Tipos de soluciones entre la intersección de una cónica y una recta

 

Si queremos encontrar los puntos comunes entre una cónica y una recta resolveremos el sistema formado por las ecuaciones de ambas. En general se obtiene un ecuación de segundo grado, que tendrá dependiendo del signo del discriminante,

     \[ \Delta = b^2 - 4 ac \]

las siguientes soluciones:1 Si \Delta > 0 , entonces se tendrán dos soluciones: la recta y la cónica son secantes.Cónica y recta secantes

2 Si \Delta = 0 , entonces se tendrá una solución: la recta y la cónica son tangentes.

Cónica y recta tangentes
3 Si \Delta < 0 , entonces no tendra ninguna solución: la recta y la cónica son exteriores.

Cónica y recta sin pontos en común

 

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Vamos

Ejemplo calculando los puntos de intersección

Calcula la posición relativa de la circunferencia  x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0 y la recta 3x + y - 5= 0 .

Intersección entre cónica y recta

Debemos resolver el sistema de ecuaciones siguiente

    \[\left\{\begin{array}{c} x^{2} + y^{2}- 2x - 3 = 0 \\ 3x + y - 5 = 0 \end{array}\right. \]

Notemos que

     \[ 3x + y - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 5 - 3x \]

Por tanto sustituyendo en la primera ecuación

     \begin{align*} x^{2} + y^{2}- 2x - 3 &= x^{2} + (5 - 3x)^{2}- 2x - 3 \\ &= 5x^2 - 16x + 1 = 0 \end{align*}

Resolvemos la ecuación cuadrática y obtenemos

     \[ x = \frac{16 \pm \sqrt{256-220}}{10}=\frac{16 \pm 6}{10} \]

entonces

     \[ x_1 = \frac{11}{5} \quad \quad x_2 = 1 \]

Es decir coinciden en dos puntos y por tanto secantes.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗