En este artículo veremos distintas ecuaciones de la hipérbola y cómo obtenerlas.

 

Ecuación reducida de la hipérbola centrada en el origen con eje real horizontal

 

Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenados, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen del plano. En este caso consideraremos el eje real sobre el eje de las abscisas.

 

Ecuación de hipérbola centrada en el origen con eje horizontal

 

Analicemos las partes de la hipérbola que se muestran en la imagen y algunas propiedades:

 

1 El centro es el origen C(0,0). El centro siempre será el punto medio entre los vértices, el cual, a su vez, coincide con el punto medio de los focos.

 

2 Vértices: Los vértices están dados por los puntos V(a,0) y V'(-a,0). Cada vértice está a la misma distancia del centro, a unidades.

 

3 Focos: Los focos está dados por los puntos F(c,0) y F'(-c,0). Cada foco está a la misma distancia del centro, c unidades.

 

4 Eje real: Es el segmento de recta que une los vértices, esto es \overline{VV'}, su valor (longitud) es igual a 2a. Este eje está sobre el eje de las abscisas.

 

5 Eje imaginario: Es el segmento de recta que une los puntos B y B', esto es \overline{BB'}, su valor (longitud) es igual a 2b. Este eje está sobre el eje de las ordenadas.

 

6 Eje focal: Eje imaginario: Es el segmento de recta que une los focos, esto es \overline{FF'}, su valor (longitud) es igual a 2c.

 

7 Las constantes a, b y c, que definen completamente la hipérbola, satisfacen que

 

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2,

 

8 La excentricidad de la hipérbola está dada por

 

\displaystyle e = \frac{c}{a}

 

Cada punto, P(x, y), sobre la hipérbola debe cumplir que

 

\displaystyle |d(P,F) - d(P,F')| = 2a,

 

por la definición de distancia euclideana entre dos puntos, tenemos que esto es igual a

 

\displaystyle \left| \sqrt{(x - c)^2 + y^2} - \sqrt{(x + c)^2 + y^2} \right| = 2a.

 

Realizando ciertas operaciones algebraicas podemos escribir la igualdad anterior de la siguiente manera

 

\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

 

esta última ecuación se conoce como la ecuación reducida de la hipérbola con eje horizontal.

 

Ejercicios

 

A continuación veremos algunos ejercicios para poner en práctica nuestro entendimiendo de la ecuación reducida de una hipérbola.

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1Hallar la ecuación de la hipérbola con foco F(4, 0), vértice V(2, 0) y centro C(0, 0).

 

Primero, como el centro es el origen C(0,0) y un foco es F(4,0) tenemos que c = 4, además, sabemos que ambos focos están a c unidades del centro, por lo tanto, el otro foco es F'(-c,0) = F'(-4,0).

 

Siguiendo la misma analogía que con el foco, sabemos un vértice es V(2,0), por lo tanto a = 2, como ambos vértices están a a unidades del centro, el otro vértice es V'(-a,0) = V'(-2,0).

 

Ahora encontremos el valor de b. Tenemos que se cumple que

 

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 \qquad \Rightarrow \qquad b^2 = c^2 - a^2

 

esto es

 

    \begin{align*} b^2 &= 4^2 - 2^2\\&= 16 - 4\\&= 12\end{align*}

 

entonces b = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}. Ya tenemos el valor de a y b necesarios para obtener nuestra ecuación reducida de la hipérbola, la cual es

 

\displaystyle \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1

 

Hipérbola Ejercicio1

 

2Hallar la ecuación y la excentricidad de la hipérbola que tiene como focos los puntos F'(-5, 0) y F(5, 0), y un eje real con valor de 6.

 

Ya tenemos los focos F'(-5, 0) y F(5, 0), de aquí se sigue que c = 5. Además, notemos también que el centro es el origen C(0,0).

 

El eje real es igual a 2a, usaremos esto y despejaremos el valor de a

 

    \begin{align*} 2a &= 6\\a &= 3\end{align*}

 

de donde se sigue inmediatamente que los vértices están dados por

 

\displaystyle V'(-3, 0), \quad V(3, 0).

 

Ahora, usaremos la propiedad c^2 = a^2 + b^2 para obtener a el valor de b. Notemos que

 

    \begin{align*} b^2 &= c^2 - a^2\\&= 5^2 - 3^3\\&= 25 - 9\\&= 16\end{align*}

 

de donde se sigue inmediatamente que b = 4. Ya tenemos lo necesario para obtener la ecuaciòn reducida de nuestra hipérbola, la cual es

 

\displaystyle \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1.

 

Además la excentricidad es

 

\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3}.

 

Hipérbola Ejercicio 2

 

3Hallar los vértices, los focos y la excentricidad de la hipérbola dada por la siguiente ecuación:

 

\displaystyle \frac{9x^2}{144} - \frac{16 y^2}{144} = \frac{144}{144}

 

Para proceder, primero simplificaremos la ecuación a su foroma reducida

 

    \begin{align*} \frac{9x^2}{144} - \frac{16 y^2}{144} &= \frac{144}{144}\\9x^2 - 16 y^2 &= 144\\x^2 - \frac{16 y^2}{9} &= \frac{144}{9}\\x^2 - \frac{16 y^2}{9} &= 16\\\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} &= \frac{16}{16}\\\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} &= 1\\\end{align*}

 

de aquí se sigue inmediatamente que a^2 = 16, por lo tanto a = 4. Esto nos dice que los vértices son V'(-4,0) y V(4, 0).

 

De la ecuación reducida también tenemos que b^2 = 9, esto implica que b = 3. De aquí ya tenemos a y b, entonces, recordemos que

 

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25,

 

de aquí se sigue que c = 5. Así los focos son F'(-5, 0) y F(5, 0).

 

Por último, tenemos que la excentricidad está dada por

 

\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{5}{4}

 

HIpérbola Ejercicio 3

 

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Ecuación reducida de la hipérbola centrada en el origen con eje real vertical

 

En este caso consideraremos el eje real sobre el eje de las ordenadas.

 

Hipérbola con centro en el origen y eje vertical

 

Analicemos las partes de la hipérbola que se muestran en la imagen y algunas propiedades:

 

1 El centro es el origen C(0,0). El centro siempre será el punto medio entre los vértices, el cual, a su vez, coincide con el punto medio de los focos.

 

2 Vértices: Los vértices están dados por los puntos V(0, a) y V'(0, -a). Cada vértice está a la misma distancia del centro, a unidades.

 

3 Focos: Los focos está dados por los puntos F(0, c) y F'(0, -c). Cada foco está a la misma distancia del centro, c unidades.

 

4 Eje real: Es el segmento de recta que une los vértices, esto es \overline{VV'}, su valor (longitud) es igual a 2a. Este eje está sobre el eje de las ordenadas.

 

5 Eje imaginario: Es el segmento de recta que une los puntos B y B', esto es \overline{BB'}, su valor (longitud) es igual a 2b. Este eje está sobre el eje de las abscisas.

 

6 Eje focal: Eje imaginario: Es el segmento de recta que une los focos, esto es \overline{FF'}, su valor (longitud) es igual a 2c.

 

7 Las constantes a, b y c, que definen completamente la hipérbola, satisfacen que

 

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2,

 

8 La excentricidad de la hipérbola está dada por

 

\displaystyle e = \frac{c}{a}

 

Cada punto, P(x, y), sobre la hipérbola debe cumplir que

 

\displaystyle |d(P,F) - d(P,F')| = 2a,

 

por la definición de distancia euclideana entre dos puntos, tenemos que esto es igual a

 

\displaystyle \left| \sqrt{x^2 + (y - c)^2} - \sqrt{x^2 + (y + c)^2} \right| = 2a.

 

Realizando ciertas operaciones algebraicas podemos escribir la igualdad anterior de la siguiente manera

 

\displaystyle \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1

 

esta última ecuación se conoce como la ecuación reducida de la hipérbola con eje vertical.

 

Ejercicios

 

A continuación veremos un ejercicio para poner a prueba nuestro entendimiento.

 

1Hallar la ecuación de la hipérbola con foco F(0, 5), vértice V(0, 3) y centro C(0, 0).

 

Primero, como el centro es el origen C(0,0) y un foco es F(0, 5) tenemos que c = 5, además, sabemos que ambos focos están a c unidades del centro, por lo tanto, el otro foco es F'(0, -c) = F'(0, -5).

 

Siguiendo la misma analogía que con el foco, sabemos un vértice es V(0, 3), por lo tanto a = 2, como ambos vértices están a a unidades del centro, el otro vértice es V'(0, -a) = V'(0, -3).

 

Ahora encontremos el valor de b. Tenemos que se cumple que

 

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 \qquad \Rightarrow \qquad b^2 = c^2 - a^2

 

esto es

 

    \begin{align*} b^2 &= 5^2 - 3^2\\&= 25 - 9\\&= 16\end{align*}

 

entonces b = 4. Ya tenemos el valor de a y b necesarios para obtener nuestra ecuación reducida de la hipérbola, la cual es

 

\displaystyle \frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1

 

Hipérbola Ejercicio 4

 

2 Hallar la ecuación de la hipérbola con centro C(0, 0), foco F(0, 3) y eje imaginario igual a 4.

 

Primero, como el centro es el origen C(0,0) y un foco es F(0, 3) tenemos que c = 3, además, sabemos que ambos focos están a c unidades del centro, por lo tanto, el otro foco es F'(0, -c) = F'(0, -3).

 

Ahora, notemos que el eje real está sobre la recta que une los focos. Esto implica que el eje real es vertical, por lo tanto el eje imaginario es vertical. Además, tenemos que el eje imaginario tiene un valor de 4, esto es

 

\displaystyle 2b = 4 \qquad \Rightarrow \qquad b = 2

 

Ahora encontremos el valor de a. Tenemos que se cumple que

 

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 \qquad \Rightarrow \qquad a^2 = c^2 - b^2

 

esto es

 

    \begin{align*} a^2 &= 3^2 - 2^2\\&= 9 - 4\\&= 5\end{align*}

 

entonces a = \sqrt{5}.

 

Ahora, sabemos que los vértices están a a unidades del centro, y como el eje real es vertical, tenemos que los vértices están dados por V'(0, -\sqrt{5}) y V(0, \sqrt{5}).

 

Ya tenemos el valor de a y b necesarios para obtener nuestra ecuación reducida de la hipérbola, la cual es

 

\displaystyle \frac{y^2}{5} - \frac{x^2}{4} = 1

 

Ecuación reducida de la hipérbola no centrada en el orige con eje real horizontal

 

En este caso el centro de la hipérbola no es el origen y su eje real es horizontal, paralelo al eje de las abscisas.

 

Hipérbola no centrada en el origen con eje horizontal

 

Analicemos las partes de la hipérbola que se muestran en la imagen y algunas propiedades:

 

1 El centro es el origen C(h,k). El centro siempre será el punto medio entre los vértices, el cual, a su vez, coincide con el punto medio de los focos.

 

2 Vértices: Los vértices están dados por los puntos V(h + a,k) y V'(h - a,k). Cada vértice está a la misma distancia del centro, a unidades.

 

3 Focos: Los focos está dados por los puntos F(h + c,k) y F'(h - c,k). Cada foco está a la misma distancia del centro, c unidades.

 

4 Eje real: Es el segmento de recta que une los vértices, esto es \overline{VV'}, su valor (longitud) es igual a 2a. Este eje es paralelo al eje de las abscisas.

 

5 Eje imaginario: Es el segmento de recta que une los puntos B y B', esto es \overline{BB'}, su valor (longitud) es igual a 2b. Este eje es paralelo al eje de las ordenadas.

 

6 Eje focal: Eje imaginario: Es el segmento de recta que une los focos, esto es \overline{FF'}, su valor (longitud) es igual a 2c.

 

7 Las constantes a, b y c, que definen completamente la hipérbola, satisfacen que

 

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2,

 

8 La excentricidad de la hipérbola está dada por

 

\displaystyle e = \frac{c}{a}

 

Cada punto, P(x, y), sobre la hipérbola debe cumplir que

 

\displaystyle |d(P,F) - d(P,F')| = 2a,

 

por la definición de distancia euclideana entre dos puntos, tenemos que esto es igual a

 

\displaystyle \left| \sqrt{(x - (h + c))^2 + (y - k)^2} - \sqrt{(x - ( h - c))^2 + (y - k)^2} \right| = 2a.

 

Realizando ciertas operaciones algebraicas podemos escribir la igualdad anterior de la siguiente manera

 

\displaystyle \frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1

 

esta última ecuación se conoce como la ecuación reducida de la hipérbola con eje horizontal y con centro distinto al origen.

 

Ejercicios

 

A continuación veremos algunos ejercicios para poner en práctica nuestro entendimiendo de la ecuación

 

1Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(7, 2), de vértice V(5,2) y de centro C(3, 2).

 

Primero, como el centro es el origen C(3,2) y un foco es F(7,2) tenemos que

 

\displaystyle c = 7 - 3 = 4,

 

además, sabemos que ambos focos están a c unidades del centro, por lo tanto, el otro foco es F'(3-c,2) = F'(-1,2).

 

Siguiendo la misma analogía que con el foco, sabemos un vértice es V(5,2), por lo tanto

 

\displaystyle a = 5 - 3 = 2,

 

como ambos vértices están a a unidades del centro, el otro vértice es V'(3-a,2) = V'(1,2).

 

Ahora encontremos el valor de b. Tenemos que se cumple que

 

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 \qquad \Rightarrow \qquad b^2 = c^2 - a^2

 

esto es

 

    \begin{align*} b^2 &= 4^2 - 2^2\\&= 16 - 4\\&= 12\end{align*}

 

entonces b = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}. Ya tenemos el valor de a y b necesarios para obtener nuestra ecuación reducida de la hipérbola, la cual es

 

\displaystyle \frac{(x- 3)^2}{4} - \frac{(y- 2)^2}{12} = 1

 

Hipérbola Ejercicio 5

 

2 Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en C(-2, - 1), con distancia focal igual a 8 y eje real horizontal con valor de 4.

 

Primero, como el centro es el origen C(-2, - 1) y el eje real es horizontal e igual a 4, de aquí podemos despejar nuestro valor de a,

 

\displaystyle 2a = 4 \qquad \Rightarrow \qquad a = 2.

 

Por lo tanto nuestros vértices son

 

\displaystyle V'(-2 - 2, -1) = V'(-4,-1)

 

y

 

\displaystyle V(-2 + 2, -1) = V(0,-1)

 

Siguiendo la misma analogía, tenemos que el eje focal también es horizontal (siempre tiene la misma derección que el eje real ya que el eje real está dentro del eje focal), ademàs de tener un valor de 8, usaremos esto para obtener c

 

\displaystyle 2c = 8 \qquad \Rightarrow \qquad c = 4.

 

Por lo tanto nuestros focos son

 

\displaystyle F'(-2 - 4, -1) = F'(-6,-1)

 

y

 

\displaystyle F(-2 + 4, -1) = F(2,-1)

 

Ahora encontremos el valor de b. Tenemos que se cumple que

 

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 \qquad \Rightarrow \qquad b^2 = c^2 - a^2

 

esto es

 

    \begin{align*} b^2 &= 4^2 - 2^2\\&= 16 - 4\\&= 12\end{align*}

 

entonces b = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}. Ya tenemos el valor de a y b necesarios para obtener nuestra ecuación reducida de la hipérbola, la cual es

 

\displaystyle \frac{(x + 2)^2}{4} - \frac{(y + 1)^2}{12} = 1

 

Ecuación reducida de la hipérbola no centrada en el orige con eje real vertical

 

En este caso el centro de la hipérbola no es el origen y su eje real es vertical, paralelo al eje de las ordenadas.

 

Hipérbola no centrada en el origen con eje vertical

 

Analicemos las partes de la hipérbola que se muestran en la imagen y algunas propiedades:

 

1 El centro es el origen C(h,k). El centro siempre será el punto medio entre los vértices, el cual, a su vez, coincide con el punto medio de los focos.

 

2 Vértices: Los vértices están dados por los puntos V(h,k + a) y V'(h,k - a). Cada vértice está a la misma distancia del centro, a unidades.

 

3 Focos: Los focos está dados por los puntos F(h,k + c) y F'(h,k - c). Cada foco está a la misma distancia del centro, c unidades.

 

4 Eje real: Es el segmento de recta que une los vértices, esto es \overline{VV'}, su valor (longitud) es igual a 2a. Este eje es paralelo al eje de las ordenadas.

 

5 Eje imaginario: Es el segmento de recta que une los puntos B y B', esto es \overline{BB'}, su valor (longitud) es igual a 2b. Este eje es paralelo al eje de las abscisas.

 

6 Eje focal: Eje imaginario: Es el segmento de recta que une los focos, esto es \overline{FF'}, su valor (longitud) es igual a 2c.

 

7 Las constantes a, b y c, que definen completamente la hipérbola, satisfacen que

 

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2,

 

8 La excentricidad de la hipérbola está dada por

 

\displaystyle e = \frac{c}{a}

 

Cada punto, P(x, y), sobre la hipérbola debe cumplir que

 

\displaystyle |d(P,F) - d(P,F')| = 2a,

 

por la definición de distancia euclideana entre dos puntos, tenemos que esto es igual a

 

\displaystyle \left| \sqrt{(x - h)^2 + (y - (k + a))^2} - \sqrt{(x - h)^2 + (y - (k - a))^2} \right| = 2a.

 

Realizando ciertas operaciones algebraicas podemos escribir la igualdad anterior de la siguiente manera

 

\displaystyle \frac{(y - k)^2}{a^2} - \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1

 

esta última ecuación se conoce como la ecuación reducida de la hipérbola con eje vertical y con centro distinto al origen.

 

Ejercicios

 

A continuación veremos algunos ejercicios para poner en práctica nuestro entendimiendo de la ecuación

 

1 Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(-2, 5), de vértice V(-2, 3) y de centro C(-2, -5).

 

Primero, como el centro es el origen C(-2,-5) y un foco es F(-2,5) tenemos que

 

\displaystyle c = 5 - (-5) = 5 + 5 = 10,

 

además, sabemos que ambos focos están a c unidades del centro, por lo tanto, el otro foco es F'(-2,-5 - 10) = F'(-2, -15).

 

Siguiendo la misma analogía que con el foco, sabemos un vértice es V(-2, 3), por lo tanto

 

\displaystyle a = 3 - (-5) = 3 + 5 = 8,

 

como ambos vértices están a a unidades del centro, el otro vértice es V'(-2, -5 - 8) = V'(-2,-13).

 

Ahora encontremos el valor de b. Tenemos que se cumple que

 

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 \qquad \Rightarrow \qquad b^2 = c^2 - a^2

 

esto es

 

    \begin{align*} b^2 &= 10^2 - 8^2\\&= 100 - 64\\&= 36\end{align*}

 

entonces b = 6. Ya tenemos el valor de a y b necesarios para obtener nuestra ecuación reducida de la hipérbola, la cual es

 

\displaystyle \frac{(y + 5)^2}{64} - \frac{(x + 2)^2}{36} = 1

 

Hipérbola Ejercicio 6

 

2 Hallar la ecuación de la hipérbola con centro C(7, -3), eje focal vertical con valor de 12 y eje imaginario horizontal con valor de 8.

 

Tenemos que el eje focal tiene un valor de 12, de aquí obtendremos el valor de c

 

\displaystyle 2c = 12 \qquad \Rightarrow \qquad c = 6,

 

por lo tanto los focos son F'(7, -9) y F(7, 3).

 

Ahora, tenemos que el eje imaginario tiene un valor de 8, por lo tanto

 

\displaystyle 2b = 8 \qquad \Rightarrow \qquad b = 4,

 

de aquí podemos obtener a ya que

 

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 \qquad \Rightarrow \qquad a^2 = c^2 - b^2

 

esto es

 

    \begin{align*} a^2 &= 6^2 - 4^2\\&= 36 - 16\\&= 20\end{align*}

 

entonces a = 2\sqrt{5}. Ya tenemos el valor de a y b necesarios para obtener nuestra ecuación reducida de la hipérbola, la cual es

 

\displaystyle \frac{(y + 3)^2}{20} - \frac{(x - 7)^2}{16} = 1

 

¿Cuáles son las coordenadas de los vértices?

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗