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Vamos

Distancia entre dos puntos

 

Para estudiar la distancia entre dos punto consideremos la siguiente figura.

 

distancia entre dos puntos A y B
 

En la figura podemos encontrar dos puntos A(x_{1},y_{1}) y B(x_{2},y_{2}) en el plano cartesiano unidos por un vector. La magnitud del vector coloreado en rojo y que une los puntos, es el valor que representa distancia entre los puntos A(x_{1},y_{1})  y B(x_{2},y_{2}).

 

Fórmula para calcular la distancia entre dos puntos y el teorema de Pitágoras

La fórmula para calcular dicha magnitud está dada por la siguiente expresión:

 

    $$d(A,B)=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}.$$

 

El valor de esta fórmula puede ser obtenido usando el Teorema de Pitagoras. Para ello, consideremos el triángulo rectángulo de vértices

A(x_{1},y_{1})B(x_{2},y_{2}) y C(x_{2},y_{1}).

 

Notemos que el valor de la hipotenusa de este triángulo es la distancia entre los puntos

A(x_{1},y_{1})  y B(x_{2},y_{2}).
Ya que la magnitud de los segmentos que unen A(x_{1},y_{1}) y C(x_{2},y_{1}), C(x_{2},y_{1}) y B(x_{2},y_{2})  son (x_{2}-x_{1}) y (y_{2}-y_{1}) respectivamente.

 

El Teorema de Pitagoras afirma que el valor de la hipotenusa o la distancia entre
A(x_{1},y_{1}) y B(x_{2},y_{2}) es

    $$\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}.$$

Ejemplos de distancia entre dos puntos

 

1  Calcular la distancia entre los puntos: A(2, 1) y B(-3, 2).

 

    $$d(A,B)=\sqrt{(-3-2)^{2}+(2-1)^{2}}=\sqrt{(-5)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}.$$

 

2   Determinar la  condición para que los puntos A(0,a) y B(1,2) disten una unidad.

 

Si la distancia entre A y B es uno, esto quiere decir que

 

    $$d(A,B)=\sqrt{(1-0)^{2}+(2-a)^{2}}=1,$$

 

elevando al cuadrado para eliminar la raiz

 

    $$1+(2-a)^{2}=1,$$

 

    $$(2-a)^{2}=0,$$

 

    $$2-a=0,$$

 

    $$a=2.$$

 

3 Probar que los puntos: A(1,7), B(4,6) y C(1,-3) pertenecen a una circunferencia de centro O(1,2).

 

Si O es el centro de la circunferencia, para que A,B y C pertenezcan a una circunferencia, por definición las distancias de O a A, O a B y O a C deben ser iguales. Comprobemos esto utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos.

 

    $$d(O,A)=\sqrt{(1-1)^{2}+(7-2)^{2}}=\sqrt{(0)^{2}+(5)^{2}}=\sqrt{25}=5,$$

 

    $$d(O,B)=\sqrt{(4-1)^{2}+(6-2)^{2}}=\sqrt{(3)^{2}+(4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5,$$

 

    $$d(O,C)=\sqrt{(1-1)^{2}+(-3-2)^{2}}=\sqrt{(0)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{25}=5.$$

 

4Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4,-3), B(3,0) y C(0,1).

 

Primero calculemos las distancias entre los puntos del triángulo para poder clasificar su tipo.

 

    $$d(A,B)=\sqrt{(3-4)^{2}+(0+3)^{2}}=\sqrt{(-1)^{2}+(3)^{2}}=\sqrt{10},$$

 

    $$d(B,C)=\sqrt{(0-3)^{2}+(1-0)^{2}}=\sqrt{(-3)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{10},$$

 

    $$d(A,C)=\sqrt{(0-4)^{2}+(1+3)^{2}}=\sqrt{(-4)^{2}+(4)^{2}}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}.$$

 

Ya que d(A,B)=d(B,C)\not=d(A,C), podemos concluir que el triángulo es no isósceles, pues si lo fuera, las distancias entre cualesquiera de sus puntos serían iguales.

 

Además si:

 

d(A,C)<d(A,B)+d(B,C) entonces el triángulo es Acutángulo,

 

cuando d(A,C)=d(A,B)+d(B,C) el triángulo es Rectángulo,

 

y finalmente, si d(A,C)>d(A,B)+d(B,C) se tiene que el triángulo es Obtusángulo.

 

Por lo anterior se sigue que

 

    $$d(A,C)=\sqrt{32}>\sqrt{10}+\sqrt{10}=d(A,B)+d(B,C),$$

y por lo tanto el triángulo es Obtusángulo.

 

Distancia entre puntos de un triángulo

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗