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La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante, esto es,

    $$\overline{PF}+\overline{PF'}=2a.$$

 

Elementos principales de una elipse
Figura 1. Elementos principales de una elipse.

 

La ecuación de una elipse en posición estándar toma la forma

(1)   \begin{equation*} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad\text{con}\quad a>b. \end{equation*}

A la ecuación (1) también se le conoce como la ecuación reducida de la elipse de eje horizontal, y si a<b, se le conoce como la ecuación reducida de la elipse de eje vertical.

Además, si el centro de la elipse no es el origen, entonces la ecuación de una elipse toma la forma

    $$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,$$

donde el punto (x_0,y_0) corresponde al centro de dicha elipse. Nuevamente, si a>b, la elipse se encuentra en posición horizonal, y si a<b, la elipse se ecuentra en posición vertical.

 

Elementos de la elipse

1Focos: Son los puntos fijos F y F'.

2Eje focal : Es la recta que pasa por los focos.

3Eje secundario: Es la mediatriz del segmento \overline{FF'}.

4Centro: Es el punto de intersección de los ejes, usualmente denotado por O.

5Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

6Distancia focal: Es el segmento \overline{FF'} de longitud 2c , donde c es el valor de la semidistancia focal.

7Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

8Eje mayor: Es el segmento \overline{AA'} de longitud 2a , donde a es el valor del semieje mayor.

9Eje menor: Es el segmento \overline{BB'} de longitud 2b , donde b es el valor del semieje menor.

10Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

11Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

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Vamos

Relación entre la distancia focal y los semiejes

El significado de las cantidades a, b y c está ilustrado en la figura 2. Además, usando el Teorema de Pitagoras , se tiene que

    $$ a^2=b^2+c^2.$$

 

Relación entre la distancia focal y los semiejes de una elipse
Figura 2. Relación entre las cantidades a, b y c de una elipse.

Excentricidad de la elipse

La excentricidad es un número que mide el mayor o menor achatamiento de la elipse y es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor, esto es

    $$ e=\frac{c}{a}.$$

Además, dado que siempre se tiene que a>c , la excentricidad satisface que

    $$ 0<e<1. $$

 

Observaciones: 1 Si la excentricidad de una elipse fuera 0 , tendríamos que

    $$ e=0\quad\Rightarrow\quad \frac{c}{a}=0\quad\Rightarrow\quad c=0\quad\Rightarrow\quad a^2=b^2+0^2\quad\Rightarrow\quad a=b, $$

lo cual se traduce a que los focos son iguales al centro, esto es,

    $$ F=O=F'.$$

Por lo tanto no tendríamos una elipse, si no un circulo con centro en O.

 

Excentricidad 0 de una elipse

 

2 Si la excentricidad de una elipse fuera 1 , entonces tendríamos que

    $$ e=1\quad\Rightarrow\quad \frac{c}{a}=1\quad\Rightarrow\quad c=a \quad\Rightarrow\quad a^2=b^2+c^2\quad\Rightarrow \quad b=0.$$

Así, si b=0 , de la figura 2 observamos que solo tendríamos el eje focal , es decir, una "elipse" con excentricidad e=1 no es más que una recta.

 

Excentricidad 1 de una elipse

 

A continuación se muestras algunos ejemplos de elipses con distintos valores de excentricidad:

1 Elipse con excentricidad e = 4/5.

Excentricidad de una elipse

 

2 Elipse con excentricidad e = \sqrt{21}/5.

Excentricidad de una elipse

 

3 Elipse con excentricidad e=1/2.

Excentricidad de una elipse
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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗