, mientras que el valor de $c$ es la distancia del centro al foco, entonces

$a=3 \hspace{2cm} c=2$

Los valores $a$ , $b$ y $c$ guardan una relación pitagórica, es decir

$a^2=b^2+c^2$

Despejamos para calcular el valor de $b$

$b^2=a^2-c^2 \hspace{2cm} b=\sqrt{a^2-c^2}$

$b=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$

Concluímos que

$\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5} =1$

2 $C(0,0), \ F(0,4), \ A(0,5)$

El valor de $a$ es la distancia del centro al vértice A, mientras que el valor de $c$ es la distancia del centro al foco, entonces

$a=5 \hspace{2cm} c=4$

Los valores $a$ , $b$ y $c$ guardan una relación pitagórica, es decir

$a^2=b^2+c^2$

Despejamos para calcular el valor de $b$

$b^2=a^2-c^2 \hspace{2cm} b=\sqrt{a^2-c^2}$

$b=\sqrt{25-16}=3$

Concluímos que

$\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25} =1$

3 $C(1,-1), \ F(1,2), \ A(1,4)$

El valor de $a$ es la distancia del centro al vértice A, mientras que el valor de $c$ es la distancia del centro al foco, entonces

$a=5 \hspace{2cm} c=3$

Los valores $a$ , $b$ y $c$ guardan una relación pitagórica, es decir

$a^2=b^2+c^2$

Despejamos para calcular el valor de $b$

$b^2=a^2-c^2 \hspace{2cm} b=\sqrt{a^2-c^2}$

$b=\sqrt{25-9}=4$

Concluímos que

$\displaystyle \frac{(x-1)^2}{16}+\frac{(y+1)^2}{25} =1$

4 $C(-3,2), \ F(-1,2), \ A(2,2)$

El valor de $a$ es la distancia del centro al vértice A, mientras que el valor de $c$ es la distancia del centro al foco, entonces

$a=5 \hspace{2cm} c=2$

Los valores $a$ , $b$ y $c$ guardan una relación pitagórica, es decir

$a^2=b^2+c^2$

Despejamos para calcular el valor de $b$

$b^2=a^2-c^2 \hspace{2cm} b=\sqrt{a^2-c^2}$

$b=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}$

Concluímos que

$\displaystyle \frac{(x+3)^2}{25}+\frac{(y-2)^2}{21} =1$

10 Escribe la ecuación canónica de la elipse con centro en el origen que pasa por el
punto $(2, 1)$ y cuyo eje menor mide $4$ y se encuentra sobre el eje $Y$ .

El eje menor mide $2b$

$2b=4 \hspace{2cm} b=2$

Tiene centro en el origen y el eje menor está sobre el eje Y, por lo que la ecuación canónica es del tipo

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Como el punto (2,1) pertence a la elipse, sus coordenadas cumplen con la ecuación canónica

$\displaystyle \frac{2^2}{a^2}+\frac{1^2}{2^2}=1$

Despejamos para obtener el valor de $a$

$\displaystyle a=\frac{4}{\sqrt{3}}$

Conociendo los valores de $a$ y $b$ , concluimos que

$\displaystyle \frac{3x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$

11 La distancia focal de una elipse con centro en el origen es $4$ . Un punto de la elipse dista de sus focos $2$ y $6$ , respectivamente. Calcular la ecuación canónica de dicha elipse si el eje mayor está sobre el eje $X$ .

La distancia focal es igual al valor de $2c$

$2c=4 \hspace{2cm} c=2$

Recordemos que la suma de las distancia de un punto en la elipse a los focos es igual a $2a$

$2a=2+6 \hspace{2cm} a=4$

Los valores $a$ , $b$ y $c$ guardan una relación pitagórica, es decir

$a^2=b^2+c^2$

Despejamos para calcular el valor de $b$

$b^2=a^2-c^2 \hspace{2cm} b=\sqrt{a^2-c^2}$

$b=\sqrt{16-4}=\sqrt{12} \hspace{2cm} b=2\sqrt{3}$

Conociendo los valores de $a$ y $b$ , concluimos que

$\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$

12 Escribe la ecuación canónica de la elipse que pasa por los puntos:

$\displaystyle \left(1,\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \text{ y } \left(\sqrt{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Como pasa por los puntos: $\displaystyle \left(1,\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \text{ y } \left(\sqrt{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ , entonces sus coordenadas cumplen la ecuación canónica de la elipse. Esto es

$\displaystyle \left\{\begin{matrix} \frac{1}{a^2}+\frac{3}{4b^2}=1\\ \\ \frac{2}{a^2}+\frac{2}{4b^2}=1 \end{matrix}\right.$

Resolvemos el sistema

$\displaystyle \left\{\begin{matrix} -\cancel{\frac{2}{a^2}}-\frac{3}{2b^2}=-2\\ \\ \cancel{\frac{2}{a^2}}+\frac{2}{4b^2}=1 \end{matrix}\right. \\ \begin{matrix} \overline{\hspace{1cm} -\frac{1}{b^2}=-1\hspace{1cm}} \end{matrix}\hspace{2cm} \rightarrow \hspace{2cm} b=1$

Entonces

$\displaystyle \frac{2}{a^2}+\frac{2}{4\cdot 1^2}=1 \hspace{1cm} \frac{2}{a^2}+\frac{1}{2}=1 \hspace{1cm} \frac{2}{a^2}=\frac{1}{2}$

Despejamos $a$

$a^2=4 \hspace{1cm} a=2$

Finalmente

$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$

13 Determina la ecuación canónica de un elipse con centro en el origen y eje mayor en el eje $X$ , cuya distancia focal es $8\sqrt{6}$ y el área del rectángulo con lados que midan lo mismo que los ejes (mayor y menor) es $80$ u².

Como los lados del rectángulo son los ejes, y estos miden $2a$ y $2b$ entonces

$2a\cdot 2b=80$

La distancia focal es igual a $2c$

$2c=8\sqrt{6} \hspace{2cm} c=4\sqrt{6}$

Los valores $a$ , $b$ y $c$ guardan una relación pitagórica, es decir

$a^2=b^2+c^2 \hspace{2cm} a^2 = b^2+(4\sqrt{6})^2$

Esto nos conduce a tener un sistema de dos ecuaciones

$\left\{\begin{matrix} a^2 = b^2+(4\sqrt{6})^2\\ 2a\cdot 2b=80 \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.$

De la primera ecuación despejamos $a^2$ y de la segunda $b$

$\displaystyle \left\{\begin{matrix} a^2=b^2+96\\ b=\frac{20}{a} \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.$

Usamos $b$ de la segunda ecuación para sustituir en la primera

$\displaystyle a^2=\left(\frac{20}{a}\right)^2+96$

Desarrollamos

$a^4-96a^2-400=0$

Resolvemos con la fórmula general y obtenemos el valor de $b$

$a=10 \hspace{2cm} b=2$

Conociendo los valores de $a$ y $b$ , concluimos que

$\displaystyle \frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{4}=1$

Encuentra las coordenadas

14 Hallar las coordenadas del punto medio de la cuerda que intercepta
la recta: $x + 2y - 1 = 0$ en la elipse de ecuación: $x^2+ 2y^2= 3$ .

1 Encontrar puntos de intersección

Los puntos de intersección son los que resuelven el sistema de las ecuaciones de la recta y la elipse.

$\left\{\begin{matrix} x+2y-1=0\\ x^2+2y^2=3 \ \ \ \end{matrix}\right.$

Para resolver podemos despejar $x$ de la primera ecuación y elevar al cuadrado. También despejamos $x^2$ de la segunda ecuación

$\left\{\begin{matrix} x=1-2y\\ x^2+2y^2=3 \ \ \ \end{matrix}\right. \hspace{2cm} \left\{\begin{matrix} x^2=(1-2y)^2\\ x^2=3 -2y^2\ \ \ \end{matrix}\right.$

Igualamos ambas ecuaciones

$(1-2y)^2=3 -2y^2$

$1-4y-4y^2 =3-2y^2$

$6y^2-4y-2=0$

Usamos la fórmula general para encontrar las soluciones

$\displaystyle y=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4(6)(-2)}}{2(6)}$

$\displaystyle y=\frac{4\pm \sqrt{16+48}}{12}=\frac{4\pm \sqrt{64}}{12}=\frac{4\pm 8}{12}$

Las soluciones para la coordenada $y$ son

$\displaystyle y_1=1$

$\displaystyle y_2=-\frac{1}{3}$

Las coordenadas $x$ se calculan usando alguna ecuación del sistema, en este caso usaremos

$x=1-2y$

Así que los puntos de interección están dados por

$A(-1,1)$

$\displaystyle B\left(\frac{5}{3},-\frac{1}{3}\right)$

2 Encontrar punto medio

El punto medio entre los puntos A y B está dado por

$\displaystyle M\left(\frac{-1+\frac{5}{3}}{2},\frac{1-\frac{1}{3}}{2}\right)\hspace{2cm} M\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$

representacion grafica de una elipse y una cuerda

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Resumen

La Elipse: Resumen

Ecuacion de la parabola

Resumen de ecuación de la circunferencia

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Ecuacion de la hiperbola con eje paralelo a OX

¿Qué es una Parabola?

Ecuación reducida de la parabola de eje vertical

La hiperbola

Todo sobre las conicas

Ecuación de la hipérbola equilátera

Excentricidad de la elipse

Ecuacion de la elipse de eje vertical

Ecuacion de la circunferencia

Ecuacion de la hiperbola con eje vertical

Ecuacion de la parabola de eje vertical

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Ecuacion de la parabola parte II

Interseccion de una conica y una recta

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Ejercicios de la ecuacion de la elipse

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Ecuacion general y ordinaria de la circunferencia

Ecuacion de la elipse

Saberlo todo sobre la ecuacion de la hiperbola

Ejercicios ecuaciones ordinaria de la parabola

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Posiciones relativas de una conica y una recta

Hiperbola equilatera

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Ejercicios de la ecuacion de la hiperbola II

Ejercicios de la ecuacion de la parabola

Ejercicios de la ecuacion de la circunferencia 2

Ejercicios sobre parabolas

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Ejercicios de la ecuacion de la hiperbola

Ejercicios de la ecuacion de la circunferencia I

Problemas y ejercicios resueltos de la ecuacion de la hiperbola

Ejercicios de la ecuacion de la parabola II

Ejercicios de la ecuacion de la circunferencia II

Ejercicios de ecuacion de la elipse II

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Perez08

Noviembre 2022

Me ayudan con esto xfv:Aplicación en la Vida Real Una parte del jardín trasero de la Casa Blanca se llama La Elipse. El eje mayor es 1058 pies y el eje menor es 903 pies. Encuentra la ecuación de la elipse horizontal, asumiendo que tiene su centro en el origen.

Mmmm

Octubre 2022

Hallar las ecuaciones de las elipses siguiente de forma que satisfagan condiciones que se indican focos (+-4,0) vértice (+-5,0)

Edwin

Agosto 2022

Grafica y halla las ecuaciones de la elipse: C(0,0)V(8,0)B(0,-6)

Elisabeth

Julio 2022

Hola me ayudarian con este ejercicio La ecuación de una elipse con centro en el orígen cullo eje coincide con el eje de las (Y) es X2 y2 = 1 64 81

Derick

Abril 2022

Hola me ayudarían con esteárica ecuacion me la podrían convertir en una Elipse 4X(2) + 4Y=4Y + 4

Betsabe

Diciembre 2021

Q bien

Betsabe

Diciembre 2021

Que buena explicación

Diciembre 2021

\left. \beginarray l v _ 1 ( 13 , 0 ) \\ F _ 1 ( 12 , 0 ) \endarray \right.

Ejercicios y problemas con la ecuación de la elipse

Hallar los elementos de la elipse

Determina la ecuación de la elipse

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