1Hallar la ecuación de la hipérbola de foco {F(4, 0)}, de vértice {A(2, 0)} y de centro {C(0, 0)}.

1Como el centro y el vértice se encuentran sobre el eje horizontal, entonces la ecuación es de la forma

 

{\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1}

 

Calculamos el valor de {a}, el cual es igual a la distancia del centro a uno de sus vértices

 

{a = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = 2}

 

2Calculamos el valor de {c}, el cual es igual a la distancia del centro a uno de sus focos

 

{c = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = 4}

 

3Calculamos el valor de {b}

 

{b = \sqrt{c^2 - a^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}}

 

3La ecuación de la hipérbola es

 

{\displaystyle \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1}

2Hallar la ecuación y la excentricidad de la hipérbola que tiene como focos los puntos {F'(−5, 0)} y {F(5, 0)} y {6} como diferencia de los radios vectores.

1Como los se encuentran sobre el eje horizontal y son simétricos respecto al origen, entonces el centro es {C(0, 0)} y la ecuación es de la forma

 

{\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1}

 

Calculamos el valor de {c}, el cual es igual a la distancia del centro a uno de sus focos

 

{a = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = 5}

 

2Como la diferencia de los radio vectores es {6}, entonces {2a = 6}, luego {a = 3}

 

3Calculamos el valor de {b}

 

{b = \sqrt{c^2 - a^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4}

 

4La ecuación de la hipérbola es

 

{\displaystyle \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1}

 

5La excentricidad es

 

{\displaystyle  e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3}}

3 Hallar las coordenadas de los vértices y de los focos, las ecuaciones de las asíntotas y la excentricidad de la hipérbola {9x^2 - 16y^2 = 144}.

1Primero escribimos la ecuación de la hipérbola en su forma reducida, para ello se divide ambos lados por {144}

 

{\displaystyle \frac{9x^2 - 16y^2}{144} = \frac{144}{144} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1}

 

entonces {a^2 = 16, \ b^2 = 9} y {C(0, 0)}

 

2Calculamos el valor de {c}

 

{c = \sqrt{a^2 + b^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c = \sqrt{16 + 9} = 5}

 

3Las coordenadas de los vértices son

 

{\begin{array}{lcl} \displaystyle V_1(-a, 0) & \Longrightarrow & V_1(-4, 0) \\\\ \displaystyle V_2(a, 0) & \Longrightarrow & V_2(4, 0) \end{array}}

 

4Las coordenadas de los focos son

 

{\begin{array}{lcl} \displaystyle F_1(-c, 0) & \Longrightarrow & F_1(-5, 0) \\\\ \displaystyle F_2(a, 0) & \Longrightarrow & F_2(5, 0) \end{array}}

 

5Las ecuaciones de las asíntotas son

 

{\begin{array}{lcl} \displaystyle y = \frac{b}{a}x & \Longrightarrow & y = \displaystyle \frac{3}{4}x \\\\ \displaystyle y = -\frac{b}{a}x & \Longrightarrow & y = \displaystyle -\frac{3}{4}x \end{array}}

 

6La excentricidad es

 

{\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{5}{4}}

4Hallar la ecuación de la hipérbola de foco {F(0, 5)}, de vértice {A(0, 3)} y de centro {C(0, 0)}.

1Como el centro y el vértice se encuentran sobre el eje vertical, entonces la ecuación es de la forma

 

{\displaystyle \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1}

 

Calculamos el valor de {a}, el cual es igual a la distancia del centro a uno de sus vértices

 

{a = \sqrt{(0 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = 3}

 

2Calculamos el valor de {c}, el cual es igual a la distancia del centro a uno de sus focos

 

{c = \sqrt{(0 - 0)^2 + (5 - 0)^2} = 5}

 

3Calculamos el valor de {b}

 

{b = \sqrt{c^2 - a^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4}

 

3La ecuación de la hipérbola es

 

{\displaystyle \frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1}

5Hallar la ecuación de la hipérbola de foco {F(7, 2)}, de vértice {A (5,2)} y de centro {C(3, 2)}.

1Como el centro y el vértice se tienen la misma coordenada {y}, entonces la ecuación es de la forma

 

{\displaystyle \frac{(x - 3)^2}{a^2} - \frac{(y - 2)^2}{b^2} = 1}

 

Calculamos el valor de {a}, el cual es igual a la distancia del centro a uno de sus vértices

 

{a = \sqrt{(5 - 3)^2 + (2 - 2)^2} = 2}

 

2Calculamos el valor de {c}, el cual es igual a la distancia del centro a uno de sus focos

 

{c = \sqrt{(7 - 3)^2 + (2 - 2)^2} = 4}

 

3Calculamos el valor de {b}

 

{b = \sqrt{c^2 - a^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}}

 

4La ecuación de la hipérbola es

 

{\displaystyle \frac{(x - 3)^2}{4} - \frac{(y - 2)^2}{12} = 1}

6Hallar la ecuación de la hipérbola de foco {F(-2, 5)}, de vértice {A (-2, 3)} y de centro {C(-2, -5)}.

1Como el centro y el vértice se tienen la misma coordenada {x}, entonces la ecuación es de la forma

 

{\displaystyle \frac{(y + 5)^2}{a^2} - \frac{(x + 2)^2}{b^2} = 1}

 

Calculamos el valor de {a}, el cual es igual a la distancia del centro a uno de sus vértices

 

{a = \sqrt{(-2 + 2)^2 + (3 + 5)^2} = 8}

 

2Calculamos el valor de {c}, el cual es igual a la distancia del centro a uno de sus focos

 

{c = \sqrt{(-2 + 2)^2 + (5 + 5)^2} = 10}

 

3Calculamos el valor de {b}

 

{b = \sqrt{c^2 - a^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6}

 

4La ecuación de la hipérbola es

 

{\displaystyle \frac{(y + 5)^2}{64} - \frac{(x + 2)^2}{36} = 1}

7Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes hipérbolas:

 

1{\displaystyle \frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = 1}

 

2{\displaystyle \frac{y^2}{144} - \frac{x^2}{25} = 1}

1.1Para la primera hipérbola de la ecuación se tienen los valores de {a, b}

 

{a^2 = 144, \ b^2 = 81} y {C(0, 0)}

 

2.1Calculamos el valor de {c}

 

{c = \sqrt{a^2 + b^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c = \sqrt{144 + 81} = 15}

 

3.1El eje real es horizontal y la hipérbola tiene centro en el origen, por lo que las coordenadas de los vértices son

 

{\begin{array}{lcl} \displaystyle A'(-a, 0) & \Longrightarrow & A'(-12, 0) \\\\ \displaystyle A(a, 0) & \Longrightarrow & A(12, 0) \end{array}}

 

4.1Las coordenadas de los focos son

 

{\begin{array}{lcl} \displaystyle F'(-c, 0) & \Longrightarrow & F'(-15, 0) \\\\ \displaystyle F(c, 0) & \Longrightarrow & F(15, 0) \end{array}}

 

5.1La excentricidad es

 

{\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}}

 

6.1La gráfica es

 

Ejercicio de ecuacion de la hiperbola 1

 

1.2Para la segunda hipérbola de la ecuación se tienen los valores de {a, b}

 

{a^2 = 144, \ b^2 = 25} y {C(0, 0)}

 

2.2Calculamos el valor de {c}

 

{c = \sqrt{a^2 + b^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c = \sqrt{144 + 25} = 13}

 

3.2El eje real es vertical y la hipérbola tiene centro en el origen, por lo que las coordenadas de los vértices son

 

{\begin{array}{lcl} \displaystyle A'(0, -a) & \Longrightarrow & A'(0, -12) \\\\ \displaystyle A(0, a) & \Longrightarrow & A(0, 12) \end{array}}

 

4.2Las coordenadas de los focos son

 

{\begin{array}{lcl} \displaystyle F'(0, -c) & \Longrightarrow & F'(0, -13) \\\\ \displaystyle F(0, c) & \Longrightarrow & F(0, 13) \end{array}}

 

5.2La excentricidad es

 

{\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{13}{12}}

 

6.2La gráfica es

 

Ejercicio de ecuacion de la hiperbola 2

8Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes hipérbolas:

 

1{\displaystyle 2x^2 - 3y^2 = 30}

 

2{\displaystyle 9y^2 - 16x^2 = 1296}

1.1Para la primera hipérbola expresamos su ecuación en la forma reducida dividiendo ambos lados por {30}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{2x^2 - 3y^2}{30} & = & \displaystyle \frac{30}{30} \\\\  \displaystyle \frac{x^2}{15}  - \frac{y^2}{10} & = & 1  \end{array}}

 

de la ecuación se obtienen los valores de {a, b} y el centro

 

{a^2 = 15, \ b^2 = 10} y {C(0, 0)}

 

2.1Calculamos el valor de {c}

 

{c = \sqrt{a^2 + b^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c = \sqrt{15 + 10} = 5}

 

3.1El eje real es horizontal y la hipérbola tiene centro en el origen, por lo que las coordenadas de los vértices son

 

{\begin{array}{lcl} \displaystyle A'(-a, 0) & \Longrightarrow & A'(-\sqrt{15}, 0) \\\\ \displaystyle A(a, 0) & \Longrightarrow & A(\sqrt{15}, 0) \end{array}}

 

4.1Las coordenadas de los focos son

 

{\begin{array}{lcl} \displaystyle F'(-c, 0) & \Longrightarrow & F'(-5, 0) \\\\ \displaystyle F(c, 0) & \Longrightarrow & F(5, 0) \end{array}}

 

5.1La excentricidad es

 

{\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{5}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{3}}

 

6.1La gráfica es

 

Ejercicio de ecuacion de la hiperbola 3

 

1.2Para la segunda hipérbola expresamos su ecuación en la forma reducida dividiendo ambos lados por {1296}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{9y^2 - 16x^2}{1296} & = & \displaystyle \frac{1296}{1296} \\\\ \displaystyle \frac{y^2}{144} - \frac{x^2}{81} & = & 1 \end{array}}

 

de la ecuación se obtienen los valores de {a, b} y el centro

 

{a^2 = 144, \ b^2 = 81} y {C(0, 0)}

 

2.2Calculamos el valor de {c}

 

{c = \sqrt{a^2 + b^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c = \sqrt{144 + 81} = 15}

 

3.2El eje real es vertical y la hipérbola tiene centro en el origen, por lo que las coordenadas de los vértices son

 

{\begin{array}{lcl} \displaystyle A'(0, -a) & \Longrightarrow & A'(0, -12) \\\\ \displaystyle A(0, a) & \Longrightarrow & A(0, 12) \end{array}}

 

4.2Las coordenadas de los focos son

 

{\begin{array}{lcl} \displaystyle F'(0, -c) & \Longrightarrow & F'(0, -15) \\\\ \displaystyle F(0, c) & \Longrightarrow & F(0, 15) \end{array}}

 

5.2La excentricidad es

 

{\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}}

 

6.2La gráfica es

 

Ejercicio de ecuacion de la hiperbola 4

9Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes hipérbolas:

 

1{\displaystyle 4x^2 - 3y^2 - 8x - 8 = 0}

 

2{\displaystyle y^2 - 2x^2 - 4x - 4y = 0}

1.1Para la primera hipérbola expresamos su ecuación en la forma reducida

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle 4x^2 - 3y^2 - 8x - 8  & = & \displaystyle 0 \\\\ \displaystyle  4(x^2 - 2x + 1) - 4 - 3y^2 - 8  & = & 0 \\\\  4(x-1)^2 - 3y^2 & = & 12 \\\\  \displaystyle \frac{(x - 1)^2}{3} - \frac{y^2}{4} & = & 1 \end{array}}

 

de la ecuación se obtienen los valores de {a, b} y el centro

 

{a^2 = 3, \ b^2 = 4} y {C(h, k) = C(1, 0)}

 

2.1Calculamos el valor de {c}

 

{c = \sqrt{a^2 + b^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c = \sqrt{3 + 4} = \sqrt{7}}

 

3.1El eje real es horizontal y la hipérbola tiene centro {C(h, k)}, por lo que las coordenadas de los vértices son

 

{\begin{array}{lcl} \displaystyle A'(h - a, k) & \Longrightarrow & A'(1 - \sqrt{3}, 0) \\\\ \displaystyle A(h + a, k) & \Longrightarrow & A(1 + \sqrt{3}, 0) \end{array}}

 

4.1Las coordenadas de los focos son

 

{\begin{array}{lcl} \displaystyle F'(h - c, k) & \Longrightarrow & F'(1 - \sqrt{7}, 0) \\\\ \displaystyle F(h + c, k) & \Longrightarrow & F(1 + \sqrt{7}, 0) \end{array}}

 

5.1La excentricidad es

 

{\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3}}

 

6.1La gráfica es

 

Ejercicio de ecuacion de la hiperbola 5

 

1.2Para la segunda hipérbola expresamos su ecuación en la forma reducida

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle y^2 - 2x^2 - 4x - 4y  & = & \displaystyle 0 \\\\ \displaystyle (y^2 - 4y +4) - 4 - 2(x^2 + 2x +1) + 2 & = & 0 \\\\  (y -2)^2 - 2(x + 1)^2 & = & 2 \\\\  \displaystyle \frac{(y - 2)^2}{2} - (x + 1)^2 & = & 1 \end{array}}

 

de la ecuación se obtienen los valores de {a, b} y el centro

 

{a^2 = 2, \ b^2 = 1} y {C(-1, 2)}

 

2.2Calculamos el valor de {c}

 

{c = \sqrt{a^2 + b^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}}

 

3.2El eje real es vertical y la hipérbola tiene centro en {C(h, k)}, por lo que las coordenadas de los vértices son

 

{\begin{array}{lcl} \displaystyle A'(h, k - a) & \Longrightarrow & A'(-1, 2 - \sqrt{2}) \\\\ \displaystyle A(h, k + a) & \Longrightarrow & A(-1, 2 + \sqrt{2}) \end{array}}

 

4.2Las coordenadas de los focos son

 

{\begin{array}{lcl} \displaystyle F'(h, k - c) & \Longrightarrow & F'(-1, 2 - \sqrt{3}) \\\\ \displaystyle F(h, k + c) & \Longrightarrow & F(-1, 2 + \sqrt{3}) \end{array}}

 

5.2La excentricidad es

 

{\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}}

 

6.2La gráfica es

 

Ejercicio de ecuacion de la hiperbola 6

 

10Hallar la ecuación de una hipérbola de eje real horizontal {8} y distancia focal {10}.

1Como el eje real es igual a {2a = 8}, entonces {a = 4}

 

2Como la distancia focal es igual a {2c = 10}, entonces {c = 5}

 

3Calculamos el valor de {b}

 

{b = \sqrt{c^2 - a^2} \ \ \Longrightarrow \ \ \ b = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3}

 

4Consideramos el centro en el origen, por lo que la ecuación de la hipérbola es

 

{\displaystyle \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1}

11El eje real de una hipérbola  mide {12}, es horizontal, con centro en el origen y pasa por el punto {P(8, 14)}. Hallar su ecuación.

1Como el eje real es igual a {2a = 12}, entonces {a = 6}

 

2La ecuación de la hipérbola es

 

{\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1}

 

3Como la hipérbola pasa por el punto {P(8, 14)} sustituimos y calculamos el valor de {b}

 

{\displaystyle \frac{8^2}{6^2} - \frac{14^2}{b^2} = 1 \ \ \Longrightarrow \ \ \ b^2 = 252 }

 

4Consideramos el centro en el origen, por lo que la ecuación de la hipérbola es

 

{\displaystyle \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{252} = 1}

12Calcular la ecuación reducida de la hipérbola con centro en el origen, eje real horizontal,  distancia focal {34} y la distancia de un foco al vértice más próximo es {2}.

1Como la distancia focal es igual a {2c = 34}, entonces {c = 17}

 

2Como la distancia de un foco a un vértice más próximo es {c - a = 2}, entonces {a = 15}

 

3Calculamos {b}

 

{\displaystyle b^2 = c^2 - a^2 = 17^2 - 15^2 = 64}

 

4Consideramos el centro en el origen, por lo que la ecuación de la hipérbola es

 

{\displaystyle \frac{x^2}{225} - \frac{y^2}{64} = 1}

13El eje principal de una hipérbola es horizontal y mide {12}, la excentricidad es {4/3}. Calcular la ecuación de la hipérbola.

1Como el eje principal es {2a = 12}, entonces {a = 6}

 

2Como la excentricidad es {c/a = 4/3}, entonces {c = 8}

 

3Calculamos {b}

 

{\displaystyle b^2 = c^2 - a^2 = 8^2 - 6^2 = 2 \sqrt{7}}

 

4Consideramos el centro en el origen, por lo que la ecuación de la hipérbola es

 

{\displaystyle \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{28} = 1}

14Calcular la ecuación de una hipérbola equilátera sabiendo que su distancia focal es {8 \sqrt{2}}.

1Como la distancia focal es {2c = 12\sqrt{2}}, entonces {c = 4 \sqrt{2}}

 

2Como la hipérbola es equilátera, entonces {a = b}, luego

 

{\displaystyle c^2 = 2 a^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a^2 = 16}

 

3Consideramos el centro en el origen, por lo que la ecuación de la hipérbola es

 

{\displaystyle \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{16} = 1}

15El eje imaginario de una hipérbola es vertical, mide {8} y las ecuaciones de las asíntotas son {y = \pm 2x/3}. Calcular la ecuación de la hipérbola, sus ejes, focos y vértices.

1Como el eje imaginario es {2b = 8}, entonces {b = 4}

 

2Como la pendiente de las asíntotas es {b/a = 2/3}, entonces {a = 6}

 

3Calculamos {c}

 

{\displaystyle c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c = 2\sqrt{13}}

 

4Consideramos el centro en el origen, por lo que la ecuación de la hipérbola es

 

{\displaystyle \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{16} = 1}

 

5Las coordenadas de los vértices son

 

{\begin{array}{lcl} \displaystyle A'(-a, 0) & \Longrightarrow & A'(-6, 0) \\\\ \displaystyle A(a, 0) & \Longrightarrow & A(6, 0) \end{array}}

 

6Las coordenadas de los focos son

 

{\begin{array}{lcl} \displaystyle F'(-c, 0) & \Longrightarrow & F'(-2 \sqrt{13}, 0) \\\\ \displaystyle F(c, 0) & \Longrightarrow & F(2 \sqrt{13}, 0) \end{array}}

16Determina la ecuación reducida de una hipérbola con eje real horizontal, centro en el origen y que pasa por los puntos {(4, \sqrt{8})} y {(2 \sqrt{3}, 2)}.

1La ecuación de la hipérbola es de la forma

 

{\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1}

 

2Como la hipérbola pasa por los puntos {(4, \sqrt{8})} y {(2 \sqrt{3}, 2)}, entonces al sustituir se obtiene un sistema de ecuaciones en términos de {a^2} y {b^2}

 

{\left \{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{4^2}{a^2} - \frac{(\sqrt{8})^2}{b^2} = 1 \\\\ \displaystyle \frac{(2 \sqrt{3})^2}{a^2} - \frac{2^2}{b^2} = 1 \end{array} \right. \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a^2 =8 = b^2}

 

3La ecuación de la hipérbola es

 

{\displaystyle \frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{8} = 1}

17Determina la ecuación reducida de una hipérbola con eje real horizontal, centro en el origen, pasa por el punto {(2, \sqrt{3})}  y su excentricidad es {\sqrt{3}}.

1La ecuación de la hipérbola es de la forma

 

{\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1}

 

2Como la hipérbola pasa por el punto {(2, \sqrt{3})}, entonces al sustituir se obtiene

 

{\displaystyle \frac{2^2}{a^2} - \frac{(\sqrt{3})^2}{b^2} = 1 }

 

3Como la excentricidad {c/a = \sqrt{3}} y {c = \sqrt{a^2 + b^2}}, entonces al sustituir se obtiene

 

{\displaystyle \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a} = \sqrt{3} }

 

4Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones, del cual se obtiene

 

{\left \{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{2^2}{a^2} - \frac{(\sqrt{3})^2}{b^2} = 1 \\\\ \displaystyle \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a} = \sqrt{3} \end{array} \right. \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a^2 =\displaystyle \frac{5}{2}, \ \  b^2 = 5}

 

5La ecuación de la hipérbola es

 

{\displaystyle \frac{2x^2}{5} - \frac{y^2}{5} = 1}

18Determina la ecuación reducida de una hipérbola con centro en el origen, eje real horizontal y sabiendo que un foco dista de los vértices de la hipérbola {50} y {2}.

1De los datos anteriores se tiene que el eje real es igual a {2a = 50 - 2}, entonces {a = 24}

 

2Como la distancia focal es igual a {2c = 50 + 4}, entonces {c = 27}

 

3Calculamos el valor de {b}

 

{b = \sqrt{c^2 - a^2} \ \ \Longrightarrow \ \ \ b = \sqrt{27^2 - 24^2} = 3\sqrt{17} = 12.36}

 

4Consideramos el centro en el origen, por lo que la ecuación de la hipérbola es

 

{\displaystyle \frac{x^2}{576} - \frac{y^2}{153} = 1}

19Determina la posición relativa de la recta {x + y - 1 = 0} con respecto a la hipérbola {x^2 - 2y^2 = 1}.

1Determinamos los puntos de intersección de ambas curvas, para ello despejamos la variable {y} en la recta, {y = -x + 1} y sustituimos en la hipérbola

 

{\begin{array}{rcl} x^2 - 2y^2 & = & 1 \\\\ x^2 - 4x + 3 & = & 0 \\\\  (x - 1)(x - 3) & = & 0 \end{array}}

 

Así, las raíces son {x = 1} y {x = 3}

 

2sustituyendo los valores de {x} en la ecuación de la recta, obtenemos lo puntos de intersección {(1, 0), (3, -2)}

 

3La gráfica viene dada por

 

Ejercicio de ecuacion de la hiperbola 7

20Una hipérbola equilátera pasa por el punto {(4, 1/2)}. Hallar su ecuación referida a sus asíntotas como ejes, y las coordenadas de los vértices.

1Determinamos la ecuación de la hipérbola, para ello multiplicamos {4(1/2)=2}. Así, la ecuación de la hipérbola equilátera es {xy = 2}

 

2Al ser la hipérbola equilátera, {y = x} es la recta que contiene al eje real. Los vértices se obtienen de resolver el sistema de ecuaciones

 

{\left \{ \begin{array}{l} xy = 2 \\\\ \displaystyle y = x \end{array} \right. \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ A'(-\sqrt{2}, - \sqrt{2}), \ A(\sqrt{2}, \sqrt{2})}

 

3La gráfica viene dada por

 

Ejercicio de ecuacion de la hiperbola 8

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗