Si el centro de la elipse C(x_0, y_0) y el eje principal es paralelo al eje de las abscisas (eje X), los focos tienen de coordenadas F(x_0 + c, y_0) y F'(x_0 - c, y_0). Y la ecuación canónica de la elipse será

 

Características de la elipse

 

\displaystyle \frac{(x - x_0)^2}{a^2} + \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1

 

en donde a y b son los semiejes mayor y menor respectivamente.

 

Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

 

\displaystyle Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0

 

Donde A y B tienen el mismo signo. A esta última fórmula se le conoce como ecuación general de la elipse.

 

Ejemplos

 

1. Hallar la ecuación canónica de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).

Primero, notemos que el eje mayor es paralelo al eje de las abscisas, esto lo podemos notar gracias al centro y uno de los focos, notemos que el foco simplemente se recorre a la derecha del centro de la elipse. Esto nos da por ahora la ecuación

 

\displaystyle \frac{(x - 4)^2}{a^2} + \frac{(y - 2)^2}{b^2} = 1

 

Ahora, sabemos que a es el semieje mayor. El semieje mayor es igual a la distancia entre el centro de la elipse y el vértice, por lo tanto

 

\displaystyle a^2 = (d(C, V))^2 = (9-4)^2 + (2-2)^2 = 25

 

Además, tenemos que el semieje menor cumple que b^2 = a^2 - c^2, en donde c es la distancia del centro de la elipse al foco, por lo tanto

 

\displaystyle c^2 = (d(C, F))^2 = (7-4)^2 + (2-2)^2 = 9

 

Así

 

\displaystyle b^2 = 25 - 9 = 16

 

Esto nos da la ecuación

 

\displaystyle \frac{(x - 4)^2}{25} + \frac{(y - 2)^2}{16} = 1

 

 

2. Dada la elipse de ecuación

 

\displaystyle \frac{(x - 6)^2}{36} + \frac{(y + 4)^2}{16} = 1

 

hallar su centro, semiejes, vértices y focos.

Dado que tenemos la ecuación en su forma canónica, tenemos que el centro es C(6, -4).

 

Para encontrar los semiejes, tenemos que a cumple que a^2 = 36, esto es a = 6 y, además, b^2 = 16, esto es b = 4. Notemos que a es el semieje mayor al ser más grande que b, por lo tanto b es el semieje menor.

 

Ahora, notemos que dado que a representa el semieje mayor, y este divide a la expresión (x - 6)^2 entonces el eje mayor de la elipse es paralelo al eje de las abscisas, esto indica que los vértices están a a unidades a la derecha y a a unidades a la izquierda del centro, así, los vértices son V_{1}(0, -4) y V_{2}(12, -4).

 

Por último, encontremos los focos. Tenemos que la mitad de la distancia focal (la distancia del centro de la elipse a cualquier de sus focos) se denota por c y cumple que c^2 = a^2 - b^2, dicho esto, tenemos que

 

\displaystyle c^2 = 36 - 16 = 20.

 

Así, tenemos que c = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} y los focos son F_{1}(6 - 2 \sqrt{5}, -4) y F_{2}(6 + 2 \sqrt{5}, -4).

 

 

Ecuación reducida de la elipse

Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:

 

Semiejes y focos de la elipse

 

\displaystyle F'(-c, 0) y \displaystyle F(c, 0). Además cualquier punto \displaystyle P(x, y) sobre la elipse cumple que

 

\displaystyle d(P,F') + d(P,F) = 2a .

 

Notemos que dicha expresión es equivalente a

 

\displaystyle \sqrt{(x + c)^2 + y} + \sqrt{(x - c)^2 + y} = 2a .

 

Al desarrollar esta última expresión y resolviendo, tenemos que es equivalente a

 

\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 .

 

en donde b^2 = a^2 - c^2, como podemos observar en la imagen previa.

 

Ejemplo:

 

Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.

Tenemos la siguiente gráfica de nuestro problema

 

Eje mayor y focos de la elipse

 

Notemos que el centro de la elipse es el punto medio de los focos, esto es

 

\displaystyle C(x, y) = \frac{(-3,0) + (3,0)}{2} = (0,0)

 

así, el centro es el origen. Ahora, notemos que los focos están sobre el eje de las abscisas, por lo tanto, el eje mayor también lo está. También tenemos que a es la mitad del eje mayor, por lo tanto a = \frac{10}{2} = 5, siendo a el semieje mayor.

 

También tenemos que la mitad de la distancia focal c es la distancia de cualquiera de los focos al centro de la elipse, a = d(C,F) = 3.

 

Por último, podemos encontrar el semieje menor utilizando el semieje mayor y a c, en donde el semieje menor cumple que b^2 = a^2 - c^2, esto es

 

\displaystyle b^2 = 25 - 9 = 16

 

de donde se sigue que b = 4. Con esto, tenemos que la ecuación reducida de nuestra elipse es

 

\displaystyle \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16}= 1.

 

Ecuación reducida de eje vertical de la elipse

 

Elipse centrada en el origen con eje mayor vectical

 

Si el eje principal está sobre el eje de las ordenadas, se obtendrá la siguiente ecuación:

 

\displaystyle \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1

 

En donde las coordenadas de los focos son F'(0, -c) y F(0, c).

 

Ejemplo

 

Dada la ecuación reducida de la elipse

 

\displaystyle \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1

 

hallar las coordenadas de los vértices, de los focos y la excentricidad.

Primero encontremos la mitad disstancia focal. Tenemos que la mitad de la distancia focal es c y cumple que c^2 = a^2 + b^2, entonces

 

\displaystyle c^2 = 9 - 4 = 5,

 

esto nos dice que c = \sqrt{5}. Ahora que tenemos este valor, tenemos que los focos tienen coordenadas F'(0, -\sqrt{5}) y F(0, \sqrt{5}).

 

Para enconcontrar los vértices, recordemos que estos se encuentran a a unidades arriba y abajo del centro de la elipse, por lo tanto, dado que a = \sqrt{9} = 3, tenemos que los vértices son V'(0, -3) y F(0, 3).

 

Por último, tenemos que la excentricidad de la elipse es igual a

 

\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3}.

 

Ecuación de eje vertical de la elipse

 

Elipse con centro distinto al origen y eje mayor vertical

 

En general, si el centro de la elipse es C(x_0, y_0) (puede ser el origen o no) y el eje principal es paralelo al eje de las ordenadas (OY), entonces los focos tienen coordenadas F'(x_0, y_0 - c) y F(x_0, y_0 + c) y la ecuación de la elipse será:

 

\displaystyle \frac{(y - y_0)^2}{a^2} + \frac{(x - x_0)^2}{b^2} = 1

 

Ejercicios

 

1. Dadas las ecuaciones generales de las siguientes elipses, escríbelas en forma canónica (o reducida), obtén las coordenadas de sus focos, vértices, calcula sus excentricidades y represéntalas gráficamente.

 

a. x^2 + 2y^2 - 2x + 8y + 5 = 0

 

b. 25x^2 + 9y^2 - 18y - 216 = 0

 

c. x^2 + 3y^2 - 6x + 6y = 0

 

d. 3x^2 + y^2 - 24x + 39 = 0

 

a. x^2 + 2y^2 - 2x + 8y + 5 = 0

 

Para obtener la ecuación en su forma reducida simplemente necesitamos hacer uso de álgebra básica

 

     \begin{align*} x^2 + 2y^2 - 2x + 8y + 5 &= 0\\ x^2 - 2x + 2y^2 + 8y + 5 &= 0\\ (x^2 - 2x + 1) + 2(y^2 + 4y + 4) + 5 - 1 - 8 &= 0\\ (x - 1)^2 + 2(y + 2)^2 - 4 &= 0\\ (x - 1)^2 + 2(y + 2)^2 &= 4\\ \frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{2(y + 2)^2}{4} &= 1\\ \frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{(y + 2)^2}{2} &= 1\\ \end{align*}

 

Notemos que la última igualdad ya es la ecuación en su forma reducida. Dada dicha ecuación, es claro que el centro de la elipse es C(1, -2).

 

Además, de la ecuación, igual tenemos que el semieje mayor es a = 2 y el semieje menor es b = \sqrt{2}. Además, como el semieje mayor divide al término de las x's, tenemos que el eje principal de la elipse es paralelo al eje de las abscisas. Dicho esto último, tenemos que el los vértices están a a unidades a la derecha y a la izquierda del centro de la elipse teniendo coordenadas V'(-1, -2) y V(3, -2).

 

Para obtener los focos, necesitamos calcular mitad de la distancia focal c la cual cumple que c^2 = a^2 - b^2, por lo tanto, tenemos que

 

\displaystyle c^2 = 4 - 2 = 2

 

Esta última igualdad nos dice que c = \sqrt{2}. Ahora, los focos están a c unidades de distancia a la izquierda y a la derecha del centro de la elipse, por lo tanto tienen coordenadas F'(1 - \sqrt{2}, -2) y F(1 + \sqrt{2}, -2).

 

Por último, la excentricidad está dada por

 

\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}

 

La gráfica de la elipse es la siguiente

 

Grafica elipse ejercicio 1

 

b. 25x^2 + 9y^2 - 18y - 216 = 0

 

Para obtener la ecuación en su forma reducida simplemente necesitamos hacer uso de álgebra básica

 

     \begin{align*} 25x^2 + 9y^2 - 18y - 216 &= 0\\ 25x^2 + 9(y^2 - 2y) - 216 &= 0\\ 25x^2 + 9(y^2 - 2y) + 9 - 9 - 216 &= 0\\ 25x^2 + 9(y^2 - 2y + 1) - 225 &= 0\\ 25x^2 + 9(y - 1)^2 - 225 &= 0\\ 25x^2 + 9(y - 1)^2 &= 225\\ \frac{25x^2}{225} + \frac{9(y - 1)^2}{225} &= 1\\ \frac{x^2}{9} + \frac{(y - 1)^2}{25} &= 1\\ \end{align*}

 

Notemos que la última igualdad ya es la ecuación en su forma reducida. Dada dicha ecuación, es claro que el centro de la elipse es C(0, 1).

 

Además, de la ecuación, igual tenemos que el semieje mayor es a = 5 y el semieje menor es b = 3. Además, como el semieje mayor divide al término de las y's, tenemos que el eje principal de la elipse es paralelo al eje de las ordenadas. Dicho esto último, tenemos que el los vértices están a a unidades a arriba y abajo del centro de la elipse teniendo coordenadas V'(0, -4) y V(0, 6).

 

Para obtener los focos, necesitamos calcular la mitad de la distancia focal c la cual cumple que c^2 = a^2 - b^2, por lo tanto, tenemos que

 

\displaystyle c^2 = 25 - 9 = 16

 

Esta última igualdad nos dice que c = 4. Ahora, los focos están a c unidades de distancia a la izquierda y a la derecha del centro de la elipse, por lo tanto tienen coordenadas F'(0, -3) y F(0, 5).

 

Por último, la excentricidad está dada por

 

\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}

 

La gráfica de la elipse es la siguiente

 

Gráfica de la elipse ejercicio 2

 

c. x^2 + 3y^2 - 6x + 6y = 0

 

Para obtener la ecuación en su forma reducida simplemente necesitamos hacer uso de álgebra básica

 

     \begin{align*} x^2 + 3y^2 - 6x + 6y &= 0\\ x^2 - 6x + 3y^2 + 6y &= 0\\ (x^2 - 6x + 9) + 3(y^2 + 2y + 1) - 9 - 3 &= 0\\ (x - 3)^2 + 3(y + 1)^2 - 12 &= 0\\ (x - 3)^2 + 3(y + 1)^2 &= 12\\ \frac{(x - 3)^2}{12} + \frac{3(y + 1)^2}{12} &= 1\\ \frac{(x - 3)^2}{12} + \frac{(y + 1)^2}{4} &= 1\\ \end{align*}

 

Notemos que la última igualdad ya es la ecuación en su forma reducida. Dada dicha ecuación, es claro que el centro de la elipse es C(3, -1).

 

Además, de la ecuación, igual tenemos que el semieje mayor es a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} y el semieje menor es b = 2. Además, como el semieje mayor divide al término de las x's, tenemos que el eje principal de la elipse es paralelo al eje de las abscisas. Dicho esto último, tenemos que el los vértices están a a unidades a la derecha y a la izquierda del centro de la elipse teniendo coordenadas V'(3 - 2\sqrt{3}, -1) y V(3 + 2\sqrt{3}, -1).

 

Para obtener los focos, necesitamos calcular la mitad de la distancia focal c la cual cumple que c^2 = a^2 - b^2, por lo tanto, tenemos que

 

\displaystyle c^2 = 12 - 4 = 8

 

Esta última igualdad nos dice que c = 2\sqrt{2}. Ahora, los focos están a c unidades de distancia a la izquierda y a la derecha del centro de la elipse, por lo tanto tienen coordenadas F'(3 - 2\sqrt{2}, -1) y F(3 + 2\sqrt{2}, -1).

 

Por último, la excentricidad está dada por

 

\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}

 

La gráfica de la elipse es la siguiente

 

Gráfica de la elipse ejercicio 3

 

d. 3x^2 + y^2 - 24x + 39 = 0

 

Para obtener la ecuación en su forma reducida simplemente necesitamos hacer uso de álgebra básica

 

     \begin{align*} 3x^2 + y^2 - 24x + 39 &= 0\\ 3x^2 - 24x + y^2 + 39 &= 0\\ 3(x^2 - 8x) + y^2 + 39 &= 0\\ 3(x^2 - 8x + 16) + y^2 + 39 - 48 &= 0\\ 3(x - 4)^2 + y^2 - 9 &= 0\\ 3(x - 4)^2 + y^2 &= 9\\ \frac{3(x - 4)^2}{9} + \frac{y^2}{9} &= 1\\ \frac{(x - 4)^2}{3} + \frac{y^2}{9} &= 1\\ \end{align*}

 

Notemos que la última igualdad ya es la ecuación en su forma reducida. Dada dicha ecuación, es claro que el centro de la elipse es C(4, 0).

 

Además, de la ecuación, igual tenemos que el semieje mayor es a = 3 y el semieje menor es b = \sqrt{3}. Además, como el semieje mayor divide al término de las y's, tenemos que el eje principal de la elipse es paralelo al eje de las ordenadas. Dicho esto último, tenemos que el los vértices están a a unidades arriba y abajo del centro de la elipse teniendo coordenadas V'(4, -3) y V(4, 3).

 

Para obtener los focos, necesitamos calcular la mitad de la distancia focal c la cual cumple que c^2 = a^2 - b^2, por lo tanto, tenemos que

 

\displaystyle c^2 = 9 - 3 = 6

 

Esta última igualdad nos dice que c = \sqrt{6}. Ahora, los focos están a c unidades de distancia a la izquierda y a la derecha del centro de la elipse, por lo tanto tienen coordenadas F'(4, -\sqrt{6}) y F(4, \sqrt{6}).

 

Por último, la excentricidad está dada por

 

\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{6}}{3}

 

La gráfica de la elipse es la siguiente

 

Gráfica elipse ejercicio 4

 

2. Hallar la ecuación de la elipse conociendo los siguientes datos:

 

a. C(0,0), \; F(2,0), \; A(3, 0)

 

b. C(0,0), \; F(0, 4), \; A(0, 5)

 

c. C(1, -1), \; F(1, 2), \; A(1, 4)

 

d. C(-3, 2), \; F(-1, 2), \; A(2, 2)

a. C(0,0), \; F(2,0), \; A(3, 0)

 

Para resolver este ejercicio, primero notemos que podemos obtener fácilmente a c que es la distancia entre el foco y el centro (distancia focal), por lo tanto c = 2. También notemos que es sencillo obtener el semieje mayor, ya que este es la distancia entre el vértice y el centro, por lo tanto a = 3. Por último, tenemos que el semieje menor lo podemos determinar a partir del semieje mayor y la distancia focal, esto ya que se cumple que b^2 = a^2 - c^2, por lo tanto

 

\displaystyle b^2 = 9 - 4 = 5

 

Esto último nos dice que b = \sqrt{5}. Por último, recordemos que si los focos están a la derecha e izquierda del centro de la elipse, entonces el cuadrado del semieje mayor divide al término que involucra a x, por otro lado, si los focos están por arriba o abajo del centro, entonces el cuadrado del semieje mayor divides al término que involucra a y. Dicho todo esto, nuestra ecuación es

 

\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1.

 

b. C(0,0), \; F(0, 4), \; A(0, 5)

 

Para resolver este ejercicio, primero notemos que podemos obtener fácilmente a c que es la distancia entre el foco y el centro (distancia focal), por lo tanto c = 4. También notemos que es sencillo obtener el semieje mayor, ya que este es la distancia entre el vértice y el centro, por lo tanto a = 5. Por último, tenemos que el semieje menor lo podemos determinar a partir del semieje mayor y la distancia focal, esto ya que se cumple que b^2 = a^2 - c^2, por lo tanto

 

\displaystyle b^2 = 25 - 16 = 9

 

Esto último nos dice que b = 3. Por último, recordemos que si los focos están a la derecha e izquierda del centro de la elipse, entonces el cuadrado del semieje mayor divide al término que involucra a x, por otro lado, si los focos están por arriba o abajo del centro, entonces el cuadrado del semieje mayor divides al término que involucra a y. Dicho todo esto, nuestra ecuación es

 

\displaystyle \frac{y^2}{25} + \frac{x^2}{9} = 1.

 

c. C(1, -1), \; F(1, 2), \; A(1, 4)

 

Para resolver este ejercicio, primero notemos que podemos obtener fácilmente a c que es la distancia entre el foco y el centro (la mitad de la distancia focal), por lo tanto c = 3. También notemos que es sencillo obtener el semieje mayor, ya que este es la distancia entre el vértice y el centro, por lo tanto a = 5. Por último, tenemos que el semieje menor lo podemos determinar a partir del semieje mayor y la distancia focal, esto ya que se cumple que b^2 = a^2 - c^2, por lo tanto

 

\displaystyle b^2 = 25 - 9 = 16

 

Esto último nos dice que b = 4. Por último, recordemos que si los focos están a la derecha e izquierda del centro de la elipse, entonces el cuadrado del semieje mayor divide al término que involucra a x, por otro lado, si los focos están por arriba o abajo del centro, entonces el cuadrado del semieje mayor divides al término que involucra a y. Dicho todo esto, nuestra ecuación es

 

\displaystyle \frac{(y + 1)^2}{25} + \frac{(x - 1)^2}{16} = 1.

 

d. C(-3, 2), \; F(-1, 2), \; A(2, 2)

 

Para resolver este ejercicio, primero notemos que podemos obtener fácilmente a c que es la distancia entre el foco y el centro (media distancia focal), por lo tanto c = 2. También notemos que es sencillo obtener el semieje mayor, ya que este es la distancia entre el vértice y el centro, por lo tanto a = 5. Por último, tenemos que el semieje menor lo podemos determinar a partir del semieje mayor y la distancia focal, esto ya que se cumple que b^2 = a^2 - c^2, por lo tanto

 

\displaystyle b^2 = 25 - 4 = 21

 

Esto último nos dice que b = \sqrt{21}. Por último, recordemos que si los focos están a la derecha e izquierda del centro de la elipse, entonces el cuadrado del semieje mayor divide al término que involucra a x, por otro lado, si los focos están por arriba o abajo del centro, entonces el cuadrado del semieje mayor divides al término que involucra a y. Dicho todo esto, nuestra ecuación es

 

\displaystyle \frac{(x+3)^2}{25} + \frac{(y-2)^2}{21} = 1.

 

3Escribe la ecuación reducida de la elipse cuyo centro es el origen, que pasa por el punto (2, 1) y cuyo eje menor (paralelo al eje de las ordenadas) mide 4.

El hecho de que el eje menor mida 4 nos dice directamente que b = 2. Ahora, notemos que la elipse pasa por el punto (2, 1), esto implica que para x = 2 y y = 1 se cumple la ecuación de la elipse, así, ya sustituyendo este punto y el valor de b, únicamente necesitamos despejar a a de la ecuación y encontrar su valor,

 

     \begin{align*} \frac{2^2}{a^2} + \frac{1^2}{2^2} &= 1\\ \frac{4}{a^2} + \frac{1}{4} &= 1\\ \frac{16}{a^2} + 1 &= 4\\ \frac{16}{a^2} &= 3\\ a^2 &= \frac{16}{3} \\ a &= \frac{4}{\sqrt{3}} \end{align*}

 

Esto nos da la ecuación

 

\displaystyle \frac{3 x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1

 

4Sabemos que una elipse tiene su centro en el origen, la mitad de su distancia focal es 4. Un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6, respectivamente. Calcular la ecuación reducida de dicha elipse si su eje mayor esta sobre el eje de las ordenadas.

El hecho de que la mitad de su distancia focal sea 4 nos dice directamente que 2c = 4, o bien c = 2. Ahora, sabemos que la suma de las distancias de los focos a un punto siempre es 2a, esto implica que

 

     \begin{align*} 2a &= 2 + 6\\ 2a &= 8\\ a &= 4\\ \end{align*}

 

Ya que tenemos a a y c, podemos obtener a b

 

\displaystyle b^2 = 16 - 4 = 12

Dado que el eje mayor de la elipse está sobre el eje de las ordenadas, tenemos que la ecuación está dada por

 

\displaystyle \frac{y^2}{16} + \frac{x^2}{12} = 1

 

5Determina la ecuación reducida de un elipse cuya distancia focal es 8 \sqrt{6} y el área del rectángulo construidos sobre los ejes 80 u^2. Consideremos el eje mayor de la elipse paralela al eje de las abscisas.

Analicemos los datos que tenemos, primero, tenemos que la distancia focal es de 8 \sqrt{6}, esto implica que 2c = 8 \sqrt{6} y, por lo tanto, c = 4 \sqrt{6}.

 

También tenemos que el área del rectángulo que contiene a la elipse es de 80, esta área es igual al eje mayor por el eje menor de la elipse, ya que esas son las medidas del los lados del rectángulo, además, el eje mayor de la elipse mide 2a, mientras que el eje menor mide 2b, esto indica que (2a)(2b) = 4ab = 80. Ahora, notemos que podemos despejar una variable en términos de la otra, en nuestro caso despejaremos b = \frac{20}{a}.

 

También sabemos de la relación a^2 = b^2 + c^2, pero ya tenemos el valor de c y a b = \frac{20}{a}, sustituyendo estos valores en la primera igualdad podremos obtener el valor de a.

 

     \begin{align*} a^2 &= b^2 + c^2\\ a^2 &= \left( \frac{20}{a} \right)^2 + \left( 4 \sqrt{6} \right)^2\\ a^2 &= \frac{400}{a^2} + 96\\ a^4 &= 400 + 96a^2\\ a^4 - 96a^2 - 400 &= 0\\ \end{align*}

 

Las raíces del polinomio que encontramos son \{10, -10, 2i, -2i\}, notemos que como a debe ser real y estrictamente positivo, la única solución que lo satisface es a = 10, sustituyendo estos valores en la primera igualdad podremos obtener el valor de a, sustituiremos este valor en la igualdad b = \frac{20}{a} para encontrar que b = 2. Ya que tenemos nuestros valores de los semiejes, procedemos a escribir la ecuación, como la elipse tiene eje mayor sobre el eje de las abscisas, tenemos que el término dividido por el cuadrado del semieje mayor es el que tiene a las x's, esto es

 

\displaystyle \frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{4} = 1

 

 

6Determina la ecuación reducida de una elipse sabiendo que uno de los vértices dista 8 de un foco y 18 del otro. Supongamos que la elipse tiene centro en el origen y eje mayor sobre el eje de las abscisas por simplicidad.

La siguiente imagen nos ayudará a entender las distancias mencionadas y como, a partir de ellas, calcular a y c, para finalmente poder calcular b.

 

Distancias focales

 

La distancia del vértice al foco más lejano es 18, mientras que la distancia al más cercano es 8, notemos que si a la distancia al foco más lejano le restamos la distancia al más cercano obtendremos la distancia foca, así, tendríamos que 2c = 18 - 8 = 10, o bien, c = 5. Por otro lado, notemos que si a la distancia del vértice al foco más lejano le sumamos la distancia al foco más cercado, obtendremos la distancia de un vértice al otro, por lo tanto, tendríamos que 2a = 18 + 8 = 26, o bien, a = 13. Una vez que tenemos estos, podemos calcular el cuadrado del semieje menor, ya que

 

\displaystyle b^2 = a^2 - c^2 = 169 - 25 = 144.

 

Así, nuestra ecuación sería

 

\displaystyle \frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{144} = 1.

 

 

7Halla la ecuación reducida de una elipse sabiendo que pasa por el punto (0, 4) y su excentricidad es \displaystyle \frac{3}{5}. Supongamos que la elipse tiene centro en el origen y eje mayor sobre el eje de las abscisas por simplicidad.

Primero, tenemos que la excentricidad es \displaystyle\frac{c}{a} = \frac{3}{5}, despejando tenemos \displaystyle c = \frac{3a}{5}. Por otro lado, dado que pasa por el punto (0, 4), tenemos que dicho punto satisface la ecuación de la elipse, esto es

 

     \begin{align*} \frac{0}{a^2} + \frac{4^2}{b^2} &= 1\\ \frac{16}{b^2} &= 1\\ b^2 &= 16\\ b &= 4 \end{align*}

 

Notemos que ya tenemos el valor de b y \displaystyle c = \frac{3a}{5}, además, sabemos que a^2 = b^2 + c^2, sustituyamos estos valores de b y c y obtengamos a

 

     \begin{align*} a^2 &= b^2 + c^2\\ a^2 &= 4^2 + \left( \frac{3a}{5}\right)^2\\ a^2 &= 16 + \frac{9a^2}{25}\\ a^2 - \frac{9a^2}{25} &= 16\\ \frac{16 a^2}{25} &= 16\\ \frac{a^2}{25} &= 1\\ a^2 = 25 \end{align*}

 

Ya podemos escribir nuestra ecuación

 

\displaystyle \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗