Definición del binomio de Newton

 

El binomio de Newton es la fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio.

 

(a\pm b)^{n}=\binom{n}{0}a^{n} \pm\binom{n}{1}a^{n-1}b \pm\binom{n}{2}a^{n-2}b^{2} \pm \cdots \pm \binom{n}{n} b^{n}

 

Podemos observar que:

El número de términos es n+1.

Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia (también conocido como triangulo de Pascal).

 

 

Pirámide de Pascal o Tartaglia

 

En el desarrollo del binomio, los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n , de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n .

En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.

 

Ejemplos del binomio de Newton

1 Calcular (x+2y)^{5}

Usando la formula para el binomio de Newton tenemos que

    $$(x+2y)^{5}=\binom{5}{0}x^{5}+\binom{5}{1}x^{4} \cdot 2y + \binom{5}{2}x^{3} \cdot (2y)^{2}+\binom{5}{3}x^{2}\cdot (2y)^{3}+\binom{5}{4}x \cdot (2y)^{4}+\binom{5}{5}(2y)^{5}=$$

    $$=x^{5}+10x^{4}y+40x^{3}y^{2}+80x^{2}y^{3}+80xy^{4}+32y^{5}$$

2 Calcular (2-3y)^{4}

Usando la formula para el binomio de Newton tenemos que

    $$(2-3y)^{4}=\binom{4}{0}2^{4}-\binom{4}{1}2^{3} \cdot 3y + \binom{4}{2}2^{2} \cdot (3y)^{2}-\binom{4}{3}2 \cdot (3y)^{3}+\binom{4}{4}3y^{4}=$$

    $$=16-96y+216y^{2}-216y^{3}+81y^{4}$$

 

Cálculo del término que ocupa el lugar

Las siguientes formulas nos dan el termino de la posición k en la expansión de Newton de un binomio.

Para el binomio (a+b)^{n} tenemos que su termino k-esimo es T_k=\binom{n}{k-1}a^{n-(k-1)}b^{k-1}

 

Para el binomio (a-b)^{n} tenemos que su termino k-esimo es T_k=(-1)^{k-1}\binom{n}{k-1}a^{n-(k-1)}b^{k-1}

 

Ejemplos

1 El término quinto del desarrollo de (x+2y)^{5} es:

Aplicamos la formula anterior para k=5 y n=5. Obtenemos que el termino quinto es T_5=\binom{5}{4}x \cdot (2y)^{4}=80xy^{4}

 

2 El término cuarto del desarrollo de (2-3y)^{4} es:

Aplicamos la formula anterior para k=4 y n=4. Obtenemos que el termino cuarto es T_4=(-1)^{3}\binom{4}{3}2 \cdot (3y)^{3}=-216y^{3}

 

3 Hallar el término octavo del desarrollo de (x^{2}-3y^{3})^{10}

Aplicamos la formula anterior para k=8 y n=10. Obtenemos que el termino octavo es T_8=(-1)^{7}\binom{10}{7} (x^{2})^{3} (3y^{3})^{7}=-262440x^{6}y^{21}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗