Obtener los elementos de la parábola

 

1 Dada la parábola y^2=8x, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

 

El parámetro es

\displaystyle 2p=8 \hspace{2cm} \frac{p}{2}=2

Se trata de una ecuación reducida por lo que el vértice está en el origen

\displaystyle \text{V\'ertice}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} V(0,0)

El término cuadrático en la ecuación es la y así que el eje de la parábola coincide con el eje OX. Además, la parábola se encuentra en el lado positivo del eje OX, ya que el coeficiente que acompaña al término no cuadrático (en este caso la x) es 8 que es positivo, por lo que

\displaystyle \text{Foco}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} F\left(\frac{p}{2},0\right) =F(2,0)

\displaystyle \text{Directriz}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} x=-2

La gráfica de la parábola y^2=8x es

 

representacion gráfica de la parábola

 

2 Dada la parábola y^2=-8x, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

El parámetro es

\displaystyle -2p=-8 \hspace{2cm} \frac{p}{2}=2

Se trata de una ecuación reducida por lo que el vértice está en el origen

\displaystyle \text{V\'ertice}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} V(0,0)

El término cuadrático en la ecuación es la y así que el eje de la parábola coincide con el eje OX. Además, la parábola se encuentra en el lado negativo del eje OX, ya que el coeficiente que acompaña al término no cuadrático (en este caso la x) es -8 que es negativo, por lo que

\displaystyle \text{Foco}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} F\left(-\frac{p}{2},0\right) =F(-2,0)

\displaystyle \text{Directriz}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} x=2

La gráfica de la parábola y^2=-8x es

ecuación reducida de la parábola representación gráfica

 

3 Dada la parábola x^2=8y, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

El parámetro es

\displaystyle 2p=8 \hspace{2cm} \frac{p}{2}=2

Se trata de una ecuación reducida por lo que el vértice está en el origen

\displaystyle \text{V\'ertice}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} V(0,0)

El término cuadrático en la ecuación es la x así que el eje de la parábola coincide con el eje OY. Además, la parábola se encuentra en el lado positivo del eje OY, ya que el coeficiente que acompaña al término no cuadrático (en este caso la y) es 8 que es positivo, por lo que

\displaystyle \text{Foco}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} F\left(0, \frac{p}{2}\right) =F(0,2)

\displaystyle \text{Directriz}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} y=-2

La gráfica de la parábola x^2=8y es

ecuaciones de la parabola representación gráfica

 

4 Dada la parábola x^2=-8y, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

El parámetro es

\displaystyle -2p=-8 \hspace{2cm} \frac{p}{2}=2

Se trata de una ecuación reducida por lo que el vértice está en el origen

\displaystyle \text{V\'ertice}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} V(0,0)

El término cuadrático en la ecuación es la x así que el eje de la parábola coincide con el eje OY. Además, la parábola se encuentra en el lado negativo del eje OY, ya que el coeficiente que acompaña al término no cuadrático (en este caso la y) es 8 que es negativo, por lo que

\displaystyle \text{Foco}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} F\left(0,-\frac{p}{2}\right) =F(0,-2)

\displaystyle \text{Directriz}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} y=2

La gráfica de la parábola x^2=-8y es

elementos de las parabolas representación gráfica

 

5 Dada la parábola (y-2)^2=8(x-3), calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

El parámetro es

\displaystyle 2p=8 \hspace{2cm} \frac{p}{2}=2

No se trata de una ecuación reducida, por lo que el vértice está en

\displaystyle \text{V\'ertice}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} V(3,2)

El término cuadrático en la ecuación es la y así que el eje de la parábola es paralelo al eje OX. Además, el coeficiente que acompaña al término no cuadrático (en este caso la x) es 8 que es positivo, por lo que el foco está al lado derecho del vértice

\displaystyle \text{Foco}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} F\left(3+\frac{p}{2},2\right) =F(5,2)

\displaystyle \text{Directriz}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} x=3-\frac{p}{2}\hspace{1cm} x=1

La gráfica de la parábola (y-2)^2=8(x-3) es

parabola con eje paralelo al eje OX representación gráfica

 

6 Dada la parábola (x-3)^2=8(y-2), calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

El parámetro es

\displaystyle 2p=8 \hspace{2cm} \frac{p}{2}=2

No se trata de una ecuación reducida, por lo que el vértice está en

\displaystyle \text{V\'ertice}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} V(3,2)

El término cuadrático en la ecuación es la y así que el eje de la parábola es paralelo al eje OX. Además, el coeficiente que acompaña al término no cuadrático (en este caso la x) es 8 que es positivo, por lo que el foco está al lado derecho del vértice

\displaystyle \text{Foco}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} F\left(3,2+\frac{p}{2}\right) = F(3,4)

\displaystyle \text{Directriz}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} y=2-\frac{p}{2} \hspace{1cm} y=0

La gráfica de la parábola (x-3)^2=8(y-2) es

parábolas representación gráfica

 

7 Determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las siguientes parábolas, indicando el valor del parámetro, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz.

  • 6y^2-12x=0
  • 2y^2=-7x
  • 15x^2=-42y

1 6y^2-12x=0

Despejamos el término y^2

6y^2=12x

\displaystyle y^2=\frac{12x}{6}

\text{La ecuaci\'on de la par\'abola}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} y^2=2x

El parámetro es

\displaystyle 2p=2 \hspace{2cm} p=1

Se trata de una ecuación reducida, por lo que el vértice está en el origen

\displaystyle \text{V\'ertice}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} V(0,0)

El término cuadrático en la ecuación es la y así que el eje de la parábola coincide con el eje OX. Además, el coeficiente que acompaña al término no cuadrático (en este caso la x) es 2 que es positivo, por lo que el foco está al lado derecho del vértice

\displaystyle \text{Foco}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} F\left(\frac{p}{2},0\right) = F\left(\frac{1}{2},0\right)

\displaystyle \text{Directriz}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} x=-\frac{1}{2}

La gráfica de la parábola y^2=2x es

parábolas acostadas representación gráfica y^2=2x

 

2 2y^2=-7x

 

Despejamos el término y^2

2y^2=-7x

\displaystyle y^2=-\frac{7}{2}x

El parámetro es

\displaystyle 2p=\frac{7}{2} \hspace{2cm} p=\frac{7}{4}

Se trata de una ecuación reducida, por lo que el vértice está en el origen

\displaystyle \text{V\'ertice}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} V(0,0)

El término cuadrático en la ecuación es la y así que el eje de la parábola coincide con el eje OX. Además, el coeficiente que acompaña al término no cuadrático (en este caso la x) es \displaystyle -\frac{7}{2} que es negativo, por lo que el foco está al lado izquierdo del vértice

\displaystyle \text{Foco}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} F\left(-\frac{p}{2},0\right) = F\left(-\frac{7}{8},0\right)

\displaystyle \text{Directriz}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} x=\frac{7}{8}

La gráfica de la parábola \displaystyle y^2=-\frac{7}{2}x es

 

ecuacion reducida de la parabola representación gráfica

 

3 15x^2=-42y

 

Despejamos el término x^2

15x^2=-42y

\displaystyle x^2=-\frac{42}{15}y \hspace{2cm} x^2= -\frac{14}{5}y

El parámetro es

\displaystyle 2p=\frac{14}{5} \hspace{2cm} p=\frac{7}{5}

Se trata de una ecuación reducida, por lo que el vértice está en el origen

\displaystyle \text{V\'ertice}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} V(0,0)

El término cuadrático en la ecuación es la x así que el eje de la parábola coincide con el eje OY. Además, el coeficiente que acompaña al término no cuadrático (en este caso la y) es \displaystyle -\frac{14}{5} que es negativo, por lo que el foco está abajo del vértice

\displaystyle \text{Foco}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} F\left(0,-\frac{p}{2}\right) = F\left(0,-\frac{7}{10}\right)

\displaystyle \text{Directriz}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} y=\frac{7}{10}

La gráfica de la parábola \displaystyle x^2= -\frac{14}{5}y es

parabola hacia abajo representación gráfica

 

8 Calcular las coordenadas del vértice y de los focos, y las ecuaciones de la directrices de las parábolas:

  • y^2-6y-8x+17=0
  • x^2-2x-6y-5=0
  • y=x^2-6x+11

Calcular las coordenadas del vértice y de los focos, y las ecuaciones de la directrices de las parábolas:

1 y^2-6y-8x+17=0

vertice y foco de la parabola representación gráfica

Completamos el cuadrado

(y^2-6y+9)-9-8x+17=0

Simplificamos

(y-3)^2-8x+8=0

Despejamos

(y-3)^2=8x-8

(y-3)^2=8(x-1)

\displaystyle \text{V\'ertice}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} V(1,3)

El parámetro es

\displaystyle 2p=8 \hspace{2cm} \frac{p}{2}=2

El término cuadrático en la ecuación es la y así que el eje de la parábola es paralelo al eje OX. Además, el coeficiente que acompaña al término no cuadrático (en este caso la x) es 8 que es positivo, por lo que el foco está al lado derecho del vértice

\displaystyle \text{Foco}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} F\left(1+\frac{p}{2},3\right) =F(3,3)

\displaystyle \text{Directriz}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} x=1-\frac{p}{2}\hspace{1cm} x=-1

 

2 x^2-2x-6y-5=0

 

directriz de la parabola representación gráfica

Completamos el cuadrado

(x^2-2x+1)-1-6y-5=0

Simplificamos

(x-1)^2-6y-6=0

Despejamos

(x-1)^2=6y+6

(x-1)^2=6(y+1)

Entonces,

\displaystyle \text{V\'ertice}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} V(1,-1)

El parámetro es

\displaystyle 2p=6 \hspace{2cm} \frac{p}{2}=\frac{3}{2}

El término cuadrático en la ecuación es la x así que el eje de la parábola es paralelo al eje OY. Además, el coeficiente que acompaña al término no cuadrático (en este caso la y) es 6 que es positivo, por lo que el foco está más arriba del vértice

\displaystyle \text{Foco}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} F\left(1,-1+\frac{p}{2}\right) =F(1, \frac{1}{2})

\displaystyle \text{Directriz}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} y=-1-\frac{p}{2}\hspace{1cm} x=-\frac{5}{2}

 

3 y=x^2-6x+11

 

vertice de la parabola representación gráfica

Completamos el cuadrado

y=(x^2-6x+9)-9+11

Simplificamos

y=(x-3)^2+2

Despejamos

(x-3)^2=y-2

\displaystyle \text{V\'ertice}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} V(3,2)

El parámetro es

\displaystyle 2p=1 \hspace{2cm} \frac{p}{2}=\frac{1}{4}

El término cuadrático en la ecuación es la x así que el eje de la parábola es paralelo al eje OY. Además, el coeficiente que acompaña al término no cuadrático (en este caso la y) es 1 que es positivo, por lo que el foco está más arriba del vértice

\displaystyle \text{Foco}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} F\left(3,2+\frac{p}{2}\right) =F(3, \frac{9}{4})

\displaystyle \text{Directriz}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} y=2-\frac{p}{2}\hspace{1cm} y=\frac{7}{4}

 

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Obtener la ecuación de la parábola

 

9 Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:

  • De directriz x = -3, de foco (3, 0).
  • De directriz y = 4, de vértice (0, 0).
  • De directriz y = -5, de foco (0, 5).
  • De directriz x = 2, de foco (-2, 0).
  • De foco (2, 0), de vértice (0, 0).
  • De foco (3,2), de vértice (5,2).
  • De foco (-2,5), de vértice (-2,2).
  • De foco (3,4), de vértice (1,4).

 

Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:

 

1 De directriz x = -3, de foco (3, 0).

 

obtener ecuacion de una parabola representación gráfica

Primero calculamos la distancia entre el foco y la directriz y así obtener el parámetro p.

p=d(F,d)=6

Como el foco se encuentra sobre el eje OX, la directriz es paralela al eje OY, y son equidistantes al origen, se trata de una ecuación reducida,

\displaystyle \text{V\'ertice}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} V(0,0)

Entonces, como el eje coincide con el eje OX y el foco está más a la derecha que el vértice, la ecuación está dada por

y^2=2px \hspace{2cm} y^2=12x

 

2 De directriz y = 4, de vértice (0, 0).

 

obtener la ecuacion de parabolas representación gráfica

Primero calculamos la distancia entre el vértice y la directriz y así obtener \displaystyle \frac{p}{2}.

\displaystyle \frac{p}{2}=d(d,V)=4

Notamos que el vértice está en el origen y la directriz es paralela al eje OX, así que se trata de una ecuación reducida.

Como el eje coincide con el eje OY y el foco está más abajo que el vértice, la ecuación será

x^2=-16y

 

3 De directriz y = -5, de foco (0, 5).

 

ecuacion parabolica representación gráfica

Primero calculamos la distancia entre el foco y la directriz y así obtener el parámetro p.

\displaystyle p=d(F,d)=10 \hspace{2cm} \frac{p}{2}=5

Notamos que la directriz es paralela al eje OX, y que el foco está sobre el eje OY, y son equidistantes al origen, así que se trata de una ecuación reducida.

Como el foco está más arriba que la directriz, la ecuación será

x^2=20y

 

4 De directriz x = 2, de foco (-2, 0).

 

parabola representación gráfica

Primero calculamos la distancia entre el foco y la directriz y así obtener el parámetro p.

p=d(F,d)=4

Notamos que la directriz es paralela al eje OY, y que el foco está sobre el eje OX, y son equidistantes al origen, así que se trata de una ecuación reducida.

Como el foco está más a la izquierda que la directriz, la ecuación será

y^2=-8x

 

5 De foco (2, 0), de vértice (0, 0).

 

parabolas representación gráfica de foco 2,0 y vertice 0,0

Primero calculamos la distancia entre el foco y el vértice y así obtener el parámetro \displaystyle \frac{p}{2}.

\displaystyle \frac{p}{2}=d(F,V)=2 \hspace{2cm} p=4

Notamos que la directriz es paralela al eje OY, y que el foco está sobre el eje OX, y son equidistantes al origen, así que se trata de una ecuación reducida.

Como el foco está más a la derecha que la directriz, la ecuación será

y^2=8x

 

6 De foco (3,2), de vértice (5,2).

 

obtener la ecuacion de una parabola ejercicios representación gráfica foco 3,2 y vértice 5,2

Primero calculamos la distancia entre el foco y la directriz y así obtener \displaystyle \frac{p}{2}.

\displaystyle \frac{p}{2}=d(F,V)=2 \hspace{2cm} p=4

Notamos que la directriz es paralela al eje OY.

Como el foco está más a la izquierda que el vértice, la ecuación será

(y-2)^2=-8(x-5)

 

7 De foco (-2,5), de vértice (-2,2).

 

ecuaciones parabolicas representación gráfica

Primero calculamos la distancia entre el foco y el vértice y así obtener \displaystyle \frac{p}{2}.

\displaystyle \frac{p}{2}=d(F,V)=3 \hspace{2cm}p=6

Notamos que la directriz y=-1 y es paralela al eje OX.

Como el foco está más arriba que el vértice, la ecuación será

(x+2)^2=12(y-2)

 

8 De foco (3,4), de vértice (1,4).

 

La parabola representación gráfica de foco 3,4 y vertice 1,4

Primero calculamos la distancia entre el foco y el vértice y así obtener el parámetro p.

\displaystyle \frac{p}{2}=d(F,V)=2 \hspace{2cm} p=4

Notamos que la directriz es paralela al eje OY.

Como el foco está más a la izquiera que el vértice, la ecuación será

(y-4)^2=8(x-1)

 

10 Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice coincide con el origen de coordenadas y pasa por el punto (3,4), siendo su eje OX.

Como su vértice es el origen, y su eje coincide con el eje OX del plano, su ecuación es de forma reducida, en particular es

y^2=2px

Pasa por el punto (3,4), así que sus coordenadas cumplen la ecuación anterior, es decir,

4^2=2p\cdot (3)

16=6p

Dividimos entre 3

\displaystyle 2p=\frac{16}{3}

Así, la ecuación queda

\displaystyle y^2=\frac{16}{3}x

 

11 Escribe la ecuación de la parábola de eje paralelo a OY, vértice en OX y que pasa por los puntos \text{A}(2,3) y \text{B}(-1,12).

 

Del problema sabemos que

\displaystyle \text{V\'ertice en OX}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} V(a,0)

\displaystyle \text{Eje paralelo a OY}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} (x-a)^2=2p(y-0)=2py

Como la curva pasa por los puntos A y B sus coordenadas deben satisfacer la ecuación de la parábola,

\left\{\begin{matrix} (2-a)^2=2p\cdot (3) \\ (-1-a)^2=2p\cdot (12) \end{matrix}\right.\hspace{1cm} \rightarrow \hspace{1cm} \left\{\begin{matrix} 4-4a+a^2=6p\\ 1+2a+a^2=24p \end{matrix}\right.

Tomamos la primera ecuación y la multiplicamos por 4, obtenemos:

16-16a+4a^2=24p

Le restamos la segunda ecuación es decir, la sumamos con el negativo

-1-2a-a^2=-24p

Y así obtener

16-16a+4a^2=24p

-1-2a-a^2=-24p

\Rightarrow 15-18a+3a^2=0

Simplificamos dividiendo todo entre 3

\Rightarrow 5-6a+a^2=0

\Rightarrow (a-5)(a-1)=0

\displaystyle a_1=5 \hspace{2cm} p_1=\frac{4-4a+a^2}{6}=\frac{4-4\cdot 5+5^2}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}

\displaystyle a_2=1 \hspace{2cm} p_2=\frac{4-4a+a^2}{6}=\frac{4-4\cdot 1+1^2}{6}=\frac{1}{6}}

Las dos soluciones de p me brindan dos soluciones de ecuaciones de parábolas distintas.

\displaystyle (x-5)^2=3y \hspace{2cm} (x-1)^2=\frac{1}{3}y

 

12 Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: x + y - 6 = 0 y por foco el origen de coordenadas.

Sabemos que la distancia de un punto (x,y) a la directriz debe ser igual a la distancia de ese punto al foco, es decir

d(P,F)=d(P,d)

\displaystyle \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\frac{x+y-6}{\sqrt{1^2+1^2}}

\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}=\frac{x+y-6}{\sqrt{2}}

Elevamos al cuadrado para deshacernos de la raíz

\displaystyle x^2+y^2=\frac{x^2+2xy+y^2-12x-12y+36}{2}

x^2+y^2-2xy+12x+12y-36=0

 

13 Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los puntos: \text{A}(6,1), \text{B}(-2,3), \text{C}(16,6).

La ecuación tiene que ser de la forma

y=ax^2+bx+c

Si pasa por los puntos A, B y C, sus coordenadas cumplen la ecuación anterior

\left\{\begin{matrix} 1=a\cdot 36+b\cdot 6+c\ \ \\ 3=a\cdot 4+b\cdot (-2)+c\\ 6=a\cdot 256+b\cdot 16+c \end{matrix}\right.

Resolviendo el sistema de 3 incógnitas obtenemos que

\displaystyle a=\frac{1}{24} \hspace{2cm} b=-\frac{10}{24} \hspace{2cm} c=2

Finalmente

\displaystyle y=\frac{1}{24} x^2-\frac{10}{24}x+2

 

14 Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: y= 0 y por foco el punto (2, 4).

Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: y = 0 y por foco el punto (2, 4).

d(P,F)=d(P,d)

\displaystyle \sqrt{(x-2)^2+(y-4)^2}=\frac{y}{\sqrt{0^2+1^2}}

y^2 =(x-2)^2 +y^2-8y+16

(x-2)^2 -8y+16=0

(x-2)^2 =8y-16

Finalmente la ecuación parabólica que obtengo es:

(x-2)^2 =8(y-2)

 

15 Calcular la posición relativa de la recta r \equiv x + y - 5 = 0 respecto a la parábola y^2 = 16x.

Calcular la posición relativa de la recta r ≡ x + y − 5 = 0 respecto a la parábola y² = 16 x.

Interseccion de una recta y una parabola representación gráfica

\left\{\begin{matrix} y^2=16x & &\\ y=5-x & \rightarrow &y^2=(5-x)^2 \end{matrix}\right. \hspace{1cm}\text{Igualamos}\hspace{1cm} (5-x)^2=16x

Desarrollamos

x^2-10x+25=16x

x^2-26x+25=0

(x-25)(x-1)=0

Resolvemos

x_1=25

x_2=1

\displaystyle \text{Puntos de intersecci\'on}\hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} \left\{\begin{matrix} A(25,-20)\\ B(1,4) \ \ \end{matrix}\right.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗