1Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto C(3, 1) y es tangente a la recta: 3x - 4y + 5 = 0.

1Representamos gráficamente

 

ejercicio de ecuacion de la circunferencia 1

 

2El radio siempre es perpendicular a cualquier tangente de la circunferencia, por lo que al calcular la distancia del centro a la recta tangente, estaremos encontrando el radio

 

r = d(C,s) = \cfrac{3 \cdot 3 - 4 \cdot 1 + 5}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 2

 

3Escribimos la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro C(3, 1) y radio r = 2

 

(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 2^2

 

4Desarrollamos los términos cuadráticos y escribimos la ecuación general de la circunferencia

 

\begin{array}{rcl} (x - 3)^2 + (y - 1)^2 & = & 2^2 \\\\ x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 & = & 4 \\\\ x^2 + y^2 - 6x - 2y + 6 & = & 0 \end{array}

 

5Así, la ecuación buscada es

 

x^2 + y^2 - 6x - 2y + 6 = 0

 

2Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2, 1) y B(−2, 3) y tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0.

1Representamos gráficamente

 

ejercicio de ecuacion de la circunferencia 2

 

2Representamos el centro con coordenadas C(a,b), luego la ecuación ordinaria de la circunferencia es

 

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

 

3Los puntos A y B están en la circunferencia, por lo que satisfacen la ecuación

 

(2 - a)^2 + (1 - b)^2 = r^2

 

(-2 - a)^2 + (3 - b)^2 = r^2

 

4Igualamos ambas ecuaciones y simplificamos

 

\begin{array}{rcl} (2 - a)^2 + (1 - b)^2 & = & (-2 - a)^2 + (3 - b)^2 \\\\ 4 - 4a + a^2 + 1 - 2b + b^2 & = & 4 + 4a + a^2 + 9 - 6b + b^2 \\\\ -8a + 4b -8 & = & 0 \\\\ -4(2a - b + 2 ) & = & 0 \\\\ 2a - b + 2 & = & 0 \end{array}

 

5Como el centro está sobre la recta x + y + 4 = 0, entonces satisface

 

a + b + 4 = 0

 

6Se obtiene el sistema de ecuaciones

 

\left \{ \begin{array}{l}a + b + 4 = 0, \\\\ 2a - b + 2 = 0 \end{array} \right.

 

7Sumando ambas ecuaciones se obtiene

 

3a + 6 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a = -2

 

8Sustituyendo en la primera ecuación del sistema se obtiene

 

-2 + b + 4 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b = -2

 

9Sustituimos los valores obtenidos en (2 - a)^2 + (1 - b)^2 = r^2 y obtenemos

 

r = 5

 

10Sustituyendo los valoresdel centro y radio en la ecuación ordinaria de la circunferencia y desarrollando se obtiene

 

\begin{array}{rcl}(x + 2)^2 + (y + 2)^2 & = & 5^2 \\\\ x^2 + 4x + 4 + y^2 + 4y + 4 & = & 25 \\\\ x^2 + y^2 + 4x + 4y - 17 & = & 0 \end{array}

 

3Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0, -3), cuyo radio es \sqrt{5} y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

1Representamos gráficamente

 

ejercicio de ecuacion de la circunferencia 3

 

2El centro se encuentra en la recta y = x por lo que el centro se representa por  C(a,a). La ecuación ordinaria de la circunferencia es

 

(x - a)^2 + (y - a)^2 = (\sqrt{5})^2

 

3El punto (0,-3) está en la circunferencia, por lo que satisface la ecuación

 

\begin{array}{rcl}(0 - a)^2 + (-3 - a)^2  & = & 5 \\\\  a^2 + 9 + 6a + a^2 - 5 & = & 0 \\\\ 2a^2 + 6a + 4 & = & 0 \\\\  2(a + 1)(a + 2) \end{array}

 

Luego a = -1 y a = -2

 

4La ecuación de la circunferencia, para a = -1 es

 

\begin{array}{rcl} (x + 1)^2 + (y + 1)^2 & = & (\sqrt{5})^2 \\\\ x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2y +1 - 5 & = & 0 \\\\ x^2 + y^2 + 2x + 2y - 3 & = & 0 \end{array}

 

5La ecuación de la circunferencia, para a = -2 es

 

\begin{array}{rcl} (x + 2)^2 + (y + 2)^2 & = & (\sqrt{5})^2 \\\\ x^2 + 4x + 4 + y^2 + 4y +4 - 5 & = & 0 \\\\ x^2 + y^2 + 4x + 4y + 3 & = & 0 \end{array}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗