La bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice del ángulo lo divide en dos partes iguales.

 

Construcción de la bisectriz de un ángulo

 

1 Con centro en el vértice del ángulo se traza una circunferencia de cualquier amplitud.

 

2 Desde los puntos de corte de la circunferencia con los lados del ángulo se trazan dos circunferencias con el mismo radio.

 

3 La recta que pasa por el vértice del ángulo y uno de los puntos de corte de las circunferencias es la bisectriz.

 

construccion de bisectriz

 

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Vamos

Ecuación de la bisectriz

 

Para encontrar la ecuación de la bisectriz de un ángulo, consideramos dos rectas que forman el ángulo

 

r \equiv A_1 x + B_1 y + C_1 = 0

s \equiv A_2 x + B_2 y + C_2 = 0

 

ecuacion de bisectrices 1

 

También consideramos un punto sobre la bisectriz P(x, y)

 

De la definición de bisectriz se tiene que la distancia del punto P a las rectas r, s es la misma

 

d(P, r) = d(P, s)

 

Así, la ecuación de las bisectrices, se obtiene de resolver la siguiente ecuación

 

\cfrac{|A_1 x+ B_1 y + C_1|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \cfrac{|A_2 x+ B_2 y + C_2|}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}

 

Bisectriz de un triángulo

 

Las bisectrices de un triángulo son cada una de las rectas que dividen a un ángulo en dos ángulos iguales.

Incentro

 

Incentro de un triangulo

 

El incentro es el punto de corte de las tres bisetrices.

 

El incentro es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

 

Fórmula del incentro

 

Si se conocen las bisectrices de un triángulo, el incentro se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones formado por cualesquiera dos bisectrices del triángulo.

 

Si se conocen los vértices A(x_0, y_0), B(x_1, y_1), C(x_2, y_2) de un triángulo y sus respectivos lados opuestos a, b, c, el incentro viene dado por

 

\left ( \cfrac{a \cdot x_0 + b \cdot x_1 + c \cdot x_2}{a + b + c}, \cfrac{a \cdot y_0 + b \cdot y_1 + c \cdot y_2}{a + b + c} \right )

 

Si quieres practicar con los ejercicios de bisectrices de Superprof, visita ejercicio bisectriz y ejercicios incentro.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗