1Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto C(3, 1) y es tangente a la recta: 3x - 4y + 5 = 0.

1Representamos gráficamente

 

ejercicio de ecuacion de la circunferencia 1

 

2El radio siempre es perpendicular a cualquier tangente de la circunferencia, por lo que al calcular la distancia del centro a la recta tangente, estaremos encontrando el radio

 

r = d(C,s) = \cfrac{3 \cdot 3 - 4 \cdot 1 + 5}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 2

 

3Escribimos la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro C(3, 1) y radio r = 2

 

(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 2^2

 

4Desarrollamos los términos cuadráticos y escribimos la ecuación general de la circunferencia

 

\begin{array}{rcl} (x - 3)^2 + (y - 1)^2 & = & 2^2 \\\\ x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 & = & 4 \\\\ x^2 + y^2 - 6x - 2y + 6 & = & 0 \end{array}

 

5Así, la ecuación buscada es

 

x^2 + y^2 - 6x - 2y + 6 = 0

 

2Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2, 1) y B(−2, 3) y tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0.

1Representamos gráficamente

 

ejercicio de ecuacion de la circunferencia 2

 

2Representamos el centro con coordenadas C(a,b), luego la ecuación ordinaria de la circunferencia es

 

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

 

3Los puntos A y B están en la circunferencia, por lo que satisfacen la ecuación

 

(2 - a)^2 + (1 - b)^2 = r^2

 

(-2 - a)^2 + (3 - b)^2 = r^2

 

4Igualamos ambas ecuaciones y simplificamos

 

\begin{array}{rcl} (2 - a)^2 + (1 - b)^2 & = & (-2 - a)^2 + (3 - b)^2 \\\\ 4 - 4a + a^2 + 1 - 2b + b^2 & = & 4 + 4a + a^2 + 9 - 6b + b^2 \\\\ -8a + 4b -8 & = & 0 \\\\ -4(2a - b + 2 ) & = & 0 \\\\ 2a - b + 2 & = & 0 \end{array}

 

5Como el centro está sobre la recta x + y + 4 = 0, entonces satisface

 

a + b + 4 = 0

 

6Se obtiene el sistema de ecuaciones

 

\left \{ \begin{array}{l}a + b + 4 = 0, \\\\ 2a - b + 2 = 0 \end{array} \right.

 

7Sumando ambas ecuaciones se obtiene

 

3a + 6 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a = -2

 

8Sustituyendo en la primera ecuación del sistema se obtiene

 

-2 + b + 4 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b = -2

 

9Sustituimos los valores obtenidos en (2 - a)^2 + (1 - b)^2 = r^2 y obtenemos

 

r = 5

 

10Sustituyendo los valoresdel centro y radio en la ecuación ordinaria de la circunferencia y desarrollando se obtiene

 

\begin{array}{rcl}(x + 2)^2 + (y + 2)^2 & = & 5^2 \\\\ x^2 + 4x + 4 + y^2 + 4y + 4 & = & 25 \\\\ x^2 + y^2 + 4x + 4y - 17 & = & 0 \end{array}

 

3Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0, -3), cuyo radio es \sqrt{5} y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

1Representamos gráficamente

 

ejercicio de ecuacion de la circunferencia 3

 

2El centro se encuentra en la recta y = x por lo que el centro se representa por  C(a,a). La ecuación ordinaria de la circunferencia es

 

(x - a)^2 + (y - a)^2 = (\sqrt{5})^2

 

3El punto (0,-3) está en la circunferencia, por lo que satisface la ecuación

 

\begin{array}{rcl}(0 - a)^2 + (-3 - a)^2  & = & 5 \\\\  a^2 + 9 + 6a + a^2 - 5 & = & 0 \\\\ 2a^2 + 6a + 4 & = & 0 \\\\  2(a + 1)(a + 2) \end{array}

 

Luego a = -1 y a = -2

 

4La ecuación de la circunferencia, para a = -1 es

 

\begin{array}{rcl} (x + 1)^2 + (y + 1)^2 & = & (\sqrt{5})^2 \\\\ x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2y +1 - 5 & = & 0 \\\\ x^2 + y^2 + 2x + 2y - 3 & = & 0 \end{array}

 

5La ecuación de la circunferencia, para a = -2 es

 

\begin{array}{rcl} (x + 2)^2 + (y + 2)^2 & = & (\sqrt{5})^2 \\\\ x^2 + 4x + 4 + y^2 + 4y +4 - 5 & = & 0 \\\\ x^2 + y^2 + 4x + 4y + 3 & = & 0 \end{array}

 

4Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0, 0), cuyo radio es 4 y cuyo centro se halla en la recta x=4.

1El centro se encuentra en la recta x=4 por lo que el centro se representa por  C(4,b). La ecuación ordinaria de la circunferencia es

 

(x - 4)^2 + (y-b)^2 = (4)^2

 

2El punto (0,0) está en la circunferencia, por lo que debe satisfacer la ecuación

 

\begin{array}{rcl}(0 - 4)^2 + (0-b)^2  & = & 16 \\\\  (-4)^2+b^2& = & 16 \\\\ b^2 & = & 16-16=0\end{array}

 

3Por lo tanto concluimos que b=0. Así, la ecuación de la circunferencia, para b=0 es

 

\begin{array}{rcl} (x - 4)^2 + y^2 & = & (4)^2 \\\\ \end{array}

 

5Si la ecuación de la circunferencia es x^2+y^2-4x+6y+8=0, entonces su radio mide:.

1Tenemos la formula general de la circunferencia,

    $$x^2+y^2+Ax+By+C=0$$

De esta ecuación podemos obtener todos los datos necesarios de nuestra circunferencia.

2De la ecuación anterior sabemos que su radio esta determinado por la ecuación

    $$r=\sqrt{\left(\cfrac{A}{2}\right)^2+\left(\cfrac{B}{2}\right)^2-C}$$

3 En nuestro caso particular sabemos que A=-4, B=5 y C=8, reemplazando obtenemos el resultado que buscamos

    $$r=\sqrt{\left(\cfrac{-4}{2}\right)^{2}+\left(\cfrac{6}{2}\right)^2-(8)}=\sqrt{5}.$$

 

6Calcular la ecuación de la circunferencia, donde uno de sus diametros tiene como extremos a A(-1,-1), B(2,-1).

1Si el segmento AB es un diametro de la circunferencia entonces el punto media de este segmento sera el radio de la circunferencia

    $$h=\cfrac{-1+2}{2}=\cfrac{1}{2},\quad k=\cfrac{-1+(-1)}{2}=-1.$$

Concluimos que el centro de la circunferencia es C\left(\cfrac{1}{2},-1\right).

2Para calcular el radio, debemos calcular la longitud del segmento AC, la cual es

    $$r=\sqrt{\left(-1-\cfrac{1}{2}\right)^2+(-1+1)^2}=\cfrac{3}{2}.$$

3 Finalmente concluimos que la ecuación de la circunferencia es

    $$\left(x-\cfrac{1}{2}\right)^2+(y+1)^2=\cfrac{9}{2}.$$

 

7Hallar la ecuación de la circunferencia que su centro en A(-1,4) y es tangente a la recta que pasa por los puntos B(3,2) y C(-9,3).

1Primero calculamos la ecuación de la recta. Dado que esta pasa por B(3,2) y C(-9,3), tiene como pendiente a

    $$m=\cfrac{3+2}{-9-3}=\cfrac{5}{12}.$$

Luego la ecuación de la recta es

    $$y+2=\cfrac{5}{12}(x-3)\Rightarrow 5x+12y+9=0.$$

2 Ahora consideramos la distancia del centro a la recta tangente, es decir, el radio es

    $$r=\cfrac{5(-1)+12(4)+9}{25+144}=4$$

3Finalmente nuestra ecuación es

    $$(x+1)^2+(y-4)=4^2=16.$$

 

8 Hallar la ecuación de una circunferencia que pasa por los puntos A(2,3) y B(-1,1) y cuyo centro esta situado en la recta x-3y-11=0.

1 Sabemos que la ecuación tiene la forma

    $$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2.$$

Dado que la circunferencia para por los puntos A y B, entonces tenemos la ecuación

    $$(2-h)^2+(3-k)^2=(-1-h)^2+(1-k)^2=r^2.$$

2 Como el centro C(h,k) esta sobre la recta de ecuación x-3y-11=0 entonces tenemos la ecuación

    $$h-3k-11=0.$$

3Resolviendo las ecuaciones anteriores para h,k tenemos que

    $$h^2-4h+4+k^2-6k+9=h^2+2h+1+k^2-2k+1,$$

    $$-2h+13=4k+2.$$

De esta ecuación y la ecuación en 2 se sigue que

    $$h=\cfrac{7}{2},\quad k=-\cfrac{5}{2}.$$

4 Reemplazando estos valores en la ecuación de la circunferencia junto con uno de los valores por los cuales pasa la circunferencia podemos obtener el radio

    $$r^2=\left(2-\cfrac{7}{2}\right)^{2}+\left(3+\cfrac{5}{2}\right)^{2}=\cfrac{130}{4}.$$

5 Finalmente, nuestra ecuación esta dada por

    $$\left(x-\cfrac{7}{2}\right)^{2}+\left(y+\cfrac{5}{2}\right)^{2}=\cfrac{130}{4}.$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗