Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar:

 

{ax^{4}+bx^{2}+c=0}

 

Resolución de ecuaciones bicuadradas

 

Para resolver ecuaciones bicuadradas, efectuamos el cambio de variable:

 

{x^{2}=t,}

 

{x^{4}=t^{2}}

 

Con lo que se genera una ecuación de segundo grado con la incógnita {t}

 

{at^{2}+bt+c=0}

 

Por cada valor positivo de {t} habrá dos valores de {x}:

 

{x= \pm \sqrt{t}}

 

Superprof

Ejemplos

 

1{x^{4}-13x^{2}+36=0}

 

Realizamos el cambio de variable {x^{2}=t, \ \ \ x^{4}=t^{2}} y obtenemos

 

{t^{2}-13t+36=0}

 

Resolvemos la ecuación anterior y obtenemos

 

{t^{2}-13t+36=(t-9)(t-4)=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ t=9, \; t=4 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=\pm 3, \; x=\pm 2}

 

Esta ecuación bicuadrada tiene cuatro soluciones reales

 

2{x^{4}+5x^{2}-36=0}

 

Realizamos el cambio de variable {x^{2}=t, \ \ \ x^{4}=t^{2}} y obtenemos

 

{t^{2}+5t-36=0}

 

Resolvemos la ecuación anterior y obtenemos

 

{t^{2}+5t-36=(t+9)(t-4)=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ t=-9, \; t=4 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=\pm 3i, \; x=\pm 2}

 

Esta ecuación bicuadrada tiene dos soluciones reales y dos complejas.

 

3{x^{4}+13x^{2}+36=0}

 

Realizamos el cambio de variable {x^{2}=t, \ \ \ x^{4}=t^{2}} y obtenemos

 

{t^{2}+13t+36=0}

 

Resolvemos la ecuación anterior y obtenemos

 

{t^{2}-13t+36=(t+9)(t+4)=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ t=-9, \; t=-4 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=\pm 3i, \; x=\pm 2i}

 

Esta ecuación bicuadrada no tiene soluciones reales, tiene cuatro soluciones complejas.

 

Otras ecuaciones con cambio de variable

 

El mismo procedimiento podemos utilizar para resolver las ecuaciones del tipo:

 

{ax^{2k}+bx^{k}+c=0}

 

con {k=3,4,5, \dots, } efectuamos el cambio de variable:

 

{x^{k}=t,}

 

{x^{2k}=t^{2}}

 

Ejemplo:

 

Resolver la ecuación

 

{x^{6}-7x^{3}+6=0}

 

Realizamos el cambio de variable {x^{3}=t, \ \ \ x^{6}=t^{2}} y obtenemos

 

{t^{2}-7t+6=0}

 

Resolvemos la ecuación anterior y obtenemos

 

{t^{2}-7t+6=(t-6)(t-1)=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ t=6, \; t=1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=\sqrt[3]{6}, \; x=1}

 

Esta ecuación bicuadrada tiene dos soluciones reales.

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Marta

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Uría
Uría
Invité
1 Oct.

Si descompongo una raiz bicuadrada siempre me daran numeros pares ?

Superprof
Superprof
Administrateur
25 May.

Hola Uría, no es siempre el caso, como lo puedes ver en el último ejemplo de la página. ¡Un saludo!

Girón
Girón
Invité
18 Jun.

Buenas, cómo puedo encontrar las raíces complejas de la ecuación bicuadrada de grado 6?

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
11 Jul.

Hola, ¿podrías darnos más detalles de la ecuación? Generalmente se resuelven ecuaciones bicuadradas de grado 4, por lo que si te dieron una de grado 6 tal vez haya un truco para resolverla, por ejemplo tal vez sea posible factorizar un x2 y así el otro de los factores sería una ecuación bicuadrada de grado 4, lo cuál se resolvería de manera usual. Podrías checar en tu ecuación si éste es el caso.

Espero los comentarios te sean útiles
¡saludos!