Encontrar la ecuación de la elipse

 

Antes de resolver los ejercicios, puedes leer el resumen sobre las propiedades de la elipse y su ecuación.

 

1 Hallar la ecuación de lugar geométrico de los puntos P(x,y) P(x, y) cuya suma de distancias a los puntos fijosF_1(4,2)  y F_2(-2,2)  sea igual a 8.

 

Buscamos que la suma de las distancias \overline{PF_1} y \overline{PF_2} sea siempre igual a 8, es decir,

 

\displaystyle \overline{PF_1} + \overline{PF_2} = 8

 

Por lo tanto, tenemos que,

 

\displaystyle \sqrt{(x + 2)^2 + (y - 2)^2} + \sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2} = 8

 

Si despejamos una raíz, se obtiene

 

\displaystyle \sqrt{(x + 2)^2 + (y - 2)^2}  = 8 - \sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2}

 

Luego, elevando al cuadrado, tenemos que

 

\displaystyle (x+2)^2 + (y-2)^2 = 64 - 16\sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2} + (x -4)^2 + (y - 2)^2

 

Observemos que el término (y-2)^{2} se encuentra a ambos lados de la ecuación. Por tanto, podemos cancelarlo, de manera que nos queda

 

\displaystyle (x+2)^2 = 64 - 16\sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2} + (x -4)^2

 

Si expandimos los dos binomios al cuadrado, tendremos que,

 

\displaystyle x^2 + 4x + 4 = 64 - 16\sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2} + x^2 - 8x + 16

 

Luego, reagrupando términos semejantes )-y dividiendo la ecuación por 4—, tenemos

 

\displaystyle 3x - 19 = -4 \sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2}

 

Ya nos deshicimos de un radical. Para deshacernos del otro repetimos el procedimiento. Elevamos al cuadrado la expresión, expandemos los binomios al cuadrado y reagrupamos términos:

 

\displaystyle 9x^2 - 114x + 361 = 16\left((x - 4)^2 + (y - 2)^2 \right)

 

es decir,

 

\displaystyle 7x^2 + 16y^2 - 14x - 64y - 41 = 0

 

 

 

2 Hallar la ecuación de la elipse de focoF(7,2) , de vértice A(9,2) y de centro C(4,2).

 

Sabemos que el semieje mayor es la distancia entre el centro C y el vértice A, es decir,

 

\displaystyle a = \sqrt{(9 - 4)^2 + (2 - 2)^2} = 9 - 4 = 5

 

Asimismo, la semidistancia focal es la distancia entre el centro C y el foco F de la elipse —que es la mitad de la distancia entre los dos focos—, esto es,

 

\displaystyle c = \sqrt{(7 - 4)^2 + (2 - 2)^2} = 7 - 4 = 3

 

Por último, el semieje menor se calcula mediante

 

\displaystyle b = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4

 

Así, la ecuación reducida de la elipse está dada por

 

\displaystyle \frac{(x - 4)^2}{25} + \frac{(y - 2)^2}{16} = 1

 

La gráfica de la elipse es la siguiente:

 

 

3 Halla la ecuación de la elipse conociendo que:

 

  • C(0, 0), \quad F(2, 0), \quad A(3, 0)
  • C(0, 0), \quad F(0, 4), \quad A(0, 5)
  • C(1, -1), \quad F(1, 2), \quad A(1, 4)
  • C(-3, 2), \quad F(-1, 2), \quad A(2, 2)

  • C(0, 0), \quad F(2, 0), \quad A(3, 0)

 

Describiremos detalladamente el primer inciso. Los demás estarán más resumidos.

 

Sabemos que el semieje mayor es la distancia entre el centro C y el vértice A, es decir,

 

\displaystyle a = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = 3

 

Asimismo, la semidistancia focal es la distancia entre el centro C y el foco F de la elipse —que es la mitad de la distancia entre los dos focos—, esto es,

 

\displaystyle c = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = 2

 

Por último, el semieje menor se calcula mediante

 

\displaystyle b = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{5}

 

Así, la ecuación reducida de la elipse está dada por

 

\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1

 

  • C(0, 0), \quad F(0, 4), \quad A(0, 5)

 

Tenemos que,

 

\displaystyle a = 5, \quad, c = 4

 

Por tanto, el semieje menor está dado por,

 

\displaystyle b = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3

 

Así, la ecuación reducida de la elipse es:

 

\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1

 

Observemos que, en este caso, dividimos y^2 por a^2 en lugar de b^2. Esto se debe a que el eje mayor es vertical (observemos que tanto A, C y F tienen mismo valor en su coordenada x).

 

  • C(1, -1), \quad F(1, 2), \quad A(1, 4)

 

Observemos que las coordenadas x de los tres puntos es la misma. Por lo tanto, el eje mayor es vertical. Así, tenemos que

 

\displaystyle a = 5, \quad, c = 3

 

Por tanto, el semieje menor está dado por,

 

\displaystyle b = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4

 

Así, la ecuación reducida de la elipse es:

 

\displaystyle \frac{(x - 1)^2}{16} + \frac{(y + 1)^2}{25} = 1

 

  • C(-3, 2), \quad F(-1, 2), \quad A(2, 2)

 

Notemos ahora que son las coordenadas y las que se encuentran fijas en cada punto. De este modo, el eje mayor de la elipse será horizontal. Así, tenemos que

 

\displaystyle a = 5, \quad c = 2

 

Además,

 

\displaystyle b = \sqrt{25 - 4} = \sqrt{21}

 

Por lo tanto, la ecuación reducida será

 

\displaystyle \frac{(x + 3)^2}{25} + \frac{(y - 2)^2}{21} = 1

 

 

4 Determina la ecuación reducida de una elipse sabiendo que el eje mayor es horizontal, uno de los focos dista 8 de un vértice y 18 del otro, y cuyo centro se encuentra en el origen.

 

Observa la gráfica de abajo:

 

representación gráfica de la distancia entre focos

 

Sabemos que la distancia focal debe ser 18 - 8 = 10. De este modo, la semidistancia focal es,

 

\displaystyle c = \frac{10}{2} = 5

 

La cual es la distancia del centro a cualquier foco. De este modo, la distancia entre el centro y el vértice es

 

\displaystyle a = 5 + 8 = 13

 

Con esto, tenemos que

 

\displaystyle b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12

 

Por lo tanto, la ecuación de la elipse es

 

\displaystyle \frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{144} = 1

 

 

5 Halla la ecuación reducida de una elipse sabiendo que pasa por el punto (0, 4), tiene centro en el origen, el eje mayor es horizontal y su excentricidad es \frac{3}{5}.

 

La ecuación de la elipse debe tener la forma

 

\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

 

debido a que tiene su centro en el origen. Además, tenemos que la elipse pasa por el punto (0, 4). De este modo, se debe satisfacer que

 

\displaystyle \frac{0^2}{a^2} + \frac{4^2}{b^2} = 1 \qquad \to \qquad \frac{4^2}{b^2} = 1

 

Si despejamos b^2, se tiene que b^2 = 4^2. Luego, debido a que b > 0, se sigue que,

 

b = 4

 

Además, en la fórmula de la excentricidad se debe cumplir que

 

\displaystyle \frac{3}{5} = \sqrt{\frac{a^2 - b^2}{a^2}} = \frac{\sqrt{a^2 - 16}}{a}

 

Si elevamos al cuadrado la ecuación, se sigue que

 

\displaystyle \frac{9}{25} = \frac{a^2 - 16}{a^2}

 

Multiplicamos la ecuación por a^2, y luego por 25 para obtener

 

\displaystyle 9a^2 = 25a^2 - 400

 

Al agrupar términos semejantes, se obtiene

 

16 a^2 = 400 \qquad \to \qquad a^2 = 25

 

Es decir, a = 5. Por lo tanto, la ecuación de la elipse es

 

\displaystyle \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1

 

 

6 Escribe la ecuación reducida de la elipse con centro en el origen, que pasa por el punto (2, 1) y cuyo eje menor mide 4 y este es vertical.

 

Como la elipse tiene centro en el origen, entonces su ecuación debe tener la forma

 

\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

 

Además, como el eje menor mide 4, entonces la semieje menor es

 

\displaystyle b = \frac{4}{2} = 2

 

Luego, como la elipse pasa por el punto (2, 1), entonces debe satisfacer la ecuación

 

\displaystyle \frac{2^2}{a^2} + \frac{1^2}{4} = 1

 

Despejando a^2 se tiene que

 

\displaystyle \frac{4}{a^2} = \frac{3}{4} \qquad \to \qquad a^2 = \frac{16}{3}

 

De manera que

 

\displaystyle a = \frac{4}{\sqrt{3} }

 

Así, la ecuación de la elipse es

 

\displaystyle \frac{3x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1

 

 

7 La distancia focal de una elipse con centro en el origen es 4 y los focos se encuentran sobre el eje x. Un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6, respectivamente. Calcular la ecuación reducida de dicha elipse.

 

Tenemos que la distancia focal es 4. Por tanto, la semidistancia focal es

 

\displaystyle c = \frac{4}{2} = 2

 

Asimismo, la suma de las distancias de cualquier punto hacia los focos siempre es constante. Esta distancia coincide con el eje mayor, de manera que

 

\displaystyle 2a = 2  + 6 = 8 \qquad \to \qquad a = 4

 

Finalmente, el semieje menor mide

 

\displaystyle b = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}

 

Por lo tanto, la ecuación de la elipse es

 

\displaystyle \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1

 

 

8 Escribe la ecuación de la elipse con centro en el origen, focos sobre el eje x, y que pasa por los puntos \left(1, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) y \left(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right).

 

Como la elipse pasa por ambos puntos, entonces debe satisfacer el siguiente sistema de ecuaciones

 

\begin{cases} \displaystyle \frac{1}{a^2} + \frac{3/4}{b^2} = 1\\ \\ \displaystyle \frac{2}{a^2} + \frac{2/4}{b^2} = 1 \end{cases}

 

Este es un sistema no lineal con dos incógnitas (en el enlace se muestra cómo resolverlos). En este caso, utilizamos un cambio de variable

 

\displaystyle u^2 = \frac{1}{a^2}, \quad v^2 = \frac{1}{b^2}

 

La solución de este sistema es

 

\displaystyle a = 2, \quad b = 1

 

Para verificarlo, puedes sustituir los valores de a y b en el sistema no lineal original.

 

Por lo tanto, la ecuación de la elipse es,

 

\displaystyle \frac{x^2}{4} + y^2 = 1

 

 

9 Determina la ecuación de la elipse con centro en el origen, cuya distancia focal es 8\sqrt{6}, focos sobre el eje x, y el área del rectángulo construido sobre los ejes es 80 u^2.

 

La distancia focal es 8\sqrt{6}. Por lo tanto, tenemos que,

 

2c = 8\sqrt{6} \qquad \to \qquad c = 4\sqrt{6}

 

Asimismo, los semiejes menor y mayor satisfacen que —la relación que siempre cumplen a, b y c

 

a^2 = b^2 + (4\sqrt{6})^2 = b^2 + 96

 

Por otro lado, tenemos un rectángulo cuyos lados miden 2a y 2b. Este rectángulo tiene un área dada por

 

2a \cdot 2b = 80

 

Por lo tanto, se debe resolver el siguiente sistema no lineal de ecuaciones:

 

\begin{cases} a^2 = b^2 + 96\\ 4ab = 80 \end{cases}

Este sistema no lineal se puede resolver despejando b de la segunda ecuación y sustituyendo su valor en la primera ecuación. Así se obtiene una ecuación bicuadrada. La solución al sistema está dada por

 

\displaystyle a = 10, \quad b = 2

 

Por lo tanto, la ecuación de la elipse es

 

\displaystyle \frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{4} = 1

 

 

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Encontrar elementos a partir de la ecuación

 

10 Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0)  y F(-3,0), y su eje mayor mide 10.

 

Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(-3,0), y su eje mayor mide 10.

 

representación gráfica de la elipse con triangulo circunscrito

 

  • Semieje mayor:

 

Tenemos que 2a = 10, por lo tanto, el semieje mayor es a = 5.

 

  • Semidistancia focal:

 

Aquí tenemos que la distancia entre los dos focos es \overline{FF'} = 2c = 6. Por lo tanto, la semidistancia focal es c = 3.

 

  • Semieje menor:

 

Tenemos que a^2 = b^2 + c^2 donde b es el semieje menor. De este modo,

 

b^2 = 25 - 9 = 16

 

Así, el semieje menor mide b = 4.

 

  • Ecuación reducida:

 

Ya que tenemos los valores de a y b, así como del centro —que es el punto medio de los focos, es decir (0,0)—, entonces la ecuación reducida está dada por

 

\displaystyle \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1

 

  • Excentricidad:

 

Por último, la excentricidad de la elipse está dada por

 

\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5}

 

 

11 Dada la ecuación reducida de la elipse \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1, hallar las coordenadas de los vértices, los covértices, los focos y la excentricidad.

 

De la forma de la ecuación, podemos saber que la elipse tiene centro en el origen. Además, se tiene que

 

\displaystyle a = \sqrt{9} = 3, \quad b = \sqrt{4} = 2

 

De este modo los vértices tienen coordenadas

 

\displaystyle A(0, 3), \quad A'(0, -3)

 

ya que el eje mayor se encuentra sobre el eje y. Los covértices se encuentran en

 

\displaystyle B(2, 0), \quad B'(-2, 0)

 

Asimismo, tenemos que la semidistancia focal es

 

\displaystyle c = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}

 

De este modo, los focos se encuentran en

 

\displaystyle F(0, \sqrt{5}), \quad F'(0, -\sqrt{5})

 

Finalmente, la excentricidad se encuentra mediante

 

\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3}

 

 

12 Dada la elipse de ecuación \frac{(x-6)^{2}}{36}+\frac{(y+4)^{2}}{16}=1, hallar su centro, semiejes, vértices, covértices y focos.

 

De la ecuación se sigue inmediatamente que el centro se encuentra en C(6, -4). Asimismo, los semiejes menor y mayor son

 

\displaystyle a = \sqrt{36} = 6, \quad b = \sqrt{16} = 4

 

Por lo tanto,

 

\displaystyle c = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

 

De este modo, los vértices se encuentran en (6 \pm a, -4), es decir

 

\displaystyle A(12, -4), \quad A'(0, -4)

 

Asimismo, los focos se encuentran en

 

\displaystyle F(6 + 2\sqrt{5}, -4), \quad F'(6 - 2\sqrt{5}, -4)

 

Los covértices se encuentran en los puntos

 

\displaystyle B(6, 0), \quad B'(6, -8)

 

 

13 Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, los vértices, los covértices y la excentricidad de las siguientes elipses.

 

  • \displaystyle \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1
  •  x^2 + 4y^2 = 16
  • \displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1
  • 3x^2 + 2y^2 = 6

 

  • \displaystyle \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1

 

El centro se encuentran en el origen. Los semiejes menor y mayor son

 

\displaystyle a = \sqrt{16} = 4, \quad b = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}

 

De esta manera, los vértices se encuentran en

 

\displaystyle A(4, 0), \quad A'(-4, 0)

 

Los covértices se encuentran en los puntos

 

\displaystyle B(0, 2\sqrt{3}), B'(0, -2\sqrt{3})

 

La semidistancia focal es

 

\displaystyle c = \sqrt{16-12} = 2

 

Por lo que los focos se encuentran en

 

\displaystyle F(2, 0), \quad F'(-2, 0)

 

Finalmente, la excentricidad es

 

\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

 

representación gráfica de la elipse

 

  •  x^2 + 4y^2 = 16

 

Primero debemos escribir la ecuación en su forma reducida, por lo que dividimos por 16:

 

\displaystyle \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1

 

Luego, se la ecuación se sigue que el centro está en el origen C(0, 0), y que

 

\displaystyle a = \sqrt{16} = 4, \quad b = \sqrt{4} = 2

 

Por lo que los vértices se encuentran en

 

\displaystyle A(4, 0), \quad A'(-4, 0)

 

y los covértices se encuentran en

 

\displaystyle B(0, 2), \quad B'(0, -2)

 

Además, la semidistancia focal es

 

\displaystyle c = \sqrt{16-4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}

 

Así, los focos se encuentran en

 

\displaystyle F(2\sqrt{3}, 0), \quad F'(-2\sqrt{3}, 0)

 

Finalmente, la excentricidad está dada por

 

\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}

 

representación grafica de la elipse

 

  • \displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1

 

La ecuación ya se encuentra de forma reducida. A partir de esta ecuación se puede apreciar que el centro se encuentran en C(0, 0). Además, los semiejes menor y mayor están dados por

 

\displaystyle a = \sqrt{25} = 5, \quad b = \sqrt{9} = 3

 

La semidistancia focal está dada por

 

\displaystyle c = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4

 

Observemos que el eje mayor está sobre el eje y. De este modo, los vértices se encuentran en

 

\displaystyle A(0, 5), \quad A'(0, -5)

 

Los covértices se encuentran en,

 

\displaystyle B(3, 0), \quad B'(-3, 0)

 

Y los focos son los puntos,

 

\displaystyle F(0, 4), \quad F'(0, -4)

 

Finalmente, la excentricidad está dada por

 

\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}

 

elipse 4

 

  • 3x^2 + 2y^2 = 6

 

Por último, tenemos una ecuación que no está en su forma reducida. Dividimos primero por 6 para obtener

 

\displaystyle \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} = 1

 

A partir de la ecuación tenemos que

 

\displaystyle a = \sqrt{3}, \quad b = \sqrt{2}

\displaystyle c = \sqrt{3 - 2} = 1

 

Además, observemos que el eje mayor se encuentra sobre el eje y. De este modo, los vértices se encuentran en

 

\displaystyle A(0, \sqrt{3}), \quad A'(0, -\sqrt{3})

 

Los covértices son los puntos

 

\displaystyle B(\sqrt{2}, 0), \quad B'(-\sqrt{2}, 0)

 

Y los focos están localizados en

 

\displaystyle F(0, 1), \quad F'(0, -1)

 

Por último, la excentricidad es

 

\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{1}{\sqrt{3}}

 

elipse 5

 

 

14 Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, los vértices y los covértices de las siguientes elipses.

 

  • x^2 + 2y^2 - 2x + 8y + 5 = 0
  • 25x^2 + 9y^2 - 18y -216 = 0
  • x^2 + 3y^2 - 6x + 6y = 0
  • 3x^2 + y^2 - 24x + 39 = 0

 

  • x^2 + 2y^2 - 2x + 8y + 5 = 0

 

Para determinar los puntos importantes de la elipse, debemos escribir su ecuación de forma reducida. La forma de hacer esto es completando el cuadrado:

 

\displaystyle (x^2 - 2x + 1) - 1 + 2(y^2 + 4y + 4) - 8 + 5 = 0

\displaystyle (x - 1)^2 + 2(y + 2)^2 = 4

 

Luego, dividimos por 4,

 

\displaystyle \frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{(y + 2)^2}{2} = 1

 

De este modo, se claro ver que el centro se encuentra en C(1, -2). Además, se puede apreciar que

 

\displaystyle a = \sqrt{4} = 2, \quad b = \sqrt{2}

\displaystyle c = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}

 

Asimismo, el eje mayor es horizontal, por lo que los vértices se encuentran en

 

\displaystyle A(3, -2), \quad A'(-1, -2)

 

Los covértices se encuentran en

 

\displaystyle B(1, -2 + \sqrt{2}), \quad B'(1, -2 - \sqrt{2})

 

Y los focos se encuentran en

 

\displaystyle F(1 + \sqrt{2}, -2), \quad F'(1 - \sqrt{2}, -2)

 

representacion elipse dibujo

 

  • 25x^2 + 9y^2 - 18y -216 = 0

 

Completamos el cuadrado de nuevo:

 

\displaystyle 25x^2 + 9(y^2 - 2y + 1) - 9 - 216 = 0

\displaystyle 25x^2 + 9(y - 1)^2 = 225

 

Luego, dividimos por 225,

 

\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{(y - 1)^2}{25} = 1

 

De este modo, se claro ver que el centro se encuentra en C(0, 1). Además, se puede apreciar que

 

\displaystyle a = \sqrt{25} = 5, \quad b = \sqrt{9} = 3

\displaystyle c = \sqrt{25 - 9} = 4

 

Asimismo, el eje mayor es vertical, por lo que los vértices se encuentran en

 

\displaystyle A(0, 6), \quad A'(0, -4)

 

Los covértices se encuentran en

 

\displaystyle B(3, 1), \quad B'(-3, 1)

 

Y los focos se encuentran en

 

\displaystyle F(0, 5), \quad F'(0, -3)

 

dibujo de una elipse

 

  • x^2 + 3y^2 - 6x + 6y = 0

 

Completamos el cuadrado de nuevo:

 

\displaystyle (x^2 - 6x + 9) - 9 + 3(y^2 + 2y + 1) - 3 = 0

\displaystyle (x - 3)^2 + 3(y + 1)^2 = 12

 

Luego, dividimos por 12,

 

\displaystyle \frac{(x - 3)^2}{12} + \frac{(y + 1)^2}{4} = 1

 

De este modo, se claro ver que el centro se encuentra en C(3, -1). Además, se puede apreciar que

 

\displaystyle a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}, \quad b = \sqrt{4} = 2

\displaystyle c = \sqrt{12 - 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

 

Asimismo, el eje mayor es horizontal, por lo que los vértices se encuentran en

 

\displaystyle A(3 + 2\sqrt{3}, -1), \quad A'(3 - 2\sqrt{3}, -1)

 

Los covértices se encuentran en

 

\displaystyle B(3, 1), \quad B'(3, -3)

 

Y los focos se encuentran en

 

\displaystyle F(3 + 2\sqrt{2}, -1), \quad F'(3 - 2\sqrt{2}, -1)

 

dibujo o grafica de elipse

 

  • 3x^2 + y^2 - 24x + 39 = 0

 

Completamos el cuadrado de nuevo:

 

\displaystyle 3(x^2 - 8x + 16) - 48 + y^2 + 39 = 0

\displaystyle 3(x - 4)^2 + y^2 = 9

 

Luego, dividimos por 9,

 

\displaystyle \frac{(x - 4)^2}{3} + \frac{y^2}{9} = 1

 

De este modo, se claro ver que el centro se encuentra en C(4, 0). Además, se puede apreciar que

 

\displaystyle a = \sqrt{9} = 3, \quad b = \sqrt{3}

\displaystyle c = \sqrt{9 - 3} = \sqrt{6}

 

Asimismo, el eje mayor es vertical, por lo que los vértices se encuentran en

 

\displaystyle A(4, 3), \quad A'(4, -3)

 

Los covértices se encuentran en

 

\displaystyle B(4 + \sqrt{3}, 0), \quad B'(4 - \sqrt{3}, 0)

 

Y los focos se encuentran en

 

\displaystyle F(4, \sqrt{6}), \quad F'(4, -\sqrt{6})

 

dibujo de elipse y representacion grafica de focos

 

 

15 Encuentra las coordenadas del punto medio de la cuerda que intercepta la recta x + 2y - 1 = 0 con la elipse cuya ecuación es x^2 + 2y^2 = 3.

 

Observa primero la gráfica de la recta y la elipse:

 

representacion grafica de la elipse y recta

 

A partir de la figura podemos deducir que debemos encontrar las coordenadas de los puntos A y B. Luego, M será el punto medio de estos dos.

 

Encontrar las coordenadas de A y B es equivalente a resolver el sistema no lineales de ecuaciones dado por

 

\begin{cases} x + 2y - 1 = 0\\ x^2 + 2y^2 = 3 \end{cases}

 

Este sistema también se resuelve por sustitución. Las soluciones están dadas por,

 

\displaystyle A(-1, 1), \quad B \left( \tfrac{5}{3}, -\tfrac{1}{3} \right)

 

Por lo tanto, el punto medio de la cuerda está dado por

 

\displaystyle M\left( \frac{-1 + \tfrac{5}{3}}{2}, \frac{1 - \tfrac{1}{3}}{2} \right) \qquad \to \qquad M\left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗