En este artículo se construye, analiza y presenta la ecuación reducida de la elipse. Para lo anterior, primero consideremos una elipse con centro en el origen de coordenadas del plano cartesiano y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas, de tal manera que tenemos una construcción como la siguiente:

Representación geométrica de una elipse centrada en el origen
Cuyas coordenadas de los focos son: F'(-c, 0) y F(c, 0).De tal manera, que cualquier punto P=(x,y) de la elipse satisface lo siguiente:

    \begin{equation*}\overline{PF}+\overline{PF'}=2a\end{equation*}

De tal manera que utilizando la fórmula de distancia para dos puntos en el plano cartesiano tenemos lo siguiente:

    \begin{equation*}\overline{PF}+\overline{PF'}=2a\end{equation*}

Sustituimos utilizando las coordenadas de los focos:

    \begin{equation*}\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}+\sqrt{(x+c)^2+(y-0)^2}=2a\end{equation*}

    \begin{equation*}\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a\end{equation*}

Después, reacomodando y desarrollando la ecuación anterior obtenemos lo siguiente:

    \begin{equation*} \left(\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\right)=2 a-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \end{equation*}

Elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad:

    \begin{equation*} \left(\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\right)^2=\left(2 a-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}\right)^2 \end{equation*}

    \begin{equation*} (x+c)^{2}+y^{2}=\left(2 a-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}\right)^2 \end{equation*}

Desarrollando:

    \begin{equation*} x^2+2xc+c^2+y^{2}= 4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+x^{2}-2 c x+c^{2}+y^{2} \end{equation*}

Cancelando y agrupando términos, tenemos:

    \begin{equation*} 4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=4 a^{2}-4 c x \end{equation*}

    \begin{equation*} a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}= a^{2}- c x \end{equation*}

Elevando al cuadrado ambos lados y desarrollando tenemos:

    \begin{equation*} a^{2}\left(x^{2}-2 cx+c^{2}+y^{2}\right)=a^{4}-2 a^{2} c x+c^{2} x^{2} \end{equation*}

Simplificando:

    \begin{equation*} \left(a^{2}-c^{2}\right) x^{2}+a^{2} y^{2}=a^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right) \end{equation*}

.

Utilizando que b^2=a^2-c^2 podemos reescribir la relación de la siguiente manera:

    \begin{equation*} \left(b^{2}\right) x^{2}+a^{2} y^{2}=a^{2}\left(b^{2}\right) \end{equation*}

.

Dividimos, ambos lados de la igualdad por a^2b^2 y obtenemos la ecuación reducida de la elipse:

    \begin{equation*}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{equation*}

Ejercicio

Calcular los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse que tiene como focos las coordenadas: F'(-3, 0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.

Representación geométrica de una elipse con valores y componentes específicos

1 Semieje mayor:

Para calcularlo, utilicemos que el eje mayor mide 10 unidades, como el eje mayor es 2 veces el semieje mayor tenemos la siguiente relación:

    \begin{equation*}2a=10\Rightarrow a=5\end{equation*}

.
2 Semidistancia focal:

Para calcular la semidistancia focal, notemos que la distancia del centro a F es 3 y la distancia del centro a   F' también, de tal manera que tenemos la siguiente relación:

    \begin{equation*}\overline{FF'}=2c=6\Rightarrow c=3\end{equation*}

3 Semieje menor:

Para calcular el semieje menor, utilicemos la relación b^2=a^2-c^2, donde b representa la longitud del semieje menor:

    \begin{equation*}b^2=5^2-3^2=25-9=16\Rightarrow b=4\end{equation*}

4 Ecuación reducida:

Sustituyendo en la expresión de la ecuación reducida de la elipse:

    \begin{equation*}\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\end{equation*}

5 Excentricidad:

Para calcular la excentricidad recordemos que esta se obtiene del cociente de la distancia del semieje focal y la longitud del semieje mayor, de tal manera que tenemos la siguiente relación:

    \begin{equation*}e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}\end{equation*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗