Encontrar la ecuación de la elipse

 

Antes de resolver los ejercicios, puedes leer el resumen sobre las propiedades de la elipse y su ecuación.

 

1 Hallar la ecuación de lugar geométrico de los puntos P(x,y) P(x, y) cuya suma de distancias a los puntos fijosF_1(4,2)  y F_2(-2,2)  sea igual a 8.

 

Buscamos que la suma de las distancias \overline{PF_1} y \overline{PF_2} sea siempre igual a 8, es decir,

 

\displaystyle \overline{PF_1} + \overline{PF_2} = 8

 

Por lo tanto, tenemos que,

 

\displaystyle \sqrt{(x + 2)^2 + (y - 2)^2} + \sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2} = 8

 

Si despejamos una raíz, se obtiene

 

\displaystyle \sqrt{(x + 2)^2 + (y - 2)^2}  = 8 - \sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2}

 

Luego, elevando al cuadrado, tenemos que

 

\displaystyle (x+2)^2 + (y-2)^2 = 64 - 16\sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2} + (x -4)^2 + (y - 2)^2

 

Observemos que el término (y-2)^{2} se encuentra a ambos lados de la ecuación. Por tanto, podemos cancelarlo, de manera que nos queda

 

\displaystyle (x+2)^2 = 64 - 16\sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2} + (x -4)^2

 

Si expandimos los dos binomios al cuadrado, tendremos que,

 

\displaystyle x^2 + 4x + 4 = 64 - 16\sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2} + x^2 - 8x + 16

 

Luego, reagrupando términos semejantes )-y dividiendo la ecuación por 4—, tenemos

 

\displaystyle 3x - 19 = -4 \sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2}

 

Ya nos deshicimos de un radical. Para deshacernos del otro repetimos el procedimiento. Elevamos al cuadrado la expresión, expandemos los binomios al cuadrado y reagrupamos términos:

 

\displaystyle 9x^2 - 114x + 361 = 16\left((x - 4)^2 + (y - 2)^2 \right)

 

es decir,

 

\displaystyle 7x^2 + 16y^2 - 14x - 64y - 41 = 0

 

 

 

2 Hallar la ecuación de la elipse de focoF(7,2) , de vértice A(9,2) y de centro C(4,2).

 

Sabemos que el semieje mayor es la distancia entre el centro C y el vértice A, es decir,

 

\displaystyle a = \sqrt{(9 - 4)^2 + (2 - 2)^2} = 9 - 4 = 5

 

Asimismo, la semidistancia focal es la distancia entre el centro C y el foco F de la elipse —que es la mitad de la distancia entre los dos focos—, esto es,

 

\displaystyle c = \sqrt{(7 - 4)^2 + (2 - 2)^2} = 7 - 4 = 3

 

Por último, el semieje menor se calcula mediante

 

\displaystyle b = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4

 

Así, la ecuación reducida de la elipse está dada por

 

\displaystyle \frac{(x - 4)^2}{25} + \frac{(y - 2)^2}{16} = 1

 

La gráfica de la elipse es la siguiente:

 

 

3 Halla la ecuación de la elipse conociendo que:

 

  • C(0, 0), \quad F(2, 0), \quad A(3, 0)
  • C(0, 0), \quad F(0, 4), \quad A(0, 5)
  • C(1, -1), \quad F(1, 2), \quad A(1, 4)
  • C(-3, 2), \quad F(-1, 2), \quad A(2, 2)

  • C(0, 0), \quad F(2, 0), \quad A(3, 0)

 

Describiremos detalladamente el primer inciso. Los demás estarán más resumidos.

 

Sabemos que el semieje mayor es la distancia entre el centro C y el vértice A, es decir,

 

\displaystyle a = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = 3

 

Asimismo, la semidistancia focal es la distancia entre el centro C y el foco F de la elipse —que es la mitad de la distancia entre los dos focos—, esto es,

 

\displaystyle c = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = 2

 

Por último, el semieje menor se calcula mediante

 

\displaystyle b = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{5}

 

Así, la ecuación reducida de la elipse está dada por

 

\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1

 

  • C(0, 0), \quad F(0, 4), \quad A(0, 5)

 

Tenemos que,

 

\displaystyle a = 5, \quad, c = 4

 

Por tanto, el semieje menor está dado por,

 

\displaystyle b = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3

 

Así, la ecuación reducida de la elipse es:

 

\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1

 

Observemos que, en este caso, dividimos y^2 por a^2 en lugar de b^2. Esto se debe a que el eje mayor es vertical (observemos que tanto A, C y F tienen mismo valor en su coordenada x).

 

  • C(1, -1), \quad F(1, 2), \quad A(1, 4)

 

Observemos que las coordenadas x de los tres puntos es la misma. Por lo tanto, el eje mayor es vertical. Así, tenemos que

 

\displaystyle a = 5, \quad, c = 3

 

Por tanto, el semieje menor está dado por,

 

\displaystyle b = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4

 

Así, la ecuación reducida de la elipse es:

 

\displaystyle \frac{(x - 1)^2}{16} + \frac{(y + 1)^2}{25} = 1

 

  • C(-3, 2), \quad F(-1, 2), \quad A(2, 2)

 

Notemos ahora que son las coordenadas y las que se encuentran fijas en cada punto. De este modo, el eje mayor de la elipse será horizontal. Así, tenemos que

 

\displaystyle a = 5, \quad c = 2

 

Además,

 

\displaystyle b = \sqrt{25 - 4} = \sqrt{21}

 

Por lo tanto, la ecuación reducida será

 

\displaystyle \frac{(x + 3)^2}{25} + \frac{(y - 2)^2}{21} = 1

 

 

4 Determina la ecuación reducida de una elipse sabiendo que el eje mayor es horizontal, uno de los focos dista 8 de un vértice y 18 del otro, y cuyo centro se encuentra en el origen.

 

Observa la gráfica de abajo:

 

representación gráfica de la distancia entre focos

 

Sabemos que la distancia focal debe ser 18 - 8 = 10. De este modo, la semidistancia focal es,

 

\displaystyle c = \frac{10}{2} = 5

 

La cual es la distancia del centro a cualquier foco. De este modo, la distancia entre el centro y el vértice es

 

\displaystyle a = 5 + 8 = 13

 

Con esto, tenemos que

 

\displaystyle b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12

 

Por lo tanto, la ecuación de la elipse es

 

\displaystyle \frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{144} = 1

 

 

5 Halla la ecuación reducida de una elipse sabiendo que pasa por el punto (0, 4), tiene centro en el origen, el eje mayor es horizontal y su excentricidad es \frac{3}{5}.

 

La ecuación de la elipse debe tener la forma

 

\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

 

debido a que tiene su centro en el origen. Además, tenemos que la elipse pasa por el punto (0, 4). De este modo, se debe satisfacer que

 

\displaystyle \frac{0^2}{a^2} + \frac{4^2}{b^2} = 1 \qquad \to \qquad \frac{4^2}{b^2} = 1

 

Si despejamos b^2, se tiene que b^2 = 4^2. Luego, debido a que b > 0, se sigue que,

 

b = 4

 

Además, en la fórmula de la excentricidad se debe cumplir que

 

\displaystyle \frac{3}{5} = \sqrt{\frac{a^2 - b^2}{a^2}} = \frac{\sqrt{a^2 - 16}}{a}

 

Si elevamos al cuadrado la ecuación, se sigue que

 

\displaystyle \frac{9}{25} = \frac{a^2 - 16}{a^2}

 

Multiplicamos la ecuación por a^2, y luego por 25 para obtener

 

\displaystyle 9a^2 = 25a^2 - 400

 

Al agrupar términos semejantes, se obtiene

 

16 a^2 = 400 \qquad \to \qquad a^2 = 25

 

Es decir, a = 5. Por lo tanto, la ecuación de la elipse es

 

\displaystyle \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1

 

 

6 Escribe la ecuación reducida de la elipse con centro en el origen, que pasa por el punto (2, 1) y cuyo eje menor mide 4 y este es vertical.

 

Como la elipse tiene centro en el origen, entonces su ecuación debe tener la forma

 

\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

 

Además, como el eje menor mide 4, entonces la semieje menor es

 

\displaystyle b = \frac{4}{2} = 2

 

Luego, como la elipse pasa por el punto (2, 1), entonces debe satisfacer la ecuación

 

\displaystyle \frac{2^2}{a^2} + \frac{1^2}{4} = 1

 

Despejando a^2 se tiene que

 

\displaystyle \frac{4}{a^2} = \frac{3}{4} \qquad \to \qquad a^2 = \frac{16}{3}

 

De manera que

 

\displaystyle a = \frac{4}{\sqrt{3} }

 

Así, la ecuación de la elipse es

 

\displaystyle \frac{3x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1

 

 

7 La distancia focal de una elipse con centro en el origen es 4 y los focos se encuentran sobre el eje x. Un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6, respectivamente. Calcular la ecuación reducida de dicha elipse.

 

Tenemos que la distancia focal es 4. Por tanto, la semidistancia focal es

 

\displaystyle c = \frac{4}{2} = 2

 

Asimismo, la suma de las distancias de cualquier punto hacia los focos siempre es constante. Esta distancia coincide con el eje mayor, de manera que

 

\displaystyle 2a = 2  + 6 = 8 \qquad \to \qquad a = 4

 

Finalmente, el semieje menor mide

 

\displaystyle b = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}

 

Por lo tanto, la ecuación de la elipse es

 

\displaystyle \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1

 

 

8 Escribe la ecuación de la elipse con centro en el origen, focos sobre el eje x, y que pasa por los puntos \left(1, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) y \left(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right).

 

Como la elipse pasa por ambos puntos, entonces debe satisfacer el siguiente sistema de ecuaciones

 

\begin{cases} \displaystyle \frac{1}{a^2} + \frac{3/4}{b^2} = 1\\ \\ \displaystyle \frac{2}{a^2} + \frac{2/4}{b^2} = 1 \end{cases}

 

Este es un sistema no lineal con dos incógnitas (en el enlace se muestra cómo resolverlos). En este caso, utilizamos un cambio de variable

 

\displaystyle u^2 = \frac{1}{a^2}, \quad v^2 = \frac{1}{b^2}

 

La solución de este sistema es

 

\displaystyle a = 2, \quad b = 1

 

Para verificarlo, puedes sustituir los valores de a y b en el sistema no lineal original.

 

Por lo tanto, la ecuación de la elipse es,

 

\displaystyle \frac{x^2}{4} + y^2 = 1

 

 

9 Determina la ecuación de la elipse con centro en el origen, cuya distancia focal es 8\sqrt{6}, focos sobre el eje x, y el área del rectángulo construido sobre los ejes es 80 u^2.

 

La distancia focal es 8\sqrt{6}. Por lo tanto, tenemos que,

 

2c = 8\sqrt{6} \qquad \to \qquad c = 4\sqrt{6}

 

Asimismo, los semiejes menor y mayor satisfacen que —la relación que siempre cumplen a, b y c

 

a^2 = b^2 + (4\sqrt{6})^2 = b^2 + 96

 

Por otro lado, tenemos un rectángulo cuyos lados miden 2a y 2b. Este rectángulo tiene un área dada por

 

2a \cdot 2b = 80

 

Por lo tanto, se debe resolver el siguiente sistema no lineal de ecuaciones:

 

\begin{cases} a^2 = b^2 + 96\\ 4ab = 80 \end{cases}

Este sistema no lineal se puede resolver despejando b de la segunda ecuación y sustituyendo su valor en la primera ecuación. Así se obtiene una ecuación bicuadrada. La solución al sistema está dada por

 

\displaystyle a = 10, \quad b = 2

 

Por lo tanto, la ecuación de la elipse es

 

\displaystyle \frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{4} = 1

 

 

Superprof

Encontrar elementos a partir de la ecuación

 

10 Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0)  y F(-3,0), y su eje mayor mide 10.

 

Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(-3,0), y su eje mayor mide 10.

 

representación gráfica de la elipse con triangulo circunscrito

 

  • Semieje mayor:

 

Tenemos que 2a = 10, por lo tanto, el semieje mayor es a = 5.

 

  • Semidistancia focal:

 

Aquí tenemos que la distancia entre los dos focos es \overline{FF'} = 2c = 6. Por lo tanto, la semidistancia focal es c = 3.

 

  • Semieje menor:

 

Tenemos que a^2 = b^2 + c^2 donde b es el semieje menor. De este modo,

 

b^2 = 25 - 9 = 16

 

Así, el semieje menor mide b = 4.

 

  • Ecuación reducida:

 

Ya que tenemos los valores de a y b, así como del centro —que es el punto medio de los focos, es decir (0,0)—, entonces la ecuación reducida está dada por

 

\displaystyle \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1

 

  • Excentricidad:

 

Por último, la excentricidad de la elipse está dada por

 

\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5}

 

 

11 Dada la ecuación reducida de la elipse \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1, hallar las coordenadas de los vértices, los covértices, los focos y la excentricidad.

 

De la forma de la ecuación, podemos saber que la elipse tiene centro en el origen. Además, se tiene que

 

\displaystyle a = \sqrt{9} = 3, \quad b = \sqrt{4} = 2

 

De este modo los vértices tienen coordenadas

 

\displaystyle A(0, 3), \quad A'(0, -3)

 

ya que el eje mayor se encuentra sobre el eje y. Los covértices se encuentran en

 

\displaystyle B(2, 0), \quad B'(-2, 0)

 

Asimismo, tenemos que la semidistancia focal es

 

\displaystyle c = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}

 

De este modo, los focos se encuentran en

 

\displaystyle F(0, \sqrt{5}), \quad F'(0, -\sqrt{5})

 

Finalmente, la excentricidad se encuentra mediante

 

\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3}

 

 

12 Dada la elipse de ecuación \frac{(x-6)^{2}}{36}+\frac{(y+4)^{2}}{16}=1, hallar su centro, semiejes, vértices, covértices y focos.

 

De la ecuación se sigue inmediatamente que el centro se encuentra en C(6, -4). Asimismo, los semiejes menor y mayor son

 

\displaystyle a = \sqrt{36} = 6, \quad b = \sqrt{16} = 4

 

Por lo tanto,

 

\displaystyle c = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

 

De este modo, los vértices se encuentran en (6 \pm a, -4), es decir

 

\displaystyle A(12, -4), \quad A'(0, -4)

 

Asimismo, los focos se encuentran en

 

\displaystyle F(6 + 2\sqrt{5}, -4), \quad F'(6 - 2\sqrt{5}, -4)

 

Los covértices se encuentran en los puntos

 

\displaystyle B(6, 0), \quad B'(6, -8)

 

 

13 Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, los vértices, los covértices y la excentricidad de las siguientes elipses.

 

  • \displaystyle \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1
  •  x^2 + 4y^2 = 16
  • \displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1
  • 3x^2 + 2y^2 = 6

 

  • \displaystyle \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1

 

El centro se encuentran en el origen. Los semiejes menor y mayor son

 

\displaystyle a = \sqrt{16} = 4, \quad b = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}

 

De esta manera, los vértices se encuentran en

 

\displaystyle A(4, 0), \quad A'(-4, 0)

 

Los covértices se encuentran en los puntos

 

\displaystyle B(0, 2\sqrt{3}), B'(0, -2\sqrt{3})

 

La semidistancia focal es

 

\displaystyle c = \sqrt{16-12} = 2

 

Por lo que los focos se encuentran en

 

\displaystyle F(2, 0), \quad F'(-2, 0)

 

Finalmente, la excentricidad es

 

\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

 

representación gráfica de la elipse

 

  •  x^2 + 4y^2 = 16

 

Primero debemos escribir la ecuación en su forma reducida, por lo que dividimos por 16:

 

\displaystyle \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1

 

Luego, se la ecuación se sigue que el centro está en el origen C(0, 0), y que

 

\displaystyle a = \sqrt{16} = 4, \quad b = \sqrt{4} = 2

 

Por lo que los vértices se encuentran en

 

\displaystyle A(4, 0), \quad A'(-4, 0)

 

y los covértices se encuentran en

 

\displaystyle B(0, 2), \quad B'(0, -2)

 

Además, la semidistancia focal es

 

\displaystyle c = \sqrt{16-4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}

 

Así, los focos se encuentran en

 

\displaystyle F(2\sqrt{3}, 0), \quad F'(-2\sqrt{3}, 0)

 

Finalmente, la excentricidad está dada por

 

\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}

 

representación grafica de la elipse

 

  • \displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1

 

La ecuación ya se encuentra de forma reducida. A partir de esta ecuación se puede apreciar que el centro se encuentran en C(0, 0). Además, los semiejes menor y mayor están dados por

 

\displaystyle a = \sqrt{25} = 5, \quad b = \sqrt{9} = 3

 

La semidistancia focal está dada por

 

\displaystyle c = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4

 

Observemos que el eje mayor está sobre el eje y. De este modo, los vértices se encuentran en

 

\displaystyle A(0, 5), \quad A'(0, -5)

 

Los covértices se encuentran en,

 

\displaystyle B(3, 0), \quad B'(-3, 0)

 

Y los focos son los puntos,

 

\displaystyle F(0, 4), \quad F'(0, -4)

 

Finalmente, la excentricidad está dada por

 

\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}

 

elipse 4

 

  • 3x^2 + 2y^2 = 6

 

Por último, tenemos una ecuación que no está en su forma reducida. Dividimos primero por 6 para obtener

 

\displaystyle \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} = 1

 

A partir de la ecuación tenemos que

 

\displaystyle a = \sqrt{3}, \quad b = \sqrt{2}

\displaystyle c = \sqrt{3 - 2} = 1

 

Además, observemos que el eje mayor se encuentra sobre el eje y. De este modo, los vértices se encuentran en

 

\displaystyle A(0, \sqrt{3}), \quad A'(0, -\sqrt{3})

 

Los covértices son los puntos

 

\displaystyle B(\sqrt{2}, 0), \quad B'(-\sqrt{2}, 0)

 

Y los focos están localizados en

 

\displaystyle F(0, 1), \quad F'(0, -1)

 

Por último, la excentricidad es

 

\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{1}{\sqrt{3}}

 

elipse 5

 

 

14 Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, los vértices y los covértices de las siguientes elipses.

 

  • x^2 + 2y^2 - 2x + 8y + 5 = 0
  • 25x^2 + 9y^2 - 18y -216 = 0
  • x^2 + 3y^2 - 6x + 6y = 0
  • 3x^2 + y^2 - 24x + 39 = 0

 

  • x^2 + 2y^2 - 2x + 8y + 5 = 0

 

Para determinar los puntos importantes de la elipse, debemos escribir su ecuación de forma reducida. La forma de hacer esto es completando el cuadrado:

 

\displaystyle (x^2 - 2x + 1) - 1 + 2(y^2 + 4y + 4) - 8 + 5 = 0

\displaystyle (x - 1)^2 + 2(y + 2)^2 = 4

 

Luego, dividimos por 4,

 

\displaystyle \frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{(y + 2)^2}{2} = 1

 

De este modo, se claro ver que el centro se encuentra en C(1, -2). Además, se puede apreciar que

 

\displaystyle a = \sqrt{4} = 2, \quad b = \sqrt{2}

\displaystyle c = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}

 

Asimismo, el eje mayor es horizontal, por lo que los vértices se encuentran en

 

\displaystyle A(3, -2), \quad A'(-1, -2)

 

Los covértices se encuentran en

 

\displaystyle B(1, -2 + \sqrt{2}), \quad B'(1, -2 - \sqrt{2})

 

Y los focos se encuentran en

 

\displaystyle F(1 + \sqrt{2}, -2), \quad F'(1 - \sqrt{2}, -2)

 

representacion elipse dibujo

 

  • 25x^2 + 9y^2 - 18y -216 = 0

 

Completamos el cuadrado de nuevo:

 

\displaystyle 25x^2 + 9(y^2 - 2y + 1) - 9 - 216 = 0

\displaystyle 25x^2 + 9(y - 1)^2 = 225

 

Luego, dividimos por 225,

 

\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{(y - 1)^2}{25} = 1

 

De este modo, se claro ver que el centro se encuentra en C(0, 1). Además, se puede apreciar que

 

\displaystyle a = \sqrt{25} = 5, \quad b = \sqrt{9} = 3

\displaystyle c = \sqrt{25 - 9} = 4

 

Asimismo, el eje mayor es vertical, por lo que los vértices se encuentran en

 

\displaystyle A(0, 6), \quad A'(0, -4)

 

Los covértices se encuentran en

 

\displaystyle B(3, 1), \quad B'(-3, 1)

 

Y los focos se encuentran en

 

\displaystyle F(0, 5), \quad F'(0, -3)

 

dibujo de una elipse

 

  • x^2 + 3y^2 - 6x + 6y = 0

 

Completamos el cuadrado de nuevo:

 

\displaystyle (x^2 - 6x + 9) - 9 + 3(y^2 + 2y + 1) - 3 = 0

\displaystyle (x - 3)^2 + 3(y + 1)^2 = 12

 

Luego, dividimos por 12,

 

\displaystyle \frac{(x - 3)^2}{12} + \frac{(y + 1)^2}{4} = 1

 

De este modo, se claro ver que el centro se encuentra en C(3, -1). Además, se puede apreciar que

 

\displaystyle a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}, \quad b = \sqrt{4} = 2

\displaystyle c = \sqrt{12 - 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

 

Asimismo, el eje mayor es horizontal, por lo que los vértices se encuentran en

 

\displaystyle A(3 + 2\sqrt{3}, -1), \quad A'(3 - 2\sqrt{3}, -1)

 

Los covértices se encuentran en

 

\displaystyle B(3, 1), \quad B'(3, -3)

 

Y los focos se encuentran en

 

\displaystyle F(3 + 2\sqrt{2}, -1), \quad F'(3 - 2\sqrt{2}, -1)

 

dibujo o grafica de elipse

 

  • 3x^2 + y^2 - 24x + 39 = 0

 

Completamos el cuadrado de nuevo:

 

\displaystyle 3(x^2 - 8x + 16) - 48 + y^2 + 39 = 0

\displaystyle 3(x - 4)^2 + y^2 = 9

 

Luego, dividimos por 9,

 

\displaystyle \frac{(x - 4)^2}{3} + \frac{y^2}{9} = 1

 

De este modo, se claro ver que el centro se encuentra en C(4, 0). Además, se puede apreciar que

 

\displaystyle a = \sqrt{9} = 3, \quad b = \sqrt{3}

\displaystyle c = \sqrt{9 - 3} = \sqrt{6}

 

Asimismo, el eje mayor es vertical, por lo que los vértices se encuentran en

 

\displaystyle A(4, 3), \quad A'(4, -3)

 

Los covértices se encuentran en

 

\displaystyle B(4 + \sqrt{3}, 0), \quad B'(4 - \sqrt{3}, 0)

 

Y los focos se encuentran en

 

\displaystyle F(4, \sqrt{6}), \quad F'(4, -\sqrt{6})

 

dibujo de elipse y representacion grafica de focos

 

 

15 Encuentra las coordenadas del punto medio de la cuerda que intercepta la recta x + 2y - 1 = 0 con la elipse cuya ecuación es x^2 + 2y^2 = 3.

 

Observa primero la gráfica de la recta y la elipse:

 

representacion grafica de la elipse y recta

 

A partir de la figura podemos deducir que debemos encontrar las coordenadas de los puntos A y B. Luego, M será el punto medio de estos dos.

 

Encontrar las coordenadas de A y B es equivalente a resolver el sistema no lineales de ecuaciones dado por

 

\begin{cases} x + 2y - 1 = 0\\ x^2 + 2y^2 = 3 \end{cases}

 

Este sistema también se resuelve por sustitución. Las soluciones están dadas por,

 

\displaystyle A(-1, 1), \quad B \left( \tfrac{5}{3}, -\tfrac{1}{3} \right)

 

Por lo tanto, el punto medio de la cuerda está dado por

 

\displaystyle M\left( \frac{-1 + \tfrac{5}{3}}{2}, \frac{1 - \tfrac{1}{3}}{2} \right) \qquad \to \qquad M\left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)

 

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Marta

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Montes
Montes
Invité
8 Jun.

Algunos ejercicios están mal

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
13 Jul.

Hola,
gracias por tus observaciones.
Hemos actualizado el contenido de la página.
Te invitamos a que sigas consultando nuestro contenido.
Un saludo.

Moncada
Moncada
Invité
23 Jun.

Saludos. No entendi el ejercicio numero 4…. Pense que se tomaria a=4 y a^2=16

sanmiguel
sanmiguel
Invité
27 Jun.

No des por hecho que todo se entiende, por ejemplo, el ejercicio 4 en la explicación de como resolverlo, ¿cómo obtienes 252?, sé hacerlo, pero no esta muy claro, ponle por favor como obtener ese valor.

Chimba
Chimba
Invité
26 Abr.

C(-5,8), F(-5,12) y V(-5,15) ecuación de la elipse

Luis Ernesto Sanchez Perez
Luis Ernesto Sanchez Perez
Editor
28 Jun.

Buen día

Este artículo cuenta con muchos ejemplo que explican como obtener la ecuación de la elipse dados el Foco, Centro y Vértice. Ve nuestro primer ejercicio número 2, solo cambia por los puntos que tú tienes y verás que es sencillo. Si a pesar del artículo aun quedan dudas, házmelo saber y te apoyaré de forma detallada.

Saludos

Leon
Leon
Invité
6 May.

Hola necesito ayuda
Deduce la ecuación de la elipse que tiene por focos foco 1 (-4,0) foco 2 (4,0) eje mayor 12

Luis Ernesto Sanchez Perez
Luis Ernesto Sanchez Perez
Editor
12 Jun.

¡Buen día!

Para resolver este ejercicio debes seguir exactamente el mismo procedimiento del ejercicio 10 que se muestra en esta página, donde comentaste.
Solo debes cambiar el valor de los focos y del eje, sin embargo es fácil calcularlo haciendo esos respectivos cambios.

Igual una explicación rápida es que la ecuación es x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

2c = la distancia entre tus fotos
= 8

Entonces c = 4 y c^2 = 16

a = (eje mayor)/2
= 10/2
= 5

a^2 = 25

b^2 = a^2 – c^2
= 25 – 16
= 9

Entonces tu ecuación es

x^2/25 + y^2/9 = 1

Saludos.

Diaz
Diaz
Invité
9 May.

Hola .. Estaría bueno que en el primer problema muestren la formula para calcular la elipse con los focos por que no es tan evidente con focos de valores similares.

Superprof
Superprof
Administrateur
7 Jun.

Muchas gracias por el comentario, lo hemos tomado en cuenta y intentaremos añadir las fórmulas cuantos antes. ¡Un saludo!

castro
castro
Invité
10 May.

Por favor si me puedes colaborar con ese ejercicio ¿Cual es la ecuación de Elipse? : C (0,0) V(10,0), y F(6,0). y este es el otro ejerció… C(0,0) V(0,9) y F(0,/45) Gracias por tu colaboración Dios te bendiga

Luis Maciel Baron
Luis Maciel Baron
Editor
11 Jun.

¡Hola! Para el primer ejercicio, C (0,0) V(10,0), y F(6,0), al ser el valor de ‘x’ el que varía en los puntos, tenemos una elipse horizontal con centro en el origen. Podemos deducir, por las coordenadas del vértice y foco que los parámetros ‘a’ y ‘c’ toman los siguientes valores: a=10 c=6 y usando la relación a^2=b^2 + c^2 podemos encontrar el valor de ‘b’: 10^2=b^2+6^2 b^2=100-36 b^2=64 b=8 Una elipse horizontal con centro en el origen tiene la forma: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 Por lo que la ecuación de la elipse quedaría x^2/100 + y^2/64 = 1 Para… Lire la suite »

gallegos
gallegos
Invité
7 Jun.

E 1 :

x2  4y2 16  0 ;

E : 4×2  y2  4y  3  0

i) Identifique el centro y parámetros de cada elipse.

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
13 Jul.

Hola,
 
primero despejamos dejando de lado izquierdo las variables
x²+4y²=16
 
Dividimos cada elemento entre 16
x²/16 + 4y²/16 = 16/16
 
Simplificamos
x²/16 + y²/4 = 1
 
De lo anterior se obtiene centro (0,0), a²=16 y b²=4, luego a=4, b=2.
Finalmente calculamos c=√(a²-b²)=2√(3)
 
Para la segunda elipse sumamos y restamos 4 para conseguir un trinomio cuadrado perfecto para y
4x²+(y²-4y+4)-4-3=0
4x²+(y-2)²=7
4x²/7+(y-2)²/7=7/7
x²/(7/4) + (y-2)²/7 = 1
de donde se obtiene que el centro es (0,2), a=√(7), b=(√7)/2, c=(√21)/2.
 
Espero haber sido de ayuda.
Un saludo

rosas
rosas
Invité
13 Jun.

si la excentricidad en una sección es mayor que 1 está será una hipérbola
Si la excentricidad es una cantidad entre 0 y 1 la sección conica será una elipse me ayudan con esta por favor gracias

Luis Ernesto Sanchez Perez
Luis Ernesto Sanchez Perez
Editor
15 Jul.

Buen día.

Efectivamente los enunciados que dices son ciertos. Sin embargo solo mencionas los enunciados pero no en qué necesitas ayuda específicamente. Por favor, coméntame qué necesitas de esos enuciados. Ya sea calcular la excentricidad de alguna elipse, hipérbola. O bien demostrar si son ciertos los enunciados, etc.

Por mientras te dejo abajo la clasificación de cuadráticas según su excentricidad.

* Un círculo tiene una excentricidad de 0

* Una elipse cumple que su excentricidad está entre 0 y 1.

* Una parábola tiene excentricidad 1.

* Una hipérbola tiene excentricidad mayor a 1.

Saludos

apolinario
apolinario
Invité
15 Jun.

Determine la ecuación de la elipse con centro en (-1; -3), donde uno de sus focos se ubica en el punto
(- 6;- 3) y uno de sus vértices en el punto (12; – 3). porfavor una ayuda

Luis Ernesto Sanchez Perez
Luis Ernesto Sanchez Perez
Editor
20 Jul.

Buen día. Primero, me gustaría que notaras que este ejercicio se resuelve utilizando exactamente el mismo procedimiento del ejercicio 2 de este artículo que has comentado, por lo tanto te ayudaré pero en caso de seguir con dudas te invito a revisar dicho ejercicio, si estas no se resuelven, con gusto vuelve a comentar y te apoyamos. Primero hay que identificar los datos que tenemos: Foco , Centro y Vértice . Debemos obtener el semieje mayor (distancia entre el centro y el vértice), , y el semieje menor, . Para esto, hagamos lo siguiente     Ahora, calculemos la semidistancia… Lire la suite »

Brunela
Brunela
Invité
29 Jun.

Halle la ecuación y la excentricidad de la elipse cuyas directrices son las rectas x=1 y x=9 y uno de sus focos es F(7,0).

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
16 Jul.

Hola, por las ecuaciones de las directrices notamos que se trata de una elipse horizontal. Como el eje mayor se encuentra sobre el eje X por la ubicación del foco, y el centro debe estar en medio de las dos directrices, sus coordenadas son: C(h,k) = C(5,0) Entonces c=2 (distancia entre el centro y el foco). Sabemos que las directrices tienen de ecuación x = h ± a2/c por lo tanto 9 = 5 + a2/2 9-5 = a2/2 4*2 = a2 8 = a2 √8 = a Calculamos b b = √ a2-c2 b = √ 8-4 b =… Lire la suite »