Antes de empezar los ejercicios y problemas de probabilidad condicionada, no dudes en echar un ojo a nuestra teoría con el resumen de probabilidades.

 

 

1 De una baraja de  48  cartas se extraen simultáneamente dos de ellas.

Calcular la probabilidad de que:

 

a) Las dos sean copas

b) Al menos una sea copa

c) Una sea copa y la otra espada

 

 

1 Las dos sean copas

 

Podemos tratar este problema como si realizáramos dos extracciones sin reemplazo.

 

Denotemos por  {A_{i}}  al evento de obtener una copa en la extracción  i-ésima, con  i\in\{1,2\}.  Con esto en mente y de acuerdo con la definición de probabilidad condicional

 

    $$\displaystyle P(A_{1}\mbox{ y }A_{2})=\displaystyle P(A_{1}\cap A_{2}),$$

 

    $$\displaystyle P(A_{1}\cap A_{2})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1}).$$

 

Para calcular P(A_{1}), simplemente dividimos el número de casos favorables entre el número de casos totales. En este caso hay 12 posibles cartas de copas, es decir 12 es el número de casos favorables, y un total de 48 cartas, que representan el número de casos totales. Entonces

 

    $$P(A_{1})=\cfrac{12}{48}.$$

 

Por otro lado,

 

    $$P(A_{2}|A_{1})=\cfrac{11}{47} ,$$

 

pues el número de casos favorables es 11, al haber extraído ya una copa, y el total de cartas es ahora 47.

 

Luego,

 

    $$ P(A_{1}\cap A_{2}) = \cfrac{12}{48}\cdot\frac{11}{47}=\cfrac{1}{4}\cdot\frac{11}{47}=\frac{11}{188}}$$

 

 

{\displaystyle P(A_{1}\cap A_{2})=P(A_{1})\times P(A_{2}|A_{1})=\frac{12}{48}\cdot\frac{11}{47}=\frac{11}{188}}

 

2 Al menos una sea copa

 

Denotamos por {A_{i}} al evento de obtener una copa en la extracción {i=1,2}, y por {B_{i}} al evento de no obtener una copa en la extracción {i=1,2}. La condición de extraer al menos una copa se satisface en cualquiera de los siguientes casos

 

    • se obtiene una copa en ambas extracciones,
    • se obtiene una copa en la primera extracción y no se obtiene copa en la segunda, y
    • no se obtiene una copa en la primera extracción y se obtiene una copa en la segunda.

 

Entonces la probabilidad solicitada será la probabilidad de la union de los tres eventos anteriores, que es equivalente a la suma de sus probabilidades, pues son eventos ajenos entre sí. En términos matemáticos esto es

    $$\displaystyle P(\text{extraer al menos una copa})$$

    $$=P(A_{1}\cap A_{2})}+P(A_{1}\cap B_{2})+P(B_{1}\cap A_{2}).$$

Por el inciso anterior sabemos que P(A_{1}\cap A_{2})} = \cfrac{11}{188}.
Para calcular las probabilidades restantes haremos uso de la probabilidad condicional. Obtenemos

    $$P(A_{1}\cap B_{2})=P(A_{1})P(B_{2}|A_{1})$$

 

    $$P(B_{1}\cap A_{2})=P(B_{1})P(A_{2}|B_{1}).$$

 

El número de casos favorables en el evento  A_1  es 12 y en el evento  B_1  es 36, pues es el número de cartas que no son copas. En ambos casos, al ser la primera extracción, el número de casos totales sigue siendo 48. Por lo tanto

 

    $$P(A_{1})=\cfrac{12}{48}={1}{4}\mbox{ y }$$

 

    $$P(B_{1})=\cfrac{36}{48}={3}{4}.$$

 

Luego, el número de casos favorables en el evento B_{2}|A_{1} son 36, ya que es el número de cartas que no son copas; mientras que para A_{2}|B_{1} son 12, pues aún no se ha extraído ninguna copa. En ambos casos, el número de casos totales es 47, pensando en que hemos sacado ya una carta. Por lo tanto

 

    $$P(B_{2}|A_{1})=\cfrac{36}{47}\mbox{ y }$$

 

    $$P(A_{2}|B_{1})=\cfrac{12}{47}.$$

 

Entonces

 

    $$P(A_{1}\cap B_{2}) = \frac{1}{4}\cdot\frac{36}{47}=\frac{36}{188} ,$$

 

    $$P(B_{1}\cap A_{2}) =\frac{3}{4}\cdot\frac{12}{47}=\frac{36}{188} .$$

 

Y así,

 

    $$P(\text{extraer al menos una copa})=\cfrac{11}{188}+\cfrac{36}{188}+\cfrac{36}{188} = \cfrac{83}{188}.$$

 

3 Una sea copa y la otra espada

 

Llamemos  {A_{i}}  al evento de obtener una copa en la extracción  {i=1,2},  y como  {E_{i}}  al evento de no obtener una espada en la extracción  {i=1,2}.  La condición de extraer una copa y una espada se satisface en cualquiera de los siguientes casos

 

    • se obtiene una copa en la primera extracción y una espada en la segunda, y
    • se obtiene una espada en la primera extracción y una copa en la segunda.

 

Entonces la probabilidad que buscamos será la probabilidad de la union de los tres eventos anteriores, que es equivalente a la suma de sus probabilidades, pues son eventos ajenos entre sí. En términos matemáticos esto es

 

    $$\displaystyle P(\text{extraer una copa y una espada})$$

    $$=P(A_{1}\cap E_{2})}+P(E_{1}\cap A_{2}).$$

Y a su vez,

    $$P(A_{1}\cap E_{2})=P(A_{1})P(E_2|A_1)$$

    $$P(E_{1}\cap A_{2})=P(E_{1})P(A_2|E_1).$$

Como hay 12 cartas de cada palo en la baraja, y la baraja tiene un total de 48 cartas, usando la fórmula de número de casos favorables entre casos totales, se sigue que

    $$P(A_1) = \cfrac{12}{48} = P(E_1).$$

Por otro lado, en el caso del evento P(E_2|A_1) tenemos 12 casos favorables y un total de 47 cartas (pues ya se ha realizado una extracción) o casos totales. Notemos que son las mismas cuentas para P(A_2|E_1), por tanto

    $$P(E_2|A_1) = \cfrac{12}{47} = P(A_2|E_1).$$

Con lo anterior, obtenemos

    $$P(A_{1}\cap E_{2})} = \cfrac{12}{48}\cdot\cfrac{12}{47} = \cfrac{3}{47},$$

    $$P(E_{1}\cap A_{2}) = \cfrac{12}{48}\cdot\cfrac{12}{47} = \cfrac{3}{47}.$$

Finalmente,

    $$P(\text{extraer una copa y una espada}) = \cfrac{6}{47}.$$

 

2 Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado  15  de los  25  temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza en trayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo.
Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.

 

 

Llamemos  A  al evento "el alumno puede elegir durante el examen uno de los temas estudiados". Entonces se tiene que

 

    $$P(A) = 1- P(A^{c}),$$

 

donde  A^{c}  denota al evento complementario de  A,  es decir "el alumno no puede elegir durante el examen uno de los temas estudiados".

 

Para calcular  P(A^{c})  notemos que hay 10 temas para los cuales el alumno no ha estudiado, por lo que la probabilidad de elegir como primer tema uno de éstos es igual a  \cfrac{10}{25}.  Simplemente hemos aplicado la regla

    $$\cfrac{\mbox{número de casos favorables}}{\mbox{número de casos totales}}.$$

De la misma manera, la probabilidad de elegir como segundo tema alguno que el alumno no ha estudiado es  \cfrac{9}{24},  pues en este caso ya hemos elegido con anterioridad un tema no estudiado y eso nos deja  9  posibles casos favorables y  24  casos totales.
Luego, el resultado de  P(A^{c}), es multiplicar las dos probabilidades que hemos encontrado pues asumimos que es equivalente a extraer sin reemplazo dos temas no estudiados, por tanto

    $$P(A^{c}) = \cfrac{10}{25}\cdot\cfrac{9}{24} = \cfrac{3}{20}$$

Entonces,

    $$P(A) = 1 - P(A^c) = 1-\cfrac{3}{20}=\cfrac{17}{20}=0.85.$$


¿Y si pruebas con nuestras clases de estadistica?

 

3 Una clase está formada por  10   chicos y  10  chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa.

 

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudio francés?

b) ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?

 

 

1 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudio francés?

 

Probabilidad de la unión de 2 eventos representación gráfica de alumnos y alumnas

 

Llamemos  A  al evento "la persona elegida al azar es chico y no ha elegido francés" y  B  al evento "la person elegida al azar estudia francés". Entonces, si  C  denota el evento "la persona elegida al azar es chico o estudia francés", es la probabilidad que deseamos calcular y

    $$P(C)=P(A\cup B)=P(A)+P(B).$$

La última igualdad es cierta debido a que los eventos  A  y  B  son ajenos.
Para calcular  P(A),P(B)  aplicaremos la regla

    $$\cfrac{\mbox{número de casos favorables}}{\mbox{número de casos totales}}.$$

En el evento   A   el número de casos favorables es   5,   pues este es el número de personas que cumplen con ser chicos y no estudiar francés; mientras que para   B   el número de personas que estudia francés es igual a   10,   que es el número de casos favorables. En ambos eventos el número de casos totales es   20,   que es el total número de alumnos.
Con esto podemos concluir que

    $$P(A) = \cfrac{5}{20},$$

    $$P(B) = \cfrac{10}{20},$$

    $$P(A)+P(B) = \cfrac{5}{20}+\cfrac{10}{20} = \cfrac{15}{20} = \cfrac{3}{4}.$$

    $$P(C) = \cfrac{3}{4} = 0.75.$$

2 ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudié francés?
En el contexto del inciso anterior, basta observar que el evento "elegir al azar una chica que no estudie francés" es equivalente a  C^c,  o sea, es el evento complementario de  C.
Para cualquier evento y su complemento, las siguientes igualdades son válidas debido a que éstos siempre son ajenos.

    $$1 = P(C) + P(C^c)$$

    $$1 - P(C) = P(C^c)$$

Entonces, sustituyendo el valor que encontramos en el inciso anterior para  P(C)

    $$P(C^c)= 1 - \cfrac{3}{4}$$

    $$P(C^c)= \cfrac{1}{4} = 0.25 .$$

 

 

4 En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60 % de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10 % practica ambos deportes.

Si además hay un 60 % que no juega al fútbol.

 

¿Cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:

 

a) Juegue sólo al fútbol

 

b) Juegue sólo al baloncesto

 

c) Practique uno solo de los deportes

 

d) No juegue ni al fútbol ni al baloncesto

 

 

1 Juegue sólo al fútbol
Tenemos que el  60\% ,  de los alumnos juega fútbol o baloncesto y de dicho porcentaje, hay un  10\% ,&nbsp que practica ambos deportes. Esto quiere decir que el 50\% de los alumnos juegan solo uno de los deportes, lo cual significa que la probabilidad de elegir a un alumno que juegue solo uno de los deportes es igual a .5.
Por otro lado, el  60\% ,  o con probabilidad 0.6, , no juega fútbol. Esto quiere decir que del 50\% que juegan solo un deporte, el  60\% ,  juega solo baloncesto. Ahora, el  60\% ,  del 50\% lo encontramos haciendo el producto 0.5 \times 0.6 = 0.3 .
Por lo tanto, si  F es el evento "jugar solo fútbol" y B "jugar solo baloncesto", y A "juega solo uno de los deportes", se sigue que

    $$ P(F) = P(A) - P(B) $$

    $$ P(F) = 0.5 - 0.3 = 0.2 $$

2 Juegue sólo al baloncesto

 

Tenemos que el  60\% ,  de los alumnos juega fútbol o baloncesto y de dicho porcentaje, hay un  10\% ,&nbsp que practica ambos deportes. Esto quiere decir que el 50\% de los alumnos juegan solo uno de los deportes, lo cual significa que la probabilidad de elegir a un alumno que juegue solo uno de los deportes es igual a .5.
Por otro lado, el  60\% ,  o con probabilidad 0.6, , no juega fútbol. Esto quiere decir que del 50\% que juegan solo un deporte, el  60\% ,  juega solo baloncesto. Ahora, el  60\% ,  del 50\% lo encontramos haciendo el producto 0.5 \times 0.6 = 0.3 .
Por lo tanto, si B es el evento "jugar solo baloncesto", entonces P(B) = 0.3 .
3 Practique uno solo de los deportes

 

Tenemos que el  60\% ,  de los alumnos juega fútbol o baloncesto y de dicho porcentaje, hay un  10\% ,&nbsp que practica ambos deportes. Esto quiere decir que el 50\% de los alumnos juegan solo uno de los deportes, lo cual significa que la probabilidad de elegir a un alumno que juegue solo uno de los deportes es igual a 0.5.
 

4 No juegue ni al fútbol ni al baloncesto

 

Llamemos   F   al evento "juegan futbol" y  B  al evento "juegan baloncesto". Entonces "jugar fútbol o jugar baloncesto" es equivalente al evento  F\cup B.  Entonces, la probabilidad de elegir a alguien que no juegue al fútbol es igual a la probabilidad del evento complemento de F\cup B, del cual sí conocemos la probabilidad, pues por hipótesis  P(F\cup B) = 0.6 .
Luego

    $$P((F\cup B)^c) = 1-P(F\cup B) = 1 - 0.6 = 0.4 .$$

 

5 Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.

 

a) Hacer una tabla ordenando los datos anteriores

 

b) Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde

 

c) Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos

 

d) Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana

 

 

1 Hacer una tabla ordenando los datos anteriores

 

HorarioProblema eléctricoProblema mecánicosProblema de chapa
Matutino383
Vespertino231

 

 

2 Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde

 

Para calcular el porcentaje de los autos que acuden por la tarde, simplemente tenemos que encontrar el cociente

    $$\cfrac{\mbox{número de casos favorables}}{\mbox{número de casos totales}}$$

Para esta situación, el número de casos favorables es el número de autos que asisten por la tarde al taller, es decir, 6; mientras que el número de casos totales es el total de autos que se presentan, o sea 20.
Por lo tanto,

    $$\mbox{ proporción asista un auto en la tarde} = \cfrac{6}{20} = 0.3 .$$

Finalmente, para expresar esta cifra en porcentaje, solamente la hemos de multiplicar por cien. Entonces el porcentaje de autos que asisten por la tarde es 30\% .
3 Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos

 

Para calcular el porcentaje de los autos que acuden por la tarde, simplemente tenemos que encontrar el cociente

    $$\cfrac{\mbox{número de casos favorables}}{\mbox{número de casos totales}}$$

Para esta situación, el número de casos favorables es el número total de autos que asisten al taller por problemas mecánicos, es decir 11; mientras que el número de casos totales es el total de autos que se presentan, o sea 20.
Por lo tanto,

    $$\mbox{proporción asista un auto por problemas mecánicos} $$

     $$ = \cfrac{11}{20} = 0.55 .$$

Finalmente, para expresar esta cifra en porcentaje, solamente la hemos de multiplicar por cien. Entonces el porcentaje de autos que asisten por la tarde es 55\% .
 

4 Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana

Para calcular el porcentaje de los autos que acuden por problemas eléctricos, simplemente tenemos que encontrar el cociente

    $$\cfrac{\mbox{número de casos favorables}}{\mbox{número de casos totales}}$$

Para esta situación, el número de casos favorables es el número total de autos que asisten al taller por problemas eléctricos durante el turno matutino, es decir 3; mientras que el número de casos totales es el total de autos que se presentan por problemas eléctricos, o sea 5.
Por lo tanto,

    $$P(\mbox{asista un auto por problemas eléctricos por la mañana}) $$

    $$ = \cfrac{3}{5} = 0.6 .$$

 

6 En una ciudad, el  40\%  de la población tiene cabellos castaños, el  25\%  tiene ojos castaños y el  15\%  tiene cabellos y ojos castaños.

Se escoge una persona al azar:

 

a) Si tiene los cabellos castaños, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños?

b) Si tiene ojos castaños, ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

 

 

 

1 Si tiene los cabellos castaños, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños?

 

 

 

Denotemos mediante   A, B   a los eventos "tener ojos castaños" y "tener cabello castaño" respectivamente. Así, la probabilidad que estamos buscando queda expresada como

    $$P(A|B)$$

Y por la definición de probabilidad condicional, esto es

    $$P(A|B) = \cfrac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Observermos que  A\cap B  es equivalente a "tener ojos castaños y cabello castaño", del cual conocemos su probabilidad pues el  15\%  cumple esta condición, lo cual quiere decir que P(A\cap B) = 0.15 . Siguiendo un razonamiento similar, tenemos que  P(B) = 0.4,   por lo tanto

    $$P(A|B) = \cfrac{0.15}{0.4} = 0.375 .$$

2 Si tiene ojos castaños, ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?

 

De acuerdo al planteamiento del problema, el  25\%  tiene ojos castaños y además el  15\%  tiene cabellos y ojos castaños, de aquí se sigue que el  10\%  restante debe tener ojos castaños pero no cabellos castaños.
Haciendo  A, B  los eventos "no tener cabellos castaños" y "tener ojos castaños" respectivamente, entonces se sigue del párrafo anterior que el evento  A\cap B  (equivalente a "tener ojos castaños y no tener cabellos castaños) tiene probabilidad de  0.1 .  Como además sabemos que el  25\%  tiene ojos castaños, entonces  P(B) = 0.25 .
Luego, de la definición de probabilidad condicional

    $$P(A|B)=\cfrac{P(A\cap B)}{P(B)} = \cfrac{0.1}{0.25} = 0.4 .$$

3 ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

 

De acuerdo al planteamiento del problema, el  25\%  tiene ojos castaños y además el  15\%  tiene cabellos y ojos castaños, de aquí se sigue que el  10\%  restante debe tener ojos castaños pero no cabellos castaños.
Por otro lado sabemos que el  40\%  de la población tiene cabellos castaños, de donde podemos inferir que el  60\%  restante no tiene cabellos castaños. Adicional a esto, hemos encontrado que el  10\%  no tiene cabellos castaños pero si ojos castaños, entonces restándolos al porcentaje total de población sin cabellos castaños, obtenemos que el  50\%  de la población no tiene ni cabellos ni ojos castaños. Por lo tanto la probabilidad de elegir a una persona sin cabellos castaños y sin ojos castaños es de  0.5.

 

7 En un aula hay  100  alumnos, de los cuales:  40  son hombres,  30  usan gafas, y  15  son varones y usan gafas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?

b) Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿Qué probabilidad hay de que sea hombre?

 

 

 

1 ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?

 

Tenemos 100 alumnos, de los cuales 40 son hombres, lo cual significa que 60 son mujeres. Además 30 alumnos utilizan gafas y 15 de ellos son varones, lo cual indica que los otros 15 alumnos con gafas son mujeres. Luego, tenemos 25 hombres sin gafas y 45 mujeres sin gafas.
Luego, la probabilidad de que sea mujer y no use gafas la podemos encontrar mediante la regla

    $$\cfrac{\mbox{número de casos favorables}}{\mbox{número de casos totales}}.$$

En este caso el número de casos favorables es el número de mujeres que no usan gafas, o sea 45, mientras que el número de casos totales es el total de alumnos. Entonces,

    $$P(\mbox{ser mujer sin gafas}) = \cfrac{45}{100} = 0.45 .$$

2 Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿Qué probabilidad hay de que sea hombre?

 

Sean  A,B  los eventos "ser varón" y "no usar gafas" respectivamente. Así, la probabilidad que buscamos está dada por  P(A|B).
Tenemos entonces que  P(B) = 0.7,  pues 70 de los cien alumnos no usan gafas, es decir

    $$P(B) = \cfrac{70}{100} = 0.7.$$

Por otro lado  P(A\cap B)   es equivalente al evento "ser hombre y no usar gafas", y de acuerdo al ejercicio anterior hay 25 alumnos que se encuentran dentro de de esta categoría, por lo que

    $$P(A\cap B) = \cfrac{25}{100} = 0.25 .$$

Siguiendo la definición de probabilidad condicional, tenemos que

    $$P(A|B) = \cfrac{P(A\cap B)}{P(B)} = \cfrac{0.25}{0.7} = \cfrac{5}{14}.$$

 

8 Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles.

De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas.

Se pide:

 

a) ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?

b) Si del afortunado se sabe que es casado, ¿Cuál será la probabilidad de que sea una mujer?

 

1 ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?

 

Comencemos notando que dentro de la población tenemos 65 mujeres y 55 hombres, pues la suma de individuos debe ser de 120. Continuando con el mismo razonamiento, sabemos que hay 80 personas casadas y 45 de ellas son mujeres, lo cual nos deja con 35 hombres casados y 20 solteros.
Por lo tanto, la probabilidad de que el viaje que se sortea le toque a un hombre soltero es de

    $$\cfrac{25}{120} = {1}{6},$$

donde simplemente hemos aplicado la regla

    $$\cfrac{\mbox{número de casos favorables}}{\mbox{número de casos totales}}$$

e identificado a los casos favorables como los hombres solteros y los casos totales como el número total de individuos con los que se hará la rifa.
2 Si del afortunado se sabe que es casado, ¿Cuál será la probabilidad de que sea una mujer?
En el ejercicio anterior, calculamos el número de mujeres casadas, el cual asciende a 45. Sabiendo que hay 80 personas casadas, la probabilidad de que el viaje sea para una mujer, sabiendo que el afortunado es casado, es

    $$\cfrac{\mbox{número de casos favorables}}{\mbox{número de casos totales}}$$

    $$ = \cfrac{45}{80}.$$

En este caso el número de casos totales es el número de individuos casados, ya que sabemos que el ganador del viaje se lo ha ganado una persona casada. Mientras que el número de casos favorables son las mujeres casadas.

 

9 Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

 

a) Seleccionar tres niños

b) Seleccionar exactamente dos niños y una niña

c) Seleccionar por lo menos un niño

d) Seleccionar exactamente dos niñas y un niño

 

 

 

1 Seleccionar tres niños

 

Podemos tratar este problema como si realizáramos dos extracciones sin reemplazo.

 

Denotemos por  {A_{i}}  al evento de elegir a un niño en la extracción  i-ésima, con  i\in\{1,2,3\}.  Con esto en mente y de acuerdo con la definición de probabilidad condicional

 

    $$\displaystyle P(A_{1}\mbox{ y }A_{2})=\displaystyle P(A_{1}\cap A_{2}),$$

 

    $$\displaystyle P(A_{1}\cap A_{2})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1}).$$

 

Para calcular P(A_{1}), simplemente dividimos el número de casos favorables entre el número de casos totales. En este caso hay 10 posibles niños a elegir, es decir 10 es el número de casos favorables, y un total de 16 niños, que representan el número de casos totales. Entonces

 

    $$P(A_{1})=\cfrac{10}{16}.$$

 

Por otro lado,

 

    $$P(A_{2}|A_{1})=\cfrac{9}{15} ,$$

 

pues el número de casos favorables es 9, al haber elegido ya a un niño, y el total de niños por elegir es ahora 15.

 

Luego,

 

    $$ P(A_{1}\cap A_{2}) = \cfrac{10}{16}\cdot\frac{9}{15}.$$

 

Aplicando este argumento manera iterativa para la elección del tercer niño tendríamos que

    $$ P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}) = \cfrac{10}{16}\cdot\frac{9}{15}\cdot\cfrac{8}{14} = 0.214 .$$

2 Seleccionar exactamente dos niños y una niña

 

Para calcular esta probabilidad, primero necesitamos identificar los diferentes casos en los que podríamos seleccionar dos niños y una niña. El primer caso es elegir 2 niños y al final una niña, el segundo caso es elegir una niña y al final dos niños, y por último un niño, una niña y un niño. La probabilidad de cada caso la podemos calcular haciendo la multiplicación de la probabilidad en cada paso de la figura presentada en el inicio.
Por ejemplo, si el primer caso lo denotamos como evento A, entonces

    $$P(A) = \cfrac{10}{16}\cdot\cfrac{9}{15}\cdot\cfrac{6}{14}.$$

Luego, denotando como  B, C  a los eventos restantes, tenemos que

    $$P(B) = \cfrac{6}{16}\cdot\cfrac{10}{15}\cdot\cfrac{9}{14},$$

    $$P(C) = \cfrac{10}{16}\cdot\cfrac{6}{15}\cdot\cfrac{9}{14}.$$

Finalmente, la probabilidad que estamos buscando es la probabilidad de que cualquiera de estos eventos suceda, o sea  P(A\cup B\cup C),  como éstos son ajenos se sigue que

    $$P(A\cup B\cup C) = P(A)+P(B)+P(C)$$

Por lo tanto,

    $$P(A)+P(B)+P(C) = \cfrac{10}{16}\cdot\cfrac{9}{15}\cdot\cfrac{6}{14} + \cfrac{6}{16}\cdot\cfrac{10}{15}\cdot\cfrac{9}{14} + \cfrac{10}{16}\cdot\cfrac{6}{15}\cdot\cfrac{9}{14} $$

    $$= 0.482 $$

3 Seleccionar por lo menos un niño

 

Para calcular la probabilidad de seleccionar al menos un niño, haremos

    $$P(\mbox{al menos un niño}) = P((\mbox{todas niñas})^c) = 1 - P(\mbox{todas niñas}). $$

Podemos calcular la probabilidad de elegir tres niñas de manera completamente análoga al inciso uno de este mismo ejercicio. Entonces

    $$P(\mbox{todas niñas}) = \cfrac{6}{16}\cdot\cfrac{5}{15}\cdot\cfrac{4}{14}.$$

Luego,

    $$P(\mbox{al menos un niño}) = 1 - \cfrac{6}{16}\cdot\cfrac{5}{15}\cdot\cfrac{4}{14}$$

    $$ = 0.964 $$

4 Seleccionar exactamente dos niñas y un niño

 

Para calcular esta probabilidad, primero necesitamos identificar los diferentes casos en los que podríamos seleccionar dos niñas y una niño. El primer caso es elegir 2 niñas y al final un niño, el segundo caso es elegir un niño y al final dos niñas, y por último una niña, un niño y una niña. La probabilidad de cada caso la podemos calcular haciendo la multiplicación de la probabilidad en cada paso de la figura presentada en el inicio.
Por ejemplo, si el primer caso lo denotamos como evento A, entonces

    $$P(A) = \cfrac{6}{16}\cdot\cfrac{5}{15}\cdot\cfrac{10}{14}.$$

Luego, denotando como  B, C  a los eventos restantes, tenemos que

    $$P(B) = \cfrac{10}{16}\cdot\cfrac{6}{15}\cdot\cfrac{5}{14},$$

    $$P(C) = \cfrac{6}{16}\cdot\cfrac{10}{15}\cdot\cfrac{5}{14}.$$

Finalmente, la probabilidad que estamos buscando es la probabilidad de que cualquiera de estos eventos suceda, o sea  P(A\cup B\cup C),  como éstos son ajenos se sigue que

    $$P(A\cup B\cup C) = P(A)+P(B)+P(C)$$

Por lo tanto,

    $$P(A)+P(B)+P(C) = \cfrac{6}{16}\cdot\cfrac{5}{15}\cdot\cfrac{10}{14} + \cfrac{10}{16}\cdot\cfrac{6}{15}\cdot\cfrac{5}{14} + \cfrac{6}{16}\cdot\cfrac{10}{15}\cdot\cfrac{5}{14} $$

    $$= 0.268 .$$

 

10 Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes.

Se extrae una bola y se reemplaza por dos del otro color.

A continuación, se extrae una segunda bola

 

a) Probabilidad de que la segunda bola sea verde

b) Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color

 

 

 

1 Probabilidad de que la segunda bola sea verde

 

Sea  V_2  el evento "la segunda bola es verde", hay dos posibilidades para dicho evento, que la primera bola sea roja o que la primera bola sea verde. Representaremos lo anterior como  V_1, R_1  y es importante observar que éstos casos son mutuamente excluyentes, es decir no pueden ocurrir ambos a la vez. Por lo tanto,

    $$P(V_2) = P(V_2\cap V_1) + P(V_2\cap R_1) .$$

Siguiendo la definición de probabilidad de una intersección, tenemos que

    $$P(V_2\cap V_1) = P(V_1)P(V_2|V_1).$$

    $$P(V_2\cap R_1) = P(R_1)P(V_2|R_1).$$

De acuerdo al diagrama presentado al inicio de la solución,

    $$P(V_1) = \cfrac{8}{13}, \quad P(R_1) = \cfrac{5}{13},$$

    $$P(V_2|V_1) = \cfrac{7}{14},\quad P(V_2|R_1) = \cfrac{10}{14}.$$

Con esto, obtenemos que

    $$P(V_2) = \cfrac{8}{13}\cdot\cfrac{7}{14} + \cfrac{5}{13}\cdot\cfrac{10}{14} = 0.582 .$$

2 Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color

 

Sean  V_i  el evento "la bola i-ésima es verde",  y  R_i  el evento "la bola i-ésima es roja", buscamos  P(V_2\cap V_1) + P(R_2\cap R_1).
Siguiendo la definición de probabilidad de una intersección, tenemos que

    $$P(V_2\cap V_1) = P(V_1)P(V_2|V_1).$$

    $$P(R_2\cap R_1) = P(R_1)P(R_2|R_1).$$

De acuerdo al diagrama presentado al inicio de la solución,

    $$P(V_1) = \cfrac{8}{13}, \quad P(R_1) = \cfrac{5}{13},$$

    $$P(V_2|V_1) = \cfrac{7}{14},\quad P(R_2|R_1) = \cfrac{4}{14}.$$

Con esto, obtenemos que

    $$P(V_2\cap V_1) = \cfrac{8}{13}\cdot\cfrac{7}{14},\quad P(R_2\cap R_1) = \cfrac{5}{13}\cdot\cfrac{4}{14} .$$

    $$P(V_2\cap V_1) + P(R_2\cap R_1) = 0.418 .$$

 

11 Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas.

Si el número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la probabilidad de encontrarnos:

 

a) Con una persona sin gafas

b) Con una mujer con gafas

 

 

 

1 Con una persona sin gafas

 

Del total de la población, sabemos que  \cfrac{4}{5}  corresponde a la proporción de mujeres y  \cfrac{1}{5}  corresponde a la proporción de los hombres. De esta manera se cumple la condición "el número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres".
Luego, 25 de cada 100 hombres usan gafas es equivalente a que  \cfrac{25}{100} = 0.25  es la probabilidad de encontrarnos a un hombre con gafas, de donde se sigue que el  0.75  es la probabilidad para los hombres que no usan gafas. Bajo el mismo razonamiento,  \cfrac{600}{1000} = 0.6  es la probabilidad de encontrarnos a una mujer con gafas, mientras que  0.4  es la probabilidad para las mujeres sin gafas. En ambos casos, solamente hemos calculado el cociente de los casos favorables entre los casos totales.
Sean A, H, M los eventos "no tener gafas", "ser hombre" y "ser mujer" respectivamente, estamos buscando P(A). Como ser hombre y ser mujer son eventos excluyentes, se sigue que

    $$P(A) = P(A\cap H) + P(A\cap M).$$

De acuerdo con las reglas de la probabilidad condicional,

    $$P(A\cap H) = P(H)P(A|H) \quad \mbox{ y } P(A\cap M) = P(M)P(A|M).$$

Como sabemos  P(H) = \cfrac{1}{5}, P(M) = \cfrac{4}{5}, P(A|H) = 0.75, P(A|M) = 0.4.
Y sustituyendo estos valores en la expresión anterior, obtenemos que

    $$P(A) = 0.47 .$$

2 Con una mujer con gafas

 

Del total de la población, sabemos que  \cfrac{4}{5}  corresponde a la proporción de mujeres y  \cfrac{1}{5}  corresponde a la proporción de los hombres. De esta manera se cumple la condición "el número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres".
Observemos que  \cfrac{600}{1000} = 0.6  es la probabilidad de encontrarnos a una mujer con gafas, mientras que  0.4  es la probabilidad para las mujeres sin gafas. En ambos casos, solamente hemos calculado el cociente de los casos favorables entre los casos totales.
Sean A, M los eventos "tener gafas" y "ser mujer" respectivamente, estamos buscando P(A\cap M).
De acuerdo con las reglas de la probabilidad condicional,

    $$P(A\cap M) = P(M)P(A|M).$$

Como sabemos  P(M) = \cfrac{4}{5}, P(A|M) = 0.4.   Y sustituyendo estos valores en la expresión anterior, obtenemos que

    $$P(A\cap M) = \cfrac{4}{5}\cdot 0.6 = 0.48 .$$

 

12 En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés.

En un determinado curso, el  90\%  de los alumnos estudia inglés y el resto francés.

El  30\%  de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el  40\%.

Al elegir un alumno al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que sea chica?

 

 

 

Llamemos  I, F, M  a los eventos "estudiar inglés", "estudiar francés", "ser mujer", respectivamente. Entonces buscamos la probabilidad de elegir una mujer al azar, pero como todas las personas del centro escolar estudian inglés o francés, la probabilidad solicitad puede ser calculada a través de las probabilidades siguientes

    $$P(I\cap M) + P(F\cap M).$$

Para ambas probabilidades podemos hacer,

    $$P(I\cap M) = P(I)P(M|I)$$

    $$P(F\cap M) = P(F)P(M|F)$$

De esta manera podemos utilizar la información proporcionada, pues

    $$P(I) = \cfrac{90}{100} = 0.9$$

    $$P(F) = \cfrac{10}{100} = 0.1$$

    $$P(M|I) = \cfrac{70}{100} = 0.7$$

    $$P(M|F) = \cfrac{60}{100} = 0.6$$

Sustituyendo todos estos valores se obtiene el siguiente cálculo,

    $$P(I\cap M) + P(F\cap M) = (0.9\times 0.7) + (0.1\times 0.6) = 0.69$$

 

13 Una caja contiene tres monedas.

Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de   \cfrac {1}{3}.  Se selecciona una moneda al azar y se lanza al aire.

Hallar la probabilidad de que salga cara

 

 

Sea  M_i  el evento "elegir la i-ésima moneda", donde  M_1  es la moneda corriente,  M_2  la moneda con dos caras y  M_3  la moneda cargada. En este contexto, si llamamos  C  al evento "lanzar la moneda y obtener cara", podemos calcular  P(C)  haciendo una intersección con los eventos  M_i,  ya que estos son mutuamente excluyentes. Es decir,

    $$P(C) = P(C\cap M_1) + P(C\cap M_2) + P(C\cap M_3).$$

Por la definición de probabilidad condicional, las siguientes igualdades son válidas.

    $$ P(C\cap M_1) = P(M_1)P(C|M_1),$$

    $$ P(C\cap M_2) = P(M_2)P(C|M_2),$$

    $$ P(C\cap M_3) = P(M_3)P(C|M_3).$$

Como la elección de la moneda se realiza al azar, se tiene que  P(M_i) = \cfrac{1}{3},  con  i\in \{1,2,3\}.  Luego,

    $$P(C|M_1) = \cfrac{1}{2},$$

pues la primera moneda es corriente, lo cual quiere decir que cuenta con cara y cruz y puede tomar cualquier valor con igual probabilidad.

    $$P(C|M_2) = 1,$$

pues la esta moneda tiene dos caras, entonces no importa cómo caiga, su valor será cara.

    $$P(C|M_3) = \frac{1}{3},$$

pues la última de las monedas esta cargada para que ésta sea la probabilidad de obtener cara.
Así,

    $$P(C) = \left(\cfrac{1}{3}\cdot\cfrac{1}{2}\right) + \left(\cfrac{1}{3}\cdot 1\right) + \left(\cfrac{1}{3}\cdot\cfrac{1}{3}\right),$$

    $$P(C) = \cfrac{1}{3}\cdot \left[\cfrac{1}{2}+1+\cfrac{1}{3}\right] = \cfrac{1}{3}\cdot\cfrac{11}{6} = \cfrac{11}{18}.$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗