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Ecuación de la parábola con vértice en el origen

1 Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice coincide con el origen de coordenadas y pasa por el punto (3, 4), siendo su eje OX.

1 Como la parábola tiene vértice en el origen y eje OX, su ecuación es de la forma

 

y^2=2px

 

2 Necesitamos conocer el valor de p, como la parábola pasa por (3,4) satisface la ecuación de la parábola

 

4^2=2p\cdot 3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 16=6p

 

3 Despejando p obtenemos p=\cfrac{8}{3}

 

4 Sustituyendo en la ecuación de la parábola obtenemos

 

y^2=\cfrac{16}{3}\cdot x

 

 

2 Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice coincide con el origen de coordenadas y pasa por el punto (3, 5), siendo su eje OY.

1 Como la parábola tiene vértice en el origen y eje OY, su ecuación es de la forma

 

x^2=2py

 

2 Necesitamos conocer el valor de p, como la parábola pasa por (3,5) satisface la ecuación de la parábola

 

3^2=2p\cdot 5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 9=10p

 

3 Despejando p obtenemos p=\cfrac{9}{10}

 

4 Sustituyendo en la ecuación de la parábola obtenemos

 

x^2=\cfrac{9}{5}\cdot y

 

Ecuación de la parábola con vértice sobre los ejes coordenados

 

3 Escribe la ecuación de la parábola de eje paralelo a OY, vértice en OX y que pasa por los puntos A(2, 3) y B(-1, 12).

1 Como la parábola tiene vértice en el eje OX, este es de la forma (a,0). También sabemos que su eje es paralelo a OY, por lo que su ecuación es de la forma

 

(x-a)^2=2py

 

2 Necesitamos conocer el valor de p y a, como la parábola pasa por (2,3) y (-1,12) satisface la ecuación de la parábola

 

(2-a)^2=2p\cdot 3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 4-4a+a^2=6p

(-1-a)^2=2p\cdot 12 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 1+2a+a^2=24p

 

y obtenemos el sistema

 

\left\{\begin{array}{l}4-4a+a^2=6p\\ 1+2a+a^2=24p\end{array}\right.

 

3 Resolviendo el sistema obtenemos dos valores a_1=5, p_1=\cfrac{3}{2} y a_2=1, p=\cfrac{1}{6}

 

4 Sustituyendo en la ecuación de la parábola obtenemos dos ecuaciones

 

(x-5)^2=3y

(x-1)^2=\cfrac{y}{3}

 

 

4 Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: r\equiv x + 5 = 0 y por vértice el punto V(0,1).

1 Como la directriz es paralela al eje OX y el vértice es V(0,3), la ecuación de la parábola es de la forma

 

(y-1)^2=2px

 

2 La distancia del vértice a la directriz es igual a la mitad de p

 

\begin{array}{rcl}d(V,r)&=&\cfrac{p}{2}\\\\ \cfrac{0+5}{\sqrt{1^2+0^2}}&=&\cfrac{p}{2}\\\\ 10&=&p\end{array}

 

3 La ecuación de la parábola es

 

(y-1)^2=20x

 

 

5 Escribe la ecuación de la parábola de eje paralelo a OX, vértice en OY y que pasa por los puntos A(1, 2) y B(1, 5).

1 Como la parábola tiene vértice en el eje OY, este es de la forma (0,b). También sabemos que su eje es paralelo a OX, por lo que su ecuación es de la forma

 

(y-b)^2=2px

 

2 Necesitamos conocer el valor de p y b, como la parábola pasa por (1,2) y (1,5) satisface la ecuación de la parábola

 

(2-b)^2=2p\cdot 1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 4-4b+b^2=2p

(5-b)^2=2p\cdot 1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 25-10b+b^2=2p

 

y obtenemos el sistema

 

\left\{\begin{array}{l}4-4b+b^2=2p\\ 25-10b+b^2=2p\end{array}\right.

 

3 Resolvemos el sistema y obtenemos que b=\cfrac{7}{2} y p=\cfrac{9}{8}

 

4 Sustituyendo en la ecuación de la parábola obtenemos

 

\left(y-\cfrac{7}{2}\right)^2=\cfrac{9}{4}\cdot x

 

 

6 Escribe la ecuación de la parábola de eje paralelo a OX, vértice en OY y que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-1, 5).

1 Como la parábola tiene vértice en el eje OY, este es de la forma (0,b). También sabemos que su eje es paralelo a OX, por lo que su ecuación es de la forma

 

(y-b)^2=2px

 

2 Necesitamos conocer el valor de p y b, como la parábola pasa por (1,2) y (-1,5) satisface la ecuación de la parábola

 

(2-b)^2=2p\cdot 1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 4-4b+b^2=2p

(5-b)^2=2p\cdot (-1) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 25-10b+b^2=-2p

 

3 y obtenemos el sistema

 

\left\{\begin{array}{l}4-4b+b^2=2p\\ 25-10b+b^2=-2p\end{array}\right.

 

3 Resolvemos el sistema

 

\begin{array}{rcl}4-4b+b^2&=&-25+10b-b^2\\ 2b^2-14b+29&=&0\end{array}

 

Pero la última ecuación no tiene raíces reales, ya que su discriminante es negativo

 

4 Así decimos que no existe una parábola que cumpla con las condiciones dadas

 

Ecuación de la parábola con vértice fuera de los ejes coordenados

 

7 Escribe la ecuación de la parábola con vértice en V(-4,3) y foco F(1, 3).

1 Como las segundas coordenadas del vértice y del foco son iguales, entonces el eje de la parábola es paralelo al eje OX.

 

2 Como la parábola tiene vértice V(-4,3) y sabemos que su eje es paralelo a OX, su ecuación es de la forma

 

(y-3)^2=2p(x+4)

 

3 Necesitamos conocer el valor de p y a, como la distancia del vértice al foco es la mitad de p, obtenemos

 

\begin{array}{rcl}d(V,F)&=&\cfrac{p}{2}\\\\ \sqrt{(-4-1)^2+(3-3)^2}&=&\cfrac{p}{2}\\\\ 10&=&p\end{array}\right.

 

4 Sustituyendo en la ecuación de la parábola obtenemos

 

(y-3)^2=20(x+4)

 

 

8 Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: r\equiv x + y - 6 = 0 y por foco el origen de coordenadas.

1 Sabemos que para cualquier punto P(x,y) de la parábola, la distancia del punto al foco F(0,0) es igual a la distancia del punto a la directriz r\equiv x+y-6=0

 

d(P,F)=d(P,r)

 

2 Calculamos las distancias y obtenemos

 

d(P,F)=\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}

d(P,r)=\cfrac{x+y-6}{\sqrt{1^2+1^2}}

 

3 Igualamos ambas distancias, elevamos ambos lados al cuadrado y obtenemos

 

\begin{array}{rcl}\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}&=&\cfrac{x+y-6}{\sqrt{1^2+1^2}}\\\\ \left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^2&=&\left(\cfrac{x+y-6}{\sqrt{2}}\right)^2\\\\ 2x^2+2y^2&=&x^2+y^2+2xy-12x-12y+36\\\\ x^2+y^2-2xy+12x+12y-36&=&0\end{array}

 

4 La ecuación de la parábola es

 

x^2+y^2-2xy+12x+12y-36=0

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗