Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas.Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:

 

F'(-c,0) y F(c,0)

 

Ecuacion reducida de la hiperbola

 

Cualquier punto de la hipérbola cumple:

 

\overline{PF}-\overline{PF'}=2a

 

Esta expresión da lugar a:

 

\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a

 

Realizando las operaciones y considerando que b^2=c^2-a^2, llegamos a:

 

\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1

 

La excentricidad de la hipérbola es

 

e=\cfrac{c}{a}

 

Ejemplo 1. Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(4, 0), de vértice A(2, 0) y de centro C(0, 0).

 

1 El valor a es igual a la distancia del centro al vértice, por lo que a=2

 

2 El valor c es igual a la distancia del centro al foco, por lo que c=4

 

3 Calculamos el valor b empleando la fórmula b^2=c^2-a^2

 

b^2=4^2-2^2=12

 

luego b=2\sqrt{3}

 

4 Sustituimos en la ecuación reducida de la hipérbola

 

\cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{12}=1

 

Ejemplo 2. Hallar la ecuación y la excentricidad de la hipérbola que tiene como focos los puntos F'(-5, 0) y F(5, 0), y 6 como diferencia de los radios vectores.

 

1 El valor a es igual a la mitad de la diferencia de los radios vectores, por lo que a=3

 

2 El valor c es igual a la mitad de la distancia entre los focos, por lo que c=5

 

3 Calculamos el valor b empleando la fórmula b^2=c^2-a^2

 

b^2=5^2-3^2=16

 

luego b=4

 

4 Sustituimos en la ecuación reducida de la hipérbola

 

\cfrac{x^2}{9}-\cfrac{y^2}{16}=1

 

5 Calculamos la excentricidad realizando el cociente entre c y a

 

e=\cfrac{5}{3}

 

Ejemplo 3. Hallar las coordenadas de los vértices y de los focos, las ecuaciones de las asíntotas y la excentricidad de la hipérbola 9x^2 - 16y^2 = 144.

 

1 Escribimos la ecuación de la hipérbola en su forma reducida, para lo cual dividimos ambos lados de la ecuación entre 144

 

\cfrac{9x^2}{144} - \cfrac{16y^2}{144} = \cfrac{144}{144}

 

y obtenemos

 

\cfrac{x^2}{16} - \cfrac{y^2}{9} =1

 

2 A partir de la ecuación reducida obtenemos a^2=16, por lo que a=4

 

3 A partir de la ecuación reducida obtenemos b^2=9, por lo que b=3

 

4 Calculamos el valor c empleando la fórmula b^2=c^2-a^2

 

3^2=c^2-4^2

 

luego c=5

 

5 Calculamos la excentricidad realizando el cociente entre c y a

 

e=\cfrac{5}{4}

 

6 Calculamos las asíntotas igualando la parte izquierda de la ecuación de la hipérbola a cero

 

\cfrac{x^2}{16} - \cfrac{y^2}{9} =0

 

Despejando y, obtenemos las ecuaciones de las asíntotas

 

y=\pm\cfrac{3x}{4}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗