Fórmulas de la ecuación de la hipérbola

Empezaremos estudiando los elementos que componen a la hipérbola

La hiperbola y sus componentes

Primero notemos que la diferencia de las distancias de un punto de la hipérbola a

los focos de la hipérbola es

    $$\overline{PF}-\overline{PF'}=2a.$$

También del triángulo rectángulo formado por los punto A, B y el origen O, se tiene que

    $$c^{2}=a^{2}+b^{2}.$$

De lo anterior obtenemos los parámetros de la hipérbola usando las magnitudes a, b y c.

1 Excentricidad

 

    $$e=\cfrac{c}{a},\quad c\geq a,\quad e\geq1.$$

 

2 Asíntotas

    $$y=-\cfrac{b}{a}x,\quad y=\cfrac{b}{a}x.$$

 

3 Ecuación reducida de la hipérbola

F'(-c,0) y F(c,0)

 

    $$\cfrac{x^{2}}{a^{2}}-\cfrac{y^{2}}{b^{2}}=1.$$

 

4 Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje OY

F'(0, -c) y F(0, c)

 

    $$\cfrac{y^{2}}{a^{2}}-\cfrac{x^{2}}{b^{2}}=1.$$

 

5 Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OX, y centro distinto al origen

 

    $$\cfrac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}-\cfrac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1.$$

Más general dicha ecuación se ve de la siguiente manera,

    $$Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0.$$

Donde A y B tienen signos opuestos.

 

6 Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OY, y centro distinto al origen

    $$\cfrac{(y-y_{0})^{2}}{a^{2}}-\cfrac{(x-x_{0})^{2}}{b^{2}}=1.$$

 

En el caso equilátero tenemos que a=b y por lo tanto la ecuación esta dada por

    $$x^{2}-y^{2}=a^{2}.$$

Y sus parámetros estan dados por

1 Asíntotas

    $$y=x,\quad y=-x.$$

 

2 Excentricidad

    $$e=\sqrt{2}.$$

 

3 Ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas

    $$x\cdot y=\cfrac{a^{2}}{2},\quad x\cdot y=k.$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗