Hipérbola y sus elementos

Comencemos recordando un poco acerca de la hipérbola. La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante en valor absoluto.

Hipérbola
Elementos de una hipérbola.

En la gráfica anterior, significa que |overline{PF}-overline{PF}'|=2a para cualquier punto P de la hipérbola.

Elementos de la hipérbola

1Focos: son los puntos fijos F y F'.

2Eje focal, principal o real: es la recta que pasa por los focos.

3Eje secundario o imaginario: es la mediatriz del segmento FF'.

4 Centro: es el punto de intersección de los ejes.

5 Vértices: los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.

6Radios vectores: son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.

7Distancia focal: es el segmento overline{FF}' de longitud 2c.

8Eje mayor: es el segmento overline{AA'} de longitud 2a.

9Eje menor: es el segmento oveline{BB'} de longitud 2b.Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.

10Ejes de simetría: son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.

11Asintotas: son las rectas de ecuaciones: displaystyle y=-frac{b}{a}x,  y=frac{b}{a}x

12Relación entre los semiejes: c^2=a^2+b^2

Excentricidad de la hipérbola

La excentricidad es un parámetro que indica la abertura de la hipérbola. Este número, en el caso de las hipérbolas, siempre es mayor que 1.

displaystyle e=frac{c}{a} quad quad textrm{con} quad quad cgeq a, quad egeq 1.

excentricidad de una hiperbola

Podemos encontrar más información de la excentricidad de una hipérbola aquí.

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Vamos

Hipérbola equilátera

Las hipérbolas en las que los semiejes son iguales se llaman equiláteras, y por tanto a = b.

Ejemplo de hipérbola equilátera
Ejemplo de hipérbola equilátera  x^2 - y^2 = 16.
En este caso la hipérbola (centrada en el origen) cuenta con los siguientes elementos.

  • Tiene por ecuación:
     [ frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{a^2} = 1 quad quad textrm{o} quad quad x^2 - y^2 = a^2, ]
  • Sus asíntotas son:
    [ y = pm frac{a}{a}x quad quad textrm{es decir} quad quad y = pm x ]
    por lo que las asíntotas son las bisectrices de los cuadrantes.
  • Su excentricidad viene dada por:
    begin{align*} e &= frac{sqrt{a^2 + b^2}}{a} &= frac{sqrt{2a^2}}{a} &= sqrt{2} end{align*}

Ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas

Hipérbola equilátera
Hipérbola equilátera con ejes OX, OY

Ahora, si queremos pasar de los ejes OX, OY a los ejes determinados por las asíntotas de la hipérbola equilátera, entonces basta con efectuar un giro de -45^{circ} alrededor del origen de coordenadas.

Recordemos que las coordenadas de un punto (x,y) después de una rotación de un ángulo theta estan dadas por (x',y') donde
 begin{align*} x' &= x cos theta - y sin theta,  y' &= xsin theta + y cos theta. end{align*}
De lo anterior, tendremos que la ecuación de la hipérbola equilátera después de un giro de -45^{circ} es
 begin{gather*} (x')^2 - (y')^2 = a^2 Rightarrow quad (x cos -45^{circ} - y sin -45^{circ})^2 - (xsin -45^{circ} + y cos -45^{circ})^2 = a^2 Rightarrow quad frac{x^2}{2}-frac{2xy}{2}+frac{y^2}{2}- frac{x^2}{2}-frac{2xy}{2}-frac{y^2}{2} = a^2 Rightarrow quad -2xy = a^2 quad Rightarrow quad xy = frac{a^2}{2} end{gather*}

Es decir,
 begin{equation}xy = k quad textrm{con} quad k quad textrm{costante} end{equation}.

Hipérbola equilátera
Hipérbola equilátera después de un giro de -45^{circ} con ejes determinados por sus asíntotas.

Si en lugar de un giro de -45^{circ} efectuamos un giro de 45^{circ} en los ejes, la hipérbola queda en el segundo y cuarto cuadrante y su ecuación será:
 begin{equation*} xy = -k quad textrm{con} quad k quad textrm{costante} end{equation*}

Hipérbola equilátera
Hipérbola equilátera después de un giro de 45^{circ}.

Ejercicio considerando una hipérbola equilátera

La ecuación  xy = 1 representa una hipérbola equilátera, calcular sus vértices y focos.

Notemos que se trata de una hipérbola como la que tenemos en (1), entonces las coordenadas de los vértices A, A' se encuentran en la bisectriz del primer y tercer cuadrante, esto nos dice que la primera y la segunda coordenada de los vértices serán iguales, es decir, en los vértices tendremos que x=y. Por otro lado, también se tiene que los vértices pertenecen a la curva por lo que se debe cumplir que  xy = 1 . Uniendo estas ultimas dos condiciones obtenemos que
 [ xx =x^2 = 1 quad Rightarrow quad x = pm 1 ]
y de aquí
 [ A = (1,1) quad textrm{y} quad A' = (-1,-1) ] Para los focos, comenzaremos calculando a,b y c. Ya que a es la distancia del origen al vértice, utilizando la formula de distancia entre dos puntos tendremos que
[ a = sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = sqrt{1+1} = sqrt{2}, ]
al tratarse de una hipérbola equilátera
[ a = b = sqrt{2} ]
y utilizando la relación entre los semiejes
 [c = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{(sqrt{2})^2 + (sqrt{2})^2} = 2. ] Ahora bien, los focos se encuentran a una distancia c del origen, por lo tanto si F= (x,y)
begin{gather*} c = sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = sqrt{x^2 + y^2}  c^2 = x^2 + y^2 end{gather*}
además, los focos también se encuentran en la bisectriz del primer y tercer cuadrante entonces en  F y F' tendremos que  x= y . Considerando lo anterior
 begin{gather*} c^2 = x^2 + y^2 quad Rightarrow quad 4 = x^2 + x^2  4 = 2x^2 quad Rightarrow quad x = pm sqrt{2} end{gather*}
y de aquí
 [ F = (sqrt{2},sqrt{2}) quad textrm{y} quad F' = (-sqrt{2},-sqrt{2}) ] Hipérbola del ejercicio Hipérbola  xy =1 .

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗