Un sistema de ecuaciones es no lineal cuándo al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado.

Ejemplo:

\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=25\\ x+y=7 \ \ \ \ \end{matrix}\right.

 

Pasos del método de sustitución

 

La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos:

 

\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=25\\ x+y=7 \ \ \ \ \end{matrix}\right.

 

1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado.

 

y=7-x

 

2 Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.

x^2+(7-x)^2=25

 

3 Se resuelve la ecuación resultante.

 

x^2+49-14x+x^2=25

 

2x^2-14x+24=0

 

x^2-7x+12=0

 

\displaystyle x=\frac{7\pm \sqrt{49-48}}{2}=\frac{7\pm 1}{2}

 

x_1 =4

 

x_2 =3

 

4 Cada uno de los valores obtenidos se sustituyen en la otra ecuación. Se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.

 

x=3 \hspace{2cm} y=7-3 \hspace{2cm} y=4

 

x=4 \hspace{2cm} y=7-4 \hspace{2cm} y=3

 

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Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones

 

1 \left\{\begin{matrix} x+y=7\\ x\cdot y =12 \end{matrix}\right.

 

1 Despejamos una incógnita de la ecuación de primer grado

y=7-x

 

2 Sustituimos en la otra ecuación

 x\cdot (7-x)=12

Desarrollamos

7x-x^2=12

Notamos que se trata de la ecuación cuadrática

x^2-7x+2=0

3 Resolvemos

Por fórmula general sabemos que

\displaystyle  x=\frac{7\pm \sqrt{49-48}}{2}=\frac{7\pm 1}{2}

x_1 =4

x_2 =3

4 Obtenemos el valor de la otra incógnita

x=4 \hspace{2cm} y=7-4 \hspace{2cm} y=3

x=3 \hspace{2cm} y=7-3 \hspace{2cm} y=4

 

2\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=169\\ x+y=17 \ \ \ \ \end{matrix}\right.

 

1 Despejamos una incógnita de la ecuación de primer grado

x=17-y

2 Sustituimos en la otra ecuación

(17-y)^2+y^2=169

Desarrollamos

289-34y+y^2+y^2=169

2y^2 -34y+120=0

Notamos que se trata de la ecuación cuadrática

y^2-17y+60=0

3 Resolvemos

Por fórmula general sabemos que

\displaystyle  y=\frac{17\pm \sqrt{289-240}}{2}=\frac{17\pm 7}{2}

y_1 =12

y_2 =5

4 Obtenemos el valor de la otra incógnita

y=12 \hspace{2cm} x=17-12 \hspace{2cm} x=5

y=5 \hspace{2cm} x=17-5 \hspace{2cm} x=12

 

3 \left\{\begin{matrix} y^2-2y+1=x\\ \sqrt{x}+y=5 \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

 

1 Despejamos una incógnita de una de las ecuaciones
En este caso no hay de primer grado, pero notamos que x ya está despejada en la primera ecuación.

x=y^2-2y+1

2 Sustituimos en la otra ecuación

\sqrt{y^2-2y+1}+y=5

Despejamos la raíz

\sqrt{y^2-2y+1}=5-y

Elevamos al cuadrado

\left(\sqrt{y^2-2y+1}\right)^2=(5-y)^2

Desarrollamos

y^2-2y+1=25-10y+y^2

10y-2y=25-1

3 Resolvemos

8y=24

y =3

4 Obtenemos el valor de la otra incógnita

y=3 \hspace{2cm} x=3^2-2\cdot 3+1 \hspace{2cm} x=9-6+1=4

 

4 \displaystyle  \left\{\begin{matrix} \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=13 \\ \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=1 \ \ \ \end{matrix}\right.

 

1 Cambio de variableNotamos que bajo el cambio de variable

\displaystyle  u=\frac{1}{x} \hspace{2cm} v=\frac{1}{y}

La ecuación original quedaría

\left\{\begin{matrix} u^2+v^2=13\\ u-v=1 \ \ \ \end{matrix}\right.

2 Despejamos una incógnita de una de las ecuaciones

u=1+v

3 Sustituimos en la otra ecuación

(1+v)^2+v^2=13

Desarrollamos

1+2v+v^2+v^2=13

2v^2+2v-12=0

v^2+v-6=0

4 Resolvemos

Por fórmula general sabemos que

\displaystyle  v=\frac{-1\pm \sqrt{1+24}}{2}=\frac{-1\pm 5}{2}

v_1=2

v_2=-3

5 Obtenemos el valor de la otra incógnita

v=2 \hspace{2cm} u=1+2 \hspace{2cm} u=3

v=-3 \hspace{2cm} u=1-3 \hspace{2cm} u=-2

5 Consideramos el cambio de variable que hicimos al principio

Con la solución de v=2

\displaystyle  v=2=\frac{1}{y} \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} y=\frac{1}{2}

\displaystyle  u=3=\frac{1}{x} \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} x=\frac{1}{3}

Con la solución de v=-3

\displaystyle  v=-3=\frac{1}{y} \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} y=-\frac{1}{3}

\displaystyle  u=-2=\frac{1}{x} \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} x=-\frac{1}{2}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗