1 Calcula la posición relativa de la circunferencia x^{2}+y^{2}-2x-3=0 y la recta 3x+y-5=0.

Calcula la posición relativa de la circunferencia x^{2}+y^{2}-2x-3=0 y la recta 3x+y-5=0.

 

1 Planteamos un sistema de ecuaciones entre la ecuación de la circunferencia y la de la recta

 

\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-2x-3=0 \\ \\ 3x+y-5=0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.

 

2 Resolvemos el sistema de ecuaciones, para ello, lo más fácil es despejar la variable y de la segunda ecuación y sustituirlo en la primera

 

y=5-3x, lo sustituimos en la primer ecuación:

 

x^{2}+(5-3x)^{2}-2x-3=0

 

5x^{2}-16x+11=0

 

x=\cfrac{16\pm \sqrt{256-220}}{10}=\cfrac{16\pm 6}{10}

 

x_{1}=\cfrac{11}{5}\; \; \; \; \; x_{2}=1

 

3 Sustituimos los valores de x en la ecuación de la recta para obtener las coordenadas de los puntos de intersección

 

\begin{matrix} x_{1}=\cfrac{11}{5} & & x_{2}=1\\ & & \\ y=5-3\left (\cfrac{11}{5} \right ) & & y=5-3(1)\\ & & \\ y=-\cfrac{8}{5} & & y=2 \end{matrix}

 

Los puntos de intersección son P\left ( \frac{11}{5},-\frac{8}{5} \right ) y Q(1,2)

 

grafica interseccion conica y recta

 

 

 

 

 

 

Al haber 2 puntos de intersección, la recta es secante con la circunferencia

 

2 Estudiar la posición relativa de la circunferencia x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0 con las rectas:

 

A x+7y-20=0

 

B 3x+4y-27=0

 

C x+y-10=0

Estudiar la posición relativa de la circunferencia x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0 con las rectas:

 

A x+7y-20=0

 

1 Planteamos un sistema de ecuaciones con la circunferencia y la recta

 

\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0\\ \\ x+7y-20=0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.

 

2 Para resolver el sistema, despejamos x de la ecuación de la recta y lo sustituimos en la ecuación de la circunferencia

 

x=20-7y

 

(20-7y)^{2}+y^{2}-4(20-7y)+2y-20=0

 

25y^{2}-126y+150=0

 

y=\cfrac{126\pm \sqrt{(-126)^{2}-4(25)(150)}}{2(25)}

 

y_{1}=3\; \; \; \; \; y_{2}=2

 

3 Sustituimos los valores obtenidos de y en el despeje de x

 

\begin{matrix} y_{1}=3 & & y_{2}=2\\ & & \\ x=20-7(3) & & x=20-7(2) \\ & & \\ x_{1}=-1 & & x_{2}=6 \end{matrix}

 

Los puntos de intersección son P(-1,3) y Q(2,6)

 

grafica conica y recta

 

 

 

 

 

 

Al haber dos puntos de intersección, la recta es secante con la circunferencia

 

B 3x+4y-27=0

 

1 Planteamos un sistema de ecuaciones con la circunferencia y la recta

 

\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0\\ \\ 3x+4y-27=0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.

 

2 Para resolver el sistema, despejamos x de la ecuación de la recta y lo sustituimos en la ecuación de la circunferencia

 

x=\cfrac{27-4y}{3}

 

\left (\cfrac{27-4y}{3} \right )^{2}+y^{2}-4\left ( \cfrac{27-4y}{3} \right )+2y-20=0

 

\cfrac{25y^{2}}{9}-\cfrac{50y}{3}+25=0

 

25y^{2}-150y+225=0

 

y^{2}-6y+9

 

(y-3)^{2}=0

 

y=3

 

3 Sustituimos el valor obtenido de y para obtener las coordenadas del punto de intersección

 

x=\cfrac{27-4(3)}{3}

 

x=5

 

El punto de intersección entre la circunferencia y la recta es P(5,3)

 

representación gráfica de conica y recta

 

 

 

 

 

 

Al haber sólo un punto de intersección, la recta es tangente a la circunferencia.

 

C x+y-10=0

 

1 Planteamos un sistema de ecuaciones con la circunferencia y la recta

 

\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0\\ \\ x+y-10=0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: \: \: \end{matrix}\right.

 

2 Para resolver el sistema, despejamos y de la ecuación de la recta y lo sustituimos en la ecuación de la circunferencia

 

y=10-x

 

x^{2}+(10-x)^{2}-4x+2(10-x)-20=0

 

2x^2-26x+100=0

 

x^2-13x+50=0

 

x=\cfrac{-(-13)\pm \sqrt{(-13)^{2}-4(1)(10)}}{2}

 

x=\cfrac{13\pm \sqrt{-31}}{2}

 

La ecuación cuadrática no tiene solución por lo que no hay intersección entre la circunferencia y la recta

grafica conica y recta 2

 

 

 

 

 

 

Al no haber intersección, la recta es exterior a la circunferencia.

3 Determina la posición relativa de la recta x+y-1=0 con la hipérbola x^{2}-2y^{2}=1

[Determina la posición relativa de la recta x+y-1=0 con la hipérbola x^{2}-2y^{2}=1

 

1 Planteamos un sistema de ecuaciones con la hipérbola y la recta

 

\left\{\begin{matrix} x^{2}-2y^{2}=1\\ \\ x+y-1=0 \end{matrix}\right.

 

2 Para resolver el sistema, despejamos y de la ecuación de la recta y lo sustituimos en la ecuación de la hipérbola

 

y=1-x

 

x^{2}-2(1-x)^{2}=1

 

x^{2}-4x+3=0

 

(x-3)(x-1)=0

 

x_{1}=3\; \; \; \; \; x_{2}=1

 

3 Sustituimos el valor obtenido de x para obtener las coordenadas de los puntos de intersección

 

\begin{matrix} x_{1}=3 & & x_{2}=1\\ & & \\ y=1-3 & & y=1-1\\ & & \\ y_{1}=-2 & & y_{2}=0 \end{matrix}

 

Los puntos de intersección entre la hipérbola y la recta son P(3,-2) y [latex]Q(1,0)

 

gráfica hiperbola y recta

 

 

 

 

 

 

Al haber 2 puntos de intersección, la recta y la hipérbola son secantes.

 

4 Calcular la posición relativa de la recta x+y-5=0 respecto a la parábola y^{2}=16x

Calcular la posición relativa de la recta x+y-5=0 respecto a la parábola y^{2}=16x

 

1 Planteamos un sistema de ecuaciones con la parábola y la recta

 

\left\{\begin{matrix} y^{2}=16x\\ \\ x+y-5=0 \end{matrix}\right.

 

2 Para resolver el sistema, despejamos y de la ecuación de la recta y lo sustituimos en la ecuación de la parábola

 

y=5-x

 

(5-x)^{2}=16x

 

x^{2}-26x+25=0

 

(x-1)(x-25)=0

 

x_{1}=1\; \; \; \; \; x_{2}=25

 

3 Sustituimos el valor obtenido de x para obtener las coordenadas de los puntos de intersección

 

\begin{matrix} x_{1}=1 & & x_{2}=25\\ & & \\ y=5-1 & & y=5-25\\ & & \\ y_{1}=4 & & y_{2}=-20 \end{matrix}

 

Los puntos de intersección son P(1,4) y Q(25,-20)

 

grafica intersección hiperbola y recta

 

 

 

 

 

 

 

 

Al haber dos puntos de intersección, la recta y la parábola son secantes

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗